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第六章一次函数 5.一次函数图象的应用(二) 成都七中陈中华 一、学生起点分析 在前几节课,学生已经分别学习了一次函数,一次函数的图象,一次函数图象的特征,并且了解到一次函数的应用十分广泛.在此基础上,通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用. 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成.第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题,本节课为第2课时,主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题.和前一课时一样,教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题,关注数形结合思想的揭示,关注形象思维能力的发展,同时,这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础. 三、教学目标分析 1.教学目标 ●知识与技能目标: 1.进一步训练学生的识图能力,能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题; ●过程与方法目标: 1.在函数图象信息获取过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维; 2.在解决实际问题过程中,进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识.●情感与态度目标: 在现实问题的解决中,使学生初步认识数学与人类生活的密切联系,从而培养学生学习数学的兴趣. 2.教学重点 一次函数图象的应用 3.教学难点 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法 1.教学方法:“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2.课前准备: 教具:教材,课件,电脑 学具:教材,练习本,铅笔,直尺
五、教学过程: 本节课设计了五个环节:第一环节:情境引入;第二环节:问题解决;第三环节:反馈练习;第四环节:课时小结;第五环节:作业布置. 第一环节:情境引入 内容:一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中 的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图:通过与上一课时相似的问题,回顾旧知,导入新知学习。 效果:由于问题与上一课时问题相近,学生很快明确并解决了问题。 第二环节:问题解决 内容1:例1 小聪和小慧去某风景区游览,约好在“飞瀑”见面,上午 7:00小聪乘电动汽车从“古刹”出发,沿景区公路去“飞 瀑”,车速为36km/h,小慧也于上午7:00从“塔林”出发, 骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”,车速为26km/h. (1)当小聪追上小慧时,他们是否已经过了“草甸”? (2)当小聪到达“飞瀑”时,小慧离“飞瀑”还有多少km? 分析:当小聪追上小慧时,说明他们两个人的什么量是相同 的?是否已经过了“草甸”该用什么量来表示?你会选择用哪 种方式来解决?图象法?还是解析法? 解:设经过t时,小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2, 由题意得:S1=36t, S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上,观察图象,得 ⑴两条直线S1=36t, S2=26t+10的交点坐标为(1,36)这说明当小聪追上小慧时,S1=S2=36 km,即离“古刹”36km,已超过35km,也就是说,他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时,即S1=45km,此时S2=42.5km. 所以小慧离“飞瀑”还有45-42.5=2.5(km) 思考:用解析法如何求得这两个问题的结果?小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么(小聪的解析式为S1=36t,小慧的解析式为S2=26t+10)? 意图:培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力. 说明:在这个环节的学习过程中,如果学生入手感到困难,可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步?⑵在两个人到达之前所用时间是否相同?所行驶的路程是否
函数的图象变换(习题) 1.函数y=-2x2的图象是由函数y=-2x2+4x+6的图象经过怎样的变换得到的? () A.向左平移1个单位长度,向上平移8个单位长度 B.向右平移1个单位长度,向上平移8个单位长度 C.向左平移1个单位长度,向下平移8个单位长度 D.向右平移1个单位长度,向下平移8个单位长度 4.若函数(1) x y a b =-+(a>0,且a≠1)的图象在第一、三、四象限,则必有()
A .0<a <1,b >0 B .0<a <1,b <0 C .a >1,b <0 D .a >1,b > 5. 若函数()y f x =与()y f x =的图象相同,则()f x 可能是( ) A .1y x -= B .2x y = C .2log y x = D .21y x =- 6. 当0<a <1时,函数()log ()a f x x =-与()1g x ax =-的图象的交点在( ) A . 第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 7. 在同一平面直角坐标系内,函数1()3x f x -=与1()3x g x +=的图象关于( ) A .y 轴对称 B .x 轴对称 C .原点对称 D .直线x =1对称
f (x -1)的函数 f (-x )的函数 |f (x )|的函数 f (|x |)的函数 A B C D 10. 将()y f x =的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =ln x 关于y 轴对称, 则()y f x =的解析式为( ) A .()ln(1)f x x =+ B .()ln(1)f x x =- C .()ln(1)f x x =-+ D .()ln(1)f x x =-- 11. 若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线x =-2对称,则a ,b 的值分 别为( ) A .15,8 B .8,15 C .3,4 D .-3,-4 12. 已知函数()y f x =的图象关于直线x =1对称,且在[1)+∞,上单调递减, (0)0f =,则(1)0f x +>的解集为( ) A . (1)+∞, B .(1)(1)-∞-+∞,, C .(1)-∞-, D .(11)-, 13. 已知函数() y f x =的图象与ln y x =的图象关于x 轴对称,则 (2)f =_____________.
一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用,是高考要求范围内的一个重要的基础知识.那么在高三第一轮复习 课中,对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言,我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =(ab ≠0)的图象、性质与应用. 2.1 定理:函数x b ax y +=(ab ≠0)表示的图象是以y=ax 和x=0(y 轴) 的直线为渐近线的双曲线. 首先,我们根据渐近线的意义可以理解:ax 的值与x b 的值比较,当x 很大很大的时候, x b 的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是ax 的值;当x 的值很小很小,几乎为0的时候,ax 的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是x b 的值.从而,函数x b ax y +=(ab ≠0)表示 的图象是以y=ax 和x=0(y 轴)的直线为渐近线的曲线.另外我们可以发现这个函数是奇 函数,它的图象应该关于原点成中心对称. 由于函数形式比较抽象,系数都是字母,因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的,我们通过一个例题来说明这一结论. 例1.若函数x x y 3 233+= 是双曲线,求实半轴a ,虚半轴b ,半焦距c ,渐近线及其焦点,并验证双曲 线的定义. 分析:画图,曲线如右所示;由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线;由此,两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了,得出顶点为A (3,3),A 1(-3,-3); ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o,则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32).为了验证函数的图象是双曲线,在曲线上任意取一点P (x, x x 3 233+)满足3421=-PF PF 即可;
1.一列动车从开往,一列普通列车从开往,两车同时出发,设普通列车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),如图中的折线表示y与x之间的函数关系. 根据图象进行以下探究: (1)到两地相距_________千米,两车出发后___________小时相遇; 普通列车到达终点共需__________小时,普通列车的速度是___________千米/小时. (2)求动车的速度; (3)普通列车行驶t小时后,动车的达终点,求此时普通列车还需行驶多少千米到达?2.某超市鸡蛋供应紧,需每天从外地调运鸡蛋1200斤.超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋,已知甲养殖场每天最多可调出800斤,乙养殖场每天最多可调出900斤,从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表: 设从甲养殖场调运鸡蛋x斤,总运费为W元. (1)试写出W与x的函数关系式. (2)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省? 3.写出下列各小题中y关于x的函数表达式,并判断y是否为x的一次函数?是否为x的正比例函数? (1)长方形的面积为20,长方形的长y与宽x之间的函数表达式. (2)某地西瓜刚上市时的价格为3.6元/千克,买西瓜的总价y(元)与所买西瓜x(kg)之间的函数表达式. (3)地面气温为28 ℃,高度每升高1 km,气温下降5 ℃,气温y(℃)与高度x(km)之间的函数表达式. (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入10000元,以后每个月存入500元,存入总钱数y(元)与月数x之间的函数表达式. 4.甲、乙二人骑自行车分别从A地出发,沿同一路线去B地.甲先行1小时到达距离A地20千米的C地,甲因事耽误一会儿,事后继续按原速行驶,并与乙同时到达B地.下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程S(千米)随时间t(小时)变化图象(全程).据图象回答下列问题: (1)A、B两地相距千米,乙骑自行车的速度为千米/时,甲因事耽误了小时. (2)求出甲、乙二人在途中相遇以后,距离甲出发多长时间甲、乙二人相距5千米?
第7讲 函数的图象及其应用 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、填空题 1.把函数f (x )=(x -2)2+2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是________. 解析 把函数f (x )=(x -2)2+2的图象向左平移1个单位长度,得y =[(x +1)-2]2+2=(x -1)2+2,再向上平移1个单位长度,得y =(x -1)2+2+1=(x -1)2+3. 答案 y =(x -1)2+3 2.函数f (x )=x +1 x 的图象的对称中心为________. 解析 f (x )=x +1x =1+1 x ,故f (x )的对称中心为(0,1). 答案 (0,1) 3.已知f (x )=? ???? 13x ,若f (x )的图象关于直线x =1对称的图象对应的函数为g (x ), 则g (x )的表达式为________. 解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ,y ),这一点关于x =1的对称点为(x 0,y 0),则??? x 0=2-x , y 0=y . ∴y =? ???? 132-x =3x -2. 答案 g (x )=3x -2 4.函数y =(x -1)3+1的图象的对称中心是________. 解析 y =x 3的图象的对称中心是(0,0),将y =x 3的图象向上平移1个单位,再向右平移1个单位,即得y =(x -1)3+1的图象,所以对称中心为(1,1). 答案 (1,1)
5. 设奇函数f (x )的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f (x )的图象如图,则不等式f (x )<0的解集是________. 解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称.∴f (x )<0的解集为(-2,0)∪(2,5). 答案 (-2,0)∪(2,5) 6.若函数f (x )在区间[-2,3]上是增函数,则函数f (x +5)的单调递增区间是________. 解析 ∵f (x +5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的. ∴f (x +5)的递增区间就是[-2,3]向左平移5个单位得到的区间[-7,-2] 答案 [-7,-2] 7.若方程|ax |=x +a (a >0)有两个解,则a 的取值范围是________. 解析 画出y =|ax |与y =x +a 的图象,如图.只需a >1. 答案 (1,+∞) 8.(2013·泰州模拟)已知函数f (x )=??? log 2x (x >0),2x (x ≤0),且关于x 的方程f (x )-a =0有 两个实根,则实数a 的范围是________. 解析 当x ≤0时,0<2x ≤1,所以由图象可知要使方程f (x )-a =0有两个实
类型一根据实际问题分析函数图象 行程问题 各自路程与时间的函数图象 1. (2017哈尔滨)周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中,小涛离家的距离y(单位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示.下列说法中正确的是( ) A. 小涛家离报亭的距离是900 m B. 小涛从家去报亭的平均速度是60 m/min C. 小涛从报亭返回家中的平均速度是80 m/min D. 小涛在报亭看报用了15 min 第1题图 2. (2017聊城)端午节前夕,在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队在500米的赛道上,所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示.下列说法错误的是( )
A. 乙队比甲队提前0.25 min到达终点 B. 当乙队划行110 m时,此时落后甲队15 m C. 0.5 min后,乙队比甲队每分钟快40 m D. 自1.5 min开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需提高到255 m/min 第2题图 3. (2017锦州)已知A,B两地相距10千米,上午9:00甲骑电动车从A地出发到B地,9:10乙开车从B地出发到A地,甲、乙两人距A地的距离y(千米)与甲所用的时间x(分)之间的关系如图所示,则乙到达A地的时间为________. 第3题图 4. 一辆货车从A地匀速驶往相距350 km的B地,当货车行驶1小时经过途中的C地时,一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地,当快递车到达B地后立即掉头以原
来的速度匀速驶往A 地.(货车到达B 地,快递车到达A 地后分别停止运动)行驶过程中两车与B 地间的距离y (单位:km )与货车从出发所用的时间x (单位:h )间的函数关系如图所示.则货车到达B 地后,快递车再行驶________h 到达A 地. 第4题图 5. 快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发,沿同一路线匀速行驶,相向而行,快车到达乙地停留一段时间后,按原路原速返回甲地.慢车到达甲地比快车到达甲地早12 小时,慢车速度是快车速度的一半,快、慢两车到达甲地后停止行驶,两车距各自出发地的路程y (千米)与所用时间x (小时)之间的函数图象如图所示,快车开始返回之后,经过________小时两车相距100千米的路程. 第5题图 6. (2017重庆指标到校卷)周末,小华骑自行车从家里出发到植物园游玩,从家出发0.5 h
一次函数图象的应用 一.知识与技能目标: 1.能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题; 2.在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识的联系。 过程与方法目标: 1.通过对函数图象的观察与分析,培养学生数形结合的意识,发展形象思维; 2.通过具体问题的解决,培养学生的数学应用能力; 3.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,使学生初步形成多样的学习方式. 情感与态度目标: 1.在具体的案例中,培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等. 教学重点 一次函数图象的应用. 教学难点 正确地根据图象获取信息,并解决现实生活中的有关问题. 教学过程 第一环节复习 .怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问
题,是我们这节课的主要内容.首先,想一想一次函数具有什么性质? 在一次函数y kx b =+中 当0k >时,y 随x 的增大而增大, 当0b >时,直线交y 轴于正半轴,必过一、二、三象限; 当0b <时,直线交y 轴于负半轴,必过一、三、四象限. 当0
一次函数专项训练 专训1.一次函数的两种常见应用 名师点金: 一次函数的两种常见应用主要体现在解决实际问题和几何问题.能够从函数图象中得到需要的信息,并求出函数解析式从而解决实际问题和几何问题,是一次函数应用价值的体现,这种题型常与一些热点问题结合,考查学生综合分析问题、解决问题的能力.利用函数图象解决实际问题 题型1行程问题 (第1题) 1.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城,在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示,则下列结论 ①A,B两城相距300 km; ②乙车比甲车晚出发1 h,却早到1 h; ③乙车出发后2.5 h追上甲车; ④当甲、乙两车相距50 km时,t=5 4 或 15 4 . 其中正确的结论有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个
2.甲、乙两地相距300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题: (1)线段CD表示轿车在途中停留了________h; (2)求线段DE对应的函数解析式; (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车. (第2题) 题型2工程问题 3.甲、乙两组工人同时加工某种零件,乙组在工作中有一段时间停产更换设备,更换设备后,乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图象如图所示. (1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式. (2)求乙组加工零件总量a的值. (3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱,每够300件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,经过多长时间恰好装满第1箱?再经过多长时间恰好装满第2箱?