拱桥问题和运动中的抛物线

拱桥问题和运动中的抛物线

1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．

3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．

一、情境导入

某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？

二、合作探究

探究点一：建立二次函数模型

【类型一】运动轨迹问题

某学校初三年级的一场篮球比赛中，如

图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20

9米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球

出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？

解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．

解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，20

9)，B (4，4)，C (7，

3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－1

9(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所

以此球一定能投中．

(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．

【类型二】拱桥、涵洞问题

如图是一个横断面为抛物线形状的拱

桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．

解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝

a ×22，a ＝－12

，∴y ＝－12

x 2，当y ＝－3时，－1

2

x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.

方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直

角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．

如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

(2)求出这条抛物线的函数关系式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．

解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．

(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即

a ＝－

112.所以此函数关系式为y ＝－

1

12

(x －6)2＋6＝－

1

12

x 2＋x ＋3.

(3)设A (m ，0)，则B (12－m ，0)，C (12－m ，－

1

12m 2＋m ＋3)，D (m ，－

1

12

m 2＋m

＋3)．即“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－

1

12

m 2＋m ＋3)＋(12－2m )＋(－

1

12

m 2＋m ＋

3)＝－1

6m 2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m ＝0时，AD ＋DC ＋CB 有最大

值为18.

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.

抛物线与实际问题的专题练习

抛物线与实际问题的专题练习 桥·隧道：【基础题型】 1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴，且AB＝4，OC ＝1，则点A的坐标为，点B的坐标为；代入解析式可得出 此抛物线的解析式为。 2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是： 2 5.1 60t t s- =.飞机着陆后滑行(m)后才能停下来. 例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。 例题2如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m 时：（1）求水面的宽度CD为多少米？ （2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。 ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这 艘游船能否从桥洞下通过？ ②若从水面到棚顶的高度为 7 4 m的游船刚好能从桥洞下通过，则这艘穿的最 大宽度是多少米？

1、（2013中考逼真9）许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右 两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为21 1040 y x =-+，并且BD=12CD. （1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长； （2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长； （3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式. 2、(七一2013年5月)一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示）, 拱高6m , 跨度20m , 相邻两支柱间的距离均为5m ． (1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度； (3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要 求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？ 图1 图2 2 、球类问题 例题1：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为8米，当 球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。 ⑴问此球能否投中？ ⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?

(完整)高中物理抛物运动典型问题

【例6】如图所示,从倾角为θ的斜面上的A点以速度V0平抛一个小球,小球落在斜面上的B点.则小球从A到B的运动时间 为 . 【例7】如图所示，将一小球从原点沿水平方向的O x轴抛出，经一段时间到达P点，其坐标为(x0,y0)，作小球运动轨迹在P点切线并反向延长，与O x轴相交于Q点，则Q点的x 坐标为： A． 2 2 y x B．x0 / 2 C．3x0 / 4 D．与初速大小有关 【例8】如图为某小球做平抛运动时，用闪光照相的方法获得的相片的一部分,图中背景方格的边长为5cm，g=10m/s2，则 （1）小球平抛的初速度vo= m/s （2）闪光频率f= H2 （3）小球过A点的速率vA= m/s H v0 37 y0 x0 P θ Q O y v

【例9】如图所示，A 、B 两球间用长6m 的细线相连，两球相隔0.8s 先后从同一高度处以4.5m/s 的初速度平抛，则A 球抛出几秒后A 、 B 间的细线被拉直？在这段时间内A 球的位移是多大？不计空气阻力，g=10m/s2。 【例10】光滑斜面倾角为θ，长为L,上端一小球沿斜面水平方向以速度v0抛出，如图所示。求小球滑到底端时水平方向的位移多大？ 【例11】：如图5所示，AB 为斜面，倾角为030，小球从A 点以初速度0v 水平抛出，恰好落到B 点，求： （1）AB 间的距离； （2）物体在空中飞行的时间； （3）从抛出开始经过多少时间小球与斜面间的距离最大？ 【例12】两质点在空间同一点处同时水平抛出，速度分别为v1=3.0m/s 向左和v2=4.0m/s 向右，取g=10m/s2 ，求： ① 两个质点速度相互垂直时，它们之间的距离 ②当两个质点位移相互垂直时，它们之间的距离 A B C B A B ′ A θ A V 0 Vy v /t 300 V 0 图5

抛物线中动点问题讲义

第一讲抛物线中的动点问题 一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积） 直接转化为函数或方程。 一、平行四边形与抛物线 【例】如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上； （3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l 与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形． 变式演练 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． （1）求A、B两点的坐标． （2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标． （3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点N．其顶点为D．

与二次函数有关的运动问题

与二次函数有关的运动问题 1. 已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x1，0)．与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x2＋t上． (1)求点C的坐标； (2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值． 2.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． １

3.如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B 以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 4.(14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式； （3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标． ２

九年级数学上册 21.4 二次函数的应用 第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题同步练习

21.4 第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题 知识点 1 体育运动型 1．小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度h (m)与发球的时间t (s)满足关系式h ＝－2t 2＋2t ＋2，则小李发球后0.5 s 时，羽毛球飞行的高度为( ) A ．1.5 m B ．2 m C ．2.5 m D ．3 m 2．小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( ) A ．0.71 s B ．0.70 s C ．0.63 s D ．0.36 s 图21－4－13 3．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2 ＋3.5的一部分(如图21－4－ 14)．若恰好命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( ) A ．3.5 m B ．4 m C ．4.5 m D ．4.6 m 图21－4－14 知识点 2 水流抛物型 4．如图21－4－15，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线y ＝－1 5(x ＋ 1)(x －7)的一部分．铅球落在A 点处，则OA ＝________米． 图21－4－15 5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21－4－16，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A ．4米 B ．3米 C ．2米 D ．1米

图21－4－16 5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21－4－16，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A．4米B．3米C．2米D．1米 6．如图21－4－17(a)，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到最大高度2.25 m，试在恰当的平面直角坐标系中求出该抛物线形水流对应的二次函数表达式． 图21－4－17 学生小龙在解答该问题时，具体解答如下： ①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图 (b)所示的平面直角坐标系； ②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝ax2； ③根据题意可得点B与x轴的距离为1 m，故点B的坐标为(－1，1)； ④代入y＝ax2，得1＝a×(－1)2，所以a＝1； ⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝x2. 数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的．” (1)请指出小龙的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是____________________； (2)请写出正确的解答过程．

二次函数应用(1)抛物线形问题

课题:30.4二次函数应用1----抛物线形问题 时间： 姓名： 学习目标:1.能根据题意建立适当坐标系，求出二次函数解析式 2. 会运用二次函数性质及其图像的知识解决现实生活中的抛物线形问题 一、知识链接: 1.二次函数y=a(x-h)2 +k 的顶点坐标为（2,4）且过点（0，1）则其解析式为 二、新知初探： 如图，一位运动员在距篮框水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ （3）你还有其它建坐标系的方法吗？不同坐标系所对应的的解析式有何异同？得到的第（2）问答案是否相同？ 题组训练： 1.如图，在相距2m 的两棵树上栓了一根绳子做成一个简易秋千，栓绳子的地方都高出地面 2.6m ，绳子自然下垂近似呈抛物线形．当身高1.1m 的小妹距较近的那棵树0.5m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______m ． 2. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美 丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米。 (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； (2)求出水柱的最大高度的多少? 达标测评： 1. 一座拱桥的轮廓呈抛物线形，拱高6米，跨度为20米，相邻两立柱间的距离均为5米. （1）建立适当的直角坐标系，求这条抛物线的表达式. （2）求立柱EF 的长. （3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3 米的汽车能够通过 （车顶与桥拱的距离不小于 0.3米），行车道最宽可铺设多少米？ （提升题）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点相距83 米． （1）求出点A 的坐标；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点？

拱桥问题和运动中的抛物线

拱桥问题和运动中的抛物线 1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．

一、情境导入 某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？ 二、合作探究 探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如

图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20 9米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球 出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？ 解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小． 解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，20 9)，B (4，4)，C (7， 3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－1 9(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所 以此球一定能投中． (2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．

九年级数学上册教案 拱桥问题和运动中的抛物线

第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线 1．掌握二次函数模型的建立，会把实 际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策． 一、情境导入 某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？ 二、合作探究 探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题 某学校初三年级的一场篮球比赛 中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20 9米，与篮圈中心的水平距离为7 米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？ 解析：这是一个有趣的、贴近学生日常 生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点 的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否 在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高 3.1米的大小． 解：(1)由条件可得到球出手点、最高 点和篮圈的坐标分别为A (0，20 9 )，B (4，4)， C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次 函数关系式为y ＝a (x －h )2 ＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2 ＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中． (2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功． 【类型二】拱桥、涵洞问题 (2014·湖北潜江)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米． 解析：如图，建立直角坐标系，设这条 抛物线为y ＝ax 2 ，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22 ，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3 时，－12 x 2 ＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6. 方法总结：在解决呈抛物线形状的实际

九年级数学上册214二次函数的应用第3课时利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题同.docx

A. 4米 B. 3米 21.4 第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题 知识点1体育运动型 1. 小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度力（01）与发球的时间“S ）满足关系式力=一2产 + 2广+2,则小李发球后0.5 s 时，羽毛球飞行的高度为（） A. 1. 5 m B. 2 m C. 2. 5 m D. 3 m 2. 小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数力= 3. 5Z — 4. 的单位: s ； /?的单位：m ）可以描述他跳跃吋重心高度的变化，则他起跳后到重心最高吋所用的吋间约 是（） A. 0. 71 s B. 0. 70 s C. 0. 63 s D. 0. 36 s 5. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21-4-16,以水平地面为x 轴，出水点为 原点，建立平面直角坐标系，水在空屮划出的曲线是抛物线y=-/+4%（单位：米）的一部 分，则水喷出的最大高度是（） 3.小明在某次投篮中, 14）.若恰好命中篮圈中心, A ? 3. 5 m B ? 4 m 图 21-4-13 球的运动路线是抛物线￡#+3.5的一部分（如图21-4- 则他与篮底的 距离，是（） C. 4. 5 m D ? 4. 6 m 3.05 ir O , III, —J x(m) 图 21 —4—14 知识点2水流抛物型 4. 如图21-4-15,小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线尸-扣 + 1）匕一7）的一部分.铅球落在/点处，则创= __________ 米. 重心 C. 2米

图21-4-16 5.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21—4—16,以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-#+4水单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是() A. 4米 B. 3米 C. 2米D?1米 6.如图21-4-17(a),某灌溉设备的喷头〃高11!地面1.25 m,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到最大高度2. 25 ni,试在恰当的平面直角坐标系中求出该抛物线形水流对应的二次函数表达式. 图21-4-17 学生小龙在解答该问题吋，具体解答如下： ①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图(b)所示的平面直角坐标系； ②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为尸日 ③根据题意可得点〃与;V轴的距离为1 m,故点〃的坐标为(-1, 1)； ④代入7= ax，得1= aX ( — 1)",所以臼=1； ⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为 数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的.” (1) _______________________________ 请指出小龙的解答从第步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程. 7.［教材习题21.4第4题变式］如图21-4-18,某学生的一次抛物线形传球，球出手 (点力 处)的高度是亍叫出手后球沿抛物线运动到最高点时，运行高度y=3 m,水平距离廿=4 m. (1)试求篮球运行的高度y与水平距离xZ间的函数表达式； (2)若队友接球的最佳高度约为| m,则队友距这名学生多远处接球？ (3)此时防守队员断球的最大高度是2.25 ni,则这名学生传球瞬间，防守队员距他多远才能抢断成功？

初中数学拱桥问题和运动中的抛物线

初中数学拱桥问题和运动中的抛物线 1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．

一、情境导入 某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？ 二、合作探究 探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如

图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20 9米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球 出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？ 解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小． 解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，20 9)，B (4，4)，C (7， 3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－1 9(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所 以此球一定能投中． (2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．

第3课时-利用二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题听课手册.docx

21.4第3课时 利用二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题 知I 识I 目I 标 通过对抛物线形运动轨迹问题的分析，构建二次函数模型，会利用二次函数的性质解决 抛物线形运动轨迹问题. V 目标突破 _____________ 有妁放黄 目标 会利用二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题 例1 ［教材补充例题］一枚火箭发射后，它的高度/?(m)与运动时间r(s)之间的关系可用 /?=-5r 2+150r+10表示.火箭运动的轨迹是开口向下的抛物线，当火箭到达抛物线的顶点 时，即为火箭的最高点.故将抛物线的函数表达式配方成顶点式为h= _________________________ ，则经 过 ______ s 后火箭到达最高点，最高点的高度是 __________ m . 例2 ［教材补充例题］某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中 的运动路线是如图21-4-6所示坐标系下经过原点O 的抛物线(图中标出的数据为己知条 件).在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面io|米，入水处距池 边4米.运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势， 否则就会岀现失误. (1) 求这条抛物线的函数表达式； (2) 在某次试跳屮，测得运动员在空中的运动路线是(1)屮的抛物线，且运动员在空屮调整 好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，此次跳水会不会出现失误？ 【归纳总结】解决抛物线形运动问题的两个注意点： (1) 首先要找岀问题中的变量和常量，以及它们之间的关系，并建立适当的直角坐标系， 特别要注意将已知的高度或水平距离转化为点的坐标，以便代入函数表达式； (2) 用二次函数表达式将问题中的变量和常量的关系表达出来，将相关点的坐标代入所设 函数表达式，确定二次函数表达式，进而解决问题.选择恰当的平面直角坐标系可使解决问 题的过程更简捷. 面 j 水

平抛运动问题归类求解

平抛运动问题归类求解 江西省临川一中 钟瑞文 题1、（08全国理综卷I ）如图所示，一物体自倾角为 e 的固定斜面顶端沿水平方向抛 出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角 0 =sin e 0 =cos e 0 =tan e 0 =2tan e 平抛运动的常见问题及求解思路 ： 关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周 运动组合的问题、 有平抛运动与天体运动组合的问题、 有 平抛运动与电场（包括一些复合场） 组合的问题等。 1、从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度 求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上 的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。 ［例1］如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在 A 处越过x =5m 的壕沟，沟 面对面比A 处低h =,摩托车的速度至少要有多大 解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间 ,何）2 1.25 C L t T — 、|1 s 0.5s V g V 10 在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为 解析：先将物体的末速度 V t 分解为水平分速度 V x 和竖直分速度V y （如图2乙所示）。根 据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以 面垂直、V y 与水平面垂直，所以 V t 与V y 间的夹角等于斜面的倾角 — —m/ s 10m/ s t 0.5 2、从分解速度的角度进行解题 对于一个做平抛运动的物体来说， 如果知道了某一时刻的速度方向， 则我们常常是“从 分解速度”的角度来研究问题。 ［例2］如图2甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地 撞在倾角e 为30。的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是 A.迥 S B. 2/3 s 3 3 V o C. V 3s D. 2s v y 区 V t X 30° V x V 0 ;又因为V t 与斜 。再根据平抛运动的分 v o 甲

用抛物线方程解平抛运动问题

用抛物线方程解平抛运动问题 我们知道平抛物体运动的轨迹是一条抛物线，如果能够巧妙的运用抛物线方程来解平抛物体的运动问题，往往会使问题更简单。下面通过两例来说明这一问题： 例1 在《研究平抛运动》的实验中某同学用笔尖确定小球通过空中A 、B 、C 三点位置如右图1所示。以A 为坐标原点，设立图示坐标系。根据图中数据，可知小球平抛的初速度为多 少？做平抛运动的初始位置坐标为多少？ 【解析】平抛运动的轨迹是一条抛物线，抛物线方程的一般形式是 y=ax ＋bx ＋c 将A （0，0）、B （10，15）、C （30，75）三点坐标值代入方程y=ax 2＋bx ＋c 可确定 a=1 20 , b=1, c=0. 所以平抛运动的轨迹方程为 y=120 x 2＋x 其顶点坐标为 x 0= -b/2a= -1/(2×120 )= -10cm y 0=(4ac －b 2)/4a= -12/(4×120 )= -5cm 所以其初位置坐标为（-10cm ，-5cm ） 再求平抛初速度v 0。从抛出点到A 点，有位移方程 x 方向： 0－（-0.1）=v 0t y 方向： 0－（-0.05）= 12 gt 2 消去t 得 v 0=1m/s 例2 从离地面高为H 的A 点平抛一物体甲，其水平射程为2S 。 在A 点正上方且离地面高为2H 的B 点，以相同方向平抛另一物体乙，其水平射程为S 。两物体在空中的运动轨迹在同一竖直平面内，且都从同一个屏M 的顶端擦过。求屏的高度。 【解析】根据平抛运动知识作出甲、乙两物体的运动轨迹，并 建立直角坐标系，如右图2所示。 抛物线方程的一般形式为 y= ax 2＋bx ＋c 因两抛物线关于y 轴对称，所以b=0 将A (0,H)、F (2S ,0)和B （0，2H ）、E （S ，0）分别代入抛物线 方程y= ax 2＋c 可确定a 1=－S H 24 H c =1 S a H 222-= H c 22= 所以A 、B 的抛物线方程分别为 x S y H A 2 24?-=H 2+

高中物理抛物运动典型问题

抛物运动典型问题 抛物运动解题 1.从速度关系入手：根据速度中合速度和分速度的方向（角度）和大小关系进行求解 2.从位移关系入手：根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解 【例1】做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是： A ．大小相等，方向相同 B ．大小不等，方向不同 C ．大小相等，方向不同 D ．大小不等，方向相同 如何用图形来表示呢？ 【例2】从高为h 的平台上，分两次沿同一方向水平抛出一个小球,如右图.第一次小球落地在a 点,第二次小球落地在b 点，ab 相距为d 。已知第一次抛球的初速度为v1，求第二次抛球的初速度v2 是多少？ 【例3】在海边高45m 的悬崖上，海防部队进行实弹演习，一平射炮射击离悬崖水平距离为1200m ，正以10m/s 的速度迎面开来的靶舰，击中靶舰（g 取10m/s2）试求： （1）炮弹发射的初速度 （2）靶舰中弹时距离悬崖的水平距离 【例4】小球从空中以某一初速度水平抛出，落地前1s 时刻，速度方向与水平方向夹30°角，落地时速度方向与水平方向夹60°角，g ＝10m/s2，求小球在空中运动时间及抛出时的初速度。 【例5】如图所示，在倾角为370的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，试求小球抛出时的初速度和飞行时间。 h v 1 v 2 b a v 炮 v 船 h S

【例6】如图所示,从倾角为θ的斜面上的A 点以速度V0平抛一个小球,小球落在斜面上的B 点.则小球从A 到B 的运动时间 为 . 【例7】如图所示，将一小球从原点沿水平方向的O x 轴抛出，经一段时间到达P 点，其坐标为(x0,y0)，作小球运动轨迹在P 点切线并反向延长，与O x 轴相交于Q 点，则Q 点的x 坐标为： A ．2020y x B ．x 0 / 2 C ．3x 0 / 4 D ．与初速大小有关 【例8】如图为某小球做平抛运动时，用闪光照相的方法获得的相片的一部分,图中背景方格的边长为5cm ，g=10m/s2，则 （1）小球平抛的初速度vo= m/s （2）闪光频率f= H2 （3）小球过A 点的速率vA= m/s H v 0 37 y 0 x 0 P θ Q O y v

九年级数学：利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题练习

九年级数学：利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题练习 知识点 1 体育运动型 1．小李打羽毛球时,若羽毛球飞行的高度h(m)与发球的时间t(s)满足关系式h＝－2t2＋2t＋2,则小李发球后0.5 s时,羽毛球飞行的高度为( ) A．1.5 m B．2 m C．2.5 m D．3 m 2．小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳,函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s；h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化,则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( ) A．0.71 s B．0.70 s C．0.63 s D．0.36 s 图21－4－13 3．小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y＝－1 5 x2＋3.5的一部分(如图21－4－ 14)．若恰好命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是( ) A．3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m 图21－4－14 知识点 2 水流抛物型 4．如图21－4－15,小明在校运动会上掷铅球时,铅球的运动路线是抛物线y＝－1 5 (x＋ 1)(x－7)的一部分．铅球落在A点处,则OA＝________米．

图21－4－15 5．某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图21－4－16,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分,则水喷出的最大高度是( ) A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 图21－4－16 5．某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图21－4－16,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分,则水喷出的最大高度是( ) A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 6．如图21－4－17(a),某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到最大高度2.25 m,试在恰当的平面直角坐标系中求出该抛物线形水流对应的二次函数表达式． 图21－4－17 学生小龙在解答该问题时,具体解答如下： ①以水流的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图(b)所示的平面直角坐标系； ②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝ax2；