特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

引言

空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次

特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面

定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程

选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：

(),0

f x y z =???

=?? 又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =

反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线

图

2

图1

交

Oxy 面于点M ，

则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：

母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：

(),0f x y = （1）

它表示一个无限柱面。若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。

应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。

例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22

221,0x y z a b

-==和抛

物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为

22

222

22221,1,2x y x y y Px a b

a b

+=-== 它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故又统称为二次柱面，其图形见（图3）。

例2

：证明，若柱面的准线为

图3

(),0

:0

f x y z =??Γ?

=?? 母线方向为{}(),,0V l m n n =≠，则柱面方程为

,0l m f x z y z n n ?

?--= ??

? （2）

证：设()111,,0P x y 为准线Γ上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：

11,,

x x l y y m z n ρρρ=+=+= （ρ为叁数） ①

当点1P 遍历准线Γ上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数ρ，由①式中最后一个式子得z

n

ρ=

，代入其余两个式子，有 11,l m

x x l x z y y m y z n n

ρρ=-=-=-=-

因点1P 在准线上，代入()11,0f x y =，即得(2)式

若柱面的准线为 ()1,0

:0

f x z y =??Γ?=??

母线方向为 (){,,}0V l m n m =≠

则柱面方程为： 1:,0l n f x y z y m m ?

?

Γ--

= ??

?

（3） 若柱面的准线为： ()2,0

:0

f y z x =??Γ?=??

母线方向为 (){,,}0V l m n l =≠

则柱面方程为 2:,0m n f y x z x l l ?

?Γ--= ??

? （4）

1.2 柱面的一般方程

设柱面的准线Γ是一条空间曲线，其方程为

()()12,,0

:,,0

F x y z F x y z =??Γ?

=??

母线方向为{},,l m n ，在准线Γ上任取一点()1111,,P x y z ，

则过点1P 的母线方程是： 11,,

x x l y y m z n ρρρ=+=+= （ρ为叁数）

这里,,x y z 是母线上点的流动坐标。因点1P 的坐标应满足：

()()11112111,,0,,,0F x y z F x y z ==

()()12,,0

,,0

F x l y m z n F x l y m z n ρρρρρρ---=????---=?? 从上面这两组式子中消去参数ρ，最后得一个三元方程

(),,0F x y z = (5)

这就是以Γ为准线，母线的方向数为,,l m n 的柱面方程。

例3：柱面的准线是球面2221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线，母线方向是{}1,1,1，求柱面的方向。

解：设()111,,x y z 是准线上任一点，则过这点的母线方程为

111,,

x x y y z z ρρρ=+=+=+ 由此得 111,,

x x y y z z ρρρ=-=-=-

代入准线方程，得 ()()()2221

30

x y z x y z ρρρρ?-+-+-=??++-=??

消去参数ρ，得 222

1333x y z x y z x y z x y z ++++++?

?????-+-+-= ? ? ???????

展开，化简后得 ()22223x y z xy yz zx ++---= 这就是所求的柱面方程。

1.3 柱面的参数方程

设柱面的准线的参数方程为： Γ：()()

()()

x f t y g t a t b z h t =??

=≤≤??

=?

母线方向为{},,l m n 又设()()()()1111,,P f t g t h t 是准线Γ上的一点，则过1P 的母

线方程为

()()()111,,x f t l y g t m z h t n ρρρ=+=+=+ （ρ为参数）

令1P 在准线Γ上移动，即让1t 取所有可能的值，并让ρ取所有可能的值，则由上式决定的点(),,x y z 的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：

()()()x f t l

a t

b y g t m z h t n ρρρρ=+??≤≤???

=+? ?-∞<<+∞??

?

?=+?

（6） 例4：设柱面的准线为： ()cos sin 020x a y b z θθ

θπ=??

=≤≤??=?

母线方向为{0,1,1}，求柱面的方程。

解：由(6)式，柱面得参数方程为： cos 02sin x a y n z θρπθρ

ρρ

=??≤≤??

?

=+? ?-∞<<∞??

??=? 从上式中消去参数θ和ρ，得住面的一般方程 ()2

222

1y z x a b

-+= 1.4 由生成规律给出柱面的方程

有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。

例5：求以直线q为轴，半径为r的圆柱

面方程，其中直线

z z

n

-

=

图4

q 通过点()0000,,P x y z ,方向向量为

{,,}V l m n =。 解：设(),,P x y z 为所求柱面上的一点（图4），按题意P 到q 的距离为

PM r =，设0PP M θ=∠，按向量的定义有

00P P V P P ?=sin V r V θ=

两端平方即得所求柱面的向量是方程：

()

2

2

2

P P V r V ?= ①

写成坐标式，即

()()()()2

2

0000n y y m z z l z z n x x ---+---????????

()()2

00m x x l y y +---????

()2222r l m n =++ ②

若利用公式 ()

()2

2

22

000P P V P P V P P V

?=-? ③

则②式又可写成

()()()()222222000x x y y z z l m n ??-+-+-++??

()()()2

000l x x m y y n z z --+-+-????

()2222r l m n =++ 或

()()()

222

2000x x y y z z r -+-+--

=()()()2

000222

l x x m y y n z z l m n

-+-+-????++ 特别地，若取直线q 为z 轴，令0000x y z ===，则比时柱面方程为 222x y r +=。

1.5 曲线的射影柱面

定义2：设Γ是一条空间曲线，π为一平面，经过Γ上每一点作平面的垂线，由这些垂线构成的柱面叫做从Γ到π的射影柱面（图5）

显然，Γ在π上的射影就是从Γ到π的射影柱面与π的交线。通常我们将平面π取为坐标平面。

给定空间曲线 ()()12,,0:,,0

F x y z F x y z =??Γ?=??

那么怎样求曲线Γ到Oxy 平面上的射影柱面方程？因为这个柱面的母线平行于z 轴，因此它的方程中不应含变量z ，这样只要消去z 即从Γ的某一个方程中解出z 来，把它代入另一个方程中，就得到从Γ向Oxy 面的射影柱面方程：

(),0f x y =

同理，曲线Γ在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：

()(),0,,0g y z h x z ==

因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是：从曲线Γ的方程中轮流消去变量,x y 与z ，就分别得到它在Oyz 面，Ozx 面和Oxy 面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。

例6：求曲线()()2

2

2222:1,111x y x x y z Γ++=+-+-=在Oxy 面上的射影。 解：欲求曲线在Oxy 面上的射影，需先求出曲线到Oxy 面上的射影柱面，这又须从曲线方程消去z ，由Γ的第一个方程减去第二个方程并化简得

1y z += 或 1z y

=

-图5

将1z y =-代入曲线的方程中的任何一个，得曲线Γ到Oxy 面的射影柱面：

22220x y y +-=

故两球面交线在Oxy 面的射影曲线方程是 2220

x y y z ?+-=?=? 这是一椭圆.

2. 锥面

定义3：通过一定点0P 且与一条曲线Γ相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面（图6），定点0P 叫做锥面的顶点，定曲线Γ叫做锥面的准线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。

由定义3，可见，锥面有个显著的特点：顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。

显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为准线。

下面分几种 情形讨论锥面的方程：

2.1 顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程

设锥面的准线Γ在平面z h =上，其方程为

(),0

:f x y z h

=??Γ?=?? 又设(),,P x y z 为锥面上一动点（图7），

()111,,P x y h 为准线Γ上一点，且P 、1P 、O 三点共线，则1OP OP λ=或11{,,}{,,}x y z x y h λ=即11,,x x y y λλ==z h λ=，于是

图6

图7

11,x

hx y hy

x y z z

λ

λ=

=

==

。 由于11,x y 应满足()11,0f x y =，可见(),,x y z 应满足方程：

,0h h f x y z

z ??

= ???

反过来，若一点P '的坐标(),,x y z 满足方程(1)，则将上式逆推可知，点P '在过点O 与1P 的直线上，因而在锥面的母线上，即点P '是锥面上的点。

因此，以原点为锥顶，准线为(),0,g y z x k ==或(),0,h x y y m ==的锥面方程分别为：

,0;

,0k

k m m g y z h x z x

x y

y ??

??== ? ?????

例7：采用上式易知，以原点为锥顶，准线为椭圆 22

221x y a b z h ?+

=???=? 双曲线

22

221

x y a b

z h

?-=???=?

和抛物线 22y Px z h ?=?=? 的锥面方程分别是： 2222222211111,1h h h h x y x y a z b z a z b z ????????+=-= ? ? ? ????????? 和 2

20h h y P x z z ????

-= ? ?????

即 222222

222222,x y z x y z a b h a b h

+=-= 和 220hy Pxz -=。

这三个二次方程都是关于x 、y 、z 的二次齐次方程，因此统称为二次锥面（图8）。

2.2 锥面的一般方程

设锥面的准线Γ为一空间曲线： ()()12,,0

:,,0

F x y z F x y z =??Γ?=??

顶点0P 的坐标为()000,,x y z 。又设()1111,,P x y z 为准线上一点，则过点1P 的母线方程为：

()()()010010010,,x x x x y y y y z z z z ρρρ=+-=+-=+-

因为1P 在准线上，故应有 ()()

11112111,,0

,,0F x y z F x y z =???=??

()()()()()()00010002111,,0111,,0x x y y z z F x x y y z z F ρρρρρρρρρρρρ?------??

=? ????

?

------??

?= ???

?? （7） 从以上一组方程中消去ρ可得 (),,0

F x y z =z

h

O

z

h

图8

y

z

h

222

222x y z a b h

+=

222

222x y z a b h

-=

220hy Pxz -=

这就是以Γ为准线0P 为顶点的锥面方程。

例8：锥面的顶点在原点，且准线为 22

221x y a b z c ?+

=???=?

求锥面的方程。

解：设()1111,,M x y z 为准线上的任意点，那么过1M 的母线为

111

x y z

x y z == ① 且有 22

11221x y a b

+= ②

1z c = ③

由①、③得 11,x y

x c y c z z

== ④

④代入②得所求的锥面方程为 222

2220x y z a b c

+-=

这个锥面叫做二次锥面。

定理2：关于,,x y z 的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。

证：设(),,0F x y z =是关于,,x y z 的n 次齐次方程，点()1111,,P x y z 是方程所表示的曲面∑上的任意一点（但不是原点），那么

()111,,0F x y z =

连结1OP ，在此直线上任取一点,,P x y z ，因为1OP

tOP ，故有

11,,x

tx y

ty z

tz

把点P 的坐标代入曲面的方程，利用F 是n 次齐次函数，有

111111

,,,,,,0n F x y z

F tx ty tz t F x y z

这表示直线1OP 上任何点都在曲面

上，因而

是由过原点的动直线构成的，这

就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。

推论：关于000,,x

x y

y z

z 的齐次方程表示以000,,x y z 为顶点的锥面。

证：平移坐标轴，以000,,x y z 为新原点，利用定理(2)即得证明。

例9：求顶点在00,,0P b ，准线为 22

22

:1,

0z x y

c

a 的锥面方程。

解：设,,P x y z 是锥面上一动点，则母线0P P 的方程为

11,,

x

x y

b b z

z （ 为叁数）

其中111,0,P x z 为母线0P

P 与准线的交点，从上式可解得交点1P 的坐标 1

1

,0

,x z

x y b

b z

由此可解得

y b

b

，将点1P 的坐标代入准线方程中，得 222

2

2

21z x c

a

或 2

22

2

2

0z x c

a

此即 2

2

22

22

0y b z x c

b

a

这就是所求的锥面方程。

2.3 锥面的参数方程

设锥面的准线的参数方程为 :x

f t y

g t a t b z

h t

顶点为0000,,P x y z ，又设1111,,P f t g t h t 为准线上一点，则母线01P P 的参

数方程为

0100100

1

x x f t x y y g t y z

z h t z

当点1P 在准线上移动时，母线01P P 的轨迹就是锥面，因此锥面的参数方程是

000

111

x x f t a t b

y y g t z

z h

t

（8）

从(8)式可见，锥面有两叶，0是一叶，0是另一叶。

例10：已知锥面的顶点为0,0,0，准线为

cos ,sin ,0

2

x

a y

b z

c

求它的方程。

解：由(8)式，所求锥面的参数方程是

cos 0

2

sin x a y b z

c

（9）

消去参数和，就得所求锥面的一般方程，它是二次锥面

222

2

2

2

x y z a b c （9）

2.4 由生成规律给出锥面的方程

定义4：已知一定直线q 上的一定点0P ，过空间一点P 与0P 作直线使与q 所成锐角等于定角，则动点P 的轨迹叫做

(直)圆锥面，q 叫做锥面的轴 ，锐角叫做半锥项角，定点0P 叫做锥顶。

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

引言 空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次 特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。 1.柱面 定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。 显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。 下面分几种情形讨论柱面的方程。 母线平行于坐标轴的柱面方程 选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为： (),0 f x y z =??? =?? 又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应 图2 图1

满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y = 反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。 综上所述，我们有如下结论： 母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为： (),0f x y = （1） 它表示一个无限柱面。若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。 同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。 定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。 应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。 例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22 221,0x y z a b -==和抛 物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为 22 22 222 221,1,2x y x y y Px a b a b +=-== 它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故 图3

考研高数：常见的旋转曲面求法

考研高数：常见的旋转曲面求法 我们之前给大家介绍过数一、数二和数三的区别主要在于考点的内容范围，而不在考试要求。考数一的考生需要额外掌握空间解析几何和多元函数积分学这两大模块的内容。而空间解析几何是后面我们计算二重积分、三重积分、和曲线、曲面积分的基础。因为计算积分首先需要正确地把积分区域的图像画出来。这就要求我们掌握常见的二次曲面的图像和一般旋转曲面的求法。常见的二次曲面包括圆柱面、旋转抛物面、锥面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面等，这些曲面都是某条曲线绕着坐标轴旋转形成的。那么我们就来分析一般的旋转曲面的求解方法，这也是后期计算各类积分的基础。 1. 概念 一条曲线绕某一条直线旋转一周所成的曲面就是旋转曲面。这条旋转曲线和直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。 旋转曲面的概念很好理解，这个曲面的形成方式是旋转，而且常用到的是绕着坐标轴旋转，下面我们来看旋转曲面的求法。 2. 旋转曲面求法 求解旋转曲面，一般母线的形式有以下两种：

掌握这两种形式的旋转曲面的求解方法，在计算重积分和曲线曲面积分时也就够用了，这里不要求大家直接记忆公式，只要掌握了旋转过程的两个不变量，理解了求解的方法和思路，在做题过程简单推导就可以求出旋转曲面的表达式，再去画图计算积分即可。 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩

教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积 教学目的与要求： 1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 理解并掌握微元法的思想及应用. 教学重点，难点： 1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 微元法的思想及应用. 教学内容： 定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节和下一节将采用此法来处理。 一 微元法 为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。 设f 为闭区间[a ，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积 作法：（ｉ）分割 在区间[ a ，b]内任取n-1个分点，它们依次为 a=x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －１＜x n =b, 这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x ｉ－１, x ｉ],I=1,2,…n.再用直线x= x ｉ, ｉ=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。 （ii ）近似求和 在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点i ξ，作以f (i ξ)为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形.当分割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f 为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即 1()n i i i S f x ξ=≈?∑ ).(1--=?i i i x x x （iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又 与所有中间点i ξ（i=1,2,…，n ）的取法有关。可以想象，当分点无限增多， 且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i 和中间点i ξ的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.

第三章 常见曲面球面和旋转面

第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=， 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=， （3.1） 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2） 其中， 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面；当c b b b =++2 32221时，它表示一个点() 32,1,b b b ---；当c b b b <++2 32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂

足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? （3.5） 其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的

柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

第四章 柱面· 锥面· 旋转曲面与二次曲线 教学目的: 1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程. 2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状. 3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状. 4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法. 6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图. 重点难点: 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、 旋转曲面的准线是难点. 2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面 方程的灵活多样是难点. 3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物 面的一些性质难点. 4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线 是难点. §4.1 柱 面 一.柱面的定义 空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面. 柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线. 柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一. 二.柱面的方程 在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ???==0),,(0),,(2 1z y x F z y x F

(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X ,,= (2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为 Z z z Y y y X x x 1 11-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方 程0),,(=z y x F ，这就是以???==0),,(0 ),,(2 1z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方 程. 三.例题讲解 例1.柱面的准线方程为?????=++=++2 221 2 22222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程. 解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为 101111z z y y x x -=-=--, 且 ?????=++=++2 221 2 121212 12 12 1z y x z y x (1) 设 t z z y y x x =-=-=--1 011 11,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得?????=-+++=-+++2 )(2)(21)()(2 222 22t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 2 1 211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程. 解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了. 空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于

旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)

旋转曲面的参数方程 ---------利用正交变换作旋转 众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 ()0F z = （1） （见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。 如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为 ()f z =或 222[()]x y f z += （2） 这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为()f z 的一个垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面： ()c o s ()s i n x f z y f z z z θθ?=?=??=? （02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程能写成参数方程() ()y f t z g t =??=?（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为： ()cos ()sin ()x f t y f t z g t θ θ?=? =??=? （02θπ≤≤，a t b ≤≤） （4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为() ()()x h t y f t z g t =??=??=? （a t b ≤≤），则此曲线绕z 轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：

柱面锥面旋转曲面与次曲线

第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线 教学目的: 1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方 程. 2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴 为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状. 3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状. 4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法. 6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图. 重点难点: 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、 旋转曲面的准线是难点. 2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面 方程的灵活多样是难点. 3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物 面的一些性质难点. 4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线 是难点. §4.1柱面 一.柱面的定义 空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面. 柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线. 柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一. 二.柱面的方程

在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ???==0 ),,(0 ),,(21z y x F z y x F (1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,= (2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为 Z z z Y y y X x x 1 11-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方 程0),,(=z y x F ，这就是以???==0),,(0 ),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方 程. 三.例题讲解 例1.柱面的准线方程为?????=++=++2 221 2 22222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程. 解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为 101111z z y y x x -=-=--, 且 ?????=++=++2 221 2 121212 12121z y x z y x (1) 设 t z z y y x x =-=-=--1 011 11,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得?????=-+++=-+++2 )(2)(21)()(2 222 22t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 2 1 211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程. 解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了. 空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距

定积分的应用4旋转曲面的面积数学分析

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有 可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素 并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所 为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21

解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22 2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为： ??? ??+==-=? ?? ? ??-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220 0000 0 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*********=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为 ())3 4,31,3 1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为 )15 13 ,1511,152(0-- M ，圆的方程为： ????? =++= -++++0 7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

引言 空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。 1.柱面 定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ 相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。 显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。 下面分几种情形讨论柱面的方程。 1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程 选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于 z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为： (),0 0f x y z =??? =?? 图1 u v

又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y = 反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程 (),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。 综上所述，我们有如下结论： 母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为： (),0f x y = （1） 它表示一个无限柱面。若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。 同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。 定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。 应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。 例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22 221,0x y z a b -==和抛 物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为 22 222 22221,1,2x y x y y Px a b a b +=-==

旋转曲面图形绘制

实验名称：旋转曲面图形绘制 --------------谢煜1024 一、问题阐述： 二、问题分析： 该问题应归于三维可视化的范畴，问题中的函数形式已给出，通过计算函数在分段点的函数值和一阶导数值，我们可以知道，该函数曲线是光滑的。如果按照“经典”的绘图方法，我们应该找到对应平面的对应点函数值（正如一幅数码图片那样对应平面上点的函数值），然后使用MATLAB中命令surf或mesh来绘出我们的图形。但是我们注意到，对于特定的操作（旋转），也许这样并不是一个很好的方法。 我们知道，一个旋转曲面的两个要素是截面曲线和旋转轴。我们可以通过这两个步骤得到一个特定的旋转曲面。 1.指定截面曲线； 2.指定旋转轴。 我们同时可以将旋转曲面的形成过程看作是某个具有特定形状的截面曲线对一个圆柱体进行“变形”。基于这样的思想，我们可以用一下两个步骤得到一个特定的旋转曲面： 1.生成一个单位高度单位半径的圆柱体； 2.将截面曲线的形状应用到该矩形截面上； 3.对旋转曲面的高度进行缩放。 三、实验内容（包含程序及其注释，实验输出及其分析） 接下来第一步我们还是先用一个简单的程序看看截面曲线的样子， 绘出如图1所示的曲线，有点像给出的飞机机翼截面的上半部分，也有点像鲸的头 部。 图1 截面曲线 接下来我们按照要求，先计算对应的y和z， 得到如下表1中所列数据， 表1 对应三轴数据 然后，按照我们的思路，应该先生成一个单位高度圆柱体，然后应用截面，再伸缩 长度，在MATLAB里面，有一个命令cylinder可以直接生成圆柱体，并且还可以指定截面函数，这样三步就完成前两步，我们只需要将X轴的数据进行放大即图形上的伸缩即可。唯一需要说明的是，由于问题中X轴是横的，而cylinder命令默认旋转轴是Z轴，我 们可以将返回的数值顺序调换一下，将X的数据放在Z轴数据的位置。如下命令：最后，我们用以下命令绘出图形，图形如图2所示。这个旋转曲面形状像一个陨石在大气层中燃烧产生的焰火，当然，我觉得也像一个望着大家的眼球。 图2 旋转曲面图形 至此，本实验所包含的基本问题就得到解决。 下面我们来生成一个有趣的图形。展示了一个“逃出”的情景。如图3，所用程序一并给出。 图3 多个旋转曲面组成的图形 四、实验结论 通过这个实验我们解决了给出的基本问题，并发展出一种更方便的绘制旋转曲面的方法。这种方法也说明我们采取的解决方法和我们看待事物的角度有密切联系。有意识

旋转曲面、柱面和二次曲面

旋转曲面、柱面和二次曲面 一、旋转曲面 定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。l 称为轴，C 称为母线。 设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为? ??==00 ),(x z y f ，则旋转曲 面的方程为0),(2 2=+± z y x f 。 坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。 例1 母线? ??==02:2x pz y C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为 pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。 例 2 母线??? ??==-0 1:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为 122 2 22=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为12 2 222=+-c z y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。 二、柱面 定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。l 称为母线，C 称为准线。 定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。

椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 抛物柱面：px y 22= 三、二次曲面 (1) 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++c z b y a x (3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：122 2222=--c z b y a x (5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z b y a x =-22 22