离散数学题库及答案
数理逻辑部分
选择、填空及判断
?下列语句不是命题的（ A ）。
(A) 你打算考硕士研究生吗？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。
(C) 离散数学是计算机系的一门必修课。 (D) 雪是黑色的。
?命题公式P→(P∨?P)的类型是（ A ）
(A) 永真式(B) 矛盾式
(C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式
?A是重言式，那么A的否定式是( A )
A. 矛盾式
B. 重言式
C. 可满足式
D.不能确定
?以下命题公式中，为永假式的是( C )
A. p→(p∨q∨r)
B. (p→┐p)→┐p
C. ┐(q→q)∧p
D. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p)
?命题公式P→Q的成假赋值是( D )
A. 00,11
B. 00,01,11
C.10,11
D. 10
?谓词公式)
x
xP∧
?中，变元x是 ( B )
R
,
(
x
)
(y
A. 自由变元
B. 既是自由变元也是约束变元
C. 约束变元
D. 既不是自由变元也不是约束变元
?命题公式P→(Q∨?Q)的类型是( A )。
(A) 永真式 (B) 矛盾式
(C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式
?设B不含变元x，)
x
x→
?等值于( A )
A
)
(
(B
A. B
( D. B
x
xA→
x
?)
(
(
? C. B
x∧
A
?)
( B. )
?)
xA→
x
)
(
A
x
(B
x∨
?下列语句中是真命题的是( D )。
A．你是杰克吗？ B．凡石头都可练成金。
C．如果2+2=4，那么雪是黑的。 D．如果1+2=4，那么雪是黑的。
?从集合分类的角度看，命题公式可分为( B )
A. 永真式、矛盾式
B. 永真式、可满足式、矛盾式
C. 可满足式、矛盾式
D. 永真式、可满足式
?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。
A. ﹁p∨q
B. ﹁(p∨q)
C. ﹁p∧q
D. p→﹁q
?一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。
(A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式
?下列含有命题p，q，r的公式中，是主析取范式的是( D )。
(A) (p ∧ q ∧ r) ∨ (?p ∧ q) (B) (p ∨ q ∨ r) ∧ (?p ∧ q)
(C) (p ∨ q ∨ r) ∧ (?p ∨ q ∨ r)
(D) (p ∧ q ∧ r) ∨ (?p ∧ q ∧ r) ? 设个体域是整数集合，P 代表?x ?y ((x （ C ）。 (A) P 是真命题 (B) P 是假命题 (C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式 ? 对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ??∧∧?的说法正确的是 ( B ). (A) x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的； (B) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的； (C) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的； (D) x 是约束的，y 是约束的，z 是约束的； ? n 个命题变元可产生( D )个互不等价的布尔小项。 (A) n (B) n 2 (C) 2n (D) 2n ? 命题“没有不犯错误的人”符号化为（ D ）。 设x x M ：)(是人，x x P ：)(犯错误。 (A) ))()((x P x M x ∧? (B) )))()(((x P x M x ?→?? (C) )))()(((x P x M x ∧?? (D) )))()(((x P x M x ?∧?? ? 下列命题公式等值的是（ C ） B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? ? 给定命题公式：)(R Q P ∧∨，则所有可能使它成真赋值为（ B ），成假赋 值为（ C ）。 (A) 111，011；000 (B) 111，011，100，101，110； (C) 000，010，001； (D) 000，110，011，001，100。 ? 给定前提：R P Q S Q P ?∨→→,,)(，则它的有效结论为：（ B ）。 (A) S ； (B) S R →； (C) P ； (D) Q R →。 ? 命题：“所有的马都比某些牛跑得快”的符号化公式为：（ C ）。 假设：)(x H ：x 是马；)(x C ：x 是牛；),(y x F ：x 比y 跑得快。 (A) ))),()(()((y x F y C y x H x ∧?∧?； (B) ))),()(()((y x F y C y x H x →?→?； (C) ))),()(()((y x F y C y x H x ∧?→?； (D) ))),()(()((y x F y C x H x y ∧→??。 ? 设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数.R ：a +b 是偶数，则命题“若a 是偶数，b 是 偶数，则a +b 也是偶数”符号化为( C )． (A) P ∧Q ∧R (B) P ∧Q ?R (C) P ∨Q →R (D) P ∧Q →R ? 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ?→?∧∨?中x ?的辖域是( B )． (A) P (x ,y ) (B) P (x ,y )∨Q (z ) (C)R (x ,y ) (D)P (x ,y )∧R (x ,y ) ? 判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为陈述句，然后再看它是否有唯一的真值。 ? 命题公式(P ∨Q)→R 的只含联结词?和∧的等值式为： ))((R Q P ?∧?∧???。 ? B A B A ?∧→)(为假言推理规则。 ? 在一阶逻辑中符号化命题“有会说话的机器人。”设M(x):x 是机器人； S(x):x 是会说话的；上述句子可符号化为： (?x)(M(x)∧S(x)) 。 ? 设p:我们爬山,q:我们划船,在命题逻辑中，命题“我们不能既爬山又划船”的符号化形式为?（p ∧q ） . ? 设p:小王走路,q:小王唱歌,在命题逻辑中，命题“小王边走路边唱歌”的符号化形式为 （p ∧q ） . ? 量词否定等值式???)(x xA )(x A x ??。 ? 设F(x):x 是人，H(x,y):x 与y 一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样 高”的符号化形式为(()()(,))x y F x F y H x y ??∧→. ? 若含有n 个命题变项的公式A 是矛盾式，则A 的主合取范式含 2n 个极 小项。 ? 取个体域为全体整数的集合，给出下列各公式： (1) ()()()(x y z x y z ???-= (2) ()()x x y x ?= (3) ()()(2 x y x y y ??+= 其中公式 (1) 的真值为真，公式 (3) 的真值为假。 ? 若含有n 个命题变项的公式A 是重言式，则A 的主合取范式为 1或T 。 ? 命题公式)(R Q P ∧∨的所有成假赋值为 000,001,010 。 ? 谓词公式()()xP x xQ x ?→?的前束范式为(()())x P x Q x ??∨。 ? 在一阶逻辑中，将命题“没有不能表示成分数的有理数”符号化为 ? ))()((x G x F x ?∧??或))()((x G x F x →?（设)(x F ：x 是有理数；)(x G ：x 能 表示成分数。） ? 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 A (1)∨A (2)∨( B (1)∧B (2)) . ? 设P ，Q 是两个命题，当且仅当P ，Q 的真值均为1时，Q P ?的值为1。 ( × ) ? 谓词公式A 是q q p ∧→?)(的代换实例，则A 是重言式。 ( × ) ? 重言式的主析取范式包含了该公式的所有的极小项。 ( √ ) ? 命题公式A →(B →C)与(A ∧B)→C 等价。 ( √ ) ? 设A ，B ，C 为命题公式，若,A B B C ??，则A C ?。 ( √ ) ? 在一阶谓词公式中，同一变元符号不能够既约束出现又自由出现。( × ) ? 在一阶逻辑中，公式的前束范式是唯一的。 ( × ) 计算 ? 求命题公式(((p ∨q)∧?p)→q)∧r 的主析取范式。 答案：m 1∨m 3∨m 5∨m 7 ? 用等值演算法求公式(())P Q R P ∨→∧?的主析取范式，并由主析取范式求主 合取范式。 解：主析取范式： 013 (())()()()()()()()() P Q R P P Q R P P P Q P R P P Q R P Q R P Q R P Q R m m m ∨→∧??∨?∨∧??∧?∨?∧?∨∧???∧?∧?∨?∧?∧∨?∧?∧∨?∧∧?∨∨ 主合取范式为：24567M M M M M ∧∧∧∧ ? 求公式（P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）的主析取范式，并由主析取范式求主合取范式。 解： （﹁P∧﹁Q∧R）∨（﹁P∧Q∧R）∨（P∧Q∧﹁R）∨（P∧Q∧R）主合取范式为： （P∨R∨Q）∧（﹁Q∨P∨R）∧（﹁P∨Q∨R）∧（﹁P∨Q∨﹁R） ?化公式))]} x y yA y y y x→ x B ? ? ? ?为前束范 → ? ∧ A ? x ) , ( ( ( ( ) , [ ) x B x (y ){ , , ( y 式。 解：原式))]} x y yA y B y y x x→ ∧ ? ? A ? ?? ? ? ∨ ? x ) , ( [ ( ( y ) , ) ( , B x (y x ) ( , { x y x yA y x→ y x B y ? ? ? ? ∧ ? ? ∨ ? ? A ( ( ) , , ) y , ( ( ))]} [ B x (y x ){ , ) ( u y x yA w x→ v u B v ? ? ? ? ∧ ? ? ∨ A ? ? ( ( ) , , ) w , ( ( ))]} u B [ (w u ) ){ , ( x x→ y A v B ? w u y ? ? ? u ? ∧ ? ? ? ∨ v ( ) , ( ( , ))]} ( ) [ , w ) A B u ( u {w , v y w u u x→ B y x ? ? ? ? v ? ? ∨ ? ∧ ? A ( ( ) , , ) A , ( ( ))]} B u [ u {w ) , ( w （或))]} u y x? v B x ∧ w y ? ? ?） u ? ? ? ∧ ? ∨ A ( ( ) ( , ) v , ( [ , ) u w A u B , ( {w 证明 ?构造下面推理的证明： 任何自然数都是整数；存在着自然数。所以存在着整数。个体域为实数集合R。证明：先将原子命题符号化：设() G x：x为整数。则 F x：x为自然数，() 前提：(()()) ?→，() x F x G x ? xF x 结论：() ? xG x ①() ?前提引入 xF x ②() F c① ES规则 ③(()()) ?→前提引入 x F x G x ④()() →③ US规则 F c G c ⑤() G c②④假言推理 ⑥() ?⑤ EG规则 xG x ? 用自然推理系统中，证明下列推理： (?x)(A(x)→B(x)) ? ((?x)A(x)→(?x)B(x)) 证明： ①(?x)A(x) 附加前提引入 ②A(c) ①-? ③(?x)(A(x)→B(x)) 前提引入 ④A(c)→B(c) ③-? ⑤B(c) ②④假言推理 ⑥(?x)B(x) ⑤+? ⑦(?x)A(x)→(?x)B(x) ①⑥CP 规则 ⑧t ⑤⑥假言推理 ? 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： 前提：q p r q p ,),(→→ 结论：s r ∨ 证明：○ 1)(r q p →→ 前提引入 ○ 2p 前提引入 所以 (?x)(A(x)→B(x)) ? ((?x)A(x)→(?x)B(x)) ? 判断下面推理是否正确，并证明你的结论。 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI 语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI 语言或者C++语言，那么他就会 编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理 方法，证明该推理的有效结论。 证明：令p ：他是计算机系本科生 q ：他是计算机系研究生 r ：他学过DELPHI 语言 s:他学过C++语言 t:他会编程序 前提：(p ∨q)→(r ∧s),(r ∨s)→t 结论：p →t 证①p 附加前提 ②p ∨q ①附加律 ③(p ∨q)→(r ∧s) 前提引入 ④r ∧s ②③假言推理 ⑤r ④化简律 ⑥r ∨s ⑤附加律 ⑦(r ∨s)→t 前提引入 ○ 3r q → ○1○2假言推理 ○ 4q 前提引入 ○ 5r ○3○4假言推理 ○ 6s r ∨ ○5附加律 ? 判断下面推理是否正确，并证明你的结论。 如果小王今天家里有事，则他不会来开会。如果小张今天看到小王，则小王 今天来开会了。小张今天看到小王。所以小王今天家里没事。 解： 设p:小王今天家里有事，q:小王来开会，r:小张今天看到小王 本题推理的形式结构是： 前提：p q →?,r q →,r 结论：p ? 证明：1. r q → 前提引入 2. r 前提引入 3. q 1,2假言推理 4. p q →? 前提引入 5. p ? 3,4拒取式 集合论部分 选择、填空及判断 ? 设集合A ={1,2,3,4},B ＝{2,4,6,9}，那么集合A ，B 的对称差A ⊕B ＝（ C ）. (A) {1,3} (B) {2,4,6} (C) {1,3,6,9} (D) {1,2,3,4,6,9} ? 集合A = { 1 , 2 , 3 , 6 }，A 上的小于等于关系具有的性质是 （ D ）。 (A) 自反的，对称的，传递的； (B) 反自反的，对称的，传递的； (C) 反自反的，反对称的，传递的；(D) 自反的，反对称的，传递的。 ? 设A ={a ，b ，c }，R ={，}，则R 具有性质( C ). (A) 自反的 (B) 反自反的 (C) 反对称的 (D) 等价的 ? 设A,B,C 为任意集合，下面结论正确的是( D ) A. 如果C A B A =,则B=C B. 如果φ=-B A ,则A=B C. A A A =⊕ D. B A B A ?=- ? 设B A S ??，下列各式中( B )是正确的 A. domS ?B B. domS ?A C. ranS ?A D. domS ? ranS = S ? 令A={1,2,3,4},R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},则s(R)=( B )。 (A){<1,2>,<3,4>,<2,2>} (B){<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3>,<2,2>} (C){<1,2>,<3,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>} (D){<1,2>,<2,2>} ? 设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。 (A) 23 (B) 32 (C) 332? (D) 223? ? 设集合A={1,2,3,5,6,8}，A 上的二元关系R={ 则[2]R =( B )。 (A) {1,2} (B) {2,5,8} (C) {3,6} (D) {1} ? 偏序关系具有的性质是 ( D ) A. 自反的，对称的，传递的 B. 反自反的，对称的，传递的 C. 反自反的，反对称的，传递的 D. 自反的，反对称的，传递的 ? 等价关系具有的性质是 ( A )。 A. 自反的、对称的、传递的 B. 反自反的、对称的、传递的 C. 反自反的、反对称的、传递的 D. 自反的、反对称的、传递的 ? 集合A={1，2，…，10}上的关系R={ 性质是( B )。 A ．自反的 B ．对称的 C ．传递的、对称的 D ．反自反的、传递的 ? 设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A 到B 的满射函数 ( B )。 A. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>} B. f={<1,e>,<2,d>,<3,c>,<4,b>,<5,a>,<6,e>} C. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,a>,<5,b>,<6,c>} D. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>,<1,b>} ? 设R 是集合A={ a,b,c} 上的二元关系，且R={ 为真？( B ) Ⅰ R 是自反的且是传递的 Ⅱ R 是对称的且是反对称的 Ⅲ R 是A 上的等价关系 A. 只有Ⅰ B. 只有Ⅱ C. Ⅰ和Ⅱ D. Ⅱ和Ⅲ ? 设 正确的是( C ) A. 4,5,6全是A 的极大元 B. A 没有最大元 C. 6是A 的上界 D. 1是A 的最大下界 ? 设f 和g 都是X 上的双射函数，则1)(-g f 为( C ) A ．11--g f B.1)(-f g C.11--f g D.1-f g ? 集合A={1,2,3}上所有的等价关系的总数是( B ) A. 2 B. 5 C. 9 D. 取决于元素是否为数值 ? 设}3,,2,,1,{},3,2,1{},,,{><><><===c b a f Y c b a X ，则下面命题中唯一正 确的是（ D ） (A)f 是从X 到Y 的二元关系，但不是从X 到Y 的函数 (B)f 是从X 到Y 的函数，但不是满射，也不是单射 (C)f 是从X 到Y 的满射，但不是单射 (D) f 是从X 到Y 的双射 ? 设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为M R ＝100011011?????????? ，则传递闭包t(R )的关系图为 100011011?????????? 。 ? 设集合A ＝{1,2,3,4}，B ={a ，b ，c }，则∣A ×B ∣＝ 12 . ? 设A={a,b,c}，则A 的幂集ρ(A)= {,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}a b c a b b c a c a b c φ。 ? 设集合A={1,2}, 则A 上的全域关系A E ={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} 。 ? 设R 是实数集合，,3)(,:,2)(,:2-=→+-=→x x g R R g x x x f R R f 则 =)(x g f 12--x x ? 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 ( A(1)∨A(2))∨(B(1)∧B(2)) 。 ? 给定集合{}2,3,4,6,8,10,12,120A =和这个集合上的整除关系. 在这个关系下, 该集合的最小元是 不存在 , 而最大元是 120 ? 设A ，B ，C ，D 为任意集合，则A B C D ???的充要条件为,A C B D ??。 ( × ) ? 非空集合A 上的任意关系R 不是对称的就是反对称的。 ( × ) ? 关系R 是反对称的当且仅当R R ?R 。( × ). ? 集合的笛卡尔积运算满足交换律。 ( × ) ? 集合A 上的恒等关系是一个双射函数。 ( √ ) ? 若集合A 上的关系R 是对称的，则1-R 也是对称的。 ( √ ) ? 设A ，B 为任意集合，如果A ∪B=A ，那么B=?。 ( × ) ? 设,:A A f →命题“如果f 是双射的，则A I f f =-1 ”是真命题。( √ ) ? 集合A 上的全域关系是等价关系。 ( √ ) 计算 ? 某班有25个男生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排 球，5人会打篮球和网球，还有2人3种球都会打。已知6个会打网球的人 都会打篮球或排球。求不会打球的人数。 答案：利用包含排斥原理或文氏图可求得不会打球的有5人。 ? 设}20,,3,2,1{ =A ，A 上的关系R 如下： ))}5(mod ()()(,{y x A y A x y x R ≡∧∈∧∈><=， （1）证明：R 是A 上的等价关系； （2）求：A 上对应于R 的划分。 解题要点：（1）分别说明R 的自反性、对称性和传递性。 （2）{{1,6,11,16}，{2,7,12,17}，{3,8,13,18}，{4,9,14,19}，{5,10,15,20}} 详细解答：(1) k y x y x R y x 5)5(mod ,=-?≡?>∈<(k 为整数) R 的自反性：任意A x ∈，05?=-x x ，所以R x x >∈<,； R 的对称性：任意A y x ∈,，若R y x >∈<,则)(55k x y k y x -?=-??=-， 所以，R x y >∈<, R 的传递性：任意A z y x ∈,,，若R z y R y x >∈<>∈<,,且， 有)(5)()(552121k k z y y x z x k z y k y x +?=-+-=-??=-?=-且 所以，R z x >∈<,。 即R 是A 上的等价关系。 （2） }16,11,6,1{]1[=R ，}17,12,7,2{]2[=R ，}18,13,8,3{]3[=R ， }19,14,9,4{]4[=R ，}20,15,10,5{]5[=R 。 所以，}]5[,]4[,]3[,]2[,]1{[/R R R R R R A =。 ? 设}6,5,4,3,2,1{=A ，R 为A 上的关系，R 的关系图如下图所示， （1） 求32,R R 的集合表达式； （2） 求)(),(),(R t R s R r 的集合表达式。 解：（1）}5,3,1,3,3,3{2><><><=R ， }5,3,1,3,3,3{3><><><=R （2）}6,6,5,55,4,4,4,1,3,3,3,5,2,2,2,5,1,1,1{)(><>><<><><><><><><><=R r }4,5,5,4,3,1,1,3,3,3,2,5,5,2,1,5,5,1{)(><><><><><><><><><=R s }5,4,5,3,1,3,3,3,5,2,5,1{)(><><><><><><=R t 设集合A ＝{1, 2, 3}，R 和S 是A 上的两个关系，它们的关系矩阵为： 110111111001.101000R S M M ????????==???????????? (1) 写出关系R 和S 的集合表达式，(2) 画出R 和S 的关系图，(3) 说明R 和 S 满足关系的哪些特性. 解：(1) R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3)}; S = {1,1),(1,2),(2,3),(1,3)} (2) R 和S 的关系图：（2分） (3) R 满足自反性；S 满足反对称性、传递性。 6 上界：无，上确界：无 证明 ? 设R 是集合A 上的二元关系，试证明R 是反对称的当且仅当A I R R ?1- ． 证明：（1）R 是反对称的?A C I R R ? ，假定 ∈R c ? 即A C I R R ? （2）A C I R R ? ?R 是反对称的，若A C I R R ? ，设 则 ? 如果集合A 上的关系R 和S 是自反的、对称的和传递的，证明：S R ?是A 上的等价关系。 证明：（1）,,,,,,S a a R a a S R A a >∈<>∈<∈?∴自反 S R S R a a ??>∈<∴∴,,自反。 （2）A b a ∈?,，若S R b a ?>∈<,，则,,,,S b a R b a >∈<>∈< 由R ，S 对称，所以，,,,,S a b R a b >∈<>∈< S R a b ?>∈<∴,， 所以 S R ?对称。 ? 设A={1,2,3,4,5},A 上偏序关系 R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4， 5〉}∪I A ; (1)作出偏序关系R 的哈斯图 (2)令B={1,2,3,5}，求B 的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界， 下确界。 答：(1)偏序关系R 的哈斯图为 (2)B 的最大元：无，最小元：无； 极大元：2，5，极小元：1，3 下界：4， 下确界4； （3）A c b a ∈?,,，若,,,,S R c b S R b a ?>∈∈< 则,,,,S b a R b a >∈<>∈<,,,,S c b R c b >∈<>∈< 由R ，S 传递性知，,,,,S c a R c a >∈<>∈<从而,,S R c a ?>∈< 所以，S R ?传递。 综上所述，S R ?是A 上的等价关系。 图论部分 选择、填空及判断 ? 无向完全图K 4是（ B ）. (A) 欧拉图； (B) 哈密顿图； (C) 树； (D) 非平面图。 ? 下列编码是前缀码的是( C ) A. {1,11,101} B. {1,001,0011} C. {1,01,001,000} D.{0,00,000} ? 设T 为n 阶无向树，T 有几条割边？( C ) A. n 条 B. n-2条 C. n-1条 D. 没有 ? 具有4个结点的非同构的无向树的数目是（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ? 下列编码是前缀码的是( B ) A. {0,11,1101} B. {1,01,0011} C. {1,0,01,000} D.{0,00,000} ? 如下图所示各图，其中存在哈密顿回路的图是 ( C )。 ? ? 设A(G)是有向图G=〈V ，E 〉的邻接矩阵，其第i 行中“1”的数目为（ B ）。 (A) 顶点 i v 的度数； (B) 顶点i v 的出度； (C) 顶点i v 的入度； (D) 顶点j v 的度数。 ? n 阶m 条边的无向连通图G ，对应它的生成树T 有( A )条边。 (A) n-1 (B) 1+-n m (C) m-1 (D) m-n-1 ? 有向图D 如图所示，D 中长度为2的通路有( D )条。 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 ? 设连通图G 有8个顶点，12条边，则G 的任意一颗生成树的总边数为 ( A ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ? 关于无向完全图K 5的命题中，哪个（或哪些）是真命题？( D ) ⅠG 中存在欧拉回路 ⅡG 中存在哈密顿回路 A. 均不是 B. 只有Ⅰ C. 只有Ⅱ D.Ⅰ和Ⅱ ? 设仅包含根结点的二叉树的高度为0，则高度为K 的二叉树的最大结点数为 ( C ) A. 2k+1 B. 2k+1 +1 C. 2k+1 -1 D. 2k +1 ? 下面给出的四个图中，哪个不是Hamilton 图（ D ）． ? 给定无向图,G V E =<>如本题图所示，下面哪个边集不是其边割集？( B ) A. 14(,)v v ,34(,)v v B. 14(,)v v ,46(,)v v C. 47(,)v v ,48(,)v v D. 12(,)v v ,23(,)v v ? 一个3阶有向图的度数列是2，2，4，入度数列是2，0，2，出度数列是 0， 2，2 。 ? 在下图中，用避圈法构造最小生成树，边的加入顺序是 AE,BC,ED,DC 。 A B C D 24 图 ? 无向图G 有11条边，4个3度结点，其余结点均为5度结点，则G 的结点数 为 6 。 ? 已知n 个结点的无向简单图G 有m 条边，则G 的补图中有 n(n-1)/2-m 条边。 ? 无向图G 含有欧拉回路的充要条件是 连通且每个结点都是偶结点 。 ? 无向图G 含有欧拉通路的充要条件是 连通且有且仅有两个奇结点 。 ? 无向图G 的结点数n 与边数m 相等，2度和3度结点各2个，其余结点为悬 挂点，则G 的边数m = 6 。 ? 在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和与第j 列元素之和分别 为 结点v i 的出度与结点v j 的入度 ? 设T 是各边带权均为a 的n 阶带权图的一棵最小生成树，则=)(T W a n )1(-。 ? n 阶m 条边的无向连通图G ，对应它的生成树T 有1--n m 个基本回路。 ( × ) ? 图的邻接矩阵必为对称矩阵。 ( × ) ? 当5n ≥时,有n 个结点的完全图n K 都不是欧拉图。 ( × ) ? 欧拉图中一定不存在桥；哈密顿图中一定存在割点。 ( × ) ? 有向图是强连通的，则它一定是单向连通的，也弱连通的。 （ √ ) ? 哈密顿图中存在经过图中每个顶点一次且仅一次的回路。 ( √ ) ? 无向图G 必存在生成树。 ( × ) ? 有割点的连通图可能是哈密尔顿图。 ( × ) ? 一个n 阶无向图G 是二部图当且仅当G 中无奇圈。 ( √ ) 计算 ? 已知无向简单图G 有9个结点，每个结点的度数不是5就是6（注：不存在 全为6度的情况）。试讨论G 的结点度数分配情况。 解题要点：由握手定理的推论知：5度结点只能是偶数个， 故度数分配情况有以下4种： （1）2个5度结点，7个6度结点； （2）4个5度结点，5个6度结点； （3）6个5度结点，3个6度结点； （4）8个5度结点，1个6度结点； ? 有向图G 如图1所示，问： （1）图中v4到v3长度为2，3的路各有几条？ （2）图中v1到v1长度为3的回路有几条？ （3）该有向图是哪类连通图？ 答案：（1）2，2 （2）2 （3）强连通图 ? 设有向图D 如图所示，试用邻接矩阵求出求D 中长度为2的通路数，并指出 其中的回路数，并判断此图属于哪种连通类型。 解：邻接矩阵210001000201030011001201010102001A A ????????????==???????????? D 中长度为2的通路为11条，其中有3条是回路 。该图是单向连通图，同时也是弱连通图。 ? 在通信中要传输字母a,b,c,d,e,f,g ，它们出现的频率分别为30%,20%,15%,10%,10%,9%,6%。设计一个传输它们的最优前缀码，并求传输100个按上述频率出现的字母所需二进制数字个数。 解题要点：以传输频率为树叶的权求最优树并分别对应前缀码即可。且传100个字母所需二进制数字个数为W （T ）=265。 ? 今有煤气站A ，将给一居民区供应煤气，居民区各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。 解：该问题相当于求图的最小生成树问题，此图的最小生成树为： 因此如图铺设煤气管道所需费用最小，最小费用为： Ｗ（Ｔ）＝2＋2＋2＋2＋2＋2＋2+3＋3+4+1＝25． 世界上六大城市之间的航线距离表如下：(以100英里为一个单位) 伦敦墨西哥纽约巴黎北京东京伦敦 / 55 34 2 50 59 墨西哥 55 / 20 57 70 77 纽约 34 20 / 36 68 67 巴黎 2 57 36 / 51 60 北京 50 77 68 51 / 13 东京 59 70 67 60 13 / 求出连接此六个城市的最短距离的航线网。(要求给出求解过程) 图1 解题要点： (1) 首先将本题用带权图表示(见图1)。 (2) 求解此题变成为求带权图中的最小生成树问题。如选择克鲁斯卡尔算法， 可给出如图2所示的代表最短距离的航线网。 东京 伦敦 13 50 34 北京 2 墨西哥 20 巴黎 纽约 图2 ? 利用Huffman 算法,求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优二叉树。 解答：简述Haffman 算法，最优二叉树如图，W(T)=38. 证明 ? 若图G 的邻接矩阵为A=????? ???????0001101111000010，试证明图G 是强连通图。 证明： 方法一：由图G 的邻接矩阵画出图G 的示意图，说明图中存在经过每个顶点至少一次的回路，从而证明图G 是强连通图。 方法二：由A ，求出A 2, A 3, A 4,进而求出可达矩阵P ，也可证明图G 是强连通图。 ? 今有6名学生要去完成3个实验，已知他们中的任何人至少与其余5个人中的三个人相互合作。问能否将他们分成三个小组，每组两个人能相互合作，分别去完成3个实验。 解答：作无向图G= 代数结构部分 选择、填空及判断 ? 设A = {1 , 2 , …, 10 },下面（ D ）运算对集合A 不封闭。 (A) ),max(b a b a =*； (B) ),min(b a b a =*； (C) =*b a a 和b 的最大公约数； (D) =*b a a 和b 的最小公倍数。 ? 以下四个命题，其中不正确的是（ C ）。 (A) 循环群是Abel 群； (B) 循环群有有限多个生成元； (C) 无限循环群的子群都是无限循环群； (D) n 阶循环群有唯一的d 阶子群，其中d 是n 的正因子。 ? 六阶群的子群的阶数可以是（ D ）。 (A) 1,2,5 (B) 2,4 (C) 3,5,6 (D) 2,3 ? 下列不是klein 四元群的子群的是( B )。 (A) {e} (B) {e,a,b} (C) {e,a} (D) {e,b} ? 设Z 为整数集合， 为Z 上的二元运算，3-+=y x y x ，则Z 关于 运算构成群，已知45=x ，则=x _2____。 ? 循环群一定是Abel 群。 ( √ ) ? 群中除了幺元以外,任何其它元素都不可能是幂等元。 ( √ ) ? 设G 是有限群，H 是G 的子群，则|H|是|G|的因子。( √ ) 计算 ? 设A={e,a,b,c},在A 上定义二元运算*见表一。 (1) 找出的幺元和等幂元; (2) 求每个元素的逆元; (3) 证明是群; (4) 是循环群吗？简述理由。 表1 A 上的*运算的运算表 解答：(1) 幺元和等幂元都是e ； (2) 每个元素的逆元都是其自己； (3) ：运算封闭，满足结合性，幺元为e,每个元素都有逆元，逆元是自己。 (4)该代数系统不是循环群。e 的阶为1;a,b,c 的阶为2；无4阶元。 证明 ? 在整数集合Z 上定义如下的乘法运算“ ”：2a b a b =++ ，证明>< ,Z 构成一个阿贝尔群。 证明：（1）运算封闭且满足结合律 （2）幺元是2- （3）每个元素a 的逆元是14a a -=-- （4）满足交换律，它作成一个可换群（或Abel 群）。 ? 设(A,*)是群(B,*)的子群，定义}**,|{C 1A x A x B x x =∈=-。试证明(C,*)是(B,*)的子群。 证明：先证C 是非空。设群(B,*)的单位元是e,则e 也是(A,*)的单位元。因为e*A*e -1=A ，所有，e ∈A. 再证任取a,b ∈C,a*b -1∈C. 由a,b ∈C,有a *A*a -1=A ，b*A*b -1=A ，b -1*A* b =A 。所以，a* b -1*A* b *a -1=A ，即(a* b -1)*A*( a *b -1)-1=A ，所以(a* b -1) ∈C 。 由子群判断定理二知，(C,*)是(B,*)的子群。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的） 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每 一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故 G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G= 数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021 离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={离散数学作业答案
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