线性代数同济六版知识点总结

1。 二阶行列式——-----—对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用 表示， = n!

逆序数:对于排列

…

，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 4. 其中： 是1，2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5。

下三角行列式： 副三角跟副对角相识

对角行列式： 副对角行列式：

6。 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。 （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 :两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行:

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如:

33323123222113

12

11

a a a a a a a

a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113

12113j 2j 1j )

j j t (j 33

a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111

...a a a a ...a a 0a a a = n

...λλλλλλ21n 21= n

21λλλ

n

2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n

1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a a

a b a a

⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如

第j 列的k 倍加到第i 列上:

7。 重要性质:利用行列式的性质

或

,可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶

行列式的值。（P11页例7)

8. 行列式按行（列)展开法则（＊＊＊重要*＊＊） ①重要概念：

余子式：在 n 阶行列式中,把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的（ n ?1 )2

个元素按原来的排法构 成的 n ? 1 阶行列式 叫做a ij 的余子式，记为M ij

代数余子式：记 A ij = （ ?1 ) i+j

M ij 为元素 a ij 的代数余子式 . ②重要性质，定理

1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。

2）行列式按行（列)展开法则：行列式等于它的任意一行（列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即:

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或

使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素 通过性质化为0，则D = a ij A ij 9。 利用Cramer 法则求解n 个n 元线性方程组：

①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0,则无解

其中

（j=1,2…n ） 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n 阶行列式

即：

②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D ≠ 0，则该方程组只有零解,若D = 0，则存在非零解.

n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a

+++n n

n j n i n 12n

2j 2i 21

1n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= nj

nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= j i 0A a A a A a j n i n j 2i 2j 1i 1≠=+++ j i 0A a A a A a n j n i 2j 2i 1j 1i ≠=+++ 或 0

a a a a a a a a a D nn n2n12n

22211n

1211≠= D D x ,,D D x ,D D x n n 2211=== n.

,1,2,j a a b a a a a b a a a a b a a D nn 1j n,n 1j n,n12n

1j 2,21j 2,211n

1j 1,11j 1,11j ==+-+-+-

第二章

1. 矩阵相关的概念：

矩阵:由 m ×n 个数

(i=1，2，…,m ； j=1，2，…，n ）排成的 m 行 n 列的数表（是一组数）。

行（列)矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列)向量。

同型矩阵:行数，列数均相等的两个矩阵

A=B : 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等.

零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的. 对角矩阵:对角线元素为

12,,,n

λλλ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵,

()12

12

diag ,,

,n n λλλλλλ??

?

?== ? ? ???

Λ

1

11??

? ?= ? ? ???E

2. 矩阵的运算

1）加法:只有两个矩阵为同型矩阵时,才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来.满足交换律和结合律 2）数与矩阵相乘

①()()A A λμλμ=，②()λμλμ+=+A A A ，

③()λλλ+=+A B A B

3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；

乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；

11221

s

i j i j is ij sj k k k i j

c a b a b a b a b ==++

+=∑

即:乘积矩阵的第i 行，第j 列元素为前一个矩阵的第i 行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。

注意:一般情况下：AB ≠ BA. 但是满足结合律和分配律。

EA = AE = A

4）矩阵的幂:若 A 是 n 阶方阵,则：

显然:

22222

()()2

()()k k k

AB A B A B A AB B A B A B A B =+=+++-=-

3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作A T

. 如：

A 、

B 可交换时才成立

, ()k l k l k l kl

A A A A A +==122,458A ??= ???1425;28T

A ??

?= ?

???

1112

12122211

n

n m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ??

?

?== ?

?

??

性质：

设A 为n 阶方阵,如果满足 ，即

，则A 为对称阵

如果满足

，即

，则A 为反对称阵

4。 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵 A 的行列式，记作|A ｜或det A .

性质：①T

||||=A A ,②||||n

λλ=A A ,③||||||=AB A B .

5. 伴随矩阵：其中是

的代数余子式,*A 称为A 的伴随矩阵.（特别注意符号）

6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A ，如果有 n 阶方阵 B ，使得AB = BA = E ，则称A 可逆，

B 为A 的逆矩阵，记为

。且A 的逆矩阵是唯一的. 判断方阵A 是否可逆: ≠ 0

A 可逆，且逆矩阵

推论：若 ≠ 0，则。此时称A 为非奇异矩阵.若，则称A 为奇异矩阵. 二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调,副对角线两数反号。

单位矩阵E 是可逆的

。零矩阵是不可逆的。

对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数.

推论：如果 n 阶方阵A 、B 可逆，那么

、

、 λA (λ≠0)、AB 也可逆

且：

用逆矩阵求解线性方程组：

已知

，若AB 可逆，则

（A 在X 左边，则必须在C 左边，B 也如此）

7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块;

每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 分块矩阵的运算：(其运算与矩阵运算基本一致）

1）加法：要求矩阵A 和B 是同型矩阵,且采用相同的分块法（即相对应的两个子块也是同型的)

2）分块矩阵A 的转置

：除了A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。

8. 分块对角矩阵： 设 A 是 n 阶矩阵，若：

①A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， (3) ();

T T A A λλ=(4) ().

T T T AB B A =1121112

22212n n n n

nn A A A A A A A A A A *?? ? ?= ? ?

??注意：元素的代数余子式是位于

的第j 行第i 列（类似于转置） 性质：

A = ----->

11(),

A A --=11()(),

T T A A --=1

11(),A A λλ

--=111().

AB B A ---=（5）

1

2

A A A ?? ?

?= ?

②其余子块都为零矩阵

③对角线上的子块都是方阵

则称A 为分块对角矩阵.

性质:①｜ A | = | A 1 | ｜ A 2 | … ｜ A s |

②若｜ A s ｜ ≠0，则 | A ｜ ≠0,并且

分块副对角矩阵:

A = O 的充分必要条件:

第三章

1. 初等行变换：(运算符号：）—-—— 注意与行列式的运算加以区分

①互换两行，记做

②第i 行乘以非0常数k ，记做

③第j 行的k 倍加到第i 行上,记做

2。 若矩阵A 经过有限次初等变换成矩阵B ，则称A 与B 等价，记做

的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B

3。 矩阵之间等价关系的性质：

①反身性: ②对称性：若,则 ③传递性：若

，

,则

4. 行阶梯形矩阵：

1）可画出一条阶梯线,线的下方全为零; 2）每个台阶只有一行;

3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素. 行最简形矩阵：

4）非零行的首非零元为1；

5）首非零元所在的列的其它元素都为零.

5。 初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的） 1）单位矩阵对换i ，j 行，记作

2）以常数 k ≠0 乘单位矩阵第 i 行(列）， 记作

3)以 k 乘单位矩阵第 j 行加到第 i 行,记作

性质1：左行右列

设A 是一个 m ×n 矩阵，

对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.

性质2:方阵A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P 1, P 2， …, P l ,使 A = P 1 P 2 …, P l ．

推论：方阵 A 可逆的充要条件是

如果 ，则存在可逆矩阵P,使PA = B.? ：即当A 变换成B 是时，E 变为P(求P)

求方阵A 的逆矩阵 方法总结：

方法1：①判断A 可不可逆：若

? A 可逆 --— 书中P41页

1

11121s A A A A ----?? ? ?=

?

?

??

?

~r

A E r r

②

：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号

方法2：本身蕴含了判断A 可不可逆的条件，即 ? A 可逆 -—— 书中P64页例2

：即对矩阵 (A,E) 进行初等行变换，当A 变成E 时，E 就变成了所求的

求

：该方法用来求方程组

? -—— 若，可先化为

方法: ：即对矩阵 （A ，B ） 进行初等行变换，当A 变成E 时，B 就变成了所求的

二、 矩阵的秩

1. k 阶子式:在 m ×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列（ k ≤ m ,k ≤ n )，位于这些行列交叉处的 k 2

个元素，不改变

它 们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．

m ×n 矩阵A 的k 阶子式共有 个

2。 矩阵的秩:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D ，且所有r +1 阶子式(如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R （A ).零矩阵的秩等于0。 常用： 1）对于n 阶方阵A ，R(A) = n (称A 满秩） ? ? A 可逆

2）若 ，则R （A) = R(B)

3)对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数

4）

5)若P 、Q 可逆，则R(PAQ) = R （A) (∵）

即:可逆矩阵与任何矩阵A 相乘，都不会改变所乘矩阵A 的秩 6）max { R(A ）， R(B) } ≤ R(A, B) ≤ R(A) + R （B)

当B = b 为非零列向量时，R （A ） ≤ R(A ， B) ≤ R （A) +１ 7）R(A+B ） ≤ R(A ） + R （B ）

8）R （AB ） ≤ min ｛R (A )， R （B ）} 3。 线性方程组的解 n 元非齐次线性方程组 --— P75页例13 P79页17题 1)无解 ? 2)有解 ?

n 元齐次线性方程组

有非零解 ? R （A ) 〈 n

第四章

一、向量组及线性组合

1。 n 维向量：n 个有次序的数 a 1 , a 2 ， …, a n 所组成的数组。这 n 个数称为该向量的 n 个分量， 第 i 个数 a i 称为第 i 个分量．

2. 向量组：若干个同维数的列向量(行向量）所组成的集合

3. 给定向量组 A ：a 1, a 2， …， a m ，对于任何一组实数k 1， k 2， … , k m ，表达式 k 1a 1 + k 2a 2 + … + k m a m

称为向量组 A 的一个线性组合。k 1, k 2, …， k m 称为这个线性组合的系数．

4. 给定向量组 A ：a 1, a 2， …， a m 和向量 b ，如果存在一组实数 l 1, l 2, …， l m ，使得

r r

r 求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵

①有唯一解 ? ②有无限解 ?

b = l 1a 1 + l 2a 2 + … + l m a m

则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示．

向量 b 能由向量组A 的线性表示 ? R(A) = R(A, b ） ? 方程组x 1a 1 + x 2a 2 + … + x m a m = b 有解 5。 设有向量组 A ：a 1, a 2, …, a m 及 B ：b 1, b 2， …, b l ， 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示．若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价．

两个向量组等价 ? R （A) = R(B ） = R(A ， B ）

6. 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 ? 存在矩阵K,使B = AK ? 矩阵方程AX=B 有解

? R （A ） = R(A,B) ? R(B ） ≤ R（A) （这是必要条件） 二、向量组的线性相关性

1. 给定向量组 A ：a 1， a 2, …， a m ，如果存在不全为零的实数 k 1， k 2， …, k m ，使得 k 1a 1 + k 2a 2 + … + k m a m =0(零向量)

则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的．

2。 只含一个向量a 的向量组A,当a = 0时，A 线性相关； a ≠ 0时，A 线性无关 只含两个向量a 1, a 2的向量组A ，线性相关 ? a 1, a 2 的分量对应成比例.

向量组A ：a 1， a 2, …, a m (m≥2)线性相关 ? 向量组A 中至少存在一个向量能由其余m-1个向量线性表示。 3. 向量组A 线性相关 ? m 元齐次线性方程组Ax = 0有非零解 ? R (A ) < m 向量组A 线性无关 ? m 元齐次线性方程组Ax = 0只有零解 ? R (A ) = m

4. n 维单位坐标向量组E:e 1， e 2， … , e n ，是线性无关的,且是最大的线性无关组之一。

维单位坐标向量组E ：e 1， e 2, … , e n 能由向量组A :a 1， a 2， …， a m 线性表示 ?. R (A ） = n 5. 定理

1）若向量组 A :a 1, a 2, …， a m 线性相关， 则向量组 B ：a 1， a 2, …, a m , a m +1 也线性相关． 其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． 2）m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时,一定线性相关． 特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关．

3)设向量组 A :a 1， a 2， …, a m 线性无关， 而向量组 B :a 1， a 2， …， a m , b 线性相关， 则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的 三、向量组的秩

1.

设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r 个向量a 1, a 2， …,a r ，满足 ①向量组 A 0 :a 1， a 2， …， a r 线性无关；

②向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话)都线性相关; 那么称向量组 A 0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．

最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作R A 。R A ≤ 向量组A 中向量的个数 只含零向量的向量组没有最大无关组,秩 = 0。 2。 向量组 A 和它自己的最大无关组 A 0 是等价的．

推论:向量组A 0线性无关；向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A 0 线性表示； 那么称向量组 A 0 是向量组 A 的一个最大无关组．

3。 全体 n 维向量构成的向量组记作R n ,向量组E 是R n 的一个最大无关组，且R n

的秩等于n 4。 矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩．

5. 矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。

如:向量组A ：a 1, a 2, a 3 , a 4， a 5,假设A 0:a 1，a 2,a 4是一个最大无关组，把a 3 ， a 5用a 1，a 2，a 4线性表示：

四、线性方程组的解的结构 可以看出： b 3 = ? b 1 ? b 2 b 5 = 4b 1 + 3b 2 ? 3b 4 所以 a 3 = ? a 1 ? a 2 a 5 = 4a 1 + 3a 2 ? 3a 4 11ξ??

21112101041121401103~46224000133697900000r A B ---???? ? ?-- ? ?== ? ?--- ? ?

-????

1。设有齐次线性方程组Ax = 0 ,如果x1 = ，x2= ,.。., x n= n为该方程组的解,则称

为方程组的解向量

2. 性质：若x = 1，x = 2 是齐次线性方程组Ax = 0 的解，则x = 1 + 2 还是Ax = 0 的解

若x = 是齐次线性方程组Ax = 0 的解，k 为实数，则x = k还是Ax = 0 的解

3。把Ax = 0 的全体解组成的集合记作S,若求得S的一个最大无关组S0：x= 1, x= 2， ..., x= t,那么Ax = 0 的通解可表示为x = k1 1 + k2 2 + … + k t t ．

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．

4。设m×n矩阵的秩R（A） = r，则n 元齐次线性方程组Ax = 0 的解集S 的秩R S = n ?r 即：Ax = 0 的解集S的秩等于未知数的个数减去系数矩阵的秩

5. 设n元齐次线性方程组Ax = 0 与Bx = 0 同解，则R(A) = R(B)

设A m×n B n×l = O （零矩阵）,则R（A) + R（B) ≤ n ．

6. 非齐次方程组的解的性质：

①若x = 1，x = 2 是非齐次线性方程组Ax = b的解，则x = 1? 2 是对应的齐次线性方程组

Ax = 0 （导出组）的解．

②若x = 是非齐次线性方程组Ax = b的解，x = 是导出组Ax = 0 的解,则x = + 还是Ax = b的解．

7。若x = 是Ax = b的一个特解，Ax = 0 的通解为 = c1+c2+…+c n—r n—r 于是：Ax = b的通解为 = c1+c2+…+c n—r n—r +

即：非齐通 = 齐通 + 非齐特特解：没有线性相关要求，只要是解就可以

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)

线性代数 基础和常考知识点

线性代数基础知识点 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ??????? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

√ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 （即：所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.记作：() ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A * -= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ?--???? 1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换

大一线性代数的知识点

2009年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则 (1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则 (1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则 4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积 (1) 2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶 主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法；

线性代数总结归纳

行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。

线性代数知识点总结归纳

线性代数知识点总结归纳 第一章行列式 知识点1：行列式、逆序数 知识点2：余子式、代数余子式 知识点3：行列式的性质 知识点4：行列式按一行（列）展开公式 知识点5：计算行列式的方法 知识点6：克拉默法则 第二章矩阵 知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律 知识点8：矩阵的乘法运算及运算律 知识点9：计算方阵的幂 知识点10：转置矩阵及运算律 知识点11：伴随矩阵及其性质 知识点12：逆矩阵及运算律 知识点13：矩阵可逆的判断 知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解 知识点16：初等变换的概念及其应用 知识点17：初等方阵的概念 知识点18：初等变换与初等方阵的关系

知识点19：等价矩阵的概念与判断 知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式 知识点21：矩阵的秩的概念与判断 知识点22：矩阵的秩的性质与定理 知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例 第三章向量 知识点25：向量的概念及运算 知识点26：向量的线性组合与线性表示 知识点27：向量组之间的线性表示及等价 知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念 知识点29：线性表示与线性相关性的关系 知识点30：线性相关性的判别法 知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系 知识点33：求向量组的最大无关组 知识点34：有关向量组的定理的综合运用 知识点35：内积的概念及性质 知识点36：正交向量组、正交阵及其性质 知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法 知识点38：向量空间（数一） 知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.

解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

考研线性代数知识点归纳

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

线性代数必考知识点归纳

线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2

解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-*****

线性代数知识点总结(第5章)

线性代数知识点总结（第5章） （一）矩阵的特征值与特征向量 1、特征值、特征向量的定义： 设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。 2、特征多项式、特征方程的定义： |λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。 |λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。 注:特征方程可以写为|A-λE|=0 3、重要结论： （1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量 （2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。 （3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。 △4、总结：特征值与特征向量的求法 （1）A为抽象的：由定义或性质凑 （2）A为数字的：由特征方程法求解 5、特征方程法： （1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn 注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略) （2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解） 6、性质： （1）不同特征值的特征向量线性无关 （2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1≤n-r（λi E-A）≤k i （3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii （4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则 （二）相似矩阵 7、相似矩阵的定义： 设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B 8、相似矩阵的性质 （1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似 （2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似 （3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和） 【推广】 （4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似 （三）矩阵的相似对角化 9、相似对角化定义： 如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。 注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量10、相似对角化的充要条件 （1）A有n个线性无关的特征向量 （2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量 11、相似对角化的充分条件： （1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关） （2）A为实对称矩阵

《线性代数》知识点 归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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