镜像法

https://www.wendangku.net/doc/5914706420.html,/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm

§4.4 镜像法

镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。在镜像法应用中应注意以下几点：

(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像

z

q

d

x

设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面

的距离为d 。如图4.2(a)所示

上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即

(,,)0x y z φ= (4.29)

设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即

1/2

1/2

2222

2

2

01

1

{

}

4()()q

x y z d x y z d φπε=

-

??

??

++-+++??

??

(4.30)

上半空间任一点的电场强度为

E φ

=-?

电场强度E 的三个分量分别为

3/2

3/2

2

2

2

2

2

2

0{

}

4()()x q

x

x

E x y z d x y z d πε=

-

??

??

++-+++????

(4.31a)

3/2

3/2

2222

2

2

0{

}

4()()y q

y

y

E x y z d x y z d πε=

-

??

??

++-+++????

(4.31b)

3/2

3/2

2222

2

2

0{

}

4()()z q

z d

z d

E x y z d x y z d πε-+=

-

??

??

++-+++??

??

(4.31c)

可见，在导体表面0z =处，0

x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向

电场存在。导体表面感应电荷分布可由边界条件0S n z D E ρε==决定，即

2

2

2

3/2

2()

S qd

x y d ρπ=-

++ (4.32a)

或

2

2

3/2

2()

S qd r d ρπ=-

+ (4.32b)

式中222

r x y

=+。它是导体表面上任一点到

原点的距离的平方。

由式(4.32)可以看出，导体表面上感应电荷分布是不均匀的，感应电荷密度分布如图4.3所示。

导体表面上感应电荷总量为

d d S S q x y ρ+∞+∞-∞

-∞

=

??

q

=-

导体表面上感应电荷对点电荷q 的作用力，也可用镜像电荷'q 对点电荷q 的作用力来计算，即

2

2

016z

q

F a d

πε=-

(4.33)

若在无限大接地导体平面附近有多个点电荷存在，则可给出每个点电荷对应的镜像电荷的位置和大小，空间电场将是所有点电荷及其镜像电荷产生的电场的叠加。

4.4.2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像

设一无限长的均匀带电的直线电荷，位于无限大接地导体平面上方，且与导

图4.

体平面平行，线电荷密度为l ρ，与导体平面距离为h ，如图4.4(a)所示

我们可以将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为l ρ-，位置如图4.4(b)所示。由第二章中【例2-4】，可得待求场域(0)y >中的电位为

20

1

ln

2l

r r ρφπε=

(4.34)

式中，

221/2

1[()]

r x y h =+-,

2

21/2

2[()]

r x y h =++。

当12r r =时，0φ=，满足接地导体平面边界电位为零的条件。 上半空间的电场为

12

01

02

22l

l r r E a a r r ρρπεπε-=

+

(4.35a)

或

12

2

21/2

2

21/2

002[()]

2[()]

l

l

r r E a a x y h x y h ρρπεπε-=

+

+-++ (4.35b)

4.4.3 点电荷对无限大介质平面的镜像

设一点电荷q 位于一无限大介质分界平面附近，且与分界面的距离为d ，界面两侧介质的介电常数分别为1ε和2ε，如图4.5(a)所示。

由于点电荷q 产生的电场对界面两侧的介质均有极化作用，在介质分界面两

(a) (b) (c)

图4.5 点电荷对无限大介质平面的镜像

侧将出现极化电荷，空间任一点的电位将由点电荷和分界面的极化电荷共同产生。设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作 用，满足界面上的边界条件，根据惟一性定理，空间场就可唯一确定了。

在两种介质分界面上边界条件为

12φφ=，12n n D D =，12t t E E = (4.36)

由于分界面两侧均为待求场域，所以要对两个区域分别讨论。

当待求区域为介质1所在区域时

设想一镜像电荷'q 位于区域x 中，且'q 的位置与q 关于分界面对称，如图4.5(b)所示 。此时，将整个区域的介电常数视为1ε，那么区域1中任一点的电位为

111'44'q q R

R φπεπε=

+

(4.37)

区域1内，任一点处的电位移矢量为

1'

2

2

'44'

R R q q D a a R

R ππ=

+

(4.38)

当待求区域为介质2所在区域时

设想一镜像电荷''q 位于区域1中，且''q 的位置与q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2ε，如图4.5(c)所示。于是，区域2种任一点的电位和电位移矢量分别为

22''4''

q q R φπε+=

(4.39)

2''

2

''4''R q q D a R += π

(4.40)

在分界面上，当'''R R R ==时，式(4.37)和(4.39)应满足电位连续的边界条件，得

12

'

''

q q q q εε++= (4.41)

式(4.38) 和式(4.40)应满足法向分量相等的边界条件，可得

'''q q q q -=+

(4.42)

联立式(4.41)和式(4.42)可得

1212

'''q q q

εεεε-=-=

+ (4.43)

我们将'q 和''q 代入式(4.37)、式(4.38)、式(4.39)和式(4.40)中，便可得到两个区域中的电位和电场分布。 4.4.4 线电流对无限大磁介质平面的镜像

设一无限长的直线电流I 位于一无限大磁介质分界面平面附近，该电流与分界面平行，且与分界面距离为d ，界面两侧磁介质的磁导率分别为1μ和2μ，如图4.6(a)所示。

由于电流I 产生的磁场对界面两侧的磁介质均产生磁化作用，在分界面上 出现磁化电流，设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边 界条件不变，则空间磁场就可以用电流I 和镜像电流产生的磁场叠加来计算。

1.当计算上半空间的磁场时

可认为整个空间充满磁导率为1μ的磁介质，在下半空间有一镜像电流'I ，且'I 与I 关于分界面对称，如图4.6(b)所示。上半空间任一点的磁场由电流I 和镜像电流'I 共同产生，即

1'

'22'

I I H a a r

r ??ππ=

+

(4.44)

2.当计算下半空间磁场时

可认为整个空间充满磁导率为2μ的磁介质，在上半空间有一镜像电流''I ，且''I 与电流I 位置重合，如图4.6(c)所示。下半空间任一点的磁场由电流I 和镜像电流''I 共同产生，即

2''

''2''I I H a r ?π+=

(4.45)

在分界面上，当'''r r r ==时，磁场的边界条件为

12t t

H H =，12n n B B = (4.46)

从图4.6(b)和图4.6(c)可以看出

1'sin sin 22t I I H r

r

??

ππ=

-

2''sin 2t I I H r

?

π+=

111'

cos cos 22n I

I B r

r

μμ??

ππ=

+

22('')

cos 2n I I B r

μ?

π+=

由边界条件式(4.46)得

'''I I I I -=+ (4.47)

12(')('')I I I I μμ+=+ (4.48)

联立式(4.47)和式(4.48)可得

2121

'''I I I

μμμμ-=-=

+ (4.49)

图4.6 线电流对无限大磁介质平面的镜像

根据两种磁介质参数1μ和2μ的不同，由式(4.49)可确定镜像电流'I 和''I 的大小和方向。

(1)当21μμ>时，则'0I >，''0I <，说明'I 与I 方向一致，''I 与I 方向相反； (2)当21μμ<时，则'0I <，''0I >，说明'I 与I 方向相反，''I 与I 方向相同； (3)当1μ有限，2μ→∞，即第二种媒质为铁磁物质时，则'I I =，''I I =-，此时，铁磁质中各点的磁场强度

2

H

为零。而磁感应强度的大小为

(a)

(c)

(b)

2212

1

2222121

lim lim [()]2I B H I I r r

μμμμμμμμμππ→∞

→∞

-==+

=+ (4.50)

(4)当1μ→∞，2μ为有限时，则'I I ≈-，''I I ≈，说明当电流I 位于磁物质中时，下半空间的磁感应强度比电流位于整个空间充满磁介质2μ时产生的磁感应强度增加了一倍。

4.4.5 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像

由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角

n

π

α=

，n 为整数时，

该角域中的点电荷将有(21)n -个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。

（1）当1n =时，角形边界变成无限大平面边界问题，在4.4.1中已给出了详细讨论。

(2)当2n =时，该角域为直角形边界，如图4.7(a)所示。

点电荷q 与两平面的距离分别为1d 和2d ，根据镜像法原理，该角域外有3个

镜像电荷1q 、2

q 和3q ，它们的位置如图4.7(b)所示。其中1q q =-，2q q =，3q q =-，

该角域内的场就由点电荷q 和3个镜像电荷产生的场的叠加获得。

(3)当3n =时，该角域形状如图4.8(a)所示。角域外有5个镜像电荷，其大小和位置如图4.8(b)所示。值得注意的是角域边界的所有镜像电荷都正负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷q 到顶点的距离。

总之，角域夹角为n π

，n 为整数时，有(21)n -个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为

(2),1,2,,(1)(2)m m n n π

θπθ?

±=-??

?-?

及 (4.51)

其中θ为点电荷q 相对水平界面的角度。

值得注意,当锐角域夹角n π

中，n 不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。

【例4-3】 如图4.7(a)所示，两个相交成直角的半无限大导体平面间有一点电荷q ，与两平面的距离分别为12,d d ，求平面上的感应电荷作用于电荷q 上的力。

解 因为要满足两个半无限大导体平面的电位为零的边界条件，所以如图4.7(b)所示，在所求区域外放置镜像电荷123,,q q q q q q =-==-。用镜像电荷替代导体平面后，就可求得所求区域的电位分布和电场强度分布。电荷q 所受到的电场力为镜像电荷123,,q q q 对q 的作用力的叠加，即有

123

F F F F =++

其中

2

12

024(2)

y q

F a d πε=-

2

212223/2

012(22)

4[(2)(2)]

x y q

F d a d a d d πε=

++

2

32

014(2)

x

q

F a d πε=-

4.4.6 点电荷对导体球面的镜像

设一点电荷q 位于半径为a 的接地导体球附近，与球心的距离为d ，如图4.9(a)所示。待求场域为r a >区域，边界条件为导体球面上电位为零，即

(,,)0a φθ?= (4.52)

根据球面上感应电荷的分布状态，在待求场域之外()r a <，设想有一镜像电荷'q ，位于球心与点电荷q 的连线上，且与球心距离为b ，如图4.9(b)所示。

根据导体球面电位为零的条件，在球面上任取一点c ，则

012

1'()0

4c q q r r φπε=

+=

即 21'r q q

r =-

(4.53)

在球面上选两点M 、N (如图4.9(b))亦应满足上式。

(a) (b)

图4.9点电荷对导体球面的镜像

在M 点： '

q a b

q

d a -=-

- (4.54) 在N 点： '

q a b

q d a +=-

+ (4.55)

联立(4.54)和式(4.55)可得

2

a

b d =

，

'a q q

d

=-

(4.56)

由式(4.56)确定了镜像电荷的位置和大小，导体球外任一点处的电位为

2

21/2

2

2

2

41/2

01

[

]

4(2cos )

(2cos )

q

a

r dr d d r dra a φπεθθ=

-

-+-+ (4.57)

若导体球不接地，球面边界的电位不为零，但仍然是等位面。根据电荷守恒定律，导体球上所感应电荷的代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷''q ，令

'''a q q q

d =-=

(4.58)

为了保证球面为等位面的条件，''q 应放置于球心处，如图4.10所示。这样，待求区域的场就由点电荷q 和两个镜像电荷共同产生。则球外任一点的电位为

2

21/2

2

2

2

41/2

01

[

]

4(2cos )

(2cos )

q

a

a r dr d d r dra a dr

φπεθθ=

-

+

-+-+ (4.59)

球面上的电位为

00''44q q a

d

φπεπε=

=

(4.60)

因为导体球为等位体，所示球内任一点的电位亦由式(4.60)给出。可见，导体球外一点电荷q 在该球上所产生的电位值恰好等于导体球不存在时，点电荷q 在球心处所产生的电位值。

【例4-4】 有一接地导体球壳，内外半径分别为1a 和2a ，在球壳内外各有一点电荷1q 和2q ，与球心距离分别为1d 和2d ，如图4.11(a)所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。

解 (1)取球壳外区域为待求区域2()r a >，该区域边界为2r a =的导体球面，且边界条件为2(,,)0a φθ?=，根据球面镜像原理如图4.11(b)所示，镜像电

荷2q '的位置和大小分别为

2

2

22

a b d =

，

22

2

2

a q q d '=-

球壳外区域任一点电位为

2

21/2

0222

2

2

2

41/2

22221

[

4(2cos )]

(2cos )

q

r d r d a d r d ra a φπεθθ=

-+-

-+外

(2) 球壳中为导体区域，根据导体为等位体特性，球壳中的电位为零。 (3)球壳内为待求区域时1()r a <，该区域边界为1r a =的导体球面，边界条件为1(,,)0a φθ?=，仍然根据球面镜像原理，在待求区域之外有一镜像电荷1q '

，如图4.11(c)所示。其中

2

1

11

a b d =

，

111

1

a q q d '=-

球壳内任一点电位为

1

2

21/2

22

241/2011

1

11

1

1

[

]

4(2cos )

(2cos )

a q

r d r d d r d ra a φπεθθ=

-

-+-+内

从该例中可以看出用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对

边界以外的情况不予考虑。

4.4.7 线电荷对导体圆柱面的镜像

设一无限长均匀带电直导线位于一半径为a 的无限长接地导体圆柱之外，且与圆柱轴线平行，其线电荷密度为l ρ，线电荷与圆柱轴线距离为d ，如图4.12(a)所示。由于线电荷和导体圆柱均为无限长，所以场沿轴向不变，可视为二维问题。

取柱坐标，待求区域为r a >区域，边界条件为r a =的柱面上电位为零。即

2

图4.11(b) 外球壳的镜像

图4.11(c) 内球壳的镜像

0),(=?φa (4.61)

考虑到导体柱面上感应电荷分布靠近线电荷一侧较多，且对于线电荷和圆柱轴线所在面对称，因此可设想镜像线电荷l ρ'位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b ，如图4.12(b)所示。为了简化推导，将零电位参考点选在与l ρ和l ρ'等距离的点上，则导体柱面上任一点的电位表示为

12

ln ln 22l

l r r ρρφπεπε'

=-

-

面 (4.62)

式中?cos 2221ad d a r -+=，?cos 2221

ad b a r -+=。 在柱面上取两个特殊点M ，N ，如图 4.12(b)所示。这两点的电位应满足式(4.62)，可得

ln()ln()

22l

l M d a a b ρρφπεπε'

=-

--

-

ln()ln()

22l

l N d a a b ρρφπεπε'

=-

+-

+

已知导体柱面为等位面，即M N φφ=，且借助于球面镜像点的位置关系，令

2

a

b d =

，可得出

l l

ρρ'=- (4.63)

获得了镜像线电荷的位置和大小，圆柱外区域任一点的电位为

20

1

ln

2l

r c

r ρφπε=

+ (4.64)

式中1r ，2r 分别为l ρ和l ρ'

到场点的距离。

1r =

2r =

常数c 是为了保证导体柱面电位为零的边界条件而附加的。

由式(4.64)得到两平行线电荷l ρ和l ρ-在空间等位面分布如图4.13中虚线

图4.13 两平行线电荷

l

ρ和

l

ρ-的电位分布

所示，实线为电场线。

4.4.8 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像

设两平行长直导体圆柱半径分别为a 和b ，且分别带有等量异号电荷，两圆柱几何轴线相距为d ，如图4.14(a)所示。由于异号电荷相互吸引，使电荷在圆柱面上分布不均匀，但两导体柱面仍然为等位面，待求区域为两圆柱面之外，设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为l ρ和

l

ρ-，其位置如图4.14(b)所示。这两个线电荷在空间产生的电位分布，从图4.13

可以看出，其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据唯一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电

轴法。

如图4.14(b)，取两圆柱几何轴心的连线为x 轴，两电轴平行且和x 轴垂直，选两电轴连线的中点为坐标原点，设两电轴坐标分别为(, 0)c 和(,0)c -，则两电轴在空间产生的电位为

20

1

ln 2l

r c

r ρφπε=

+

式中常数c 的值与零电位参考面的选择有关，若选yo z 面电位为零，则0c =。 等位面方程为k φ=(常数)，即

4.14

k

y

c x y c x r r =+-++=

2

2

221

2)

()( (常数)

上式可简化为

2

22

2

22

12()(

)

1

1

k ck x c y k k +-

+=-- (4.65)

可见，当k 取不同的值时，式(4.65)描述的等位面是不同的圆柱面，其轴心坐标

为2

2

1

(,0)

1

k c k +-，其半径为2

21ck

k -。

设取1k k =值时，该等位面与一导体圆柱面重合，即

2

112111

k x c

k +=

- (4.66)

及

1

2

121ck a k =

- (4.67)

式(4.66)和式(4.67)消去1k 后得

2

2

2

1x c a

=+ (4.68)

同理，取2k k =值时，等位面与另一导体圆柱面重合，即

2

222

211k x c

k +=

- (4.69)

及 2

2

221ck b k =

- (4.70)

上两式消去2k 后得

222

2x c b

=+ (4.71)

已知两圆柱轴线相距为d ，即

12x x d

-= (4.72)

联立式(4.68)、式(4.71)和式(4.72)可求出1x 、2x 和c 。

2

2

2

12a b d

x d

-+=

(4.73)

222

22a b d

x d

--=

(4.74)

c =

确定了等效电轴的坐标，空间电位分布由式(4.64)给出。

【例4-5】 图4.15为一偏心电缆，内导体半径为a ，外导体半径为b ，两几何轴线间距离为d ，求两等效电轴的位置。

解 取几何轴心的连线为x 轴,该坐标原点和几何轴的距离分别为1x 和2x ，两电轴的位置分别为（C ,0）和（-C ，0），如图4.15所示。只要能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，这样就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。根据电轴法

2

2

2

1x b c =+ 1 2

2

2

2x a c

=+ 2

又 12d x x =- 3 联立方程1，2和3可解出：

2

2

2

12d b a

x d +-=-

2

2

2

22d a b

x d

+-=-

C =

两等效电轴的位置分别位于（C ,0）和（-C ，0）处。

(a) 偏心电缆 (b)镜像

图4.15 偏心电缆的电轴

镜像法及其应用

镜像法 在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。 镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。下面我们举例说明。 1导体平面的镜像 例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。 解 建立直角坐标系。此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。 导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。 现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点 (0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。这种情况，对于0z >的空间区域，电 荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。 现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程： 20q ??=除点外 （3.2） 图3.2.1 导电平面上方的点电荷 图3.2.2 点电荷的镜像电荷

电磁场与电磁波试题

?电磁场?试卷1 一、单项选择题 1. 静电场是( ) A. 无散场 B. 旋涡场 C.无旋场 D. 既是有散场又是旋涡场 2. 已知(23)()(22)x y z D x y e x y e y x e =-+-+-，如已知电介质的介电常数为0ε，则自由电荷密度ρ为( ) A. B. 1/ C. 1 D. 0 3. 磁场的标量位函数的单位是( ) A. V/m B. A C. A/m D. Wb 4. 导体在静电平衡下，其内部电场强度( ) A.为零 B.为常数 C.不为零 D.不确定 5. 磁介质在外部磁场作用下，磁化介质出现( ) A. 自由电流 B. 磁化电流 C. 传导电流 D. 磁偶极子 6. 磁感应强度与磁场强度的一般关系为( ) A.H B μ= B.0H B μ= C.B H μ= D.0B H μ= 7. 极化强度与电场强度成正比的电介质称为( )介质。 A.各向同性 B. 均匀 C.线性 D.可极化 8. 均匀导电媒质的电导率不随( )变化。 A.电流密度 B.空间位置 C.时间 D.温度 9. 磁场能量密度等于( ) A. E D B. B H C. 21E D D. 2 1B H 10. 镜像法中的镜像电荷是( )的等效电荷。 A.感应电荷 B.原电荷 C. 原电荷和感应电荷 D. 不确定 二、填空题(每空2分，共20分) 1. 电场强度可表示为_______的负梯度。 2. 体分布电荷在场点r 处产生的电位为_______。 3. 一个回路的自感为回路的_______与回路电流之比。 4. 空气中的电场强度5sin(2)x E e t z πβ=-V/m ，则位移电流密度d J = 。 5. 安培环路定律的微分形式是 ，它说明磁场的旋涡源是 。 6. 麦克斯韦方程组的微分形式是 ， ， ， 。 三、简答题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 1.写出电荷守恒定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。 2.写出坡印廷定理的微分形式，说明它揭示的物理意义。 四、计算题(本大题) 1.假设在半径为a 的球体内均匀分布着密度为0ρ的电荷，试求任意点的电场强度。 2.一个同心球电容器的内、外半径为a 、b ，其间媒质的电导率为σ，求该电容器的漏电电导。 3.已知空气媒质的无源区域中，电场强度100cos()z x E e e t z αωβ-=-，其中βα,为常数，求磁场强度。 0ε0ε

筏板基础的简化计算方法

伐板基础的简化计算方法 1.悬臂法 方法概述——就是传统的墙下钢混条基计算法。 计算特点——假定基底土反力为均匀分布，为了减小基底压力使之满足软弱地基承载力的要求而将基底加宽到互相连通的程度，但不作为连续的整板去分析。 方法缺点——基础宽度加大后，基底土的反力分布实际上是不均匀的。计算时，基底已经连成了一体却不考虑其连续性，因此很不合理，计算的结果是不经济的。 2.倒楼盖法 方法概述——假定筏板为一块倒置于地基上的连续板，由纵横墙支承。 计算特点——假定基底土反力为均匀分布，按普通的楼盖计算。 方法缺点——考虑了筏板的整体性，计算结果较悬臂法经济。但此法仍然没有考虑到基底土的反力分布实际上是不均匀的，所以各墙支座处所算得的负弯矩偏小，甚至出现小于实际弯矩而偏于不安全。 3.柔性基础简化计算法 方法概述——将在柱荷载作用下的十字交叉条形基础简化为各条单向连续条形基础的计算方法。 计算特点——将柱荷载的总值先按两个方向交叉连续的条形基础（板）的刚度比值进行分配以作为各向的柱荷载，然后分别按单向连续条形基础（板）计算。 方法缺点——此方法的一般假定为基底反力是按线性分布的，柱下最大，跨中最小，计算结果较倒楼盖法还要经济。但该方法只适用于柱下十字交叉条形基础和柱下筏板基础的简化计算，不适用于横墙承重的筏板基础。 4.弹簧地基梁法 方法概述——假定筏板沿横向被截分为单位宽的条板，置于文克尔假设的弹簧低级上，并假定板底面任一点的单位压力p与地基沉降S成正比，即p=kS。 计算特点——条板按受有一组横墙集中荷载作用的无限长梁计算。由于地基沉降S与基础挠度y接触协调相等，有p(x)=kS=ky. 方法缺点——同文克尔弹簧地基法假设。 5.弹性理论截条法 方法概述——将筏板横向截分为单位宽的条板并置于均质半空间弹性地基上。 计算特点——由于积分上的困难，基底地基反力与沉降之间的关系很难用解析函数表达。目前是利用郭尔布诺夫-波萨多夫的《弹性地基上结构物的计算》中的计算表格来简化计算。 方法缺点——虽然克服了文克尔弹簧地基法假设的基本缺点，具有能够扩散应力和变形的优点，但是，它的扩散能力往往超过实际情况。由于计算所得的沉降量和地表沉降范围较实测值为大，而实际地基压缩层厚度是有限的，压缩层范围内土质往往是非均质的，即使是同一种土层组成，变形参数也有随深度而增长的情况。按半空间弹性理论所得的地基反力分布一般呈马鞍形和集中在梁端和板的边缘处，这是半空间弹性理论所算得的梁板弯矩大的主要原因。 6.弹性地基板法

现代混凝土配合比全计算法设计软件使用说明

现代混凝土配合比全计算法设计软件使用说明 混凝土配合比设计是混凝土材料科学和工程应用的基础。现代混凝土应包括高性能混凝土、高强混凝土、流态混凝土、泵送混凝土、自密实自流平混凝土和商品混凝土等。以强度(水灰比定则)为基础的传统配合比设计方法不能满足现代混凝土的要求。作者提出的"全计算法"是以强度、工作性和耐久性为基础建立了体积相关数学模型，通过严格的推导得到用水量和砂率的计算公式。并且将其二式与水胶比定则相结合计算出混凝土各组分的配比和用量。因此称谓全计算法。全计算法的研究、应用和推广工作己近十年，广泛用于各种大型混凝土工程和近100个混凝土预拌站，取得了良好的技术经济效益。为了便于广泛应用现制作成计算机软件。国家版权局计算机软件著作权登记号2005SR00529 1.现代混凝土配合比全计算法设计模板(1) . 2.HPC混凝土配合比设计模板(2) 3..固定用水量法混凝土配合比设计模板(3) 4.卵石流态混凝土配合比设计模板(4) 一. 模板使用说明 1..模板适用范围： 现代混凝土配合比全计算法设计模版(表1)适用于高性能混凝土(HPC)、高强混凝土(HSC)、流态混凝土(FLC)、泵送混凝土、引气混凝土和商品混凝土、自密实自流平混凝土，防渗抗裂混凝土、细砂混凝土、以及其他现代混凝土。 2.有关参数的变化范围： 模板(1)中红色的数值是使用者根据混凝土施工工程的设计要求和混凝土原材料的性能指标应输入的设计参数(共12项)。相关参数输入后，模板中自动生成混凝土系列配合比。 (1)..混凝土配制强度 fcu.p≥fcu.0+1.645σ 或 fco.p=fcu.0+10 (Mpa)

全计算法HPC配合比设计

全计算法HPC砼设计 （刘良亚整理于2008-4-11）Hpc配合比设计的理论基础为王栋民、陈建奎教授研究发展的hpc配合比设计全计算法。 2.1Hpc配合比设计的基本原则 满足工作性的情况下，用水量要小 满足强度的情况下，水泥用量小，细掺量多 材料组成及用量合理，满足耐久性及特殊性能要求 掺加新型高效减水剂，改善与提高砼的多种性能。 2.2全计算法配合比设计的技术基础 砼各种组成材料（包括固、液、气三相）具有体积加和性； 石子的空隙由干砂浆来填充； 干砂浆由水泥、细掺料、砂和空气所组成。 该模型假定砼总体积为1m3（1000L），由水、水泥、细掺料、空气、砂、石部分组成，对应的体积分别为vw. Vc. Vf. Va.vs.vg.,浆体体积（Ve）=Vw+vc+vf+va，vs+vg（骨料体积）=1000-ve；干砂浆体积（ves）=vc+vf+va+vs.在HPC配合比计算时，式中ve和ves应根据原材料及施工现场具体确定，理论值可作为参考。 □C50HPC配合比设计实例 我们假定ve=350；ves=460，砼含气量4%。 原材料采用P.O42.5低碱水泥，细集料采用渭河Ⅱ区中砂，细度模数2.8，粗集料为二级级配碎石，最大粒径25mm；外加剂为聚羟酸高效减水剂，试验减水率26%，掺量（1.0%×胶体材料用量）；各原材料经检验符合（客运专线高性能砼暂行技术条件）要求。 3.1配制强度=50+1.645*6=60MPa fcu。p——砼试配强度（mpa）； fcu。0——砼设计强度（mpa）；ó——强度标准差（mpa）； 3.2水胶比=1/（（60/0.48*42.5*1.09）+0.52）=0.31 A B―――回归系数; 回归系数AB资料显示以下取值都有人用过，而且更倾向于后者，实际上水胶比很大程度

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之七对称法

例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ， 抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度. 解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运 动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动. 根据平抛运动的规律：?? ? ??==2 021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：h g s y g x v 2320 == 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ. 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有 ? ??==?? ???-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ 代入可解得2 202arcsin 2122sin v dg v dg == θθ 所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬 想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于 三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得 a s 3 3 = 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为 v v v 2330cos = =' 由此可知三角形收缩到中心的时间为 v a v s t 32='= 此题也可以用递推法求解，读者可自己试解. 例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v . 解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动。设槽中心沿x 轴正方向运动的速度变为0v ，两小球相对槽心做角速度大小为ω的圆周运动，A 球处于

散热器简化计算方法

立式散热器简化价格计算方法 一. 散热量Q的计算 1.基本计算公式： Q=S×W×K×4.1868÷3600 （Kw） 式中： ①.Q —金旗舰散热器散热量（KW）=发动机水套发热量×（1.1～ 1.3）②.S —散热器散热面积（㎡）=散热器冷却管的表面积+2×散热带 的表面积。 ③.W —散热器进出水、进出风的算术或对数平均液气温差（℃），设计标准工况分为：60℃、55℃、45℃、35℃、25℃。它们分别对应散热器允许适用的不同环境大气压和自然温度工况条件。④.K —散热系数（Kcal/m.h.℃）。它对应关联为：散热器冷却管、 1. 散热带、钎焊材料选用的热传导性能质量的优劣；冷却管与散热带钎焊接合率的质量水平的优劣；产品内外表面焊接氧化质量水平的优劣；冷却管内水阻值（通水断面积与水流量的对应关联—水与金属的摩擦流体力学），暖气片品牌金旗舰暖气片，一线明星代言，暖通O2O第一品牌，散热带风阻值（散热带波数、波距、百叶窗开窗的翼宽、角度的对应关联—空气与金属的摩擦流体阻力学）质量水平的优劣。总体讲：K值是代表散热器综合质量水平的关键参数，它包容了散热器从经营管理理念、设计、工装设备、物料的选用、采购

供应、制造管理控制全过程的综合质量水平。根据多年的经验以及数据收集，铜软钎焊散热器的K值为：65～95 Kcal/m2.h.℃；改良的簿型双波浪带铜软钎焊散热器的K值为：85～105 Kcal/m2.h.℃；铝 硬钎焊带电子风扇系统的散热器的K值为：120～150 Kcal/m2.h.℃。充分认识了解掌握利用K值的内涵，可科学合理的控制降低散热器的设计和制造成本。暖气片品牌金旗舰暖气片，一线明星代言，暖通O2O第一品牌准确的K值需作散热器风洞试验来获取。 ⑤.4.1868和3600 —均为热能系数单位与热功率单位系数换算值⑥.发动机水套散热量=发动机台架性能检测获取或根据发动机升功 率、气门结构×经验单位系数值来获取。 二、计算程序及方法 1. 散热面积S（㎡） S=冷却管表面积F1+2×散热带表面积F2 F1={ [2×(冷却管宽－冷却管两端园孤半径)]+2π冷却管两端园孤半径}×冷却管有效长度×冷却管根数×10 F2=散热带一个波峰的展开长度×一根散热带的波峰数×散热带的宽度×散 热带的根数×2×10 2. 算术平均液气温差W（℃） W=[(进水温度+出水温度)÷2]-[(进风温度+出风温度)÷2] 常用标准工况散热器W值取60℃，55℃，增强型取45℃，35℃。这要根据散热器在什么工况环境使用条件下来选取。 3. 散热系数K

现代混凝土配合比设计-全计算法

现代混凝土土配合比设计------全计算法 传统混凝土配合比设计方法(如绝对体积法和假容重法),是以强度为基础的半定量计算方法,不能全面满足现代混凝土的性能要求,现代混凝土配合比计算方法是以工作性、强度和耐久性为基础建立数学模型，通过严格的数学推导的到混凝土的用水量和砂率的计算公式，并将此二式与水灰（胶）比定则相结合能计算出混凝土各组分（水泥、细掺料、砂、石、含气量、用水量和超塑化剂掺量等）之间的定量关系和用量。用于流态混凝土、高强混凝土、泵送混凝土、自密实混凝土、商品混凝土以及防渗抗裂混凝土等现代化混凝土的配合比设计。 （一）高性能混凝土配合比全计算法设计高性能混凝土（HPC）与高强混凝土（HSC）和流态混凝土（FLC）最显著的差别就是混凝土配合比考虑工作性、强度和耐久性，其配合比设计的基本原则是：（1）满足工作性的情况下，用水量要小；（2）满足强度的情况下，水泥用量少、细掺料多掺；（3）材料组成及其用量合理，满足耐久性及特殊性能要求；（4）掺多功能复合超塑化剂（CSP）改善和提高混凝土的多种性能。因此，HPC的配合比设计比HSC和FLC更为严格合理，图--1表示各种材料类型的混凝土配合比分区范围，无论采取什么方法设计，HSC、FLCHE和PLC（塑性混凝土）的配合比在一个范围之内，而HPC在AB线附近，由此证明HPC的配合比设计必须严格、精确和合理。 图1 混凝土配合比组成图 一、强度与水灰（胶）比的关系 混凝土配合比设计是混凝土材料学中最基本而又最重要的一个问题，早在1919年Duff Ａbrams（D.艾布拉姆斯）就发表了混凝土强度的水灰比定则：“对于一定的材料，强度仅取决于一个因素，即水灰比。”这一定则可用下列公式表示： σc=a/b1.5（W/C） 式中:σ c----一定龄期的抗压强度

镜像法-高中物理竞赛讲义

镜像法 思路 用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 使用范围 界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 步骤 确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。 平面镜像1 点电荷对平面的镜像 (a) 无限大接地导体平面上方有点电荷q （b）用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷 图4.4.1 点电荷的平面镜像 在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。 用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。 去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。

电位： (4.4.2.1 ) 电场强度： (4.4.2.2) 其中， 感应电荷：=> (4.4.2.3) 电场力： (4.4.2.4) 图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像 无限长单导线对平面的镜像 与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。

用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。 将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为） 电位： (4.4.2.5) 对地电容 ： (4.4.2.6 平面镜像2 无限长均匀双线传输线对平面的镜 像 与地面平行的均匀双线传输线， 半径为a，离地高度为h，导线间距离为d， 导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。 用位于地面下方h处的镜像双 导线代替地面上的感应电荷，边界条件维 持不变。 将地面取消而代之以镜像双导线。 图 4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像 求解电位： (4.4.2.8) (4.4.2.9)

解析几何简化运算的几种方法(含答案)

博文教育讲义 课题：简化解析几何运算方法 教学目标：提高学生简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结 教学重点：简化运算方法归纳 教学难点：有关的规律总结与运用 教学过程： 解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。 1.回归定义 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。 例1 过椭圆左焦点倾斜角为 60的直线交椭圆于点B A ,且FB FA 2=，则此椭圆离心率为._____ 解析 本题的常规解法是：联立?? ?? ?+==+)(3,122 22c x y b y a x 再结合条件FB FA 2=求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解： )2(31)(31B B A A B B A A B B FM '+'='-'+'= )2(31e BF e AF +=， 另一方面，在F C B Rt '?中C F BF C BF '=?='∠260 , 故.2 BF e BF M C C F FM += '+'=于是 =+)2(31e BF e AF 2 BF e BF FM +=， 又FB FA 2=，所以可得.3 2 =e 练习：设12F F ，是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 () 220.OP OF F P +?= （O 为坐标原点），且123PF PF = ，则双曲线的离心率是（ ） 32 31. .32. .312 2 A B C D ++++ 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2=,OP OF OQ + 2OQ F P ∴⊥ 2OQ F P 且必过的中点.可知12PF F ?为直角三角形. 这就为用定义法求离心率创造了条件. 【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令 ( ) 21=,3,231PF r PF r a r =∴= - 则，1290,F PF ∠=?但是 O A B A ' B 'F x y M 1 图C C 'x y P O F 1 F 2 Q M

混凝土配合比设计新法(全计算法)-陈建奎

混凝土配合比设计新法－全计算法 北京工业大学陈建奎教授 一.现代混凝土概念或理念 二.配合比全计算法设计的数学模型 三.砂率和用水量计算公式 四.混凝土配合比设计步骤 五.配合比设计工程应用实例 六.结论 一.现代混凝土概念或理念现代混凝土是由水泥、矿物细掺料、砂、石、空气、水和外加剂等组成的多相聚集体，并能满足“高工作性、高早强增强和高耐久性”的基本要求。现代混凝土应包括高性能混凝土、高强混凝土、流态混凝土、泵送混凝土、自流平自密实混凝土、防渗抗裂混凝土、水下浇筑混凝土和商品混凝土等。以强度为基础的传统混凝土配合比设计方法不能满足现代混凝土配合比设计的要求。 综合考虑工作性、强度和耐久性。其配合比设计的基本原则是： (1)满足工作性的情况下，用水量要小； (2)满足强度的情况下，水泥用量少，多掺细掺料； (3)材料组成及其用量合理，满足耐久性及特殊性能要求； (4)掺多功能复合超塑化剂(CSP)，改善和提高混凝土的多种性能。

配合混凝土配合比组成图二. 图1 比全计算法设计的数学模型 混凝土配合比设计是混凝土材料科学和工程应用中最基混即假 定容重法和(的问题。以强度为基础的传统配合比设计方法已不能满足现代混凝土配合比设计的要求。现代混)绝对体积法凝土配合比“全计算法”设计是以“工作性、强度和耐久性”为并推导出混凝土用水量和砂率的计算基础建立的普适数学模型，比定则相结合就能实现混凝土配(灰)公式。进而将此二式与水胶全计算法的创建和推广合比和组成的全计算，故称谓全计算法。应用几近十年，受到广泛的关注，取得良好的技术经济效益。近“现代混凝土配合期在总结混凝土工程应用实践的基础上编制了国 家版权局计算机软件著作权登记号比全计算法设计软件”(。这样使“全计算法”更加实用化、科学化和智能2005SR00529)化。全计算法不仅适用于所有现代混凝土的配合比设计和计算，而且能检验和验证其它配合比的正确性。 2 1.现代混凝土的数学模型现代混凝土组成复杂，其中包括水泥、矿物细掺料、砂、石、空气、水和外加剂等7个组分。最简单处理方法是用多项式表示： F(x)=a+bx+cx+fx+gx+hx+ix+jx 7412635(1)

电法勘探原理与方法

电法勘探原理与方法 教案 刘国兴 2003．5 总学时64，讲授54学时，实验10 绪论：（1学时） 绪论中讲5个方面的问题 1.对电法勘探所属学科及具体定义。 2.电法勘探所利用的电学性质及参数。 3.电法勘探找矿的基本原理。在此主要解释如何利用地球物理（电场）的变化，来表达找 矿及解决其它地质问题的原理。 4.电法勘探的应用。 1)应用条件 2)应用领域 3)解决地质问题的特点 4)电法勘探在勘探地球物理中所处的位置 第一章电阻率法 本章为电法勘探的常用成熟的方法，在地质勘察工作中发挥着重要作用，是学习电法勘探的重点之一。本章计划用27学时，其中理论教学21学时，实验教学6学时。 §1.1 电阻率法基础 本节计划用7学时，其中讲授5学时，实验2学时。本节主要讲述如下五个问题 一、矿石的导电性（1学时） 讲以下3个问题： 1)岩，矿石导电性参数电阻率的定义及特性。 2)天然岩，矿石的电阻率 矿物的电阻率及变化范围，岩石电阻率的变化范围。 3)影响岩，矿石电阻率的因素。 I.与组成的矿物成分及结构有关。 II.与所含水分有关。 III.与温度有关。 二稳定电流场的基本性质。 主要回顾场论中有关稳定电流场的一些知识，给出稳定电流场的微分欧姆定律 公式电流的连续性（克希霍夫定律）；稳定电流场是势场三个基本性质。 三均匀介质中的点源电场及视电阻率的测定 主要讲述三个内容： 1)导出位场微分方程（拉氏方程）及的位函数的解析解法。 2)点电流源电场空间分布规律。 3)均匀大地电阻率的测定方法。 电法勘探中测量介质电阻率的方法由此问题引出，开始建立电法勘探中“装量”这一词

的概念， 本节重点：稳定电流场的求法及空间分布；均匀大地电阻率的公式的导出及测定方法。 以上内容两学时 四非均匀介质中的电场及视电阻率（1学时） 阐述4个问题 1)什么是非均匀介质中的电场？特点，交代出低阻体吸引电流，高阻体排斥电流的 概念 2)非均匀电场的实质：积累电荷的过程。 3)什么是视电阻率？如何定义？ 4)视电阻率微分公式。（导出和用法） 五电阻率法的勘探深度问题（1学时） 由稳定电流场中电流随深度变化的特征来讨论，并导出电流密度随供电电极距的变化规律。即：AB何值时，h深度的电流密度最大。 由以上关系得出结论： ·决定电阻率法勘探深度的因素是供电极距 ·影响电阻率法勘探深度的因素是断面电阻率达分布。 §1.2 电阻率法的仪器和装备（2学时） 阐述电阻率法仪器的特点及发展，目前的情况，拟讲四个方面的内容： 一，对电测仪的要求。 二，具有代表性电测仪器的工作原理简介。 1，DDC－系列电子自动补偿仪的工作原理。 2，DWD－系列（北京地质仪器厂生产）微机电测仪的工作原理。 三，电阻率法主要装备 1，供电电极。2，供电电源。3，测量电极。4，导线和线架。 5，通讯设备。6，记录，计算用具。 §1.3电阻率剖面法 介绍什么是剖面法及剖面法特点。这部分内容是电阻率法中较重要的内容。 一，剖面法概述（1学时） （一）装置类型。二极，三极，联合三极等 视电阻率表达式：ksdflkasdf （二）装置间的关系 1，和三极之间的关系。（推导公式引出） 2，三极和四极之间的关系。 二，三极，联合三极，对称四极跑面法子各类地质体上的视电阻率异常（3～4学时）。（一）垂直接触面上三极，联合三极，对称四极的异常。 1 三极装置视电阻率表达式 用镜像法求出位函数表达式，沿剖面方向微分求出场强，进而求出视电阻率表达式。将AMN排列和MNB排列第視参数画在同一坐标便得到联合三极，过垂直接触面上的视电阻率异常。由联合三极与对称四极的关系便又可求出对称四极装置的视电阻率异常。 （二）球体上联合三极，对称四极大视电阻率异常。 1由点源场中的导电球体的场论问题，求出此问题的电位函数表达式，导出视电阻率表达式。 1讨论低阻球体和高阻球体的联合三极异常形态，给出“低阻正交点”和“高阻反交点”的概念。利用三极和四极大关系得出对称四极球体上的异常规律。 （一）脉状地质体上联合三极，对称四极视电阻率异常 1 直立情况与球体相似，曲线对称。 2 倾斜情况，要进行仔细分析，然后给出倾斜脉体的联合三极，对称四极大异常情况。 三、偶极剖面法（1学时） （一）球体上的偶极剖面法视电阻率异常 1 视电阻率解析表达式 求法类似于三极中的求法。

Excel常用的函数计算公式大全(免费)

（免费）EXCEL的常用计算公式大全 一、单组数据加减乘除运算： ①单组数据求加和公式：=（A1+B1） 举例：单元格A1：B1区域依次输入了数据10和5，计算：在C1中输入 =A1+B1 后点击键盘“Enter（确定）”键后，该单元格就自动显示10与5的和15。 ②单组数据求减差公式：=（A1-B1） 举例：在C1中输入 =A1-B1 即求10与5的差值5，电脑操作方法同上； ③单组数据求乘法公式：=（A1*B1） 举例：在C1中输入 =A1*B1 即求10与5的积值50，电脑操作方法同上； ④单组数据求乘法公式：=（A1/B1） 举例：在C1中输入 =A1/B1 即求10与5的商值2，电脑操作方法同上； ⑤其它应用： 在D1中输入 =A1^3 即求5的立方（三次方）； 在E1中输入 =B1^（1/3）即求10的立方根 小结：在单元格输入的含等号的运算式，Excel中称之为公式，都是数学里面的基本运算，只不过在计算机上有的运算符号发生了改变——“×”与“*”同、“÷”与“/”同、“^”与“乘方”相同，开方作为乘方的逆运算，把乘方中和指数使用成分数就成了数的开方运算。这些符号是按住电脑键盘“Shift”键同时按住键盘第二排相对应的数字符号即可显示。如果同一列的其它单元格都需利用刚才的公式计算，只需要先用鼠标左键点击一下刚才已做好公式的单元格，将鼠标移至该单元格的右下角，带出现十字符号提示时，开始按住鼠标左键不动一直沿着该单元格依次往下拉到你需要的某行同一列的单元格下即可，即可完成公司自动复制，自动计算。 二、多组数据加减乘除运算： ①多组数据求加和公式：(常用) 举例说明：=SUM（A1:A10）,表示同一列纵向从A1到A10的所有数据相加； =SUM（A1:J1）,表示不同列横向从A1到J1的所有第一行数据相加； ②多组数据求乘积公式：（较常用） 举例说明：=PRODUCT（A1:J1）表示不同列从A1到J1的所有第一行数据相乘； =PRODUCT（A1:A10）表示同列从A1到A10的所有的该列数据相乘； ③多组数据求相减公式：(很少用) 举例说明：=A1-SUM（A2:A10）表示同一列纵向从A1到A10的所有该列数据相减； =A1-SUM（B1:J1）表示不同列横向从A1到J1的所有第一行数据相减； ④多组数据求除商公式：(极少用) 举例说明：=A1/PRODUCT（B1:J1）表示不同列从A1到J1的所有第一行数据相除； =A1/PRODUCT（A2:A10）表示同列从A1到A10的所有的该列数据相除； 三、其它应用函数代表： ①平均函数 =AVERAGE（:）；②最大值函数 =MAX （:）；③最小值函数 =MIN （:）； ④统计函数 =COUNTIF（:）：举例：Countif ( A1：B5，”>60”) 说明：统计分数大于60分的人数，注意，条件要加双引号，在英文状态下输入。

现代混凝土配合比设计-全计算法

现代混凝土土配合比设计------全计算法传统混凝土配合比设计方法(如绝对体积法和假容重法),是以强度为基础的半定量计算方法,不能全面满足现代混凝土的性能要求,现代混凝土配合比计算方法是以工作性、强度和耐久性为基础建立数学模型，通过严格的数学推导的到混凝土的用水量和砂率的计算公式，并将此二式与水灰（胶）比定则相结合能计算出混凝土各组分（水泥、细掺料、砂、石、含气量、用水量和超塑化剂掺量等）之间的定量关系和用量。用于流态混凝土、高强混凝土、泵送混凝土、自密实混凝土、商品混凝土以及防渗抗裂混凝土等现代化混凝土的配合比设计。 （一）高性能混凝土配合比全计算法设计高性能混凝土（HPC）与高强混凝土（HSC）和流态混凝土（FLC）最显著的差别就是混凝土配合比考虑工作性、强度和耐久性，其配合比设计的基本原则是：（1）满足工作性的情况下，用水量要小；（2）满足强度的情况下，水泥用量少、细掺料多掺；（3）材料组成及其用量合理，满足耐久性及特殊性能要求；（4）掺多功能复合超塑化剂（CSP）改善和提高混凝土的多种性能。因此，HPC的配合比设计比HSC和FLC更为严格合理，图--1表示各种材料类型的混凝土配合比分区范围，无论采取什么方法设计，HSC、FLCHE和PLC（塑性混凝土）的配合比在一个范围之内，而HPC在AB线附近，由此证明HPC的配合比设计必须严格、精确和合理。 图1 混凝土配合比组成图 一、强度与水灰（胶）比的关系 混凝土配合比设计是混凝土材料学中最基本而又最重要的一个问题，早在1919年Duff

Ａbrams（D.艾布拉姆斯）就发表了混凝土强度的水灰比定则：“对于一定的材料，强度仅取决于一个因素，即水灰比。”这一定则可用下列公式表示： σc=a/b1.5（W/C） 式中:σ c----一定龄期的抗压强度 3 a----经验常数,一般取925kg/m 该式成为混凝土配合比设计计算强度的基础,近80年来混凝土配合比设计几经发展,到目前为止最常用的两种方法是绝对体积法和假定容量法。 二、混凝土的普适体积模型， 混凝土是多相聚集、其组分包括：水泥、矿物细掺料、砂、石、水、空气和外加剂。我们基本观点如下：（1）混凝土各组成材料（包括固、气、液三相）具有体积加和性（2）石子间的空隙由干砂浆来填充（3）干砂浆的空隙由水来填充（4）干砂浆由水泥、细掺料、砂和空气组成，根据以上观点混凝土普适体积模型建立如图---2

静平衡的实用计算法

第27卷第1期2005年3月 甘 肃 冶 金 GANS U M ETALLURGY V o.l27 N o.1 M ar.,2005 文章编号:1672 4461(2005)01 0061 02 静平衡的实用计算法 张玲 (酒泉钢铁集团公司职工大学,甘肃嘉峪关735100) 摘 要:本文介绍了四点计算法进行静平衡的简单实用的工艺方法。 关键词:静平衡;四点计算法;平衡架;偏重 中图分类号:TH123+.1 文献标识码:B 1前言 对旋转机械的转动部件进行静、动平衡校正,是减少不平衡离心惯性力,使机器运转平稳的一种工艺方法。由于生产现场条件的限制,在生产实际中经常采用静平衡,对于长径比小于5的高速转子,有时可以用精密静平衡代替动平衡。 目前,静平衡常用的八点法在操作中有许多缺点,特别是在用精密静平衡取代动平衡的校正工作中更为突出。因摩擦力的存在,转子轴径及平衡导轨精度和粗糙度的差异,转子有时停住的最低点并不是偏重位置。八点法计算时,数值理论上应组成一条光滑的正弦曲线,但最大与最小的位置本身就是未知数,它们不可能与实际操作中所设的八点巧合。因此,在操作中,需要反复摸索,试加配重,逐渐靠近,又因配重点多,在去重或配重时计算误差大。另外,在平衡后用两倍转子允许的重径积作残存值检验,因摩擦力的影响,均不能正确判断是否达到平衡要求,也反映不出残存值大小。 下面介绍一种四点计算法,四点计算法是求得转子任意对称4点在发生微转动时的加重量的大小和方位,进而用去重或配重完成平衡作业。 2计算方法和公式 将转子安置于导轨平衡架上,见图1。在转子的圆周上取任意对称4点,1、2、3、4。1和3点位于X轴上,2和4点位于Y轴上。又令W位于如图的1、4相限,与4点的夹角为 。如果依次将1-3、2 -4转到水平位置,然后在该点切向加重,直至在该位置微动同一小距离,既转子进入滚动临界状态,将得到4个位置的加重值W1、W2、W3、W4,见图2 。 图1 转子安置示意图 图2 转子微动加重示意图

力法的简化计算

§6-4 力法计算的简化
目的: 使选用的基本结构和基本未知量便于计算。 ? 尽可能缩小计算规模，降低线性方程组的阶数； ? 使尽可能多的副系数等于零. （减少未知量数；减小未知力和外载的影响范围）
1

6-4-1 无弯矩状态的判别
不计轴向变形前提下，下列情况无弯矩，只有轴力。 (1) 集中荷载沿柱轴作用 (2) 等值反向共线集中荷载沿杆轴作用。 (3) 集中荷载作用在不动结点。
FP FP FP FP
2

6-4-2 对称性的利用
(1) 结构对称性(Symmetry) 的概念
几何对称 支承对称 刚度对称
3
反对称结构？
？
？

对称结构 （1）选取对称的基本结构
X2 FP FP X3 X3 X2 X1 X1 基本未知量 的性质？
4
X1---反对称基本未知量 X2、 X3---对称的基本未量
?δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 + Δ1P = 0 ? ?δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 + Δ2P = 0 ?δ X + δ X + δ X + Δ = 0 ? 31 1 32 2 33 3 3P

作单位弯矩图，荷载弯矩图； 求出系数和自由项 δ Δ1+ + = 0 ?δ XX 11 1δ Pδ 11 1+ 12 X2 13 X3 + Δ1P = 0 ? δ2122 X δ2 23 X Δ +X =00 +2 +δ Δ22P X1 δ22 X+ ?δ 233 3+ P = X1 = 1 ?δ X + δ X + δ X + Δ = 0 X 2 32 + δ2 33 X 31 333 + 3 Δ33 P = 0 ?δ 32 1 P M
反对称
X2 = 1
1
5
δ12 = δ 21
M2
=0
基本方程分为两组： 一组只含反对称未知量 一组只含对称未知量
对称
X3 = 1
δ13 = δ31
对称
=0
M3
选用对称的基本结构计算， 降低线性方程组的阶数

全面工程造价全计算公式

建设项目总投资构成 设备、及工器具购置费的构成及计算 设备购置费= 设备原价+设备运杂费 进口设备抵岸价的构成及计算 进口设备抵岸价=货价+国际运费+运输保险费+银行财务费+外贸手续费+关税+增值税+消费税+海关监管手续费+车辆购置附加费

国产非标准设备原价的构成及计算 单台非标准设备原价={[（材料费＋加工费＋辅助材料费）×（1＋专用工具费率）×（1＋废品损失费）＋外购配套件费]×（1＋包装费率）－外购配套件费}×（1＋利润率）＋销项税金

1、以直接费为基数： 间接费=直接费合计×间接费费率（%） 2、以人工费、机械费合计为基数： 间接费=直接费中的人工费和机械费合计×间接费费率（%） 3、以人工费为基数： 间接费=直接费中的人工费合计×间接费费率（%） 间接费费率（%）=规费费率（%）＋企业管理费费率（%） 规费的费率 1、以直接费为基数： ）（人工费占直接费的比例工费含量 每万元发承包价中的人数每万元发承包价计算基规费缴纳标准）规费费率（%%??= ∑ 2、以人工费、机械费合计为基数： %100%??= ∑工费含量和机械费含量 每万元发承包价中的人数 每万元发承包价计算基规费缴纳标准）规费费率（ 3、以人工费为基数： %100%??= ∑工费含量 每万元发承包价中的人数每万元发承包价计算基规费缴纳标准）规费费率（ 企业管理费的费率 1、以直接费为基数： ） （人工费占直接费的比例人工单价 年有效施工天数生产工人年平均管理费 ）企业管理费费率（%%??= 2、以人工费、机械费合计为基数： %100%?+?=每一工日机械使用费） （人工单价年有效施工天数生产工人年平均管理费 ）企业管理费费率（ 3、以人工费为基数： %100%??=人工单价年有效施工天数生产工人年平均管理费 ）企业管理费费率（ 利润 1、以直接费为基数： 利润=（直接费＋间接费）×相应利润率（%） 2、以人工费、机械费合计为基数： 利润=直接费中的人工费和机械费合计×相应利润率（%） 3、以人工费为基数： 利润=直接费中的人工费合计×相应利润率（%）

镜像法典型例题

例：不接地空心导体球的内、外半径分别为a 和b ，在空腔内距球心为11()d d a <处放置点电荷1q ，在球外距球心为22()d d b >处放置点电荷2q ，且12,q q 与球心共线，如图3.2.8所示，求点电荷1q 和2q 分别受到的电场力。 分析：点电荷1q 在球壳的内表面上感应电荷为1q -， 在球壳的外表面上感应电荷为1q ；2q 则在球壳的外表面上感应等量异号的电荷。 球壳内表面上的感应电荷1q -可用一个镜像电荷1 q '等效代替；球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷2 21,q q q '''''和等效代替。 1q 受到的电场力等于1 q '对1q 的作用力，2q 受到的电场力则等于221,q q q '''''和对2q 的作用力之和。 解：根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为 ' 1 11a q q d =-，位于2' 11 a d d = 外表面上的感应电荷的镜像电荷为 ' 222b q q d =-，位于2' 22 b d d = "222 b q q d = ，位于" 20d = "11q q =，位于"10d = 则点电荷1q 受到的静电力为 11 2 111'222 014() q q ad q F F a d πε→==-- 点电荷2q 受到的静电力为 不接地的空心导体球 空心导体球内表面的镜像 空心导体球外表面的镜像

122222 2"'""""122 "2'2"2 0102022 2221222222 0224()4()4()()) 1 []4()q q q q q q F F F F qq qq qq d d d d d d q bq d q bd q d d b πεπεπεπε→→→=++=++---+=--