(广西专用)2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第六章 圆 第25讲 与圆有关的位置关系真题

第一部分第六章第25讲

命题点1 与圆有关的位置关系(2017年百色考，2016年梧州考)

1．(2016·梧州6题3分)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为( C )

A．相离B．相切

C．相交D．无法确定

2．(2017·百色11题3分)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b 与⊙O相交，则b的取值范围是( D )

A．0≤b＜2 2 B．－22≤b≤2 2

C．－23

命题点2 切线的性质与判定(2018年9考，2017年8考，2016年10考)

3．(2016·河池12题3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0,2)，B(0,8)，则圆心P的坐标是( D )

A．(5,3) B．(5,4)

C．(3,5) D．(4,5)

4．(2018·百色25题10分)已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E.

(1)求证：△ABM∽△MCD；

(2)若AD＝8，AB＝5，求ME的长．

(1)证明：∵AD是⊙O的直径，

∴∠AMD＝90°.

∵∠BMC＝180°，

∴∠2＋∠3＝90°.

∵∠ABM＝∠MCD＝90°，

∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3，

∴△ABM∽△MCD.

(2)解：如答图，连接OM.

∵BC 是⊙O 的切线，∴OM ⊥BC .又∵AB ⊥BC ， ∴si n ∠E ＝AB AE ＝OM OE ，∴AB AO ＋OE ＝OM

OE

. ∵AD ＝8，AB ＝5， ∴

54＋OE ＝4

OE

，∴OE ＝16， ∴ME ＝OE 2

－OM 2

＝162

－42

＝415.

5．(2018·玉林23题9分)如图，在△ABC 中，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，∠DAC ＝∠B .

(1)求证：AC 是⊙O 的切线；

(2)点E 是AB 上一点，若∠BCE ＝∠B ，tan ∠B ＝1

2，⊙O 的半径是4，求EC 的长．

(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴∠B ＋∠BAD ＝90°. ∵∠DAC ＝∠B ，∴∠DAC ＋∠BAD ＝90°， ∴∠BAC ＝90°，∴BA ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线． (2)解：∵∠BCE ＝∠B ， ∴EC ＝EB ，设EC ＝EB ＝x ， 在Rt △ABC 中，∵tan ∠B ＝

AC AB ＝1

2

，AB ＝8，∴AC ＝4. 在Rt △AEC 中，∵EC 2

＝AE 2

＋AC 2

， ∴x 2

＝(8－x )2

＋42

，解得x ＝5，∴CE ＝5.

6．(2018·河池25题10分)如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在⊙O 上，点D ，E 分别在AB ，

AC 的延长线上，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A ＝∠CDE .

(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若AB ＝4，BD ＝3，求CD 的长． (1)证明：连接OC ，

∵DE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，∴∠DCE ＋∠CDE ＝90°. 又∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO . ∵∠A ＝∠CDE ，∴∠ACO ＝∠CDE ， ∴∠DCE ＋∠ACO ＝90°， ∴∠OCD ＝90°，即OC ⊥CD .

∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线． (2)解：由(1)可得OC ⊥CD ，∵AB ＝4，BD ＝3， ∴OC ＝OB ＝1

2AB ＝2，OD ＝OB ＋BD ＝5，

在Rt △OCD 中，根据勾股定理得，

CD ＝OD 2－OC 2＝52－22＝21.

7．(2018·贵港24题8分)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝BC ＝CD ，AB ∥CD ，连接BD .

(1)求证：BD 是⊙O 的切线；

(2)若AB ＝10，cos ∠BAC ＝3

5

，求BD 的长及⊙O 的半径．

(1)证明：如答图1，作直径BE ，交⊙O 于E ，连接EC ，OC ，则∠BCE ＝90°，∴∠OCE ＋∠OCB ＝90°.

∵AB ∥CD ，AB ＝CD ，

∴四边形ABDC 是平行四边形，∴∠A ＝∠D . ∵OE ＝OC ，∴∠E ＝∠OCE . ∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠D .

∵∠A ＝∠E ，∴∠CBD ＝∠D ＝∠A ＝∠OCE . ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，

∴∠OBC ＋∠CBD ＝90°，即∠EBD ＝90°， ∴BD 是⊙O 的切线．

第7题答图

(2)解：如答图2，∵cos ∠BAC ＝cos ∠E ＝EC EB ＝3

5

，

∴设EC ＝3x ，EB ＝5x ，则BC ＝4x ，

∵AB ＝BC ＝10＝4x ，x ＝5

2，

∴EB ＝5x ＝252，∴⊙O 的半径为25

4.

过C 作CG ⊥BD 于G ， ∵BC ＝CD ＝10，∴BG ＝DG ，

在Rt △CGD 中，cos ∠D ＝cos ∠BAC ＝DG CD ＝3

5，

∴DG 10＝3

5

，∴DG ＝6，∴BD ＝12. 8．(2018·贺州25题10分)如图，AB 是⊙O 的弦，过AB 的中点E 作EC ⊥OA ，垂足为C ，过点B 作直线BD 交CE 的延长线于点D ，使得DB ＝DE .

(1)求证：BD 是⊙O 的切线；

(2)若AB ＝12，DB ＝5，求△AOB 的面积． (1)证明：∵OA ＝OB ，DB ＝DE ， ∴∠A ＝∠OBA ，∠DEB ＝∠DBE . ∵EC ⊥OA ，∠DEB ＝∠AEC ，

∴∠A ＋∠DEB ＝90°，∴∠OBA ＋∠DBE ＝90°， ∴∠OBD ＝90°，∴OB ⊥BD .

∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 是⊙O 的切线．

(2)解：如答图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接OE .

∵点E 是AB 的中点，AB ＝12， ∴AE ＝EB ＝6，OE ⊥AB . 又∵DE ＝DB ，DF ⊥BE ，DB ＝5， ∴EF ＝BF ＝3，

∴DF ＝DE 2

－EF 2

＝52

－32

＝4. ∵∠AEC ＝∠DEF ，∴∠A ＝∠EDF .

∵OE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠DFE ＝90°，

∴△AEO ∽△DFE ，∴ EO FE ＝

AE

DF

，

即EO 3＝64，解得EO ＝92

， ∴S △AOB ＝12AB ·EO ＝12×12×9

2

＝27.

9．(2017·河池25题10分)如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F .

(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ； (2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长． (1)证明：∵CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ， ∴OC 平分∠BCE ，即∠ECO ＝∠BCO ，OB ⊥BC ， ∴∠BCO ＋∠COB ＝90°.

∵EF ⊥OG ，∴∠FEB ＋∠FOE ＝90°，而∠COB ＝∠FOE ，∴∠FEB ＝∠ECF . (2)解：连接OD ，如答图．

∵CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，∴CD ＝CB ＝6，OD ⊥CE ，

CE ＝CD ＋DE ＝6＋4＝10.

在Rt △BCE 中，BE ＝102

－62

＝8.

设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OB ＝r ，OE ＝8－r . 在Rt △ODE 中，r 2

＋42

＝(8－r )2

，解得r ＝3， ∴OE ＝8－3＝5，

∴在Rt △OBC 中，OC ＝62

＋32

＝3 5. ∵∠COB ＝∠FOE ，∴△OEF ∽△OCB ，

∴EF BC ＝OE OC ，即EF 6＝5

35

，∴EF ＝2 5. 10．(2017·百色25题10分)已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ，若EF ︵ ＝DF ︵

，如图1.

第10题图

(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；

(2)设AE 与DF 相交于点M ，如图2，AF ＝2FC ＝4，求AM 的长． 解：(1)△ABC 为等腰三角形．

证明：∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ， ∴∠CFO ＝∠CEO ＝∠BDO ＝∠BEO ＝90°. ∵四边形内角和为360°，

∴∠EOF ＋∠C ＝180°，∠DOE ＋∠B ＝180°. ∵EF ︵ ＝DF ︵

， ∴∠EOF ＝∠DOE . ∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ， ∴△ABC 为等腰三角形．

(2)连接OB ，OC ，OD ，OF ，如答图．

∵等腰△ABC 中，AE ⊥BC ， ∴BE ＝CE .

在Rt △AOF 和Rt △AOD 中，???

??

OD ＝OF ，

OA ＝OA ，

∴Rt △AOF ≌Rt △AOD (HL)，∴AF ＝AD ， 同理Rt △COF ≌Rt △COE ，CF ＝CE ＝2， 同理Rt △BOD ≌Rt △BOE ，BD ＝BE ， ∴AD ＝AF ，BD ＝CF ，∴DF ∥BC ，∴AM AE ＝AF

AC

. ∵AE ＝AC 2

－CE 2

＝42， ∴AM ＝42×23＝82

3

.

11．(2018·柳州25题10分)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D .

(1)求证：△DAC ∽△DBA ；

(2)过点C 作⊙O 的切线CE 交AD 于点E ，求证：CE ＝1

2

AD ；

(3)若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连接CF 交AB 于点G ，且AD ＝6，AB ＝3，求CG 的长．

(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACD ＝∠ACB ＝90°.

∵AD 是⊙O 的切线，∴∠BAD ＝90°， ∴∠ACD ＝∠DAB ＝90°.

∵∠CDA ＝∠ADB ，∴△DAC ∽△DB A. (2)证明：∵EA ，EC 是⊙O 的切线， ∴AE ＝CE ，∴∠DAC ＝∠EC A. ∵∠ACD ＝90°，

∴∠ACE ＋∠DCE ＝90°，∠DAC ＋∠D ＝90°， ∴∠D ＝∠DCE ，∴DE ＝CE ，

∴AD ＝AE ＋DE ＝CE ＋CE ＝2CE ，∴CE ＝1

2AD .

(3)解：在Rt △ABD 中，AD ＝6，

AB ＝3，∴tan ∠ABD ＝AD

AB

＝2.

如答图，过点G 作GH ⊥BD 于点H ，

∴tan ∠ABD ＝GH BH

＝2，∴GH ＝2BH .

∵点F 是直径AB 下方半圆的中点，∴∠BCF ＝45°， ∴∠CGH ＝∠CHG －∠BCF ＝45°， ∴CH ＝GH ＝2BH ，∴BC ＝BH ＋CH ＝3BH .

在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝

AC

BC

＝2，∴AC ＝2BC ， 根据勾股定理得，AC 2

＋BC 2

＝AB 2

， ∴4BC 2＋BC 2

＝9，∴BC ＝3 55

，

∴3BH ＝355，∴BH ＝55，∴GH ＝2BH ＝25

5.

在Rt △CHG 中，∵∠BCF ＝45°， ∴CG ＝2GH ＝210

5

.

12．(2018·北部湾经济区25题10分)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CBG ＝∠A ，CD 为直径，

第12题图

OC 与AB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，延长CD 交GB 的延长线于点P ，连

接BD .

(1)求证：PG 与⊙O 相切；

(2)若EF AC ＝58，求BE

OC

的值；

(3)在(2)的条件下，若⊙O 的半径为8，PD ＝OD ，求OE 的长． (1)证明：如答图，连接OB ，则OB ＝OD ， ∴∠BDC ＝∠DBO .

∵∠BAC ＝∠BDC ，∴∠GBC ＝∠BDC .

∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBO ＋∠OBC ＝90°， ∴∠GBC ＋∠OBC ＝90°，

∴∠GBO ＝90°，∴PG 与⊙O 相切．

第12题答图

(2)解：如答图，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，连接OA ， 则∠AOM ＝∠COM ＝1

2∠AOC .

∵A C ＝A C ，∴∠ABC ＝1

2

∠AOC .

又∵∠EFB ＝∠OMA ＝90°， ∴△BEF ∽△OAM ，∴EF AM ＝BE OA

. ∵AM ＝12AC ，OA ＝OC ，∴EF 12

AC ＝BE OC

.

又∵EF AC ＝58，∴BE OC ＝2×EF AC ＝2×58＝54

.

(3)解：∵PD ＝OD ，∠PBO ＝90°，∴BD ＝OD ＝8， 在Rt △DBC 中，BC ＝DC 2

－BD 2

＝8 3. 又∵OD ＝OB ，∴△DOB 是等边三角形， ∴∠DOB ＝60°.

∵∠DOB ＝∠OBC ＋∠OCB ，OB ＝OC ，

∴∠OCB ＝30°，∴EF CE ＝12，FC EC ＝32

，

∴设EF ＝x ，则EC ＝2x ，FC ＝3x ， ∴BF ＝83－3x .

在Rt △BEF 中，BE 2

＝EF 2

＋BF 2

，

∴100＝x 2

＋(83－3x )2

，解得x ＝6±13. ∵6＋13>8，舍去，∴x ＝6－13， ∴EC ＝12－213，

∴OE ＝8－(12－213)＝213－4.

13．(2018·桂林25题10分)如图1，已知⊙O 是△ADB 的外接圆，∠ADB 的平分线DC 交AB 于点M ，交⊙O 于点C ，连接AC ，BC .

(1)求证：AC ＝BC ；

(2)如图2，在图1的基础上作⊙O 的直径CF 交AB 于点E ，连接AF ，过点A 作⊙O 的切线AH ，若AH ∥BC ，求∠ACF 的度数；

(3)在(2)的条件下，若△ABD 的面积为63，△ABD 与△ABC 的面积比为2∶9，求CD 的长．

第13题图

(1)证明：∵DC 平分∠ADB ，

∴∠ADC ＝∠BDC ，∴A C ＝B C ，∴AC ＝BC .

第13题答图

(2)解：如答图，连接AO 并延长交BC 于I 交⊙O 于J . ∵AH 是⊙O 的切线，AH ∥BC ， ∴AI ⊥BC ，

由垂径定理得，BI ＝IC . ∵AC ＝BC ，∴IC ＝1

2

AC ，

即在Rt △AIC 中，IC ＝1

2AC ，∴∠IAC ＝30°，

∴∠ABC ＝60°＝∠F ＝∠ACB . ∵FC 是⊙O 的直径，∴∠FAC ＝90°， ∴∠ACF ＝180°－90°－60°＝30°. (3)解：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，连接AO ， 由(1)(2)知，△ABC 为等边三角形． ∵∠ACF ＝30°，∴AB ⊥CF ，∴AE ＝BE . ∵S △ABD ＝63，

S △ABD S △ABC ＝29，∴S △ABC ＝34

AB 2

＝273， ∴AB ＝63，∴AE ＝33， ∴在Rt △AEC 中，CE ＝3AE ＝9， 在Rt △AEO 中，设EO ＝x ，则AO ＝2x ， ∴AO 2

＝AE 2

＋OE 2

，∴(2x )2

＝(33)2

＋x 2

， 解得x ＝3，

∴⊙O 的半径为6，∴CF ＝12.

∵S △ABD ＝12AB ·DG ＝1

2×63×DG ＝63，

∴DG ＝2，

过点D 作DP ⊥CF ，连接OD ， ∵AB ⊥CF ，DG ⊥AB ，∴CF ∥DG ， ∴四边形PDGE 为矩形，∴PE ＝DG ＝2， ∴CP ＝PE ＋CE ＝2＋9＝11， 在Rt △OPD 中，OP ＝5，OD ＝6，

∴DP＝OD2－OP2＝11，

∴在Rt△CPD中，根据勾股定理得，CD＝DP2＋CP2＝233.