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2019-2020学年上海市张江集团学校七年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年上海市张江集团学校七年级(上)期中数学试卷一、填空题(每个空2分,共36分)

1.如果多项式πx m+1+(n﹣2)x+35是关于x的二次二项式,则2m?3n=.

2.多项式(x2?3kxy?3y2)+(1

3

xy?8)中不含xy项,则常数k的值是.

3.已知a m=3,a n=5,则a3m+2n=.

4.若2x=4y﹣1,27y=3x+1,则x﹣y=.

5.分解因式5x2﹣28x+36=.

6.已知(19x﹣31)(13x﹣17)﹣(13x﹣17)(11x﹣23)可因式分解成(ax+b)(8x+c),其中常数a,b,c均为整数,则a+b+c=.

7.已知m,n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0,则m+n=.

8.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因为看错了一次项系数而将其分解为2(x﹣1)(x﹣9),乙同学因为看错了常数项而将其分解为2(x﹣2)(x﹣4),请写出正确的因式分解的结果.

9.已知a,b,c是正整数,a>b,且a2﹣ab﹣ac+bc=11,则a﹣c=.

10.对于任意正整数n,整式n3+(n+1)3+n2﹣(n+1)2的值一定是的倍数(填最大的正整数)

11.已知二次三项式x2+(m﹣1)x+4是完全平方式,则常数m的值是.

12.已知1﹣2x+y是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式,则常数k的值是.

13.若a+b=5,ab=3,则(a+1)(b+1)(a﹣1)(b﹣1)=.

14.已知a、b、c满足a﹣b=8,ab+c2+16=0,则2a+b+c的值等于.

15.若x2﹣xy=16,xy﹣y2=﹣8,则4x2﹣7xy+3y2的值为.

16.已知ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=8,则(a+1)(b+1)(c+1)=.

17.若实数a,b满足a+b2=1,则2a2+7b2的最小值是.

18.已知a+2b+3c+4d=30,a2+b2+c2+d2=30.则ab+bc+cd+da的值是.

二、选择题(每题3分,共12分)

19.已知二次三项式21x2+ax﹣10可分解成两个整系数的一次因式的乘积,那么()A.a一定是奇数B.a一定是偶数

C.a一定是负数D.a可为奇数也可为偶数

20.下列各式中,正确分解因式的个数为()

①x3+2xy+x=x(x2+2y)

②x2+2xy+4y2=(x+2y)2

③﹣2x2+8y2=﹣(2x+4y)(x﹣2y)

④a3﹣abc+a2b﹣a2c=a(a﹣c)(a+b)

⑤(m﹣n)(2x﹣5y﹣7z)+(m﹣n)(3y﹣10x+3z)=﹣(m﹣n)(8x+2y+4z)

A.1B.2C.3D.4

21.多项式a3﹣b3+c3+3abc有因式()

A.a+b+c B.a﹣b+c

C.a2+b2+c2﹣bc+ca﹣ab D.bc﹣ca+ab

22.多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是()A.(y﹣z)(x+y)(x﹣z)B.(y﹣z)(x﹣y)(x+z)

C.(y+z)(x﹣y)(x+z)D.(y+z)(x+y)(x﹣z)

23.多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51的最小值为()

A.41B.32C.15D.12

三、因式分解(每题5分,共30分)

24.(30分)因式分解:

(1)x2+3(x+y)+3﹣y2+(x﹣y)(2)x2﹣4y2+4x+4

(3)(x2+3x+2)(x2+7x+12)+1 (4)(2a+5)(a2﹣9)(2a﹣7)﹣91(5)x3﹣3x2+4 (6)24x3﹣26x2+9x﹣1

四、解答题(每题6分,共30分)

25.(6分)已知a?b=2

13,b?c=

5

13,a

2+b2+c2=1,求ab+bc+ca的值.

26.(6分)已知x2﹣x﹣3=0,求(x2+3x﹣7)(x3+2x2﹣2x﹣5)﹣16x的值.

27.(6分)已知x+y=1,x2+y2=2,求x3+y3的值.

28.(6分)已知(x﹣2019)2+(x﹣2020)2=5,求(2019﹣x)(2020﹣x)的值.

29.(6分)若a2﹣b﹣1=0,且(a2﹣1)(b+2)<a2b.

(Ⅰ)求b的取值范围;

(Ⅱ)若a4﹣2b﹣2=0,求b的值.

30.(6分)已知a2+b2=4,c2+d2=10,ac+bd=2.求ad﹣bc的值.

31.(3分)已知a+b+c=1,ab+bc+ca=﹣2,abc=﹣1,设s1=a+b+c,s2=a2+b2+c2,s3=a3+b3+c3,……,s n=

a n+

b n+

c n.

(1)计算s2=,s3=,s4=.

(2)写出s n﹣3,s n﹣2,s n﹣1,s n四者之间的关系,并证明你的结论.

(3)根据(2)的结论,直接写出a6+b6+c6的值是.

2019-2020学年上海市张江集团学校七年级(上)期中数学试卷

参考答案

一、填空题(每个空2分,共36分)

1.18.2.19.3.675. 4.﹣3.5.(5x ﹣18)(x ﹣2).6.﹣12.7.0.8.2(x ﹣3)2 9.11或1. 10.6.11.5或﹣3.12.﹣1.13.﹣9.14.4.15.88.16.±27.

17.【解答】解:∵a +b 2=1,∴a =1﹣b 2

∴2a 2+7b 2=2(1﹣b 2)2+7b 2=2b 4+3b 2+2=2(b 2+34)2+2?98=2(b 2+34)2+78

∵b 2≥0,∴2(b 2+34)2+78>0,

∴当b 2=0,即b =0时,2a 2+7b 2的值最小.∴最小值是2.

方法二:∵a +b 2=1,∴b 2=1﹣a ,

∴2a 2+7b 2=2a 2+7(1﹣a )=2a 2﹣7a +7=2(a ?74)2+78,

∵b 2≥0,∴1﹣a ≥0,∴a ≤1,∴当a =1,即b =0时,2a 2+7b 2的值最小.∴最小值是2.

18.【解答】解:∵a +2b +3c +4d =30∴2a +4b +6c +8d =60①

又∵a 2+b 2+c 2+d 2=30②

②﹣①得a 2+b 2+c 2+d 2﹣2a ﹣4b ﹣6c ﹣8d =﹣30

可变形为(a ﹣1)2+(b ﹣2)2+(c ﹣3)2+(d ﹣4)2=0

∴a =1,b =2,c =3,d =4

∴ab +bc +cd +da =b (a +c )+d (a +c )=(a +c )(b +d )=4×6=24.

二、选择题(每题3分,共12分)

19.A .20.A .21.B .22.A .23.C .

三、因式分解(每题5分,共30分)

24.【解答】解:(1)x 2+3(x +y )+3﹣y 2+(x ﹣y ),

=x 2﹣y 2+3(x +y )+3+(x ﹣y ),

=(x ﹣y )(x +y )+(x ﹣y )+3(x +y )+3,

=(x ﹣y )(x +y +1)+3(x +y +1),

=(x +y +1)(x ﹣y +3);

(2)x 2﹣4y 2+4x +4,

=(x +2)2﹣4y 2,

=(x +2+2y )(x +2﹣2y );

(3)(x2+3x+2)(x2+7x+12)+1,

=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1,

=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1,

=(x2+5x)2+10(x2+5x)+24+1,

=(x2+5x+5)2;

(4)(2a+5)(a2﹣9)(2a﹣7)﹣91,

=[(2a+5)(a﹣3)][(2a﹣7)(a+3)]﹣91,

=(2a2﹣a﹣15)(2a2﹣a﹣21)﹣91,

=(2a2﹣a)2﹣15(2a2﹣a)﹣21(2a2﹣a)+224,=(2a2﹣a)2﹣36(2a2﹣a)+224,

=(2a2﹣a﹣8)(2a2﹣a﹣28),

=(a﹣4)(2a+7)(2a2﹣a﹣8);

(5)x3﹣3x2+4,

=x3+x2﹣4x2+4,

=x2(x+1)﹣4(x2﹣1),

=x2(x+1)﹣4(x+1)(x﹣1),

=(x+1)(x2﹣4x+4),

=(x+1)(x﹣2)2;

(6)24x3﹣26x2+9x﹣1,

=(24x3﹣6x2)﹣20x2+9x﹣1,

=6x2(4x﹣1)﹣(20x2﹣9x+1),

=6x2(4x﹣1)﹣(4x﹣1)(5x﹣1),

=(4x﹣1)(6x2﹣5x+1),

=(4x﹣1)(2x﹣1)(3x﹣1).

四、解答题(每题6分,共30分)

25.【解答】解:a?b=2

13,①;b?c=

5

13,②

由①+②,得a﹣c=7 13,③

∵(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2=

4

169

+25

169

+49

169

=78

169,

∴2(a2+b2+c2)﹣2(ab+bc+ca)=78 169,

∵a2+b2+c2=1,∴2﹣2(ab+bc+ca)=78

169,∴ab+bc+ca=

130

169

=1013.

26.【解答】解:∵x2﹣x﹣3=0,∴x2=x+3,x2﹣x=3,

∵x2+3x﹣7=x2﹣x+4x﹣7=3+4x﹣7=4x﹣4,

x3+2x2﹣2x﹣5=x3﹣x2+3x2﹣3x+x﹣5=x(x2﹣x)+3(x2﹣x)+x﹣5=3x+9+x﹣5=4x+4

∴(x2+3x﹣7)(x3+2x2﹣2x﹣5)﹣16x=(4x﹣4)(4x+4)﹣16x=16x2﹣16x﹣16=16(x2﹣x)﹣16∵x2﹣x=3,

∴原式=16×3﹣16=32.

27.【解答】解:∵x+y=1,∴x2+y2+2xy=1,

又∵x2+y2=2,∴2xy=﹣1,∴xy=?1 2,

x3+y3=(x+y)(x2﹣xy+y2)=1×(2+1

2)=

5

2.

28.【解答】解:∵(x﹣2019)2+(x﹣2020)2=[(x﹣2919)﹣(x﹣2020)]2﹣2(x﹣2019)(x﹣2020)=5,∴1﹣2(x﹣2019)(x﹣2020)=5,

解得:(x﹣2019)(x﹣2020)=﹣2,

∴(2019﹣x)(x﹣2020)=2.

29.【解答】解:(Ⅰ)∵a2﹣b﹣1=0,

∴a2﹣b=1,a2=b+1,(a2﹣1)(b+2)<a2b.

a2b+2a2﹣b﹣2<a2b,a2+a2﹣b﹣2<0,a2+1﹣2<0,

a2<1,∴b+1<1,∴b<0.

(或者:把a2=b+1代入原不等式:解得b<0)

∵a2=b+1,∵a2≥0,∴b+1≥0,b≥﹣1.

答:b的取值范围为﹣1≤b<0.

(Ⅱ)a4﹣2b﹣2=0,a4﹣2(b+1)=0,

∵a2=b+1,∴a4﹣2a2=0,解得a2=0或a2=2,

∵a2<1,∴a2=0,∴b+1=0,∴b=﹣1.

(或者:把a2=b+1代入原等式:解得b=±1,1舍去)

答:b的值为﹣1.

30.【解答】解:∵(ac+bd)2+(ad﹣bc)2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2﹣2abcd+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,

∴(ac+bd)2+(ad﹣bc)2=(a2+b2)(c2+d2),

又∵a2+b2=4,c2+d2=10,ac+bd=2,

∴22+(ad﹣bc)2=4×10,

解得(ad﹣bc)2=36,∴ad﹣bc=±6.

31.【解答】解:(1)s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5,

(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc=a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(a+c)+3c2(a+b),∵a+b+c=1,abc=﹣1,

∴(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)+6abc+3(a2+b2+c2),

∴s3=a3+b3+c3=4,

同理,s4=a4+b4+c4=13;

故答案为5,4,13;

(2)关系为s n=s n﹣1+2s n﹣2?﹣s n﹣3;

理由:

s n=s n﹣1?(a+b+c)﹣(a n﹣1b+a n﹣1c+ab n﹣1+cb n﹣1+ac n﹣1+bc n﹣1)=s n﹣1?(a+b+c)﹣[s n﹣2?(ab+ac+bc)﹣abc n﹣2﹣ab n﹣2c﹣a n﹣2bc]=s n﹣1?(a+b+c)﹣s n﹣2?(ab+ac+bc)+s n﹣3?abc,

∵a+b+c=1,ab+bc+ca=﹣2,abc=﹣1,

∴s n=s n﹣1+2s n﹣2?﹣s n﹣3;

(3)∵s5=s4+2s3?﹣s2=13+8﹣5=16,

∴s6=s5+2s4?﹣s3=16+26﹣4=38,

∴a6+b6+c6的为38;

故答案为38.