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格林公式及其应用

摘要：

格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。设D 为一平面区域，如果区域D 内任意区域所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。

关键词闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分；

引言

格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有

???

+=??-??L D

Qdy Pdx dxdy y

x Q ）（

，其中L 是D 的取正向边界曲线

格林公式转化的物理意义：二重积分——第二类曲线积分

将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功

定理1 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数P （x ，y ）及函数Q （x ，y ）

在D 上具有一阶连续偏导数，则有

D D

Q P Pdx Qdy dxdy x y +???

??+=- ????????D y dxdy x P Q

???=???

其中L 是D 的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式

证明:

(1)若区域D 既是-X 型又是-Y 型,即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两

点.

}),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=??}),()(),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ

dx x Q dy dxdy x Q

y y d c D

??????=??)()(21ψψ ??-=d

d c

dy y y Q dy y y Q )),(()),((12ψψ

x x

?-=CAE

CBE

dy y x Q dy y x Q ),(),( ?

+=EAC

CBE

dy y x Q dy y x Q ),(),(

?=L

dy y x Q ),(

同理可证???

=??-L D

dx y x P dxdy y

),(

两式相加得???+=??-??L D

Qdy Pdx dxdy y

x Q )(

(2)

若区域D 由按段光滑的闭曲线围成.

如图

将D 分成三个既是-X 型又是-Y 型的区

域1

D ,2

D ,3

D .

????++??-??=??-??3

21)()(D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q ???????

-??+??-??+??-??3

)()()(

D D D dxdy y x Q dxdy y

P x Q dxdy y P x Q ???

+++++=

L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx

?+=L

Qdy Pdx

(3)

若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D 的边界曲线由

AB,2

L ,BA, AFC,CE,

3L , EC 及CGA 构成

由(2)知????-??D

dxdy y

x Q )(

????+

+++=CE

AFC BA L AB 2

{

??+?+++CGA

EC L Qdy Pdx )(}3

),(32,1来说为正方向对D L L L

???+++=2

))((L L L Qdy Pdx ?+=L

Qdy Pdx

应用：

（1）用格林公式计算区域的面积

设区域D 的边界曲线为L , 则

例1 求椭圆x =a cos q , y =b sin q 所围成图形的面积A . 解设L 是由椭圆曲线, 则

（2）用格林公式计算二重积分

为顶点的三角形闭区域.

因此, 由格林公式有

（3）用格林公式求第二类曲线积分

?-=L ydx xdy A +=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab -L ydx xdy 21?+=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab πθπab d ab ==?2021. πθπab d ab ==?2021. )1(2111

2----===??e dx xe dy xe x OA y . 1(2111

022

----===??e dx xe dy xe x

OA y . ),(32,1来说为正方向对D L L L ?-=L ydx xdy A 21.

例2 计算??-D

y dxdy e

, 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)

令P =0, 2

y xe

Q -=, 则2

y e y

P x Q -=??-??. ???++-

AB OA y D

y dy xe dxdy e 22 ???

++--=BO AB OA y D y dy xe

dxdy e 22

1(2

111

----===??e dx xe dy xe x

y .

例3

不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向. 解：记L 所围成的闭区域为D .

当(0, 0)∈D 时,在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 记L 及l 所围成的复连通区域为D 1, 应用格林公式得

其中l 的方向取顺时针方向.

（4）平面上曲线积分与路径无关的条件

解：这里P =2xy , Q =x 2.

选择从O (0, 0)到A (1, 0)再到B (1, 1)的折线作为积分路线,

例5 计算?+L

dy x xydx 22, 其中L 为抛

物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧

0)(1

2=??-??=+-???+dxdy y P x Q y x ydx xdy D

L , ??-+-=+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 2222?+=πθθ

θ202

2222sin cos d r

r r =2π. -+-=l y x ydx xdy 22?

+=πθθθ202

2222sin cos d r

r r =2π. -+-=+-l y x

ydx xdy y ydx y 2222

+=πθθθ20

2222sin cos d r r r =2π.

因为

Q P 2=?=?, 所以积分

?+L dy

x x y dx 22与路径无关.

则 ???+++=+AB

dy x xydx dy x xydx dy x xydx 222222

111

2==?dy .

格林公式及其应用

第三节格林公式及其应用

一、格林公式 1．单连通区域。设D 为单连通区域，若D 内任一闭曲线所围的部分都属于D 。称D 为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。规定平面D 的边界曲线L 的方向，当观测者沿 L 行走时，D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图图10-3-1 定理1（格林公式）设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有 dxdy y P x Q D ????-??)( =L Pdx Qdy +?。L 为D 的取正向的边界曲线。证对既为X -型又为Y -型区域 2L ：)(2x y ?=∵ y P ??连续， ????D dxdy y P =dy y y x P dx x x b a ????)()(21),(?? = dx x x P x x P b a })](,[)](,[{112 1 ?-?? 图10-3-2 1L ：)(1x y ?= 又???+=2 1 L L L Pdx Pdx Pdx =dx x x P b a ? )](,[11?+dx x x P b a ?)](,[21? =dx x x P x x P b a })](,[)](,[{2 1 1 1 ?-? ? ∴???=??- L D Pdx dxdy y P 对于Y -型区域，同理可证 ????D dxdy y Q =?L Qdx ∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在4321,,,D D D D 上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。几何应用：在格林公式中，取x Q y P =-=,，?? D dxdy 2 =?-L ydx xdy

格林公式的讨论及其应用

格林公式的讨论及其应用目录一、引言 (2) 二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3) （一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3) （二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3) （三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3) 三、格林（Green）公式的应用 (4) （一）格林公式的简介 (4) （二）格林公式的物理原型 (4) 1、物理原型 (4) 2、计算方法 (4) （三）格林公式在生活中的应用 (5) 1.曲线积分计算平面区域面积 (5) 2.GPS面积测量仪的数学原理 (6) 四、高斯（Gauss）公式的应用 (7) （一）高斯公式的简介 (7) （二）保守场 (8) （三）高斯公式在电场中的运用 (8) （四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11) 五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12) （一）斯托克斯公式简介 (12) （二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13) （四）旋度与环流量 (14) （五）旋度的应用 (14) 六、结语 (16) 参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。致谢................................................................................................................................. 错误!未定义书签。摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，

泰勒公式的应用精选

泰勒公式及其应用摘要

文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()! 1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 ! 2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数；对上式再次使用柯西中值定理，可得：

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立指导教师吴春摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项

格林公式及其应用教案

丽水学院教案课程名称：高等数学课程代码：B2 授课专业班级：电信121、122本授课教师：洪涛清院别：理学院 2013年5月13 日

一、授课题目 §103 格林公式及其应用二、教学时间安排：共3课时三、教学目的、要求 1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。 2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。 3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。 4．会求全微分的原函数。四、教学重点和难点重点: 格林公式的应用难点: 灵活应用格林公式进行简化计算。五、教学方法及手段启发式讲授法结合多媒体教学。六、教学过程设计准备知识 1．单连通与复连通区域设D 为平面区域如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D 为平面单连通区域否则称为复连通区域 2．边界曲线的正向：对平面区域D 的边界曲线L 我们规定L 的正向如下当观察者沿L 的这个方向行走时 D 内在他近处的那一部分总在他的左边（一）格林公式 1．定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成函数P (x y )及Q (x y )在D 上具有一阶连续偏导数则有 ???+=??-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q )( 其中L 是D 的取正向的边界曲线 2．简要证明分析先就D 既是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明设D {(x y )|1(x )y 2(x ) axb } 因为y P ??连续所以由二重积分的计算法有

dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b a x x b a D )]}(,[)](,[{}),({12)()(21????-=??=??????? 另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 ?????+=+=a b b a L L L dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[2121?? dx x x P x x P b a )]}(,[)](,[{21??-=? 因此 ???=??-L D Pdx dxdy y P 设D {(x y )|1(y )x 2(y ) cyd } 类似地可证 ???=??L D Qdx dxdy x Q 由于D 既是X －型的又是Y －型的所以以上两式同时成立两式合并即得 ???+=??? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q 注意对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D 来说都是正向 3．格林公式的简单应用：（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1 例1/ 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线证明 ?=+L dy x xydx 022 证令P 2xy Qx 2 则 022=-=??-??x x y P x Q 因此由格林公式有0022=±=+???dxdy dy x xydx D L (为什么二重积分前有“”号 ) （2）化二重积分为曲线积分例2 计算??-D y dxdy e 2 其中D 是以O (0 0) A (1 1) B (0 1)为顶点的三角形闭区域分析要使2y e y P x Q -=??-?? 只需P 0 2y xe Q -= 解令P 0 2y xe Q -= 则2y e y P x Q -=??-?? 因此由格林公式有

开题报告浅谈泰勒公式及其应用

附件 7 论文（设计）管理表一昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告论文（设计）题目浅谈泰勒公式及其应用系（院）数学系专业班级数学与应用数学 B1002 学科理学学生姓名马尚红指导教师姓名马园媛学号 1025809043 职称讲师一、选题的根据（ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主要参考文献等。 2、撰写要求：宋体、小四号。） 1. 选题的来源及意义泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的附近可以用以 2 3 n 下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高阶的无穷小。也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有， f x 1 f a x a x x a ，其中的是多重指标 0 ! x n 1 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识，由此本文将总结几种泰勒公式的证明及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2. 国内外研究状况其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的满足 x

泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文）（ 2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

《泰勒公式及其应用》的开题报告

《泰勒公式及其应用》的开题报告《泰勒公式的验证及其应用》的开题报告关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国论文开题报告 1．本课题的目的及研究意义目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。

3．本课题的研究内容对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。本课题将从以下几个方面展开研究：一、介绍泰勒公式及其证明方法二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。实行进度：研究时间为第8学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段：收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：20XX年12月—20XX年4月

泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数；对上式再次使用柯西中值定理，可得：

格林公式及其应用

格林公式及其应用摘要：格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。设D 为一平面区域，如果区域D 内任意区域所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。关键词闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分；引言格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有 ??? +=??-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ）（，其中L 是D 的取正向边界曲线格林公式转化的物理意义：二重积分——第二类曲线积分将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功定理1 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数P （x ，y ）及函数Q （x ，y ）在D 上具有一阶连续偏导数，则有 D D Q P Pdx Qdy dxdy x y +??? ??+=- ????????D y dxdy x P Q ???=??? 其中L 是D 的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式证明: (1)若区域D 既是-X 型又是-Y 型,即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点. }),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=??}),()(),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ dx x Q dy dxdy x Q y y d c D ??????=??)()(21ψψ ??-=d c d c dy y y Q dy y y Q )),(()),((12ψψ x x x

泰勒公式及其应用论

本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成日期：2012年 5月20日

泰勒公式及其应用内容摘要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用. 通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础. 关键词：泰勒公式 Lagrange余项 Peano余项应用

The Taylor Formula and The Application Of Taylor Formula Abstract This paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula. By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference. Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application

泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<

泰勒公式及其应用

泰勒公式的应用内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。关键词：泰勒公式皮亚诺余项级数拉格朗日余项未定式

目录内容摘要 0 关键词 0 1.引言 (2) 2.泰勒公式 (2) 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 (2) 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (2) 2.3带有积分型余项的泰勒公式 (2) 2.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3) 3.泰勒公式的应用 (3) 3.1利用泰勒公式求未定式的极限 (3) 3.2利用泰勒公式判断敛散性 (6) 3.3 利用泰勒公式证明中值问题 (11) 3.4 利用泰勒公式证明不等式和等式 (13) 4. 结束语 (19) 参考文献 (20)

1.引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法。 2.泰勒公式 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间至少?一个ξ使得：当0x =0时，上式称为麦克劳林公式。 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数,则对此邻域内的点x 有: 2.3带有积分型余项的泰勒公式

格林公式的一个应用

格林公式的一个应用 ABC (200806034130) (重庆三峡学院数学与计算机科学学院08级数学与应用数学) 摘要与一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式一样。二元微积分学中有格林公式。格林公式的定义以及运用格林公式给出平面上任意多边形的面积公式和重心坐标公式。关键词格林公式、多边形、面积公式、重心坐标公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式,表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示. 无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式. 1 格林公式的定义: 若二元函数(),P x y 与(),Q x y 以及 P y ?? 与Q x ?? 在光滑或逐段光滑闭曲线C 围成的闭区域D 连续，则 D L Q P dxdy Pdx Qdy x y ?? ??-=+ ????? ??? 其中L 为区域D 的边界线，并取正方向. 如果令,P y Q x =-= 则: 1 2D L dxdy xdy ydx = -??? 这就是我们熟知的求区域D 的面积的一种方法.实际上，若令0,,P Q x ==(或 ,0P y Q =-=)则有： ()L L D dxdy xdy y dx =-=?? ?? (1) 下面我们就用（1）式来求多边形的面积及用类似的式子求多边形的重心坐标.

2 运用格林公式求多边形的面积设平面正向（逆时针方向）多边形12n PP P 个顶点i P 的坐标为(),x y ,()1,2i n = 则其面积为： ()()()111111 1122n n i i i i i i i i i i S x x y y x y x y ++++===+-=-∑∑ ()11n P P += 证明：由（1）式，多边形12n PP P 的面积 () 12231 P P P P PnPn D L S dxdy xdy xdy +===?+?++???? 由于直线1i i PP +的方程为： i y y -= 11i i i i y y x x +-+-()i x x - 故当1()i i x x +≠时 ()()()1 22111111 1111 22 i i x i i i i i i i i i i PiPi x i i i i y y y y xdx x dx x x x x y y x x x x +++++++++--? ==-=+---? 当1i i x x +=时 ()()() 1 11 111 2i i i i i y i i i i i i i PP y xdx x dy x y y x x y y +++++==-= +-?? 所以： ()()111 12n i i i i D L i S dxdy xdx x x y y ++====+-∑??? () 1 11 12i n i i i i x y x y ++==-∑ ()11n P P += 3 运用格林公式求多边形的重心坐标设平面正向（逆时针方向）多边形12n PP P 个顶点i P 的坐标为(),x y ,()1,2i n = 则其重心坐标为： ()() () 11111 11 13 n i i i i i i i n i i i i i x y x y x x x x y x y +++=++=-+=-∑∑ ()() () 11111 11 13 n i i i i i i i n i i i i i x y x y y y y x y x y +++=++=-+=-∑∑ ()11n P P += 证明:由物理学知道，非均匀薄片的重心坐标可由下式求得：

浅谈泰勒公式及其应用

论文提要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。

浅谈泰勒公式及其应用摘要：本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值. 关键词：泰勒公式泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明. 1 预备知识定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+ ()0n o x x +,即 ()()()()()()()()()().! !20002 00000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+?+-''+ -'+=为⑴式. ⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()n x x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公式. 当00=x 时，得到泰勒公式： ()()()()()()() n n x o n f x f x f f x f ++?+''+'+=! 0!20002. 它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式. 定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得

泰勒公式及其应用典型例题.

泰勒公式及其应用常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。【问题一】设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式

近似? 【问题二】若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成这里是与之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明：只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】以与为端点的区间或记为，。函数在上具有直至阶的导数，且函数在上有直至阶的非零导数，且于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有

三、几个概念 1、此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。当时，泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。为拉格朗日余项。 2、对固定的，若有

Green公式及其运用

Green 公式及其应用专业：机械设计制造及其自动化班级：机制111班姓名：王腊辉摘要利用格林公式的相对物理意义及数学性质把二重积分化为曲线积分．关键词闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分；引言格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有 ? ??+= ??- ??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ）（，其中L 是D 的取正向边界曲线格林公式转化的物理意义：二重积分——第二类曲线积分将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功１格林公式的内容格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下：设D 是平面有界闭域,D ?是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,()()()D C y x Q y x P ',,,∈　则 dxdy y P x Q Qdy dx P D D ?? ????? ????-??= ++ ? ?? ?? ??= D dxdy Q y P x 域,D ?是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,()()()D C y x Q y x P ',,,∈　则 dxdy y P x Q Qdy dx P D D ?? ???? ? ????-??= ++ ? ?? ?? ??= D dxdy Q y P x

２二重积分转化为曲线积分的一个定理及推论下面给出关于二重积分转化为曲线积分的一个定理并对它进行讨论．把二重积分??D dxdy y x f ),(转化为曲线积分,关键是适当的选择具有一阶连续导数的二阶函数 ),(),,(y x Q y x P ,使 ),(y x f y P x Q =??- ?? 在D 上恒成立．为此,我们有下面的２.１定理设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成,函数),(y x f 在D 上具有一阶连续倒数且 ),(321y x f k y f y k x f x k =??+??,0321≠++k k k 则 ))(,(1),(213 21ydx k xdy k y x f k k k dxdy y x f L D -++= ? ?? 其中L 取D 的正向边界曲线．证令),(2y x yf k P -=,),(1y x xf k Q =,于是 y f y k y x f k y P ??--=??22),(, x f x k y x f k x Q ??+=??11),(． ??? ?? ???+??++=??-??y f y k x f x k y x f k k y P x Q 2121),()( ),()(321y x f k k k ++=,D y x ∈),(．由格林公式得 ? ??++=-L D dxdy y x f k k k ydx k xdy k y x f ),()())(,(32121, 从而 ? ?? -++= L D ydx k xdy k y x f k k k dxdy y x f ))(,(1),(213 21．２.２推论设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成,函数),(y x f 在D 上具有一阶连续偏导数．则（i ）当01),(≠+=??k y x kf x f x 且时, ??? += L D dy y x xf k dxdy y x f ),(1 1 ),(；（ii ）当01),(≠+=??k y x kf y f y 且时, ?? ?+- =D L dx y x yf k dxdy y x f ),(1 1 ),(；

格林公式及其应用

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