含参量反常积分一致收敛性的判别法资料

含参量反常积分一致收敛的判别法

王 明 星

（德州学院数学科学学院,山东德州 253023）

摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.

关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法

含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.

1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念

1.1 含参量无穷限反常积分

设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分

(,)c

f x y dy +∞

?

都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有

()(,)c

I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈

称(,)c

f x y dy +∞?

为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分.

1.2 含参量无穷限反常积分收敛

若含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞?

与函数()I x 对每一个固定的

[],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有

(,)()M

c

f x y dy I x ε-

,

即

(,)M

f x y dy ε+∞

,

则称含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞?

在[],a b 上收敛于()I x .

1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛

若含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞?

与函数()I x 对任给的正数ε,存在某

一实数N c >,使得M N >时,对一切[],x a b ∈,都有 (,)()M

c

f x y dy I x ε-

即

(,)M

f x y dy ε+∞

,

则称含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞?

在[],a b 上一致收敛于()I x .

1.4 含参量无穷限反常积分非一致收敛

若含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞?

与函数()I x ,总存在正数0ε,对任意

给定的实数N c >,总存在M N >及[]0,x a b ∈,使得 000(,)()M

c

f x y dy I x ε-≥?

,

即

00(,)M

f x y dy ε+∞

≥?

,

则称含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞

?

在[],a b 上非一致收敛于()I x .

2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法

2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性

用定义证一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ,方法常常是采取适当放大的方法.

例1 证明 无穷积分dx ye xy ?+∞

-0在区间[),a +∞()0a >一致收敛,而在()0,+∞上

非一致收敛.

证明 Ay Ay

t A

xy e dt e xy t dx ye y -+∞

-+∞

-==+∞∈???令),,0(,对0ε?>,取y

A ε1

ln

0=,

则0A A >?,有

0A y xy Ay A

ye dx e e ε+∞

---=<

,

因此,dx ye A

xy ?+∞

-在（0,+∞）是收敛的.

根据定义4,要想证明

dx ye

A

xy

?+∞

-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的,只需取

0ε=

e 21,,0>?A 取),0(21,2''+∞∈=>=A

y A A A ,则

01

''

''

ε>==--+∞

-?e e dx e y y A A

xy . 但dx ye A

xy ?+∞

-在),[+∞a 一致收敛（其中0a >）,,取a

A ε1

ln

0=

,当0

A A >时,对一切

[)+∞∈,a y ,有

ε=<=--+∞

-?a A Ay

A

xy e e dx ye 0. 所以,dx ye A

xy ?+∞

-在),[+∞∈a y （其中0>a ）上一致收敛.

2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性

定理1（柯西准则）反常积分

dx y x f a

?+∞

),(在区间[]()d c y I ,∈一致收敛

0ε??>,00A ?>,10A A ?>与20A A >,y I ?∈,

ε

1

),(A A dx y x f .

例2 证明 若(),f x y 在[][),,a b c ?+∞上连续,又

(),c

f x y dy +∞

?

在[),a b 上收敛,但在x b =处发散,则

(),c

f x y dy +∞?

在[),a b 上不一致收敛.

证 用反证法.假若积分在[),a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当1A ,2A M >时对一切[),x a b ∈恒有

()2

1

,A A f x y dy ε

.

由假设(),f x y 在[][]12,,a b A A ?上连续,所以()21

,A A f x y dy ?是x 的连续函数.在上

面不等式中令x b →,得到当21A A M >>时,

()2

1

,A A f b y dy ε≤?

.

而ε是任给的,因此(),c

f x y dy +∞?

在x b =处收敛,这与假设矛盾.所以积分

(),c

f x y dy +∞

?

在[),a b 上不一致收敛.

2.3 用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性

定理2（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()g y ,使得

()(),f x y g y ≤,a x b ≤≤,c y ≤<+∞

若

()c

g y dy +∞

?

收敛,则反常积分

(,)c

f x y dy +∞

?

在区间[],a b 一致收敛.

例3 证明含参量反常积分()

320

cos a u t

e

tdt +∞

-+?,0a >在[)0,u ∈+∞上一致收敛.

证 对于任何()[)[),0,0,u t ∈+∞?+∞,有

(

)322cos a u t

at e

t e -+-≤

而20

at e dt +∞

-?在0a >时收敛,故由维尔斯特拉斯判别法知

()

320

cos a u t

e

tdt +∞

-+?

在[)0,u ∈+∞上一致收敛.

使用维尔斯特拉斯判别法,关键在于将被积函数的绝对值(,)f x u 适当地放大,以找出函数()F x （优函数）,使

()(,)(),f x u F x x a u I ≤?≥?∈

且

()?+∞

a

dx x F

收敛,则

()?+∞

a

dx u x f ,

关于u 在I 上一致收敛.

2.4 利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性

维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况,有如下定理

定理3 若函数),(y x f 在区间)0(),,(>∈+∞<≤a I y x a D 连续,且

dt y t f y x F x

a

?=),(),(

在D 有界,即,),(,0D y x C ∈?>?都有

C dt y t f y x F x

a

≤=?),(),(,

则当0>λ时,反常积分

dx x

y x f a

?

+∞

λ

)

,(

在区间I 一致收敛.

分析 )i dt y t f y x F x

a

?=),(),(在D 有界)

ii 1

x

λ在0>λ时是单调递减的,明显的满足狄利克雷判别法的条件.

证 )i 由已知

dt y t f y x F x

a

?=),(),(

在D 有界,即(),,C O x y D ?>?∈,都有

C dt y t f y x F x

a

≤=

?),(),(.

)ii 对每一个y I ∈,

1x λ关于x 是单调递减且当x →+∞时,对参变量y

,1

x λ

一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分

dx x y x f a

?

+∞

λ

)

,( 在区间I 一致收敛.

例4 证明反常积分

dx x

x

e xy sin 0

?+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.

证 由题可知tdt e y x F x

yt sin ),(1

?-=,)0,1(),(+∞<≤+∞<≤∈?y x D y x 从而有

)(01)1(2),(2

+∞→→++≤

-y e y

y y x F y

, 而1

sin yt e tdt -?是定积分,必然有界.即存在C ,(),x y D ?∈有

sin x

yt e tdt C -≤? 又10λ=>,则由定理3可知反常积分

dx x

x

e xy sin 0

?+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.

2.5 用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性

在知道反常积分dx y x f a

?+∞

),(关于y 在区间I 上的收敛值()y ?时,可应用下述

定理

定理4 含参量反常积分

dx y x f a

?+∞

),(

关于y 在区间I 上一致收敛于()y ?的充要条件是

0)(),(sup lim =??

?

???????-?∈+∞→ξξφa I

y y dx y x f . (1)

证 [必要性] 若

dx y x f a

?+∞

),(

关于y 在区间I 上一致收敛于()y ?,则对任给的正数ε,存在不依赖于x 的正整数

N ,当n N >时,有

()(),a

f x y dx y ?ε+∞

-

由上确界的定义,亦有

()()sup

,y I

a

f x y dx y ?ε+∞

∈-≤?.

这就证明了(1)式成立.

[充分性] 由假设,对任给的0ε>,存在正整数N ,使得当n N >时,有

()()sup

,y I

a

f x y dx y ?ε+∞

∈-

因为对一切y I ∈,总有

()()()(),sup ,y I

a

a

f x y dx y f x y dx y ??+∞

+∞

∈-≤-??.

故由（2）式得

()(),a

f x y dx y ?ε+∞

-

于是

dx y x f a

?+∞

),(

关于y 在区间I 上一致收敛于()y ?.

例 5 证明反常积分

dx y

x y

?+∞

+0221关于y 在)0(),,[>+∞c c 上的一致收敛性和),0(+∞内的非一致收敛性.

解 显然

dx y

x y

?+∞

+0221关于y 在),0(+∞内收敛于2π （事实上22

lim 1A

A y dx x y →∞+?

=()

0lim arctan A

A xy →∞∣=()lim arctan arctan 0A Ay →∞-=2π）. ??

?

???????-+?≥+∞→ξξπ02221sup lim dx y x y c y =???

???-≥+∞→ξπξy c y arctan 2sup lim

=0)arctan 2

(

lim =-+∞

→ξπ

ξc ,

而

??

?

?????

??-+?>+∞→ξξπ0

22021sup lim dx y x y y =???

???->+∞→ξπξy y arctan 2sup lim 0

=2

2

lim

π

π

ξ=

+∞

→.

由定理4,得

dx y

x y

?+∞

+0221 关于y 在),[+∞c ,()0c >上一致收敛于

2

π

,在),0(+∞内非一致收敛. 定理 5 含参量反常积分

dx y x f a

?+∞

),(

关于y 在区间I 上一致收敛于)(y φ的充要条件是：对任意

{}[):,+∞∈a n ξ{}),2,1(:,lim =∈?+∞=∞

→n I y I y n n n n ξ,都有 0)(),(lim

=-?+∞

→n

a

n n

n y dx y

x f ξφ.

例6 试证

dx y x y

?+∞

+12)

(关于y 在),0(+∞内非一致收敛. 证明 显然

dx y x y

?+∞

+12)

( 关于y 在),0(+∞内收敛于

y

y

+1.取),,2,1(, ===n n y n n n ξ那么就有),,2,1)(,0(,lim =+∞∈+∞=+∞

→n y n n n ξ但是

21

21lim lim 1)(lim

1

2==+=+-+∞→∞→∞→?n n n n n n n n n n y y y y dx y x y n

ξξ

由定理5,

()

dx y x y

?+∞

+1

2

关于y 在()+∞,0内非一致收敛.

2.6 用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性

定理6 （狄利克雷判别法）设 )i 对一切实数0>N ,含参变量反常积分

()?N

c

dx y x f ,

对参变量y 在[]b a ,上一致有界,即存在正数M ,对一切c N >及一切[]b a y ,∈,都有

()M dx y x f N

c

≤?,；

)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,关于x 是单调递减且当+∞→x 时,对参变量y ,()y x g ,一致地收敛于0,

则含参变量反常积分

()()dx y x g y x f c

,,?+∞

在[]b a ,上一致收敛.

例7 对于()0,1a ?∈,讨论含参量反常积分

sin 10

a x x

dx x +∞

+?

的一致收敛性.

解 )i 对于0A ?>,都有

sin 2A

xdx ≤?

.

)ii 因为

()()'

1

2101010a x a x x x x x -=+-????

++?? ???

,当101a

x a

>

-时,'

010x x <+?? ???

,即10a

x x +在10,1a a ??+∞ ?-??

上单调递减,并且lim 010a

x x x →+∞

=+.因此由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分

101sin 10

a a a

x x

dx x +∞

-+?

对()0,1a ?∈是一致收敛的.而在100,1a a ??

??-??上是定积分,必收敛,则对()0,1a ?∈是一致收敛的. 所以含参量反常积分

sin 10

a x x

dx x +∞

+?

对()0,1a ?∈是一致收敛的.

2.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性

定理7 （阿贝尔判别法）设

)

i ()dx y x f c

?+∞

,在[]b a ,上一致收敛;

)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,为x 的单调函数,且对参变量y ,()y x g ,在

[]b a ,上一致有界,

则含参变量反常积分

()()?+∞

c

dx y x g y x f ,,

在[]b a ,上一致收敛.

例8 证明含参变量反常积分

dx x

x

e xy sin 0

?+∞- 在[]d ,0上一致收敛.

证明 由于反常积分

dx x x

?+∞

sin 收敛,（当然,对于参变量y ,它在[]d ,0一致收敛）,函数()xy e y x g -=,对每一个

[]d x ,0∈单调,且对任何d y ≤≤0,0≥x ,都有

()1,≤=-xy e y x g ,

故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分

dx x

x

e xy

?+∞-0

sin

在[]d ,0上一致收敛.

推论 1 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞?上,且对y 的偏导数

(,)y f x y 存在.若下列条件满足

1）对每一个[],y c d ∈,反常积分

(),a

f x y dx +∞

?

收敛；

2）存在常数0M >,使得对任意0b >及所有的[],y c d ∈,恒有 (),b

y a

f x y dx M ≤?

,

即

(),b

y a

f x y dx ?

关于b 及[],y c d ∈一致有界.

则含参量反常积分

(),a

f x y dx +∞

?

在[],c d 上一致收敛.

证明 由于[],c d 为有限闭区间.根据有限覆盖定理,对任给的0ε>,一定存在有限个点011n n c y y y y d -=<

,,n i i i c d y y -==且1i i y y ε--<.

由于反常积分

(),a

f x y dx +∞

?

收敛,于是对任给的()1,2,,i y i n =???,都存在()0,i A y ε,使得对任给的

()10,,i A A A y ε>有

()1

,,1,2,,A i A

f x y dx i n ε<=????

（3）

另一方面,对任意的[],y c d ∈,一定存在一点i y ,使得i y y ε-<.令

(){}

00max ,,1,2,,i A A y i n ε==???,则0A 只与ε有关.同时对任意的10

,A A A >,式

（3）必然成立.于是根据微分学中值定理及式（3）有

()1

,A A

f x y dx

?

()()()()1

,,,A i

i

A

f x y f x y f x y dx =

-+?

()()()()1

1

,,,A A i i A A

f x y f x y dx f x y dx ≤-+

?

?

()()()1

1

,,A A y i i A

A

f x y y dx f x y dx ξ=

-+

?

?

()()()1

,,21A

A y y i a

a

f x dx f x dx y y M ξξεε??≤+

-+≤+

???

?

?

即含参量反常积分

(),a

f x y dx +∞

?

在[],c d 上一致收敛.

如果将推论1中的条件1）变弱,则条件2）会变强.得如下推论

推论 2 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞?上,且关于[],y c d ∈可微.若满足如下条件

1）存在一点[]0,y c d ∈,使得反常积分

()0,a

f x y dx +∞

?

收敛；

2）反常积分

(),y a

f x y dx +∞

?

于[],y c d ∈一致收敛. 则含参量反常积分

(),a

f x y dx +∞

?

在[],c d 上一致收敛.

例9 判断含参量反常积分

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习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有

函数项级数一致收敛的判别

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页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21<

=p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤

p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛；

函数项级数一致收敛的判定开题报告

一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M 判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()n u x 一致收敛性的判别法，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。 基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。

反常积分的收敛判别法

反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛；

2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.

正项数收敛判别方法

数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法

摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足

习题8.2反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21<

无穷积分的性质与收敛判别法

§2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-

函数项级数一致收敛性的判别法

函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数.

反常积分的敛散性判定方法

内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分

目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10.

函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用

函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）

含参量反常积分一致收敛性的判别法资料

含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-

反常积分

第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议：

讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为

广义积分的收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη<

一致收敛判别法总结

学年论文 题目：一致收敛判别法总结 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：张学玉 学号：201071010374 指导教师：陶菊春

一致收敛判别法总结 学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春 摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。 Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysis of the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics. 关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法 Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion 引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。初学者需用灵活的思维以便在使用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。 一、定义 设(){}x S n 是函数项级数()x u n ∑的部分和函数列.若(){}x S n 在数集D 上一致收敛于函数()x S ，则称函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛于函数()x S ，或称函数项级数 ()x u n ∑在D 上一致收敛. 定理：若对?n ，?n a >0使得()()n n a x S x S ≤-()D x ∈?,并且当∞→n 时有 0→n a .则当∞→n 时()x S n 一致收敛于()x S . 例1：若()x f n 在[]b a ,上可积， ,2,1=n ，且()x f 与()x g 在[]b a ,上都可积

无穷积分的性质与收敛判别法

§2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 & 定理 无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 2 1 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-

函数项级数一致收敛性判别法及其应用

函数项级数一致收敛性判别法及其应用 数学科学学院08级蒙班 包艳玲 20082115054 指导老师 苏雅拉图 摘 要：本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法，并通过例题给出了它的应用. 关键词：一致收敛，函数项级数，和函数. 下面我要给出函数项级数的一致收敛性的定义 定义 设给定函数项级数∑∞ =1 )(k k x u ，如果它的部分和序列= )(x S n ∑=π 1 )(k k x u 在 区间I 一致收敛到和函数)(x S ;那么称级数∑∞ =1 )(k k x u 在区间I 一致收敛到和函数 )(x S , 即用N -ε语言来叙述，函数项级数∑∞ =1 )(k k x u 在区间I 一致收敛到)(x S ，是指对 任给的0>ε，存在于x 无关的N ，只要N n >就有 ε<-= -∑=n k k n x S x u x S x S 1 )()()()( 对一切I x ∈一直成立. 例1 证明函数项级数∑∞ =-1 1k k x 在??? ???-21,21一致收敛. 证明 已知∑∞ =-1 1 k k x =x x n --11，?? ? ???-∈21,21x 时 x x x x S n n k k n --= =∑=-11)(1 1 ε<≤-≤-=--12111)()(n n n n x x x x x S x S ；??? ???-∈21,21x 时取121ln ln +????? ? ??????=εN 则只要N n >，就有ε<-)()(x S x S n ；??? ???-∈21,21x ， ∑∞ =-1 1 k k x 在??????-21,21一致收敛.

反常积分的敛散性判定方法

反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级 2012级 学号 2 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩 75分

目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言 --------------------------------------------------------------------- -------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别

法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性

数列收敛判别法

学士学位毕业论文设计 数列收敛的判别法 所在系别：数学与应用数学系 专业：数学与应用数学

目录 中文摘要--------------------------------------------------------------------I 英文摘要-------------------------------------------------------------------II 前言------------------------------------------------------------------III 第一章数列极限的概念--------------------------------------------------------1 1.1 数列极限的定义-------------------------------------------------------1 1.2 收敛数列的定义-------------------------------------------------------2第二章判别数列收敛的方法----------------------------------------------------3 2.1 定义法---------------------------------------------------------------3 2.2 单调有界定理---------------------------------------------------------6 2.3 迫敛性定理-----------------------------------------------------------8 2.4 柯西收敛准则---------------------------------------------------------9 2.5 关于子列的重要定理--------------------------------------------------12参考文献-------------------------------------------------------------------14致谢-----------------------------------------------------------------------15