2019-2020学年上海市张江集团学校七年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年上海市张江集团学校七年级（上）期中数学试卷一、填空题（每个空2分，共36分）

1．如果多项式πx m+1+（n﹣2）x+35是关于x的二次二项式，则2m?3n＝．

2．多项式(x2?3kxy?3y2)+(1

3

xy?8)中不含xy项，则常数k的值是．

3．已知a m＝3，a n＝5，则a3m+2n＝．

4．若2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，则x﹣y＝．

5．分解因式5x2﹣28x+36＝．

6．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中常数a，b，c均为整数，则a+b+c＝．

7．已知m，n满足m2n2+m2+n2+10mn+16＝0，则m+n＝．

8．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因为看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），乙同学因为看错了常数项而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请写出正确的因式分解的结果．

9．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c＝．

10．对于任意正整数n，整式n3+（n+1）3+n2﹣（n+1）2的值一定是的倍数（填最大的正整数）

11．已知二次三项式x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，则常数m的值是．

12．已知1﹣2x+y是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则常数k的值是．

13．若a+b＝5，ab＝3，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝．

14．已知a、b、c满足a﹣b＝8，ab+c2+16＝0，则2a+b+c的值等于．

15．若x2﹣xy＝16，xy﹣y2＝﹣8，则4x2﹣7xy+3y2的值为．

16．已知ab+a+b＝bc+b+c＝ac+a+c＝8，则（a+1）（b+1）（c+1）＝．

17．若实数a，b满足a+b2＝1，则2a2+7b2的最小值是．

18．已知a+2b+3c+4d＝30，a2+b2+c2+d2＝30．则ab+bc+cd+da的值是．

二、选择题（每题3分，共12分）

19．已知二次三项式21x2+ax﹣10可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么（）A．a一定是奇数B．a一定是偶数

C．a一定是负数D．a可为奇数也可为偶数

20．下列各式中，正确分解因式的个数为（）

①x3+2xy+x＝x（x2+2y）

②x2+2xy+4y2＝（x+2y）2

③﹣2x2+8y2＝﹣（2x+4y）（x﹣2y）

④a3﹣abc+a2b﹣a2c＝a（a﹣c）（a+b）

⑤（m﹣n）（2x﹣5y﹣7z）+（m﹣n）（3y﹣10x+3z）＝﹣（m﹣n）（8x+2y+4z）

A．1B．2C．3D．4

21．多项式a3﹣b3+c3+3abc有因式（）

A．a+b+c B．a﹣b+c

C．a2+b2+c2﹣bc+ca﹣ab D．bc﹣ca+ab

22．多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是（）A．（y﹣z）（x+y）（x﹣z）B．（y﹣z）（x﹣y）（x+z）

C．（y+z）（x﹣y）（x+z）D．（y+z）（x+y）（x﹣z）

23．多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51的最小值为（）

A．41B．32C．15D．12

三、因式分解（每题5分，共30分）

24．（30分）因式分解：

（1）x2+3（x+y）+3﹣y2+（x﹣y）（2）x2﹣4y2+4x+4

（3）（x2+3x+2）（x2+7x+12）+1 （4）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91（5）x3﹣3x2+4 （6）24x3﹣26x2+9x﹣1

四、解答题（每题6分，共30分）

25．（6分）已知a?b=2

13，b?c=

5

13，a

2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．

26．（6分）已知x2﹣x﹣3＝0，求（x2+3x﹣7）（x3+2x2﹣2x﹣5）﹣16x的值．

27．（6分）已知x+y＝1，x2+y2＝2，求x3+y3的值．

28．（6分）已知（x﹣2019）2+（x﹣2020）2＝5，求（2019﹣x）（2020﹣x）的值．

29．（6分）若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．

（Ⅰ）求b的取值范围；

（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．

30．（6分）已知a2+b2＝4，c2+d2＝10，ac+bd＝2．求ad﹣bc的值．

31．（3分）已知a+b+c＝1，ab+bc+ca＝﹣2，abc＝﹣1，设s1＝a+b+c，s2＝a2+b2+c2，s3＝a3+b3+c3，……，s n＝

a n+

b n+

c n．

（1）计算s2＝，s3＝，s4＝．

（2）写出s n﹣3，s n﹣2，s n﹣1，s n四者之间的关系，并证明你的结论．

（3）根据（2）的结论，直接写出a6+b6+c6的值是．

2019-2020学年上海市张江集团学校七年级（上）期中数学试卷

参考答案

一、填空题（每个空2分，共36分）

1．18．2．19．3．675． 4．﹣3．5．（5x ﹣18）（x ﹣2）．6．﹣12．7．0．8．2（x ﹣3）2 9．11或1． 10．6．11．5或﹣3．12．﹣1．13．﹣9．14．4．15．88．16．±27．

17．【解答】解：∵a +b 2＝1，∴a ＝1﹣b 2

∴2a 2+7b 2＝2（1﹣b 2）2+7b 2＝2b 4+3b 2+2＝2（b 2+34）2+2?98=2（b 2+34）2+78

，

∵b 2≥0，∴2（b 2+34）2+78＞0，

∴当b 2＝0，即b ＝0时，2a 2+7b 2的值最小．∴最小值是2．

方法二：∵a +b 2＝1，∴b 2＝1﹣a ，

∴2a 2+7b 2＝2a 2+7（1﹣a ）＝2a 2﹣7a +7＝2（a ?74）2+78，

∵b 2≥0，∴1﹣a ≥0，∴a ≤1，∴当a ＝1，即b ＝0时，2a 2+7b 2的值最小．∴最小值是2．

18．【解答】解：∵a +2b +3c +4d ＝30∴2a +4b +6c +8d ＝60①

又∵a 2+b 2+c 2+d 2＝30②

②﹣①得a 2+b 2+c 2+d 2﹣2a ﹣4b ﹣6c ﹣8d ＝﹣30

可变形为（a ﹣1）2+（b ﹣2）2+（c ﹣3）2+（d ﹣4）2＝0

∴a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4

∴ab +bc +cd +da ＝b （a +c ）+d （a +c ）＝（a +c ）（b +d ）＝4×6＝24．

二、选择题（每题3分，共12分）

19．A ．20．A ．21．B ．22．A ．23．C ．

三、因式分解（每题5分，共30分）

24．【解答】解：（1）x 2+3（x +y ）+3﹣y 2+（x ﹣y ），

＝x 2﹣y 2+3（x +y ）+3+（x ﹣y ），

＝（x ﹣y ）（x +y ）+（x ﹣y ）+3（x +y ）+3，

＝（x ﹣y ）（x +y +1）+3（x +y +1），

＝（x +y +1）（x ﹣y +3）；

（2）x 2﹣4y 2+4x +4，

＝（x +2）2﹣4y 2，

＝（x +2+2y ）（x +2﹣2y ）；

（3）（x2+3x+2）（x2+7x+12）+1，

＝（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，

＝（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1，

＝（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1，

＝（x2+5x+5）2；

（4）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91，

＝[（2a+5）（a﹣3）][（2a﹣7）（a+3）]﹣91，

＝（2a2﹣a﹣15）（2a2﹣a﹣21）﹣91，

＝（2a2﹣a）2﹣15（2a2﹣a）﹣21（2a2﹣a）+224，＝（2a2﹣a）2﹣36（2a2﹣a）+224，

＝（2a2﹣a﹣8）（2a2﹣a﹣28），

＝（a﹣4）（2a+7）（2a2﹣a﹣8）；

（5）x3﹣3x2+4，

＝x3+x2﹣4x2+4，

＝x2（x+1）﹣4（x2﹣1），

＝x2（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1），

＝（x+1）（x2﹣4x+4），

＝（x+1）（x﹣2）2；

（6）24x3﹣26x2+9x﹣1，

＝（24x3﹣6x2）﹣20x2+9x﹣1，

＝6x2（4x﹣1）﹣（20x2﹣9x+1），

＝6x2（4x﹣1）﹣（4x﹣1）（5x﹣1），

＝（4x﹣1）（6x2﹣5x+1），

＝（4x﹣1）（2x﹣1）（3x﹣1）．

四、解答题（每题6分，共30分）

25．【解答】解：a?b=2

13，①；b?c=

5

13，②

由①+②，得a﹣c=7 13，③

∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=

4

169

+25

169

+49

169

=78

169，

∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）=78 169，

∵a2+b2+c2＝1，∴2﹣2（ab+bc+ca）=78

169，∴ab+bc+ca=

130

169

=1013．

26．【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x2﹣x＝3，

∵x2+3x﹣7＝x2﹣x+4x﹣7＝3+4x﹣7＝4x﹣4，

x3+2x2﹣2x﹣5＝x3﹣x2+3x2﹣3x+x﹣5＝x（x2﹣x）+3（x2﹣x）+x﹣5＝3x+9+x﹣5＝4x+4

∴（x2+3x﹣7）（x3+2x2﹣2x﹣5）﹣16x＝（4x﹣4）（4x+4）﹣16x＝16x2﹣16x﹣16＝16（x2﹣x）﹣16∵x2﹣x＝3，

∴原式＝16×3﹣16＝32．

27．【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+y2+2xy＝1，

又∵x2+y2＝2，∴2xy＝﹣1，∴xy=?1 2，

x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（2+1

2）=

5

2．

28．【解答】解：∵（x﹣2019）2+（x﹣2020）2＝[（x﹣2919）﹣（x﹣2020）]2﹣2（x﹣2019）（x﹣2020）＝5，∴1﹣2（x﹣2019）（x﹣2020）＝5，

解得：（x﹣2019）（x﹣2020）＝﹣2，

∴（2019﹣x）（x﹣2020）＝2．

29．【解答】解：（Ⅰ）∵a2﹣b﹣1＝0，

∴a2﹣b＝1，a2＝b+1，（a2﹣1）（b+2）＜a2b．

a2b+2a2﹣b﹣2＜a2b，a2+a2﹣b﹣2＜0，a2+1﹣2＜0，

a2＜1，∴b+1＜1，∴b＜0．

（或者：把a2＝b+1代入原不等式：解得b＜0）

∵a2＝b+1，∵a2≥0，∴b+1≥0，b≥﹣1．

答：b的取值范围为﹣1≤b＜0．

（Ⅱ）a4﹣2b﹣2＝0，a4﹣2（b+1）＝0，

∵a2＝b+1，∴a4﹣2a2＝0，解得a2＝0或a2＝2，

∵a2＜1，∴a2＝0，∴b+1＝0，∴b＝﹣1．

（或者：把a2＝b+1代入原等式：解得b＝±1，1舍去）

答：b的值为﹣1．

30．【解答】解：∵（ac+bd）2+（ad﹣bc）2＝a2c2+2abcd+b2d2+a2d2﹣2abcd+b2c2＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

∴（ac+bd）2+（ad﹣bc）2＝（a2+b2）（c2+d2），

又∵a2+b2＝4，c2+d2＝10，ac+bd＝2，

∴22+（ad﹣bc）2＝4×10，

解得（ad﹣bc）2＝36，∴ad﹣bc＝±6．

31．【解答】解：（1）s2＝a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝1+4＝5，

（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc＝a3+b3+c3+3a2（b+c）+3b2（a+c）+3c2（a+b），∵a+b+c＝1，abc＝﹣1，

∴（a+b+c）3＝﹣2（a3+b3+c3）+6abc+3（a2+b2+c2），

∴s3＝a3+b3+c3＝4，

同理，s4＝a4+b4+c4＝13；

故答案为5，4，13；

（2）关系为s n＝s n﹣1+2s n﹣2?﹣s n﹣3；

理由：

s n＝s n﹣1?（a+b+c）﹣（a n﹣1b+a n﹣1c+ab n﹣1+cb n﹣1+ac n﹣1+bc n﹣1）＝s n﹣1?（a+b+c）﹣[s n﹣2?（ab+ac+bc）﹣abc n﹣2﹣ab n﹣2c﹣a n﹣2bc]＝s n﹣1?（a+b+c）﹣s n﹣2?（ab+ac+bc）+s n﹣3?abc，

∵a+b+c＝1，ab+bc+ca＝﹣2，abc＝﹣1，

∴s n＝s n﹣1+2s n﹣2?﹣s n﹣3；

（3）∵s5＝s4+2s3?﹣s2＝13+8﹣5＝16，

∴s6＝s5+2s4?﹣s3＝16+26﹣4＝38，

∴a6+b6+c6的为38；

故答案为38．