7^^ = n 1 1 1 —— --- = -------- n n +1 n(n +1) (4) 2( J n +1 - >/n)= 1 1 11,^ ----- ,一 < ---- b b+m b b 1 “1 + 1 . . 1 n! 2 22 2n 」 1 1 1 1 + …c 1 +(1 —一) +(— 一一) n 2 2 3 + 1 3! 1 (7) (8) =2(V n - J n -1) J 2! 1 + — + — 22 32 1 1 1 --)(因为—< -------------- ) n n (n-1) n 丄+丄+丄1 n +1 n +2 n +3 或丄十丄十丄 n +1 n +2 n +3 1 +丄+丄+…+丄 …亠丄 2n n +1 ,丄」 2n A 丄+丄+… 需T n +丄 n +1 十丄+ 2n 2n ?+丄 T n "丄 n +1 2n —<1 n +1 _ n _ 1 —2n — 2 -n = V n 等等。 v n 三?常见题型 (一).先求和再放缩: 1?设 s, =! + 1+ 丄+■- + 2 6 12 n(n+1) 1 ,求证:Si <1 1 M 2 .设0=— ( n 匸N ),数列{b n b n^}的前n 项和为T n ,求证: n
高考数学专题训练 数学归纳法
数学归纳法 注意事项:1.考察内容:数学归纳法 2.题目难度:中等难度 3.题型方面:10道选择,4道填空,4道解答。 4.参考答案:有详细答案 5.资源类型:试题/课后练习/单元测试 一、选择题 1.用数学归纳法证明“)1 2...(312))...(2)(1(-???=+++n n n n n n ”从k 到1+k 左端需增乘 的代数式为 ( ) A .12+k B .)12(2+k C . 112++k k D .1 3 2++k k 2.凸n 边形有()f n 条对角线,则凸1n +边形的对角线的条数(1)f n +为( ) A .()1f n n ++ B .()f n n + C .()1f n n +- D .()2f n n +- 3.已知 11 1 ()()12 31 f n n n n n *= +++ ∈++-N ,则(1)f k +=( ) A .1 ()3(1)1 f k k + ++ B .1 ()32f k k + + C .1111 ()3233341f k k k k k +++- ++++ D .11 ()341 f k k k +- ++ 4.如果命题()p n 对n k =成立,那么它对2n k =+也成立,又若()p n 对2n =成立,则下列 结论正确的是( ) A .()p n 对所有自然数n 成立 B .()p n 对所有正偶数n 成立 C .()p n 对所有正奇数n 成立 D .()p n 对所有大于1的自然数n 成立 5.用数学归纳法证明,“当n 为正奇数时,n n x y +能被x y + 整除”时,第二步归纳假设应写 成( ) A .假设21()n k k * =+∈N 时正确,再推证23n k =+正确
数学归纳法知识点大全
数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学竞赛中占有很重要的地位. (1)第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果 ① 0n n =(N n ∈01.数学归纳法的基本形式)时,)(n P 成立; ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立,由此推得1+=k n 时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数0n n ≥时,)(n P 成立. (2)第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当0n n =(N n ∈0)时,)(n P 成立; ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立,由此推得1+=k n 时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数0n n ≥时,)(n P 成立. 2.数学归纳法的其他形式 (1)跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时,)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立,
②假设k n =时)(k P 成立,由此推得l k n +=时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数1≥n 时,)(n P 成立. (2)反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果 ① )(n P 对无限多个正整数n 成立; ②假设k n =时,命题)(k P 成立,则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立,那么根据①②对一切正整数1≥n 时,)(n P 成立. 例如,用数学归纳法证明: 为非负实数,有 在证明中,由 真,不易证出 真;然而却很容易证出 真,又容易证明不等式对无穷多个 (只要 型的自然数)为真;从而证明 ,不等式成立. (3)螺旋式归纳法 P (n ),Q (n )为两个与自然数 有关的命题,假如 ①P(n0)成立; ②假设 P(k) (k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立; 综合(1)(2),对于一切自然数n (>n0),P(n),Q(n)都成立;
选修4-5学案§4.1.1数学归纳法证明不等式
选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式 姓名 ☆学习目标:1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2. 会运用数学归纳法证明不等式 重点:应用数学归纳法证明不等式. ?知识情景: 关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性: 10. 验证n 取 时命题 ( 即n =n 时命题成立) (归纳奠基) ; 20. 假设当 时命题成立,证明当n=k +1时命题 (归纳递推). 30. 由10、20知,对于一切n ≥n 的自然数n 命题 !(结论) 要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 . ☆ 数学归纳法的应用: 例1. 用数学归纳法证明不等式sin sin n n θθ≤. 例2已知x > -1,且x ≠0,n ∈N*,n ≥2.求证:(1+x )n >1+nx .
例3 证明: 如果(n n 为正整数)个正数12,,,n a a a 的乘积121n a a a = , 那么它们的和12n a a a n +++ ≥. 例4 证明:2 2 2 111112(,2).2 3 ≥n N n n n + + +?+ <- ∈
例5.当2n ≥时,求证:1 + +++ > 选修4-5练习 §4.1.1数学归纳法证明不等式(1) 姓名 1、已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n),则最大的m 的 值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 2、.观察下列式子:2 2 2 2 2 1311511171, 1, 1222 3 32 3 4 4 + < + +< + ++<
高中数学 数学归纳法
13.4 数学归纳法 一、填空题 1.用数学归纳法证明1+12+13…+1 2n -1<n (n ∈N ,且n >1),第一步要证的不 等式是________. 解析 n =2时,左边=1+12+122-1=1+12+1 3,右边=2. 答案 1+12+1 3<2 2.用数学归纳法证明: 121×3+223×5+…+n 2(2n -1)(2n +1)=n(n +1)2(2n +1);当推证当n =k +1等式也成立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n =k +1时,121×3+223×5+…+k 2(2k -1)(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3) =k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2 (2k +1)(2k +3) 故只需证明k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=(k +1)(k +2) 2(2k +3)即可. 答案 k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=(k +1)(k +2) 2(2k +3) 3.若f (n )=12+22+32+…+(2n )2,则f (k +1)与f (k )的递推关系式是________. 解析 ∵f (k )=12+22+…+(2k )2, ∴f (k +1)=12+22+…+(2k )2+(2k +1)2+(2k +2)2; ∴f (k +1)=f (k )+(2k +1)2+(2k +2)2. 答案 f (k +1)=f (k )+(2k +1)2+(2k +2)23.若存在正整数m ,使得f (n )= (2n -7)3n +9(n ∈N *)能被m 整除,则m =________. 解析 f (1)=-6,f (2)=-18,f (3)=-18,猜想:m =-6. 答案 6 4.用数学归纳法证明“n 3+(n +1)3+(n +2)3(n ∈N *)能被9整除”,要利用归纳
数学归纳法
数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立. (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.7 易误提醒运用数学归纳法应注意: (1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合适的起始值. (2)由n=k时命题成立,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法. 1.利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项? 剖析:(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步,即n=k+1时命题为什么成立?n=k+1时命题成立是利用假设n=k时命题成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的,而不是直接代入,否则n=k+1时命题成立也成假设了,命题并没有得到证明. (2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析. 2.运用数学归纳法时易犯的错误有哪些? 剖析:(1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错. (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了. (3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步,也是证明问题中最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性.
【自主练习】 1.已知f (n )=1n +1n +1+1n +2+…+1 n 2,则( ) A .f (n )中共有n 项,当n =2时,f (2)=12+1 3 B .f (n )中共有n +1项,当n =2时,f (2)=12+13+1 4 C .f (n )中共有n 2-n 项,当n =2时,f (2)=12+1 3 D .f (n )中共有n 2-n +1项,当n =2时,f (2)=12+13+1 4 2.(2016·黄山质检)已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…+1 n +1= 2? ???1n +2+1n +4+…+12n 时,若已假设n =k (k ≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证n =( )时等式成立( ) A .k +1 B .k +2 C .2k +2 D .2(k +2)
人教A版选修4-5 4.2用数学归纳法证明不等式举例 学案
4.2 用数学归纳法证明不等式举例 学习目标 1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路. 2.会用数学归纳法证明贝努利不等式:(1+x )n >1+nx (x >-1,x ≠0,n 为大于1的自然数). 3.了解n 为实数时贝努利不等式也成立. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测,生生、师生交流讨论,纠正共性问题。 二、合作探究 思考探究 在应用贝努利不等式时应注意什么? 名师点拨: 1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解 当指数n 推广到任意实数α时,x >-1时, ①若0<α<1,则(1+x )α ≤1+αx . ②若α<0或α>1,则(1+x )α ≥1+αx . 当且仅当x =0时等号成立. 2.贝努利不等式的应用 贝努利不等式:如果x 是实数,且x >-1,x ≠0,n 为大于1的自然数,那么有(1+x )n >1+nx . 推论:当x 是实数,且x >-1,x ≠0,n 为不小于2的正整数时,有? ? ???1-x 1+x n >1-nx 1+x . 3.数学归纳法与其他方法的联系 数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与正整数有关的不等式,其他证明不等式的方法运用比较广泛,但在具体应用时,各自又有具体的要求,如反证法,必须有严格的格式(以否定结论入手,推出矛盾),分析法也有独特的表达格式,而数学归纳法必须分两步且在第二步中,要从假设出发推证n =k +1命题正确时,也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等. 4.用数学归纳法证明不等式时常用技巧
用数学归纳法证明与自然数有关的命题时,要注意初始值n 0的定位,要弄清楚n =k 和 n =k +1时的结论是什么,要有目标意识,紧盯n =k +1时的目标,对n =k +1时的结论进行 一系列的变化,变化的目标就是n =k +1时的结论形式,这种变化就是“凑假设,奔结论”.常用放缩法做辅助手段. 【例1】 求证:1n +1+1n +2+1n +3+…+13n >56 (n ≥2,n ∈N ). 【变式训练1】 用数学归纳法证明: 1+122+132+…+1n 2<2-1 n (n ≥2,n ∈N ). 【例2】 求证:当n ≥1(n ∈N )时,(1+2+…+n )? ????1+12+1 3+…+1n ≥n 2. 【变式训练2】 求证:1+12+13+…+1n ≥2n n +1(n ∈N +)
高考数学(人教a版,理科)题库:数学归纳法(含答案)
第3讲数学归纳法一、选择题 1. 利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=1-a n+2 1-a (a≠1,n∈N*)”时,在验 证n=1成立时,左边应该是( ) A 1 B 1+a C 1+a+a2 D 1+a+a2+a3 解析当n=1时,左边=1+a+a2,故选C. 答案 C 2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是().A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立 解析A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数. 答案 D 3.用数学归纳法证明1-1 2+ 1 3- 1 4+…+ 1 2n-1 - 1 2n= 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n,则 当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(). A.1 2k+2B.- 1 2k+2 C.1 2k+1- 1 2k+2 D. 1 2k+1 + 1 2k+2 解析∵当n=k时,左侧=1-1 2+ 1 3- 1 4+…+ 1 2k-1 - 1 2k,当n=k+1时, 左侧=1-1 2+ 1 3- 1 4+…+ 1 2k-1 - 1 2k+ 1 2k+1 - 1 2k+2 . 答案 C
4.对于不等式n2+n