不等式的均值定理
高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：
课题：均值不等式一学案
1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；
2．理解均值定理的内容及几何意义，会用均值定理去解实际简单的最值问题。
1．不等式的对称性用字母可以表示为 ．
2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________． 3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ． 4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。
5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先
变形。如：a 均值定理 如果,,R b a ∈那么 ab b a ≥+2 。 当且仅当b a =时，等号成立。 证明： 算术平均数： 几何平均数： 均值定理可以表述为： 【思考与讨论】 均值不等式与不等式ab b a 222≥+的关系如何？请对此进行讨论。 下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深同学们对均值不等式的理解。 我们可以令正实数b a ,为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 2 b a +和ab 的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下： ⑴作线段b a AB +=，使;,b DB a AD == ⑵以AB 为直径作半圆O; ⑶过D 点作CD ⊥AB 于D ，交半圆于点C ； ⑷连接AC,BC,OC,则2 b a CO += 。 例1已知,0>ab 求证：2≥+b a a b ，并推导出式中等号成立的条件。 例2（1）一个矩形的面积为1002 m 。问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长为36m 。问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 由例2的求解过程，可以总结出以下规律： 例3求函数())0(322>-+-=x x x x x f 的最大值，以及此时x 的值。 巩固检测 1、若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________． 2、已知x>1.5，则函数y ＝2x+3 24-x 的最小值是_________． 高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别： 课题：均值不等式二学案 1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件； 2．进一步理解均值定理的内容及几何意义，灵活运用均值定理去解决实际简单的最值问题。 ⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ． ⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？ ⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ． ⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件） （1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a （ ） （3）a b ＋b a （ ） （4）x ＋x 1 (x>0) （5）x ＋x 1 (x<0) （6）ab ≤ （ ） ⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立． 6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。 例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证 a 1 + b 1+c 1≥9． 例⒉（1）已知x<45，求函数y=4x －2+5 41-x 的最大值． （2）已知x>0，y>0，且+x 1y 9＝1，求x ＋y 的最小值。 （3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。 一．选择题： ⒈下列命题正确的是（ ） Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．ab b a +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值 ⒉以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b 1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 ⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ） Ａ．a b ＋b a ≥2 Ｂ．a 2+ b 2≥2ab Ｃ．a b 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+b a +2 ⒋设a 、 b ∈R ＋，若a+b=2，则b a 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 ⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ） Ａ．a 2+b 2 ≥2ab Ｂ．222b a a +≥ Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥b a ab 1． 2 b a +；ab 2．2b a +≥ab ；算术平均数2b a +；几何平均数ab ；圆中的相交弦定理的推论（略）。 3．a ，b ∈R ＋；a=b 4．⑴≥2ab （a,b ∈R ）⑵≥ab ( a ，b ∈R ＋)⑶≥2（a 、b 同号）或≤－2（a 、b 异号） ⑷≥2⑸≤－2⑹≤（ 2b a +）2（a,b ∈R ）； 5．定。 6．⑴1，1；⑵2，1；⑶ 21，2 1；⑷－1，－1。 【典例解析】 例1．解析：原式＝（ a 1 + b 1+ c 1）（a+b+c ）＝3＋（b a a b +）＋（c a a c +）＋（b c c b +）≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=31时取等号。 例⒉解析： （1）∵x< 45 ∴4x-5<0 ∴y=4x －2+541-x =(4x-5)+541-x +3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝5 41-x 时即4x-5＝－1，x ＝1时等号成立，∴当x ＝1时，取最大值是1 （2）解法一、原式＝（x ＋y ）（+x 1y 9）＝y x x y 9++10≥6＋10＝16当且仅当x y ＝y x 9时等号成立，又+x 1y 9＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。 解法二、由+x 1y 9＝1得（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。 （3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略） 解法二、∵222n m +≥（2)2 n m +∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥2[2)()(x b a x -+-]2＝2)(2b a -，当且仅当x-a=b-x 即x=2 b a +时，等号成立。∴当x=2 b a +时取得最小值2)(2b a -。 一元二次不等式及其解法 例1解不等式： （1）;0322>+-x x （2）0322<+-x x 。 例2解不等式0412>--x x 。 例3解不等式0442>++x x 。 例4解不等式03422>-+-x x 。 例5求函数()() 23223log 32x x x x x f -++-+=的定义域。 均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一：证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：222 1x y z ++=，求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥ 7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：22221 11()a b c a b c +++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。 类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若22 41x y xy ++=，求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。 变式：y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. （2010山东高考）若任意0x >，231 x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题 1.（2009湖北）围建一个面积为2 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。 （1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。 （2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 1，利用均值不等式证明不等式 （1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记 12111n n n H a a a = ++???+ n G = 12 n n a a a A n ++???= n Q = 它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。 先证n n A G ≥ 证法一： .n n A G ≥用数学归纳法证明： 20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。 1.k k k k A G ≥≥假设：n=k 2时成立,即有： 11111 111k k k k k k k k k k k k k k k k A A A G G G A G ++++++++≥?≥n=k+1时：只需证： 12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0< 1 1 11 1 1111 1= 11 k k k k k k i i i i k i i i i k a a a a A k k k k +++++====+?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?=+-++ ? ? ? ? ? ??? ???? ∑∑∑∑1 101 1 11111 1 k k k k k k i i i i i i i i k k a a a a C C k k k k ++====++?????? ? ? ? ? ? ?≥+-+ ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ∑∑∑∑ 1111 111(1)(11).1k k k k k k i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k +====++??? ??? ? ? ? ? ? ?=+-+-==+ ? ? ? ? ? ??? ???? ∑∑∑∑ 111 11.1k k k k k k k k k A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。 . n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明： 1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于 121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于 基本不等式（一） 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2. 均值不等式及其应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 多次运用基本不等式错解例析 在《不等式》的学习中,我们结识了一个重要的不等式定理，即基本不等式(又叫均值定理)，这个定理在解题中应用十分广泛，运用基本不等式时除了要注意 “一正、二定、三相等” 的条件以外，当多次运用基本不等式时,如果忽视了取等号的条件也一样会功败垂成,前功尽弃. 例1.设x ∈(0,π),则函数f(x)=sinx+x sin 4的最小值是( ) A ．4 B. 5 C.3 D.6 【典型错误】因为x ∈(0,π),所以sinx>0, x sin 4>0, f(x)=sinx+ x sin 4≥2x x sin 4sin ? =4 因此f(x)的最小值是4.故选A. 【错因分析】忽略了均值不等式a+b ≥2ab (a>O,b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b 时等号成立．事实上，sinx= x sin 4不可能成立，因为它成立的条件是sinx ＝±2，这不可能． 【正确解答1】f(x)=sinx+x sin 4=sinx+ x sin 1+ x sin 3,因为sinx+ x sin 1≥2, 当且仅当sinx=1，即x=2 π时等号成立.又 x sin 3 ≥3，当且仅当sinx=1,即x= 2 π时等号成立．所以 f(x)=sinx+ x sin 4≥2+3=5,f(x)的最小值是5. 故选B. 【正确解答2】令sinx=t,因为x ∈(0,π)，所以0 高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点，且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积，若1()(,,)2 f M x y =，则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>，则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈，且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中，142, 10sin sin a b A B +=+=，则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=，则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈，则(1)log k k +与(1)log k k -的大小： 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取最大值时，212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ，则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列， 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和，记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = 。 基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； 应用一、求最值 直接求 例1、若x ，y 是正数，则22)21 ()21(x y y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．2 9 例2、设y x b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2 B. 23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >，则2 x x +的最小值为 . 练习2.设,x y 为正数, 则14 ()()x y x y ++的最小值为【 】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2 B ．3 C ．6 D ．9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域： （1）2 2 213x x y + = （2）x x y 1 += 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则 2 ()a b cd +的最小值是【 】 A.0 B.4 C.2 D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111 (1)(1)(1)a b c ---最小值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 凑系数 例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是 ． 练习1.已知,x y R +∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 . 练习2. 当40< 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2 (22 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋1 2x 2（2）y＝x＋ 1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为 定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当 ，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足Qn An Gn H ≤≤≤n + ∈R n a a a 21、、、Λ，当且仅当n a a a 21===Λ时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有ab 2b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)， ab 20b ,a 22>> (4)对实数a,b ，有 ()()b a b b a --a ≥ (5)对非负实数a,b ，有 02a 22≥≥+ab b (8)对实数a,b,c ，有 ac bc ab c b a 222++≥++ (10)对实数a,b,c ，有 3 3 a abc c b ≥++ 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、 柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A ≥0，B ≥0，则()()B n n nA A B A 1-n +≥+ 注：引理的正确性较明显，条件A ≥0，B ≥0可以弱化为A ≥0，A+B ≥0 当n=2时易证； 假设当n=k 时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设 1 a +k 是 1 21a ,,a ,a +k Λ中最大者，则 1211k ka +++++≥k a a a Λ 设 k a a a +++=Λ21s 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数()n x x x x f ,,,,21Λ是函数()x f 在区间(a,b) 内的任意n 个点， 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0 ，所以 34x y +≥=当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等 号) 1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇：常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b，有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab (4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b，有 (8)对实数a,b,c，有 a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证； 假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者， kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点， 设f?x??lnx，f ?x?为上凸增函数所以， 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 第二篇：均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数，且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时，单调增 而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证 继续追问： 拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证 补充回答： 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二： 证xy+1/xy≥17/4 选修4-5 :不等式选讲 不等式选讲考点问题解答题：利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理，求解或证明有关不等式, 包括求已知不等式的解集；根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；通过证明有关不等式，解决与不等式有关的问题。 1. ( 2013 全国I 24 .)已知函数f(x) |2x 1| |2x a|, g(x) x 3。 (i)当a 2时，求不等式f(x) g(x)的解集； a 1 (n)设a 1，且当x [ 2,2＞时，f(x) g(x)，求a的取值范围。 2. （2014 全国1 24 ）若a 0,b 1 1 0,且丄丄 ,ab a b (I )求a3b3的最小值； (II )是否存在a,b，使得2a 3b 6 ?并说明理由 3. （2015全国1 2 4.）已知函数f x x 1 2 x a ,a 0 (I )当a 1时求不等式f x 1的解集； (II )若f x 图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围 4. (2013全国II 24 .)设均为正数，且, 证明：(i)；(n) 1 |X a |(a 0) 5. (2014 全国II 24.)设函数f(x) |X | a (1)证明：f(x) 2 ; (2)若f (3) 5，求a的取值范围 6. ( 2015 全国II 24. )设均为正数，且. 证明：(I )若，则; (ll )是的充要条件 1 2x 2 x 3，则 y x 2 - x 1, 2 3x 6,x 1. 其图像如图所示 从图像可知，当且仅当 x (0,2)时，y<0,所以原不等式的解集是 x 0 x 2 a 1 (II )当 x , f (x) 1 a.不等式 f (x) W g(x)化为 1+a w x+3. 2 2 所以x > a-2对x 二丄都成立，故 a a 4 2 ，即a ，所以a 的范围 2 2 2 3 3 __ 1 1 2.解：(I )由,ab ，得 ab 2 , 且当a b .. 2时等号成立. a b '一 ab 故 a 3 b 3 2 a 3b 3 4、、2 ,且当 a b .2 时等号成立. 所以a 3 b 3的最小值为412 .……5分 (II )由(I )知，2a 3b 2.6 . ab 4,3. 由于4 .3 6，从而不存在a,b ，使得2a 3b 6. ……10分 3. x 1 2a, x 1 (n)由题设可得， f (x) 3x 1 2a, 1 x a ， x 1 2a, x a 所以函数f (x)的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 2a 1 2 A( ,0) , B(2a 1,0), C(a,a+1)，所以△ ABC 的面积为三(a 1)2. 1 ?解： (1 )当 a 2时，不等式 f (x) 放缩法的常见技巧 （1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 （1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。 （3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积） 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|? 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|? 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|? 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 常用放缩思想 这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了下面就是常用思路了，主要就是裂项部分 二项平方和 f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0 1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩 解析： 步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令 t=1/（x+2） 第一步意义--开不了方的，开方，并且可取等号 第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等号 个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单， 看似简单实则难 2.构造+三角形★★★★ 平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c， AC=b，BC=a，求 解析： 构造，主要就是构造，b/c就是很 明显的提示。 三角形中两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边。 构造★★★★ 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2： 1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 均值不等式习题大全
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