选修1-1参考答案
第一章 常用逻辑用语 第一节 针对训练
答案:
1.必要不充分 2. 32,10x x x ?∈-+>R 3 若1
2,m m
+
≥则m>0 4 _存在矩形对角线不相等 5 ②③④ ①正确, ②中B ≤0时不成立, ③中的定义域为φ, ④中应是随机抽样. 6 ②④ 7 必要不充分 8充分而不必要条件 9 ② ③ 10
,11a b a b ≤-≤-若则 11充分不必要 12充分非必要 13 (3)14 C 15A 16 2,2
17A 18C 19 A 20 逆命题:若
有两个不等实根则(假) 否命题:若则没有两个不等实根(假) 逆否命题:若没有两个不相等实根则(真)
21D 22A 23 A 24B 25A 26D 27C 28. D 29. A 30 D 31. C . 32. 33. 真命题:或,非;假命题:且,非 第二节 针对训练
1B
2.D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题
3.A ①,仅仅是充分条件 ② ,仅仅是充分条件;③,仅仅是充分条件
4.B “”为假,则为真,而(且)为假,得为假 5.D 当时,都满足选项,但是不能得出 当时,都满足选项,但是不能得出
6.B 当时,,所以“过不去”;但是在△中, ,即“回得来” 02=++c bx ax 0 =++c bx ax 02 =++c bx ax 0≥ac 20< 0a b a b >>?>0a b >>? b a 1 1<330a b a b >>?>p ?p p q ∧q 1,0a b ==,A B 1a b +>0.5,0.5a b ==C 1a b +>0 170A =001 sin170sin102 =< ABC 0001 sin 30150302 A A A > ?<> 7.D 当时,从不能推出,所以假,显然为真 8.解: 而,即。 9B 10B 11A 12B 13D 14A b a >,则122->b a 16B 17A 18C 19B 20D 21C 22. 恒成立,当时,成立;当时, 得; 第三节 针对训练 参考答案 1. C 2.A 3. D 4.C 5.D 6.D 7. B 8. A 9. B 10.B 11.任意一个三角形都有外接圆 1 2. ? x ∈R ,x 2 -x+3≤0 13. ?a ,b,c ∈R+,a 2 +b 2 =c 2 14. 否定形式:至少存在一个末位数是0或5的整数,它不能被5整除; 否命题:所有末位数不是0且不是5的整数,都不能被5整除; 15. (1)?x ∈R ,x 2≥0 (2)? x ∈R ,y ∈R ,2x +3y +3>0 16.(1)存在性命题,存在量词为“有的” (2)全称命题,全称量词为“任意” 17.(1)对于任意实数x 都是方程5x-12=0的根; (2)(至少)存在(一个)实数x ,对于任意实数y ,使x +y ≤0; 18. (1)?x ∈R ,若2x>4,则x>2; ?x 0∈R ,虽然满足2 x 0>4,但x 0≤2; (2)?m ∈R ,若m ≥0,则x 2 +x -m =0有实数根; 2,2a b =-=1a b +>1a b +>p q {} :46,10,2,|10,2p x x x A x x x ?->><-=><-或或{} 2 2 :2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-,或记或,p q A ??∴B 12110,030a a a a -≥-?? +≤∴<≤??>? [3,0]-2 230ax ax --≤0a =30-≤0a ≠2 4120 a a a ??=+≤?30a -≤<30a ∴-≤≤ ?m 0∈R ,虽然满足m 0≥0,但x 2 +x -m =0没有实数根; 单元检测 参考答案 1.C 2. D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12. B 13.B 14.B 15.C 16.C 17.B 18.C 19.B 20.必要 21.5 24.必要不充分 25.充分 必要 26.以(1)为列:否命题:若0abc =,则a b c 、 、中都不为零 27.逆命题:若8x =-或1x =,则2780x x +-= 真命题 否命题:若0872≠-+x x ,则8-≠x 且1≠x 真命题 逆否命题:若8-≠x 且1≠x ,则0872≠-+x x 真命题 28.21≤ 第一节 针对训练 13 22186x y +=或223412525y x += 14 22 91520 x y += 15 16 14 17 解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程 是 : 2 2 19x y +=.联立方程组22 19 2 x y y x ?+=???=+?,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y ) 那么: 12185 x x +=-,0x =1 29 25x x += 所以0y =0x +2= 1 5 . 也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15 ). 18 解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e= 4 5 ,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为2, 从而 所以求双曲线方程为: 22 1412 y x -= 第二节 针对训练 一DBCD ACCD C 或54- 12. 22 19x y += 13.22(1)1;168x y += (2) 6 14.2 214 x y += 15.22a b + 16.x+y+5=0 17. 224524x y += 第三节 针对训练 参考答案 一. A A'B B'C' C O x y 11.t>4或t<1 12.y = 59± 13.112 42 2=-y x 14.316 15. [解析]:由椭圆124 492 2=+y x 5=?c . 设双曲线方程为12222=-b y a x ,则? ? ???=+±=253422b a a b ?????==?1692 2 b a 故所求双曲线方程为116 92 2=-y x 16.[解析]:设双曲线方程为122 22=-b y a x (a >0,b>0), ∵两准线间距离为2 9,∴c a 2 2?=29,得=2a 49c ,c c b 492 2-= ① ∵双曲线与直线相交,由方程组??? ??? ?-==-)4(31122 2 2x y b y a x 得0)9 16 (98)9(222222 =+-+-a b x a x a b , 由题意可知0922 ≠-a b ,且32) 9 (2982 22 2 21- =--=+a b a x x 2297b a =? ② 联立①②解得:92=a ,72=b 所以双曲线方程为 17 92 2=-y x . 17. [解析]:(I )如图建立直角坐标系xOy ,AA ′在x 轴上,AA ′的中点为坐标 原点O ,CC ′与BB ′平行于x 轴. 设双曲线方程为),0,0(122 22 >>=-b a b y a x 则.72 1='=A A a 又设B (11,y 1),C (9,y 2),因为点B 、C 在双曲线上, 所以有,17112 2122 =-b y ① ,17922 2 22=-b y ② 由题意知.2012=-y y ③ 由①、②、③得.27,8,1221==-=b y y 故双曲线方程为.198 492 2=-y x 18. [解析]:由题意可得双曲线的两个焦点是F 1(0,-5)、F 2(0,5), 由双曲线定义得:621=-MF MF ,联立32 21=?MF MF 得 2 1MF +22MF =100=221F F , 所以△F 1MF 2是直角三角形,从而其面积为S = 162 1 21=?MF MF 19. [解析]:以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系, 则A (3,0)、B (-3,0) 3,5,26 14||||===∴=-c b a PA PB 15 422 =-∴y x P 是双曲线右支上的一点 ∵P 在A 的东偏北60°方向,∴ 360tan == AP k . ∴线段AP 所在的直线方程为)3(3-=x y 解方程组?????????>>-==- 0)3(31542 2y x x y y x ???==358y x 得 , 即P 点的坐标为(8,35) ∴A 、P 两地的距离为22)350()83(-+-=AP =10(千米). 20.[解析]:如图,以AB 的垂直平分线为y 轴,直线AB 为x 轴,建立直角坐标系,则CD ⊥Oy . 由题意可设A (-c ,0),C ( 2c ,h ),B (c ,0),其中c 为双曲线的半焦距, AB c 2 1 =,h 是梯形的高. 由定比分点公式,得点E 的坐标为 c c c x E 19711812118-=+?+-=,h h y E 19811 11180=+?+=. 设双曲线的方程为122 22=-b y a x ,由离心率a c e =. 由点C 、E 在双曲线上,得 ???????=?-?=-?.136********,1412 2222222b h a c b h a c 由①得1412222-?=a c b h ,代入②得922 =a c 所以离心率322 ==a c e 第四节 针对训练 O x y A B E D C ① ② 一、选择题 11.)42 ,8 1(± 12. 2 13.)4 13,(--∞ 14. (2),(5) 三、解答题 15.[解析]:(1)由点A (2,8)在抛物线 px y 22=上,有2282?=p , 解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322 =,焦点F 的坐标为(8,0). (2)如图,由于F (8,0)是△ABC 的重心,M 是BC 的中点,所以F 是线段AM 的 定比分点,且 2=FM AF ,设点M 的坐标为),(00y x ,则 02 128,821220 0=++=++y x ,解得4,1100-==y x , 所以点M 的坐标为(11,-4). (3)由于线段BC 的中点M 不在x 轴上,所以BC 所在 的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为:).0)(11(4≠-=+k x k y 由???=-=+x y x k y 32),11(42 消x 得0)411(32322=+--k y ky , 所以k y y 3221=+,由(2)的结论得42 21-=+y y ,解得.4-=k 因此BC 所在直线的方程为:.0404=-+y x 16.[解析]:设在抛物线y=ax 2-1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(-y,-x ),则 ,由①-②得x +y=a (x +y)(x -y),∵P 、Q 为相异两点,∴x +y≠0,又a ≠0, ∴a 1y ,1-== -x a y x 即, 代入②得a 2x 2-ax -a +1=0,其判别式△=a 2-4a 2(1-a )>0,解得43 >a . 17.[解析]:设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)2 1 , 2(+y x C ,L:y=k x -1,代入抛物线方程得 x 2-4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4,且△=16k 2-16>0,即|k|>1 ①, 244 2)(422 1221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ,∵C 为AB 的中点. ∴ 122212222 2222-=+=+=+=k y y y k x x x ? 3 442 -==k y k x ,消去k 得x 2 =4(y+3),由① 得,4>x ,故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)( 4>x ). 18. [解析]:(1)由题意设过点M 的切线方程为:m x y +=2,代入C 得0)2 7 (22=-++m x x , 则2 50)27(44=?=--=? m m ,21252,100=+-=-=∴y x ,即M (-1, 21 ). (2)当a >0时,假设在C 上存在点),(11y x Q 满足条件.设过Q 的切线方程为:n kx y +=,代入 27 42+ +=x x y 0)2 7()4(2=-+-+?n x k x ,则 414)4(02n k -=-?=?, 且,24 1-=k x 4221-= k y .若0≠k 时,由于a k a k k x a y k k PQ 2412121 1±=?=?-=+-?-=, ?????-=--=1122 ay x ax y ②① ∴ 212 11- =-=a y a x 或 2 1 211- =--=a y a x ;若k=0时,显然)2 1 ,2(--Q 也满足要求. ∴有三个点(-2212a -),(-2212 a -)及(-2,-21) , 且过这三点的法线过点P (-2,a ),其方程分别为: x ++2-20,x -+2+20,x =-2. 当a ≤0时,在C 上有一个点(-2,-2 1 ),在这点的法线过点P (-2,a ),其方程为:x =-2. 19.[解析]:(1)F (a ,0),设),(),,(),,(002211y x P y x N y x M ,由 16 )4(42 2 2=+--=y a x ax y 0)8()4(222=++-+?a a x a x ,)4(2,021a x x -=+∴>? ,8)()(21=+++=+a x a x NF MF (2)假设存在a 值,使的NF PF MF ,,成等差数列,即21022x x x NF MF PF +=?+= a x -=?40 ①,∵P 是圆A 上两点M 、N 所在弦的中点,∴MN AP ⊥1 21 2 004x x y y a x y --=--? 由①得0448)(4222200 2 212121212120<-=?-=+-=---=---=a y y a y y a x x y y a a x x y y a y , 这是不可能的. ∴假设不成立.即不存在a 值,使的NF PF MF ,,成等差数列. 20.[解析]:【解】(1) 解方程组 4 8 121 -== x y x y 得 2411-=-=y x 或 4822==y x 即A(-4,-2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==2 1,直线AB 的垂直平分线方程 y -1= 2 1(x -2). 令y=-5, 得x =5, ∴Q(5,-5). (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 8 1x 2 -4).∵点P 到直线OQ 的距离 d=2 481 2-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x . ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴-4≤x <43-4或43-4 ∵函数y=x 2+8x -32在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30. 第五节 针对训练 答案:1D 2C 单元检测 答案:B B C A A B B A B D DA 13. 2e = 14. 15 .221(2)45x y x - =≥ 16.○2○3 17. 22 13 y x - =或22 391y x -= 18. 22166x y -= 19(1)椭圆方程 2214936 x y += 双曲线方程22194x y -= (2)4 arccos 5 20 .224820x y x y --+= 21. (1)21 ()2 y x a = + (2)a =22. (1)2 1:4C y x = 2223: 12 x C y += (2)23[,][,]4334ππππ θ∈? 第三章 导数及其应用 第一节 针对训练 一、选择题 1.A ''()sin ,()sin f x x f αα== 2.A 对称轴'0,0,()22 b b f x x b - ><=+,直线过第一、三、四象限 3.B '2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立,24120a a ?=-≤?≤4.C 当1x ≥时,'()0f x ≥,函数()f x 在(1,)+∞上是增函数;当1x <时,'()0f x ≤, ()f x 在(,1)-∞上是减函数,故()f x 当1x =时取得最小值,即有 (0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥ 5.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4 y x =在某一点的导数为 4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --= 6.A 极小值点应有先减后增的特点,即'''()0()0()0f x f x f x <→=→> 二、填空题 1.6 '2 2'2 ()34,(2) 8120,2,6f x x c x c f c c c =-+=-+==或,2c =时取极小值 2.(,)-∞+∞ '2c o s 0y x =+>对于任何实数都成立 3. 6 π ''()))f x ???=-++=+ ()())3 f x f x π ?'+=++ 要使()()f x f x '+为奇函数,需且仅需,3 2 k k Z π π ?π+ =+ ∈, 即:,6 k k Z π ?π=+ ∈。又0?π<<,所以k 只能取0,从而6 π ?= 。 4.(7,)+∞ ]2,1[-∈x 时,max ()7f x = 5.1 2 2n +- ()() / 11 2 22,:222(2) n n n x y n y n x --==-++ =- +-切线方程为, 令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+,所以 21 n n a n =+,则数列1n a n ????+?? 的前n 项和() 12122212n n n S +-= =-- 三、解答题 1.解:3236(1cos2)(2cos )8cos y x x x =+== '5'548cos (cos )48cos (sin )y x x x x =?=?- 548sin cos x x =-。 2.解:函数的定义域为[2,)-+∞ ,' y = =当2x ≥-时,'0y >,即[2,)-+∞是函数的递增区间,当2x =-时,min 1y =- 所以值域为[1,)-+∞。 3.解:(1)32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++ 由' 2124()0393f a b -= -+=,'(1)320f a b =++=得1 ,22 a b =-=- '2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-,函数()f x 的单调区间如下表: 所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2 (,1)3 - ; (2)3 21()2,[1,2]2f x x x x c x =- -+∈-,当23x =-时,222()327 f c -=+ 为极大值,而(2)2f c =+,则(2)2f c =+为最大值,要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立,则只需要2(2)2c f c >=+,得1,2c c <->或。 4.解:设2()x ax b g x x ++= ∵()f x 在(0,1)上是减函数,在[1,)+∞上是增函数 ∴()g x 在(0,1)上是减函数,在[1,)+∞上是增函数. ∴?? ?==3)1(0)1('g g ∴???=++=-3101b a b 解得???==1 1b a 经检验,1,1a b ==时,()f x 满足题设的两个条件. 第二节 针对训练 1、B ; 2、D ; 3、C ; 4、B ; 5、A ; 6、B ; 7、A ; 8、-26; 9、)0,1 (e -;10、C 11、A ;12、B ;13、B. 16、解:(I )设该学生从家出发,先乘船渡河到达公路上某一点P(x ,0) (0≤x ≤d),再乘公交 车去学校,所用的时间为t ,则)0(2)(0 2 2d x x d x a x f t ≤≤-+ += =υυ. 令.3 3,0)(a x x f = ='得 且当,0)(,3 30<'<≤x f a x 时 当,0)(,33>'≤ 当a x 3 3 = 时,所用的时间最短,最短时间为: 0 00 22)231(233)3 3(υυυa a d a a t +=-+ += . 答:当d=2a 时,该学生从家出发到达学校所用的最短时间是0 )231(υa +. (II )由(I )的讨论可知,当d=]2,0()(,2a x f t a 为时=上的减函数,所以当2 a x = 时, 即该学生直接乘船渡河到达公路上学校,所用的时间最短 最短的时间为0 02 225)2(υυa a a t =+= 答:当2a d = 时,该学生从家出发到达学校所用的最短时间是0 25υa . 17、解:a x x f +-= 21)(' ,)(x f 在)23 ,0(上是增函数 021>+-∴a x 在∈x )23,0(上恒成立 ,21-->∴x a 恒成立 222