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全微分和热力学

2014届本科毕业论文

全微分与热力学

姓名：高盼

系别：物理与电气信息学院

专业：物理学

学号：100314015

指导教师：王保玉

2014年2月9日

摘要与关键字................................................................ II

0 引言...................................................... 错误！未定义书签。

1 全微分函数的基本性质...................................... 错误！未定义书签。

2 热力学基本方程及辅助热力学方程 (3)

2.1 物态方程 (3)

2.2 态函数内能U和熵S (4)

2.3 热力学基本微分方程 (5)

3 内能、焓、自由能及吉布斯函数的全微分和麦克斯韦关系 (5)

4 麦克斯韦关系的简单应用 (7)

4.1 熵的一般关系式 (7)

4.2 内能的一般关系式 (9)

4.3 焓的一般关系式 (10)

4.4 定压比热与定容比热的关系 (13)

摘要............................................................................................................................................................ II 关键词............................................................................................................................................................ II 参考文献. (14)

致谢 (15)

全微分与热力学

摘要

基本热力学状态函数及其辅助函数许多都是不可测量，必须将它们与可测量联系起来才便于确定，但数学推导过于复杂。本文从四个热力学基本方程出发, 利用函数全微分性质，对比研究可得出八个对应系数关系式，再对其二次微分得出四个麦克斯韦关系式，方便对热力学系统进行研究。

关键词

热力学基本方程；全微分；麦克斯韦关系；不可测量；可测量；热力学系统

Total differential and thermodynamics

Abstract

Many basic thermodynamic state function and the auxiliary function are measured, they must be linked with measurable just easy to determine, but the mathematical deduction is too complex.In this paper, in four fundamental equations of thermodynamics, the total differential properties, functions comparative study can be concluded that eight corresponding coefficient relation, again the second time differential draw four maxwell's equation, is convenient to study thermodynamics system.

Key words

The thermodynamic basic equations; Total differential; Maxwell relations; Immeasurability; Measurability; Thermodynamic system

0 引言

热力学是研究热能与其他形式能量的转换规律的科学，着重阐述工质的热力学性质、基本热力

过程以及热工转换规律，最终找出提高能量利用效率的方法，从而促进为人类文明的进步。[1]

热力学函数全微分关系式的推证，是要把热力学体系不易测量的热力学函数的全微分用实验易于测量的物理量如P 、V 、T 、S 、等温膨胀系数、等温压缩系数、等体热容、等压热容等表示出来，这样就可

以研究热力学系统求解实际问题了，如工质的性质、最大功的计算等。[2]

在这方面已有许多教材和报告给出证明，但是其中的数学推导步骤过于复杂，对于初学者来说很难接受。我作为一个学生，站在学生的角度，在在不失科学性的前提下，用尽量简单的数理知识总结出“四-八-四”关系式，通过此式，同学们不仅轻松接受，而且对热力学基本方程及其完整的微分性质有更加清晰的理解。此外熵、内能和焓的一般关系式中均含有定压比热或者定容比热，定压比热的测定较易，因此我们要设法找到两个比热的关系，从而由定压比热计算出定容比热，以避开实验测定定容比热的困难，最后根据利用“四-八-四”关系式导出基本热力学函数，就可以对热力学系统进行研究了。

1全微分函数的基本性质

设函数(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，如果函数在点(,)x y 的全增量

z (,)(,)f x x y y f x y ?=+?+?- 可以表示为 z ()A x B y O ρ?=?+?+

其中A 、B 不依赖于y x ??、而仅与y x 、有关，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，而

x A B y ?+?称为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记作dz 即

z y x z z d dx dy x y ??????

=+ ? ???????[3]

状态函数的全微分性质状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列

很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的一些基本定理。

[4]

设函数),(y x f z

=具有全微分性质

z y x

z z d dx dy x y ??????

=+ ? ?

?????? （1）则必然有

（1）互易关系

令式（1）中

()1,y z f x y x ???

????， ()2,x

z f x y y ???= ????

则 12y x f f y x ??????

? ????

??? （2）

互易关系与

?=0dz 等价。它不仅是全微分的必要条件，而且是充分条件。因此，可反过来检验某

一物理量是否具有全微分。

（2）循环关系

当保持

z 不变，即0=dz 时，由式（1），得

0=?

??? ????+???

????z x

z y dy y z dx x z 则 x

y z

y z x z x y ???? ????????

????-

=???? ????

1z y

x z y x y x z ?????????

? ? ??????????

（3）此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即))()((xzy yxz zyx 循环就行了。（3）变换关系

将式（1）用于某第四个变量ω不变的情况，可有

ωωωdy y z dx x z dz x

y ?

??? ????+???

????= 两边同除以ωdx ，得

y x z z z y x x y x ωω

????????????

=+ ?

? ? ????????????? （4）

式中：y x z ??? ????是函数),(y x z 对x 的偏导数；ω

??? ????x z 是以),(ωx 为独立变量时，函数),(ωx z 对

x 的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。

（4）链式关系

按照函数求导法则，可有下述关系：

1=???

??????? ????y

y z x x z （5）

1y y y

z x x z ωω?????????

? ? ??????????

（6）这是在同一参数（如

y ）保持不变时，一些参数),,,( ωx z 循环求导所得偏导数间的关

系。若将关系式中每个偏导数视为链的一环，则链式关系的环数可随所涉及参数的个数而增减。

2 热力学基本方程及辅助热力学方程

2.1物态方程

在介绍具体物质的物态方程前，先介绍几个与物态方程有关的物理量

体胀系数（压强保持不变的情况下，温度升高1K 所引起的物体体积的相对变化）

1P V V T α???

????

压强系数（体积保持不变的情况下，温度升高1K 所引起的物体压强的相对变化）

1V p p T β???=

????

等温压缩系数(温度保持不变情况下增加单位压强所引起的物体体积的相对变化）

1T T V V P κ???

=- ?

???[3]

由微分性质循环关系式（3）得

1T V P

V P T P T V ?????????=- ? ? ?????????? (7)

因此 T P ακβ= 三者之间可以转换

（1）理想气体的物态方程

PV nRT = (8) （2）简单固体和液体

由于固体和液体的膨胀系数是温度的函数，与压强近似无关，等温压缩系数可以近似看作常量，

因为 (,,)0f p V T = (,)V V p T = p T

V V dV dp dT p T ??????

=+ ? ???????

11T p

T dV V V dp dT dp dT V V p V T κα??????

=+=-+ ? ???????两端积分得

000V

p T T V p T dV dp dT V κα=-+??? 00(p p )(0T T T V V e κα--+-=） 00(p p )()

000,)(T ,)T T T V T p V p e κα--+-=（令 0

0p = 00(p p )()00,)(T ,0)T T T V T p V e κα--+-=（利用泰勒公式展开得

000(,)(,0)[1()]T V T P V T T T p ακ=+-- (9) （3）顺磁性固体

(,,)0f M H T = H 表示磁场强度 M 表示磁化强度 T 表示温度

实验测得一些物质的磁物态方程为 C

M H

T =

（10）

(C 为常数，其值因物质的不同而异）此式又称为居里定律。[5]

2.2态函数内能U 和熵S

（1）内能：焦耳所做实验表明，系统经绝热过程从初态到末态，在此过程中外界对系统所作的功仅

取决于系统的初、末态，而与过程无关,这个事实表明，可以用绝热过程中外接对系统所作的功

W 定义一个态函数U 在末态B 与初态A 之差

B A S U U W -=

如果系统经历的过程不是绝热过程，初、末态的内能变化等于外接对气体做的功与从外界吸收的热量之和，即：

B A U U W Q -=+ (11)

其微分形式是：

dU dQ dW =+ （12）

(2)熵函数：对于可逆过程有0dQ

T =?

，dQ 为系统从温度为T 的热源所吸收的热量。设想系统从初始状态A 经过可逆过程1到达终态B 后，又经过另一可逆过程2回到初始状态A ，这两个过程构

成一个循环过程,根据上式有 12

A B dQ dQ T T +=??

由于1、2是由A 态到B 态的两个任意过程，上式表明，在初始状态A 和终态B 给定后积分

A dQ T ?与可逆过程的路径无关。克劳修斯根据此性质引入一个态函数：B

A B A

S S T -=? 对上式取微分得

dS T =

(13)

此式表明在无穷小的可逆过程中，系统的熵变ds 与其温度T 及其在过程中吸取的热量

dQ 的关系。

[6]

关于熵应注意以下几点：1.仅适用于可逆过程，因为熵的定义式是由仅适合用于可逆循环的克劳修斯等式导出的。2.熵是态函数，系统的状态参量确定了，熵也就随之确定。熵通常是T 、V 或者T 、P 的函数。3.对于不可逆过程计算熵时，只需设计一个连接相同初、末状态的任一可逆过程即可，

然后就可以用（13）式或者它的积分形式进行熵的计算了。【7】

2.3热力学的基本微分方程

根据热力学第一定律得

dU dQ dW =+ (14) 在可逆过程中如果只有体积变化做功，有dW pdV =-。根据热力学第二定律，在可逆过程中有

dS T =

故得

dU TdS pdV =- (15)

式（15）综合了第一定律和第二定律，给出了在相邻的两个平衡态，状态变量U 、S 、V 的增量之间的关系，是热力学的基本微分方程.

3内能、焓、自由能及吉布斯函数的全微分和麦克斯韦关系

(1) 对（15）式全微分得

V S U U dU dS dV

S V ??????=+ ? ???????

与（15）式相比较得：

,V S

U U T p S V ??????==- ? ??????? (16)

由全微分的互易性质知：22U U V S S V ??=????，得 S V T P V S ??????

=- ? ??????? （17）

（2）对焓H 求微分得

dH dU pdV Vdp =++ 将（15）带入可得

dH TdS Vdp =+ （18)

其全微分形式是

p S H H dH dS dp S p ??????

=+ ? ?

?????? 与（16）相比较得 ,p S H H T V S p ??????== ? ??????? (19)

由全微分的互易性质知

22H H

S p p S ??=???? 故得：p S T T p S ??????= ? ??????? （20）

（3）自由能的定义是

F U TS =-

其微分形式是dF dU TdS SdT =--将（15）带入可得dF pdV SdT =--

同理可得 ,V T

F F S p T V ??????

=-=- ? ??????? (21) 和

T V S p V T ??????= ? ??????? (22) (4)吉布斯函数是

TS PV U G -+=对其求微分并将（15）带入可得SdT VdP dG -=同理可得

,P T G G V S p T ??????

==- ? ??????? (23)

和

P T S V p T ??????

=- ? ??????? (24) 这样我们利用函数全微分的性质就可以通过式（16）、（19）、（21）、（23)将S 、T 、P 、V 热力学函数U 、F 、H 、G 的偏导数表示出来，而式（17）、(20)、（22）、（24）则给出了S 、T 、P 、V 四个变量的偏导数的关系。[7]

综上我们可以得出：

S V T P V S ??????

=- ? ??????? （17） P S S V P T ??? ????=??? ???? （20）

T V S p V T ??????= ? ??????? （22） P T S V p T ??????

=- ? ?

?????? （24）

这就是麦克斯韦关系式（麦氏关系可以这样记忆：T 、V 、P 、S 轮流偏微分，右下角进去、出来，TV 、

PS在同一侧要加负号）根据前面推导过程，我们可以总结为如下关系

表1 “四-八-四”关系式[4]

4麦克斯韦关系的简单应用

利用麦克斯韦关系式，我们可以把一些不能直接从实验中测量的物理量以物态方程、体胀系数、等温压缩系数、热容量等可以直接从实验测量的物理量表示出来，利用第四部分得出的系数关系式和麦克斯韦关系式通过数学推导可得出简单系统平衡性质的关系，并导出简单系统的热力学函数的一般表达式，从而把热力学系统简化，便于研究热力学系统的性质，这是热力学的一个重要应用。

[8]

其他热力学函数均可由物态方程、内能、熵这三个基本热力学函数来推导出来，现在我们来导出简单系统的热力学函数的一般表达式，即这三个函数与状态参量之间的关系。

4.1熵的一般关系式

(1). 以T、

p为独立变量

以T、p为独立变量，即)

s=，则

dp p s dT T s ds T

p ?

??? ????+???

????= （a ）

同样，由全微分的链式关系式（6）、式p p

h c T ???

????和式（19）

，有

T c s h T h T s p p

p p =???

?????

?? ????=

???

???? （b ）

由麦克斯韦关系式（24），有

p T

T v p s ???

????-=???? ????

（c ）

将式（b ）、式（c ）代入式（a ），得

c v ds dT dp T T ???

- ???? （25）

此称为第一

ds 方程

求积分可得：

p C V S dT dp S T

T ?????

=-+?? ????????? （26）式（26）是以T 、P 为独立变量时熵的积分表达式。

(2). 以T 、

v 为独立变量

以T 、

v 为独立变量，即，则),(v T s s =

dv v s dT T s ds T

v ???

????+???

????= （a ）

16），有 1=???

??????? ??????? ????v

v v s u u T T s

T c s u T u T s v

v v =???

?????

?? ????=

??? ???? （b ）

由麦克斯韦关系式（23），有

T T p v s ???

????=??? ???? （c ）

将式（b ）、式（c ）代入式（a ），得

dv T p dT T c ds v

v ???

????+=

（27）

此称为第二

ds 方程

求线积分可得：

0V V C p S dT dV S T

T ?????

=++ ??

??????? （28）

式（28）是以T 、V 为独立变量时熵的积分表达式。 (3). 以p 、v 为独立变量

以

p 、v 为独立变量，即),(v p s s =，则

dv v s dp p s ds p v

??? ????+?

??? ????= （a ）

由链式关系式（6），及上面两个ds 方程推导中的（b ）式，有

v v v v v p T T c p T T s p s ????

????=???? ?

?????? ????=???? ???? （b ）

p p p p v T T c v T T s v s ??? ????=???

??????? ????=???

???? （c ）

将式（b ）、式（c ）代入式（a ），得

dv v T T c dp p T T c ds p

p v v ??? ????+????

????= (29）此称为第三ds 方程。

三个ds 方程中，以第一

ds 方程最为实用，因定压比热p c 较定容比热v c 易于测定。上述ds 方

程推导中，可用于任何物质，当然也包括理想气体。只要将理想气体的状态方程代入式（25）～式（28），就可得理想气体的熵变计算式。

4.2 内能的一般关系式将所得到的三个

ds 方程分别代入基本热力学关系式

pdv Tds du -=

（30）

便可得到三个du 方程。将第一

ds 方程代入式（30），并将式中的dv 按以T 、p 为独立变量作如下展开：

dp p v dT T v dv T

p ?

??? ????+???

????=

然后整理得

dp p v p T v T dT T v p c du T p p p ???

????????? ????+??? ????-????

??????? ????-= （31）此称为第一du 方程。它是以T 、

p 为独立变量的内能),(p T u 的全微分表达式。求线积分可得：

0u u dp p v p T v T dT T v p c T p p p +???

???

????? ????+??? ????-????

??????? ????-=??

将第二ds 方程代入式（30）并整理，得

dv T p T p dT c du v v ???

???? ????--= （32）此称为第二

du 方程。它是以T 、v 为独立变量的内能),(v T u 的全微分表达式。求线积分可

得：0V T S U C dT T P dV U V ???????

??=+-+?? ????????????

? 将第三ds 方程代入式（30）并整理，得

dv v T c p dp p T c du p p v v ???

??????? ????--???? ????=

（33）

此称为第三du 方程。它是以p 、v 为独立变量的内能),(v p u 的全微分表达式。

在以上三个

du 方程中，第一du 方程的形式较简单，计算较方便，故使用较广泛。因此，在计算

内能变化时，宜选择T 、

v 为独立变量。

4.3 焓的一般关系式

与推导du 方程类似，将各个ds 方程分别代入基本热力学关系式

vdp Tds dh += （34）可得到相应的dh 方程。

将第一ds 方程代入式（34），并将其中的dp 按以T 、v 为独立变量展开，整理得

dv v p v T p T dT T p v c dh T v v v ????????? ????+??? ?

???+????????? ????+= （35）

此称为第一

dh 方程。它是以T 、v 为独立变量的焓),(v T h 的全微分表达式。求线积分可得：

0H dv v p v T p T dT T p v c H T v v v +???

???????????? ????+??? ????+?????

???? ????+=?

将第二

ds 方程代入式（34）并整理，得

p p v dh c dT v T dp T ??

???=+-?? ????????

（36）

此称为第二

dh 方程，它是以T 、p 为独立变量的焓),(p T h 的全微分表达式。求线积分可得：

0P p V H C dT V T dp H T ??

???????=+-+???? ?

???????????

? 将第三

ds 方程代入式（34）并整理，得

v p p v T T dh v c dp c dv p v ????????=++?? ? ????????? （37）

此称为第三

dh 方程。它是以p 、v 为独立变量的焓),(v p h 的全微分表达式。

在以上三个dh 方程中，第二dh 方程的形式较简单，计算较简便。因此，在计算焓的变化时，

选以T 、

p 为独立变量的第二dh 方程比较简单。

例: 试验证理想气体的内能、焓只是温度的函数。

证（1）根据内能的一般关系式中对函数),(v T u 的第二

du 方程

dv T p T p dT c du v v ???

????

????--= 和内能的全微分关系式

dv v u dT T u du T

v ??? ????+???

????= 得

???

???? ????--=??? ????v T T p T p v u 对于理想气体，由状态方程 RT pv = 得v

R T p v =???

????

故

0=?????

--=??? ????v R T p v u T

即 dT c du

v =

（2）根据焓的一般关系式中对函数),(p T h 的第二dh 方程

dp T v T v dT c dh p p ???

??????? ????-+=

和焓的全微分关系式

dp p h dT T h dh T

p ?

??? ????+???

????= 得

???

???????? ????-=???? ????p T T v T v p h

对于理想气体，由状态方程 RT pv = 得p

R T v p =???

???? 故

0=??

????-=???? ????p R T v p h T 即 dT c dh

p =

4.4定压比热p c 与定容比热v c 的关系上节熵

s 、内能u 和焓h 的一般关系式中均含有定压比热p c

或定容比热v c

。两个比热以定压

比热p c 的测定较为容易，因此我们要设法找到两个比热之间的关系，从而可由定压比热p c 的实

验数据计算出定容比热v c

，以避开实验测定定容比热v c

的困难。对于理想气体有 V dU

C dT =

(38）

将上式积分得 0

V U C dT U =+? (39)

又因为理想气体的焓为

H U pV U nRT =+=+ (40)

将 p

C dT = (41)

积分得

P H C dT H =+? (42)

由（38)、（40）、（41）得

p V C C nR

-= (43)

引入

γ表示两者的比值 P

V C C γ=

(44)

故有

,11V p nR nR

C C γγγ=

=-- (45)

一般来说，理想气体的定压比热和定容比热是温度的函数，因此γ

也是温度的函数，如果在所要讨论的问题中温度变化范围不大，就可以把它看做常数。那么式（39）、（42）就可简化为

0V U C T U =+ 0p H C T H =+

式（43）和式（45）也是热力学中的重要关系式，它们表明：

①

v p c c -取决于状态方程，可由状态方程或其热系数求得。

② 因T 、

v 、T κ恒为正，p α大于等于零，所以v p c c -恒大于等于零，也即物质的定

压比热恒大于等于定容比热。

③

由于固体和液体的体膨胀系数p α与比容

v 都很小，所以，在一般温度下，p c 与v c 相

差很小，对于一般工程应用可不加区分。但在很高的温度下，它们之间有明显区别。对于气体，不管什么温度，都须区分。比热之比和比热之差都可用于

p c 与v c 之间的换算。在某些情况下，特

别是对于固体和液体，定容比热的测定是很困难的，按上述关系可以由测定的定压比热和其它热系

数计算出定容比热。【9】

这样由所得出的热力学基本函数，利用给出的状态参量，就可以对热力学系统进行研究计算了，不用再研究整个过程，只需找出其初末状态的参量值即可，使得对热力学系统的研究计算大为简化。

结语

本论总结出的“四-八-四”关系式通过与老师、同学们的讨论和练习发现，大家感到无需太多硬性记忆和套用许多结论性的公式，便可合理把握思路，快速推导出来，增强了同学们学习物理、数学的兴趣，极大提高了学习效率。再利用“四-八-四”得出熵、内能和焓的一般表达式，然后给出定压比热与定体比热的关系，确定出基本热力学函数。在推导的过程中巧妙的利用函数的全微分性质，使得计算大为简化。最后根据所得的基本热力学函数，只需物态方程和定体热容或定压热容即可得出内能和熵。[10]这样就使得在研究热力学系统的过程大为简化。在推导的过程中，只是应用了热力学第一、第二定律及状态函数的数学特性，而没有其它限制条件，因此所得结果具有高度的普适性和可靠性，这样就可以解决如工质的热力学性质、最大功等实际计算问题了。[11]

参考文献

[1] 童钧耕,吴孟余等.高等工程热力学[M].北京:科学出版社,2006 [2]《物理学史》，郭奕玲、沈慧君著，清华大学出版社.

[3] 同济大学数学系.高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2007.6.

[4] 周益明薛宽宏。浅谈热力.函数偏微商关系式的推证.安庆师范学院报.1997.8（3） [5] 汪志诚. 热力学·统计物理[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008. [6] 王竹溪. 热力学简程[M].北京：高等教育出版社，1964 [7] 秦允豪.热学[M]南京：南京大学出版社，1990. [8]Zemansky M W, Dittman R H. Heat and Thermodynamics[M].Sixth edition.New York: Mc Grw-Hill Book company,1981.

[9] Reif F.Fundamentals of Statistical and Thermal Physics [M].New York:Mc Graw-Hill Book

Company.

[10]包科达．热物理学基础[M]．北京高等教育出版社，2001《工程热力学(第2版)》 [11]刘志刚等.工质热物理性质计算程序的编制及应用[M].北京:科学出版社,1992

致谢

在我写本论文的过程中王宝玉老师给予了悉心的指导和严格的要求，从课题选择、方案论证到具体计算和结果讨论，无不凝聚着王老师的心血和汗水，在学习和生活期间，也始终感受着导师的精心指导和无私的关怀，我受益匪浅。在此向王宝玉老师表示深深的感谢和崇高的敬意。本论文能够顺利的完成，也归功于各位任课老师的认真负责，使我能够很好的掌握和运用专业知识，并在论文中得以体现。正是有了他们的悉心教诲和帮助，才使我的毕业论文工作顺利完成，在此向商丘师范学院物理与信息工程系的全体老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培。

最后感谢父母多年来在学业和生活上给予我的关心和帮助，感谢所有支持过我的人，你们的关心和鼓励将使我在工作和学习中不断进取。

工程热力学论文2

工程热力学论文姓名：学号：1011011014 序号：05

太阳能热发电热力分析摘要：从热力学角度出发，研究了太阳能热气流在集热棚、烟囱及风力透平机组内的能量转换过程，建立了无能量损失的理想热力过程，以及包含各种能量损失的实际热力过程模型．鉴于太阳能热气流发电站的大尺寸特征，采用了一维假设建立了集热棚内热气流的传热模型，采用龙格一库塔方法对温度方程进行数值求解．最后对一个100研级的太阳能热气流发电站进行了试算．其主要参数为集热棚直径3600m，烟囱高950m，设计功率1001,研．给出了该电站的风力透平轴功率随质量流量和太阳能吸收强度的变化规律，集热棚内的温升曲线，以及风力透平机的设计参数．关键词：太阳能热发电；集热棚；热力分析；轴功率现状综诉：太阳能是太阳内部连续不断的核聚变反应过程中所产生的能量。据测算,太阳每秒照于地球上的能量相当于500万t煤。可以说,太阳能就是人类“用之不竭”的可再生能源。根据有关预测，21世纪的全球能源结构将发生重大变化，太阳能和其它可再生能源将替代石油和煤炭，逐渐成为世界能源的主角。到2050年，太阳能、风能和生物质能在各种一次能源构成中所占的比例将高达50％，远高于石油（0％或甚微）、天然气（13％）、煤（20％）、核能（10％），水电（5％）和其它（2％）。太阳能热发电技术是具有较强竞争力的可再生能源发电技术。太阳能集热器把收集到的太阳辐射能发送至接收器产生热空气或热蒸汽，用传统的电力循环来产生电能，发电运行成本低，并可以与化石燃料形成混合发电系统。太阳能热发电无噪音,无污染,无需燃料,不受地域限制,规模大小灵活,故障率低,建站周期短，这些优势都是用其它能源发电所无法比拟的，对中国等太阳能资源丰富的国家来说是一个很大的机遇。太阳能热发电技术综合性很强，涉及太阳能利用、储能、新型材料技术、高效汽轮机技术和自动控制系统等问题，不少发达国家已投人大量人力和物力。经过近40年的研究，太阳能热力发电装置的单机容量已从千瓦级发展到了兆瓦级，目前世界上已有几十座MW级的太阳能热电站投入运行。许多科学家纷纷预测，至2l世纪初中期，太阳能热发电的电价极有可能降到与化石能源电价相同的水平。我国学者潘垣等(2003)近年来致力于太阳能热气流技术的研究和推广，对我国太阳能资源分布状况、技术及经济性分析进行了广泛的调研，认为在本世纪，大规模太阳能热气流发电技术与核聚变发电技术，．是使我国从根本上摆脱能源资源“瓶颈”约束的两个重要途径。代彦军(2003)对宁夏地区发展太阳能热气流发电技术进行了理论探索。原理简述：本文利用理论及数值方法，对太阳能热气流发电技术的理想及实际热力过程进行分析，考虑了风力透平中的能量损失和烟囱流动损失对系统性能的影响。由于太阳能热气流发电系统具有超大几何尺寸，采用一维换热假设对系统内的传热过程进行建模，所建立的方程

第06章热力学微分关系式

第六章热力学微分关系式 1．基本概念自由能：F =U －TS ，F 称为自由能，或称亥姆霍兹（Helmholtz ）函数。自由焓：令G = H －TS ，G 称为自由焓，或称吉布斯（Gibbs ）函数。 2．重要公式热力学能的基本关系式： V p U W U Q d d d +=+=δδ V p S T U d d d -= 焓的基本关系式： p V V p U H d d d d ++= p V S T H d d d += 自由能基本关系式： V p T S F d d d --= 自由焓的基本关系式： P V T S G d d d +-= 麦克斯韦关系式： v s )()( S p V T ??-=?? p s )()(S V p T ??=?? v T )()(T p V S ??=?? p T )()(T V p S ??=??- 热系数： ? ? ?? ?? ?????-=??=??= T p v )(1)(1)(1p v v T v v T p p μβα 式中 α——压力温度系数； v )( T p ??——物质在定容下压力随温度的变化率； β——容积膨胀系数，或称热膨胀系数； p )( T v ??——物质在定压下比体积随温度的变化率；

μ——定温压缩系数，或简称压缩系数； T )( p v ??——物质在定温下比体积随压力的变化率，表示物质在定温条件下受压后的压缩性。这个偏导数为负值，加负号后，μ仍为正值。熵方程： v T p T T c s d )(d d v v ??+= p T v T T c s d )( d d p p ??-= v v T T c p p T T c s d )(d )(d p p v v ??+??= 焓方程： p T v T v T c h d ])( [d d p p ??-+= 热力学能的微分方程式： ??-??+=-2 1 21 d ])( [d v v 12v v T T v p T p T T c u u 热量的微分方程式： v v p p d d ( )d d d ()d p q T s c T T v T v q T s c T T p T δδ?==+??==-? 上述两式适用于任意物质的任何可逆过程。比热容与状态方程式的关系： 2T v 21()()v c p T v T ??=?? 2p T p 21()()c v T p T ??=-?? 2211 2p p T p 2()()d p p v c c T p T ?-=-?? 比定压热容与比定容热容的关系: T 2p v p )()( v p T v T c c ????-=- μ β2 v p Tv c c = - 克拉贝龙方程:

【工程热力学讲义大全】

【工程热力学讲义大全】绪论问题：本课程是什么？干什么？有什么特点？一、能源和动力工程 1、能源：人类赖以生存和发展的物质资源称为能源。人们的衣、食、住、行，时时处处都离不开能源。从某个角度来讲，人类的发展史就是开发和利用能源的历史。而开发和利用能源的先进程度是社会进步的标志。 2、能源的利用：能源的利用方式可分为两种，一是直接利用，即将自然界的能源不经过形态转换而利用。如晒太阳、风车、水车等。自然界现有形态的能源称为一次能源。二是间接利用，将一次能源经过形态转换再利用。如火力发电、发动机等。这样的能源称为二次能源。在能源利用的发展史中，先是一次利用，后来发展二次利用，电能的优点是众所周知的。从节能和环保的观点出发，能源一次利用方式并非落后和将被淘汰，应当发展。 3、动力工程：由热能转换为机械能的装置称为热机，所有热机（蒸汽机、内燃机、蒸汽动力装置等）称为动力工程。

二、工程热力学 1、主要内容：基本概念；基本理论；基本工质；热力过程；热力循环。工程热力学是研究热功转换及其规律的科学。早期是随着热机而诞生的，如今应用已很广，包括热机、制冷、空调、化工等众多领域。 2、研究方法：宏观方法（宏观定义、宏观定律、宏观参数）与合理抽象、简化手段相结合。 3、特点：用少量的宏观基本定律演绎出丰富的内容，具有应用的广泛性和结论的准确性。三、几个问题： 1、能量和能源一样吗？ 2、能量守恒吗？什么是节能？如何节能？节能的标准是什么？

第一章基本概念工程热力学的概念较多，要注意理解。本章先介绍一些基本概念。 1— 1工质和热力系一、工质 1、定义：实现热功转换的媒介物质。 2、举例： *工质的物理特性：流体（气体和液体）、大热容、变比容。 *工质可分为两大类，气体和蒸汽。气体工质一般作为理想气体处理。二、热力系 1、定义：热力学分析和研究的对象或范围。例：媒介热功工质

工程热力学大总结大全

第一章基本概念 1、基本概念热力系统:用界面将所要研究得对象与周围环境分隔开来,这种人为分隔得研究对象,称为热力系统,简称系统。边界:分隔系统与外界得分界面,称为边界。外界:边界以外与系统相互作用得物体,称为外界或环境。闭口系统:没有物质穿过边界得系统称为闭口系统,也称控制质量。开口系统:有物质流穿过边界得系统称为开口系统,又称控制体积,简称控制体,其界面称为控制界面。绝热系统:系统与外界之间没有热量传递,称为绝热系统。孤立系统:系统与外界之间不发生任何能量传递与物质交换,称为孤立系统。单相系:系统中工质得物理、化学性质都均匀一致得系统称为单相系。复相系:由两个相以上组成得系统称为复相系,如固、液、气组成得三相系统。单元系:由一种化学成分组成得系统称为单元系。多元系:由两种以上不同化学成分组成得系统称为多元系。均匀系:成分与相在整个系统空间呈均匀分布得为均匀系。非均匀系:成分与相在整个系统空间呈非均匀分布,称非均匀系。热力状态:系统中某瞬间表现得工质热力性质得总状况,称为工质得热力状态,简称为状态。平衡状态:系统在不受外界影响得条件下,如果宏观热力性质不随时间而变化,系统内外同时建立了热得与力得平衡,这时系统得状态称为热力平衡状态,简称为平衡状态。状态参数:描述工质状态特性得各种物理量称为工质得状态参数。如温度(T)、压力(P)、比容(υ)或密度(ρ)、内能(u)、焓(h)、熵(s)、自由能(f)、自由焓(g)等。基本状态参数:在工质得状态参数中,其中温度、压力、比容或密度可以直接或间接地用仪表测量出来,称为基本状态参数。温度:就是描述系统热力平衡状况时冷热程度得物理量,其物理实质就是物质内部大量微观分子热运动得强弱程度得宏观反映。热力学第零定律:如两个物体分别与第三个物体处于热平衡,则它们彼此之间也必然处于热平衡。压力:垂直作用于器壁单位面积上得力,称为压力,也称压强。相对压力:相对于大气环境所测得得压力。如工程上常用测压仪表测定系统中工质得压力即为相对压力。比容:单位质量工质所具有得容积,称为工质得比容。密度:单位容积得工质所具有得质量,称为工质得密度。强度性参数:系统中单元体得参数值与整个系统得参数值相同,与质量多少无关,没有可加性,如温度、压力等。在热力过程中,强度性参数起着推动力作用,称为广义力或势。广延性参数:整个系统得某广延性参数值等于系统中各单元体该广延性参数值之与,如系统得容积、内能、焓、熵等。在热力过程中,广延性参数得变化起着类似力学中位移得作用,称为广义位移。

工程热力学的公式大全

5．梅耶公式： R c c v p =- R c c v p 0''ρ=- 0R MR Mc Mc v p ==- 6．比热比： v p v p v p Mc Mc c c c c = = = ''κ 1-= κκR c v 1 -=κnR c p 外储存能： 1．宏观动能： 2 2 1mc E k = 2．重力位能： mgz E p = 式中 g —重力加速度。系统总储存能： 1．p k E E U E ++= 或mgz mc U E ++=2 21 2．gz c u e ++=22 1 3．U E = 或 u e =（没有宏观运动，并且高度为零）热力学能变化： 1．dT c du v =，?=?2 1dT c u v 适用于理想气体一切过程或者实际气体定容过程 2．)(12T T c u v -=? 适用于理想气体一切过程或者实际气体定容过程（用定值比热计算） 3．10 20 121 2 2 1 t c t c dt c dt c dt c u t vm t vm t v t v t t v ?-?=-==???? 适用于理想气体一切过程或者实际气体定容过程（用平均比热计算）

4．把 ()T f c v =的经验公式代入?=?2 1 dT c u v 积分。适用于理想气体一切过程或者实际气体定容过程（用真实比热公式计算） 5．∑∑====+++=n i i i n i i n u m U U U U U 1 1 21 由理想气体组成的混合气体的热力学能等于各组成气体热力学能之和，各组成气体热力学能又可表示为单位质量热力学能与其质量的乘积。 6．?-=?2 1pdv q u 适用于任何工质，可逆过程。 7．q u =? 适用于任何工质，可逆定容过程 8．?=?21 pdv u 适用于任何工质，可逆绝热过程。 9．0=?U 适用于闭口系统任何工质绝热、对外不作功的热力过程等热力学能或理想气体定温过程。 10．W Q U -=? 适用于mkg 质量工质，开口、闭口，任何工质，可逆、不可逆过程。 11.w q u -=? 适用于1kg 质量工质，开口、闭口，任何工质，可逆、不可逆过程 12.pdv q du -=δ 适用于微元，任何工质可逆过程 13．pv h u ?-?=? 热力学能的变化等于焓的变化与流动功的差值。焓的变化： 1．pV U H += 适用于m 千克工质 2．pv u h += 适用于1千克工质 3．()T f RT u h =+= 适用于理想气体 4．dT c dh p =，dT c h p ?=?2 1 适用于理想气体的一切热力过程或者实际气体的定压过程

2第二章_热力学函数与普遍关系式

第二章热力学函数与普遍关系式在给出了热力系统的一段性描述之后，就可以根据热力学第一定律和第二定律建立的解桥式，推导出热力学参数的各种微分关系式。这种推导过程只应用连续可微函数的数学性质，而不涉及系统的特殊情况，因此它们适用于状态连续变化的一切系统以及系统的全部状态，通常称之为热力学普遍关系式。热力学普遍关系式是非常有用的，利用有关的式子，可以由可测量决定非可测量，或对实例量进行热力学一致性检验。此外不论如何严密与细致的实验，所切得的数据总是有限的，在编制参数图表时，必须进行内插与外推，这时普遍关系式是导出有关公式的重要依据。 2-1 热力学一般关系式 1 一般关系式热力学的普遍关系式热力学一般关系据热力学基本定律导出，因此是任何工质都必然遵循的关系；是研究工质热力性质的理论基础，适于主要对象有约束作用的复杂系统对复杂系统的热力学分析。热力学分析的主要对象的限制包括以下几点： ● 化学成分均匀不变 ● 纯物质 ● 不存在运动、毛细、固体变形效应 ● 不存在电场、磁场效应，忽略重力效应。简单可压缩系统一种与外界只有热量及准静态容积变化的热力学系统，其中：简单表示只有一种可逆功方式、可压缩表示可逆过程中，以体积变化做功，p d v 确定系统状态所需的参数：热力学关系式中参数的个数是确定的，它们与能量相互作用方式数有相关关系。一个系统平衡状态所需的独立参数个数，等于可能存在的可逆功方式数再加一。其中，加一是因为系统中的热作用。两参数法则：一个简单系统平衡状态可由二个独立状态参数表示，同时二个独立状态参数也确定了一个简单系统平衡状态，即简单系统平衡状态 2独立状态参数 [例] U ，V 非相互独立。 D ，M 非相互独立。纯物质：液体 + 蒸汽混合物， T, P 非相互独立

工程热力学大总结大全

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第一章基本概念 1.基本概念热力系统：用界面将所要研究的对象与周围环境分隔开来，这种人为分隔的研究对象，称为热力系统，简称系统。边界：分隔系统与外界的分界面，称为边界。外界：边界以外与系统相互作用的物体，称为外界或环境。闭口系统：没有物质穿过边界的系统称为闭口系统，也称控制质量。开口系统：有物质流穿过边界的系统称为开口系统，又称控制体积，简称控制体，其界面称为控制界面。绝热系统：系统与外界之间没有热量传递，称为绝热系统。孤立系统：系统与外界之间不发生任何能量传递和物质交换，称为孤立系统。单相系：系统中工质的物理、化学性质都均匀一致的系统称为单相系。复相系：由两个相以上组成的系统称为复相系，如固、液、气组成的三相系统。单元系：由一种化学成分组成的系统称为单元系。多元系：由两种以上不同化学成分组成的系统称为多元系。均匀系：成分和相在整个系统空间呈均匀分布的为均匀系。非均匀系：成分和相在整个系统空间呈非均匀分布，称非均匀系。热力状态：系统中某瞬间表现的工质热力性质的总状况，称为工质的热力状态，简称为状态。平衡状态：系统在不受外界影响的条件下，如果宏观热力性质不随时间而变化，系统内外同时建立了热的和力的平衡，这时系统的状态称为热力平衡状态，简称为平衡状态。状态参数：描述工质状态特性的各种物理量称为工质的状态参数。如温度（T）、压力（P）、比容（υ）或密度（ρ）、内能（u）、焓（h）、熵（s）、自由能（f）、自由焓（g）等。基本状态参数：在工质的状态参数中，其中温度、压力、比容或密度可以直接或间接地用仪表测量出来，称为基本状态参数。温度：是描述系统热力平衡状况时冷热程度的物理量，其物理实质是物质内部大量微观分子热运动的强弱程度的宏观反映。热力学第零定律：如两个物体分别和第三个物体处于热平衡，则它们彼此之间也必然处于热平衡。压力：垂直作用于器壁单位面积上的力，称为压力，也称压强。相对压力：相对于大气环境所测得的压力。如工程上常用测压仪表测定系统中工质的压力即为相对压力。比容：单位质量工质所具有的容积，称为工质的比容。密度：单位容积的工质所具有的质量，称为工质的密度。强度性参数：系统中单元体的参数值与整个系统的参数值相同，与质量多少无关，没有可加性，如温度、压力等。在热力过程中，强度性参数起着推动力作用，称为广义力或势。广延性参数：整个系统的某广延性参数值等于系统中各单元体该广延性参数值之和，如系统的容

函数微分的定义

函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x 的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对

应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。导数公式微分公式函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则拉格朗日中值定理如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下：若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，

工程热力学严家騄完整答案

第一章基本概念思考题 1、如果容器中气体压力保持不变，那么压力表的读数一定也保持不变，对吗？答：不对。因为压力表的读书取决于容器中气体的压力和压力表所处环境的大气压力两个因素。因此即使容器中的气体压力保持不变，当大气压力变化时，压力表的读数也会随之变化，而不能保持不变。 2、“平衡”和“均匀”有什么区别和联系答：平衡（状态）值的是热力系在没有外界作用（意即热力、系与外界没有能、质交换，但不排除有恒定的外场如重力场作用）的情况下，宏观性质不随时间变化，即热力系在没有外界作用时的时间特征-与时间无关。所以两者是不同的。如对气-液两相平衡的状态，尽管气-液两相的温度，压力都相同，但两者的密度差别很大，是非均匀系。反之，均匀系也不一定处于平衡态。但是在某些特殊情况下，“平衡”与“均匀”又可能是统一的。如对于处于平衡状态下的单相流体（气体或者液体）如果忽略重力的影响，又没有其他外场（电、磁场等）作用，那么内部各处的各种性质都是均匀一致的。 3、“平衡”和“过程”是矛盾的还是统一的？答：“平衡”意味着宏观静止，无变化，而“过程”意味着变化运动，意味着平衡被破坏，所以二者是有矛盾的。对一个热力系来说，或是平衡，静止不动，或是运动，变化，二者必居其一。但是二者也有结合点，内部平衡过程恰恰将这两个矛盾的东西有条件地统一在一起了。这个条件就是：在内部平衡过程中，当外界对热力系的作用缓慢得足以使热力系内部能量及时恢复不断被破坏的平衡。 4、“过程量”和“状态量”有什么不同？答：状态量是热力状态的单值函数，其数学特性是点函数，状态量的微分可以改成全微分，这个全微分的循环积分恒为零；而过程量不是热力状态的单值函数，即使在初、终态完全相同的情况下，过程量的大小与其中间经历的具体路径有关，过程量的微分不能写成全微分。因此它的循环积分不是零而是一个确定的数值。习题 1-1 一立方形刚性容器，每边长 1 m ，将其中气体的压力抽至 1000 Pa ，问其真空度为多少毫米汞柱?容器每面受力多少牛顿？已知大气压力为 0.1MPa 。 [解]：(1) 6(0.110Pa 1000Pa)/133.3224742.56mmHg v b p p p =-=?-= (2) 1-2 试确定表压为0.01MPa 时U 型管压力计中液柱的高度差。 26()1(0.110Pa 1000Pa)99000N b F A P A P P m =?=-=??-=

微分的概念、性质及应用

第二章第 6 节:函数得微分教学目得:掌握微分得定义,了解微分得运算法则,会计算函数得微分,会利用微分作近似计算教学重点:微分得计算教学难点:微分得定义,利用微分作近似计算教学内容: 1.微分得定义计算函数增量就是我们非常关心得。一般说来函数得增量得计算就是比较复杂得,我们希望寻求计算函数增量得近似计算方法。先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度变化得影响,其边长由变到(图21),问此薄片得面积改变了多少？设此薄片得边长为,面积为,则就是得函数:。薄片受温度变化得影响时面积得改变量,可以瞧成就是当自变量自取得增量时,函数相应得增量,即。从上式可以瞧出,分成两部分,第一部分就是得线性函数,即图中带有斜线得两个矩形面积之与,而第二部分在图中就是带有交叉斜线得小正方形得面积,当时,第二部分就图21 是比高阶得无穷小,即。由此可见,如果边长改变很微小, 即很小时,面积得改变量可近似地用第一部分来代替。一般地,如果函数满足一定条件,则函数得增量可表示为 , 其中就是不依赖于得常数,因此就是得线性函数,且它与之差 , 就是比高阶得无穷小。所以,当,且很小时,我们就可近似地用来代替。定义设函数在某区间内有定义,及x在这区间内,如果函数得增量可表示为 , ① 其中就是不依赖于得常数,而就是比高阶得无穷小,那么称函数在点就是可微得,而叫做函数在点相应于自变量增量得微分,记作,即。定理1 函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是。设函数在点可微,则按定义有①式成立。①式两边除以,得。于就是,当时,由上式就得到。因此,如果函数在点可微,则在点也一定可导(即存在),且。反之,如果在点可导,即存在,根据极限与无穷小得关系,上式可写成 , 其中(当)。由此又有

热力学一般关系热学高等数学偏微分

第二部分工质的热力性质六热力学函数的一般关系式由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U、熵S）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H、自由能F、自由焓G等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p、体积V、温度T等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。热力学函数一般关系式全微分性质+基本热力学关系式6.1 状态函数的数学特性对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的一些基本定理。

设函数),(y x f z =具有全微分性质 dy y z dx x z dz x y ???? ????+??? ????= （6-1）则必然有（1）互易关系令式（6-1）中 ),(y x M x z y =???? ????， ),(y x N y z x =???? ???? 则 y x x N y M ???? ????=? ??? ???? （6-2）互易关系与?=0dz 等价。它不仅是全微分的必要条件，而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有全微分。（2）循环关系当保持z 不变，即0=dz 时，由式（6-1），得 0=???? ????+??? ????z x z y dy y z dx x z

则 x y z y z x z x y ???? ???????? ????- =???? ???? 故有 1-=???? ???????? ???????? ????y z x z x x y y z （6-3）此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即))()((xzy yxz zyx 循环就行了。（3）变换关系将式（6-1）用于某第四个变量ω不变的情况，可有 ωωωdy y z dx x z dz x y ? ??? ????+??? ????= 两边同除以ωdx ，得 ω ω??? ????? ??? ????+??? ????=??? ????x y y z x z x z x y （6-4）式中：y x z ??? ????是函数),(y x z 对x 的偏导数；ω??? ????x z 是以),(ωx 为独立变量时，函数),(ωx z 对x 的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分重要。

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工程热力学习题集一、填空题 1．能源按使用程度和技术可分为能源和能源。 2．孤立系是与外界无任何和交换的热力系。 3．单位质量的广延量参数具有参数的性质，称为比参数。 4．测得容器的真空度p V48KPa ，大气压力p b0.102MPa ，则容器内的绝对压力为。 5．只有过程且过程中无任何效应的过程是可逆过程。 6．饱和水线和饱和蒸汽线将压容图和温熵图分成三个区域，位于三区和二线上的水和水蒸气呈现五种状态：未饱和水饱和水湿蒸气、和。 7．在湿空气温度一定条件下，露点温度越高说明湿空气中水蒸气分压力越、水蒸气含量越，湿空气越潮湿。（填高、低和多、少） 8．克劳修斯积分?Q / T 为可逆循环。 9．熵流是由引起的。 10．多原子理想气体的定值比热容c V 。 11．能源按其有无加工、转换可分为能源和能源。 12．绝热系是与外界无交换的热力系。 13．状态公理指出，对于简单可压缩系，只要给定个相互独立的状态参数就可以确定它的平衡状态。 14．测得容器的表压力p g 75KPa ，大气压力p b 0.098MPa ，则容器内的绝对压力为。 15．如果系统完成某一热力过程后，再沿原来路径逆向进行时，能使都返回原来状态而不留下任何变化，则这一过程称为可逆过程。 16．卡诺循环是由两个和两个过程所构成。 17．相对湿度越，湿空气越干燥，吸收水分的能力越。（填大、小）18．克劳修斯积分?Q / T 为不可逆循环。 19．熵产是由引起的。 20．双原子理想气体的定值比热容c p 。 21、基本热力学状态参数有：（）、（）、（）。 22、理想气体的热力学能是温度的（）函数。 23、热力平衡的充要条件是：（）。 24、不可逆绝热过程中，由于不可逆因素导致的熵增量，叫做（）。 25、卡诺循环由（）热力学过程组成。 26、熵增原理指出了热力过程进行的（）、（）、（）。 31. 当热力系与外界既没有能量交换也没有物质交换时，该热力系为_______。 32. 在国际单位制中温度的单位是_______。

工程热力学—2 热力学第一定律

2 热力学第一定律 2.1 热力学第一定律的内容 2.1.1 热力学第一定律热力学第一定律是能量守恒与转换定律在热现象上的应用。能量守恒与转换定律是自然界的基本规律之一，它指出：自然界中一切物质都具有能量，能量不可能被创造，也不可能被消灭；但能量可以从一种形态转变为另一种形态；在能量的转变过程中，一定量的一种形态的能量总是确定地相应于另一种形态的能量，能的总量保持不变。这一在现代看来非常明显，非常质朴的定律，是人类经过很长时期的生活和生产实践才认识的。人类对热的本质的认识，从热素说发展到分子动理论，用了几千年。1840～1851年间，经过迈耶、焦耳等人的努力，才确立了这一定律。对于任何一个热力系统，热力学第一定律可以表达成：进入系统的能量–离开系统的能量=系统贮存能量的变化（2－1） 2.1.2热力学能（内能，internal energy）某一热力系统与外界进行功（W）和热量（Q）的交换时，将引起系统内贮存的全部能量––––总能量E的变化。系统贮存的总能量包括：系统工质做宏观运动时的动能E K；系统工质在有势场（重力场、电磁场等等）中处于一定位置时具有的势能（位能）E P；和系统工质内部物质运动所具有的能量––––热力学能U。（国家标准《量和单位》GB3100––93系列中规定物理量“内能”由“热力学能”取代，但相当多的一批学者认为这个规定有问题。）Internal energy——内能，即内部贮存能，它的大小不需要系统外边的参照物，只由系统工质自身的性质来决定。而动能和势能大小的确定必须有外部参照物做基准，所以动能和势能又称为外部贮存能。热力学能是工质内部物质运动所具有的能量，工质内部物质运动形式有热运动、分子间相互作用、原子间作用（化学反应）、核子间作用等等①。在工程热力学讨论范围内，一般不考虑原子间作用（化学反应）、核子间作用等等，所以关于热力学能我们仅仅考虑热运动和分子间相互作用的部分。分子的热运动形成内动能。包括分子的移动、转动和分子内原子振动的动能。温度与分子运动速度成正比，温度越高，内动能越大。分子间相互作用力形成内位能（内势能）。内位能与分子间的平均距离有关，即与工质的比体积有关。温度升高，分子运动加快，碰撞频率增加，进而使分子间相互作用增强，所以内位能也与温度有关。因此，工质的热力学能决定于工质的温度T和比体积v，也就是决定于工质所处的状 ①在这个意义上，热力学能包括化学能和核能。“热力学能”显然是按学科命名，但是小学科热力学包括了大学科化学，有点滑稽。另外，化学能实际是来源于化学键，与学科无关，其他能的命名也与学科无关，所以热力学能的命名很不恰当。第三，在国际交往中也可能产生障碍，尤其是稍稍懂点中文的外国人理解起来还真不容易。

工程热力学2

第2章理想气体的性质 2.1 本章基本要求熟练掌握理想气体状态方程的各种表述形式，并能熟练应用理想气体状态方程及理想气体定值比热进行各种热力计算。并掌握理想气体平均比热的概念和计算方法。理解混合气体性质，掌握混合气体分压力、分容积的概念。 2.2 本章难点 1．运用理想气体状态方程确定气体的数量和体积等，需特别注意有关物理量的含义及单位的选取。 2．考虑比热随温度变化后，产生了多种计算理想气体热力参数变化量的方法，要熟练地掌握和运用这些方法，必须多加练习才能达到目的。 3．在非定值比热情况下,理想气体内能、焓变化量的计算方法，理想混合气体的分量表示法，理想混合气体相对分子质量和气体常数的计算。 2.3 例题例1：一氧气瓶内装有氧气，瓶上装有压力表，若氧气瓶内的容积为已知，能否算出氧气的质量。解：能算出氧气的质量。因为氧气是理想气体，满足理想气体状态方程式mRT PV=。根据瓶上压力表的读数和当地大气压力，可算出氧气的绝对压力P，氧气瓶的温度即为大气的温度；氧气的气体常数为已知；所以根据理想气体状态方程式，即可求得氧气瓶内氧气的质量。例2：夏天，自行车在被晒得很热的马路上行驶时，为何容易引起轮胎爆破？解：夏天自行车在被晒得很热的马路上行驶时，轮胎内的气体（空气）被加热，温度升高，而轮胎的体积几乎不变，所以气体容积保持不变，轮胎内气体的质量为定值，其可视为理想气体，根据理想气体状态方程式PV=可知，轮胎内气体的压力升高，即气体作用在轮胎上的力增加，mRT

故轮胎就容易爆破。例3：容器内盛有一定量的理想气体，如果将气体放出一部分后达到了新的平衡状态，问放气前、后两个平衡状态之间参数能否按状态方程表示为下列形式：（a ）222111T v P T v P = （b ）2 22111T V P T V P = 解：放气前、后两个平衡状态之间参数能按方程式（a ）形式描述，不能用方程式（b ）描述，因为容器中所盛有一定量的理想气体当将气体放出一部分后，其前、后质量发生了变化，根据1111RT m v p =，2222RT m v p =，而21m m ≠可证。请思考一下（a ）、（b ）两式各在什么条件下可使用。例4．气瓶的体积为5L ，内有压力为101325Pa 的氧气，现用抽气体积为0.1L 的抽气筒进行抽气。由于抽气过程十分缓慢，可认为气体温度始终不变。为了使其压力减少一半,甲认为要抽25次,他的理由是抽25次后可抽走25×0.1L=2.5L 氧气，容器内还剩下一半的氧气,因而压力就可减少一半;但乙认为要抽50次，抽走50×0.lL=5.0L 氧气，相当于使其体积增大一倍，压力就可减少一半。你认为谁对? 为什么? 到底应该抽多少次? 解：甲与乙的看法都是错误的。甲把氧气的体积误解成质量,导出了错误的结论,在题设条件下，如果瓶内氧气质量减少了一半，压力确实能相应地减半。但是抽出氧气的体积与抽气时的压力、温度有关,并不直接反映质量的大小。因此,氧气体积减半，并不意味着质量减半。乙的错误在于把抽气过程按定质量系统经历定温过程进行处理。于是他认为体积增大一倍，压力就减半。显然在抽气过程中，瓶内的氧气是一种变质量的系统,即使把瓶内的氧气与被抽走的氧气取为一个联合系统，联合系统内总质量虽然不变，但瓶内氧气的参数与被抽放的氧气的参数并不相同，也同样无法按定质量的均匀系统进行处理。至于如何求解,请读者自

全微分和热力学

2014届本科毕业论文全微分与热力学姓名：高盼系别：物理与电气信息学院专业：物理学学号：100314015 指导教师：王保玉 2014年2月9日

目录摘要与关键字................................................................ II 0 引言...................................................... 错误！未定义书签。 1 全微分函数的基本性质...................................... 错误！未定义书签。 2 热力学基本方程及辅助热力学方程 (3) 2.1 物态方程 (3) 2.2 态函数内能U和熵S (4) 2.3 热力学基本微分方程 (5) 3 内能、焓、自由能及吉布斯函数的全微分和麦克斯韦关系 (5) 4 麦克斯韦关系的简单应用 (7) 4.1 熵的一般关系式 (7) 4.2 内能的一般关系式 (9) 4.3 焓的一般关系式 (10) 4.4 定压比热与定容比热的关系 (13) 摘要............................................................................................................................................................ II 关键词............................................................................................................................................................ II 参考文献. (14) 致谢 (15)

工程热力学课后习题及答案第六版(完整版)

2-2.已知2N 的M ＝28，求（1）2N 的气体常数；（2）标准状态下 2 N 的比容和密度；（3） MPa p 1.0=， 500=t ℃时的摩尔容积Mv 。解：（1）2N 的气体常数 28 8314 0= = M R R ＝296.9)/(K kg J ? （2）标准状态下2N 的比容和密度 101325 273 9.296?= =p RT v ＝0.8kg m /3 v 1= ρ＝1.253/m kg （3） MPa p 1.0=，500=t ℃时的摩尔容积Mv Mv ＝p T R 0 ＝64.27kmol m /3 2-3．把CO 2压送到容积3m 3的储气罐里，起始表压力 30 1=g p kPa ，终了表压力 3 .02=g p Mpa ，温度由t1＝45 ℃增加到t2＝70℃。试求被压入的CO 2的质量。当地大气压B ＝101.325 kPa 。解：热力系：储气罐。应用理想气体状态方程。压送前储气罐中CO 2的质量 1 1 11RT v p m = 压送后储气罐中CO 2的质量 2 222RT v p m = 根据题意容积体积不变；R ＝188.9 B p p g +=11 （1） B p p g +=22 （2） 27311+=t T （3） 27322+=t T （4）压入的CO 2的质量 )1 1 22(21T p T p R v m m m -= -= （5）将（1）、(2)、(3)、(4)代入（5）式得 m=12.02kg 2-5当外界为标准状态时，一鼓风机每小时可送300 m 3的空气，如外界的温度增高到27℃，大气压降低到99.3kPa ，而鼓风机每小时的送风量仍为300 m 3，问鼓风机送风量的质量改变多少？解：同上题 1000)273 325.1013003.99(287300)1122(21?-=-= -=T p T p R v m m m ＝41.97kg 2-6 空气压缩机每分钟自外界吸入温度为15℃、压力为0.1MPa 的空气3 m 3，充入容积8.5 m 3的储气罐内。设开始时罐内的温度和压力与外界相同，问在多长时间内空气压缩机才能将气罐的表压力提高到0.7MPa ？设充气过程中气罐内温度不变。解：热力系：储气罐。使用理想气体状态方程。第一种解法：首先求终态时需要充入的空气质量 288 2875.810722225???==RT v p m kg 压缩机每分钟充入空气量 288 28731015???==RT pv m kg 所需时间 == m m t 2 19.83min 第二种解法将空气充入储气罐中，实际上就是等温情况下把初压为0.1MPa 一定量的空气压缩为0.7MPa 的空气；或者说0.7MPa 、8.5 m 3的空气在0.1MPa 下占体积为多少的问题。根据等温状态方程 const pv = 0.7MPa 、8.5 m 3的空气在0.1MPa 下占体积为

微分、变分、差分的确切定义与区别

一元微分定义设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为Δy = AΔx0 +o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx 高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义设Δx 是曲线y =f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。多元微分同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。变分法（calculus of variations）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为Plateau问题。最优控制的理论是变分法的一个推广。

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第06章 热力学微分关系式

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微分、变分、差分 的确切定义与区别

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