【高考数学】圆锥曲线满分突破第9讲 切线问题(含答案)
【高考数学】圆锥曲线满分突破
第9讲 切线问题
一、考情分析
圆锥曲线的切线问题有两种处理方法：
方法1：导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；
方法2：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.
二、经验分享
1. 椭圆的切线方程：椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+b y
y a x x ；椭圆
)0(12222>>=+b a b y a x 外一点),(0
0y x P 所引两条切线方程是12020=+b
y
y a x x . 2. 双曲线的切线方程：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=-b y
y a x x ；
双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是12020=-b
y
y a x x .
3. 抛物线的切线方程：抛物线)0(22
>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=；抛物线)0(22
>=p px y 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是)(00x x p y y +=.
4.设抛物线)0(2:2
>=p py x C 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与抛物线C 相切于B A ,两点，则PFB PFA ∠=∠.
5.设椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B A ,两点，
则PFB PFA ∠=∠.
6.设双曲线C :)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B A ,两
点，则PFB PFA ∠=∠.
三、题型分析
例1.圆2
2
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P
（如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P 且离心率为3．
（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．
x
P
O
y
【变式训练】如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 过点1
(3,)2
，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F 。
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P
（i ）设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； （ii ）直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB ?的面积为
26
，求直线l 的方程。
例2.【2018北京文 20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b
+=>>的离心率为6
，焦距为22，斜率为k 的
直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B （1）求椭圆M 的方程；
（2）若1k =，求||AB 的最大值；
（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71
(,)42
Q -共线，求k
【变式训练】（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线
段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A 6
B 3
C 2
D ．1
3
例3. 【2019全国III 理21】已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点
分别为A ，B .
（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
【变式训练】（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：2
2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象 限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．
12 B ．23 C ．34 D ．43
四、迁移应用
.1如图，
过抛物线)0(22
>=p px y 焦点F 的直线交抛物线于B A 、两点A (点位于x 轴上方M ),为抛物线的准线l 上一点，
AM AB MF ,⊥交y 轴于AB ND N ⊥,于,D ,2DF AD =则直线AB 的斜率为
.2设21,F F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、
右焦点,若双曲线右支上存在一点,P 使O P F OF OP (0)(22=?+为坐标原点，
),321PF PF =则该双曲线的离心率为 .
3．已知点p 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右支上一点，1F ，2F 分别为左右焦点，若双曲线C 的离心
率为3，△12PF F 的内切圆圆心为I ，半径为2，若1223PF I
PF I
S S
=+，则b 的值是（ ）
A ．2
B ．2
C ．6
D ．6
4．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，△12PF F 是以2F P
为底边的等腰三角形，且1260120PF F ?<∠
A ．31(
1)- B ．311
(
)2-， C ．1
(1)2，
D ．1
(0,)2
5．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)-，2,0)，离心率是6
3
，直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；
（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．
6．（2017山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
22
22
1
x y
a b
+=()0
a b
>>
，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如图，动直线l
：
1
y k x
=E于,A B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为
2
k
，且12
k k=，M是线段OC延长线上一点，且:2:3
MC AB=，M的半径为MC，,
OS OT是M的两条切线，切点分别为,S T．求SOT
∠的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
x
7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24
=
：
C y x的焦点为F，过F且斜率为(0)
>
k k的直线l与C交于A，B 两点，||8
=
AB．
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
第9讲 切线问题
二、考情分析
圆锥曲线的切线问题有两种处理方法：
方法1：导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；
方法2：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.
二、经验分享
4. 椭圆的切线方程：椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+b y
y a x x ；椭圆
)0(12222>>=+b a b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线方程是1202
0=+b
y
y a x x . 5. 双曲线的切线方程：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=-b y
y a x x ；
双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是12020=-b
y
y a x x .
6. 抛物线的切线方程：抛物线)0(22
>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=；抛物线)0(22
>=p px y 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是)(00x x p y y +=.
4.设抛物线)0(2:2
>=p py x C 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与抛物线C 相切于B A ,两点，则PFB PFA ∠=∠.
5.设椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B A ,两点，
则PFB PFA ∠=∠.
6.设双曲线C :)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B A ,两
点，则PFB PFA ∠=∠.
三、题型分析
（一）与圆有关的切线问题
例1.圆2
2
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P
（如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P
（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．
【解析】（Ⅰ）设圆的半径为r ，P 点上下两段分别为,m n ，2
4r =， 由射影定理得2
r mn =
，三角形的面积s =
=
≥
=当2m n ==时，s
取得最大，此时P
，∵
222c
c b a a
==+
，P 在双曲线上 ∴2
2
2
321c b a ===，，，∴双曲线的方程为2
2
-12
y x = （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C
的焦点为，由此设2C 的方程为22
2
211
13x y b b +=+， 其中10b >
，由P 在2C 上，得2
1
3b =，∴2C 的方程为22
163
x y +=， 显然，l 不是直线0y =，设l
的方程为x my =+1122(,),(,)A x y B x y ，
由2216
3x my x y ?=+??+
=??
得22
(2)-30m y ++=
，∴12122
-32y y y y m +==+①
11220(PA PB x y x y =?=
21212(1))m y y m y y =++++
由①②得2
2-2646-110m m +=
，解得1236-22-6
,m m =
= 因此直线l 的方程36-2302x y -
-=或2-6
302
x y --= 【变式训练】如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 过点1
(3,)2
，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F 。
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P
（i ）设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； （ii ）直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB ?的面积为
26
，求直线l 的方程。
【解析】：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，其中3c =1
(3,)2
在椭圆上，故
222
2223
114413
a a b
b a b ??+==?????=???-=?
，所以椭圆C 的方程为2214x y += 又因为圆O 的直径为12F F ，故圆的方程为2
2
3x y += （2）（i ）本题有两种解法：
（方法一） ：椭圆和圆有公切线时求点P 的坐标，可先设公切线方程为y kx b =+
然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出,k b 的值，再求出点P 的坐标，这个方法很容易想到，但是需要两 次计算相切时的条件。
（方法二） ：题目中让求点P 的坐标，不如一开始就设出点P 的坐标，利用点P 的坐标表示出切线方程， 然后直线与椭圆联立，0?=即可求出点P 的坐标。这里我们选用第二种方法：
设直线与圆的切点00(,)P x y ，则满足22
003x y +=，故直线l 的方程为：
0000
()x y
y x x y -=-
-即0003x y x y y =-+
联立022*********
23(4)24364014
x y x y y x y x x x y x y ?
=-+???+-+-=??+=?? （1）
因为直线l 与椭圆有且只有一个交点，故0?=，即
222222000000(24)4(4)(364)48(2)0x x y y y x ?=--+-=-=
因为点P 位于第一象限，即000,0x y >>，故002,1x y == 所以点P 的坐标为(2,1)
（ii ）分析：第二问由于OAB ?的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长AB 的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程y kx b =+，根据直线与圆相切可得2233b k =+，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将k 或b 转化成一个，求出即可，但是计算过程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：
【解析】：设直线方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，根据直线与圆相切得2233b k =+
222
22
(14)84401
4y kx b
k x kbx b x y =+???+++-=?+=??，
2121222844,1414kb b x x x x k k -+=-=++ 22
2
2
21212228161642
||1()41()14147
kb b AB k
x x x x k k k -=++-=+-=
++ 将2
2
33b k =+2222
222
64(33)16(33)16421(14)147
k k k k k k ++-+-=++
注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，再将b 转化为k 的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。
22
2
2
2
1,2841(14)8440kb k
b k x kbx b x -±+-+++-=?= 222122244142
||4141
k b k x x k k +---==++
22
2
122
4242||1||1417
k AB k x x k k -=+-=+?=+解得22
5,18k b == 所以5,32k b =-=，直线方程为532y x =-+ （二）与椭圆有关的切线问题
例2.【2018北京文 20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b
+=>>的离心率为6
3，焦距为22，斜率为k 的
直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B （1）求椭圆M 的方程；
（2）若1k =，求||AB 的最大值；
（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71
(,)42
Q -共线，求k
【解析】：（1）由题意知2263
132
222c a x y a c c ??==???+=??
=???=?
（2）设1122:,(,),(,)l y x m A x y B x y =+，
联立22
224633013y x m x mx m x y =+???++-=?+=?? 21212333,24m m x x x x -+=-=，
令22
(6)44(33)0m m ?=-??->，则24m <
||AB ==故当0m =时，||AB 最大。
（3）题目给出共线，则用向量共线即可，但是需要知道,C D 两点的坐标，因此大胆设出,PA PB 的方程，求出,C D 的坐标（坐标与,A B 坐标产生关联之后即可）
设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，又(2,0)P -，所以可设1
112
PA y k k x ==
+， 直线PA 的方程为：1(2)y k x =+ 12222
21112
(2)(13)12123013y k x k x k x k x y =+???+++-=?+=?? 则2113211213k x x k +=-+即2
1312
1
1213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入得13171247x x x --=+ 【注意此处也可以不转化，直接将3x 转化为11,x y 的形式，但是不如一开始就转化简单】 故13147y y x =
+，1111712(
,)4747x y C x x --++，同理可得22
22712(,)4747
x y D x x --++ 故33447171
(,),(,)4444
QC x y QD x y =+
-=+- 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171
()()()()04444
x y x y +--+-=
将,C D 坐标代入化简可得
12
12
1y y x x -=-，即1k =
【变式训练】（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线
段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A
B
C
D ．1
3
【答案】A
【解析】以线段12A A 为直径的圆是2
2
2
x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距
离d a =
=，整理为223a b =，
（三）与抛物线有关的切线问题
例3. 【2019全国III 理21】已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点
分别为A ，B .
（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，
5
2)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ??-
??
?
，则2112x y =.
由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11
11
2y x x t
+
=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -
设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2
.
（2）由（1）得直线AB 的方程为12
y tx =+
. 由2
122
y tx x y ?
=+????=??，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,
1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，
()212||21AB x t =-==+.
设
12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则12d d ==
.
因此，四边形ADBE 的面积()(2121
||32
S AB d d t =
+=+. 设M 为线段AB 的中点，则2
1,2M t t ??+
???
. 由于EM AB ⊥，而(
)2
,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以(
)
2
20t t t +-=.解得t =0或1t =±.
当t =0时，S =3；当1t =±时，S =
因此，四边形ADBE 的面积为3或【变式训练】（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：2
2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象 限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．
12 B ．23 C ．34 D ．4
3
【答案】D
【解析】∵(2,3)A -在抛物线2
2y px =的准线上，∴22
p
-
=-．∴4p =， ∴2
8y x =，设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与2
8y x =联立， 得2
824160y ky k -++=②，则△=2
(8)4(2416)0k k --+=， 即22320k k --=，解得2k =或1
2
k =-
（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ， 又(2,0)F ，∴4
3
BF k =
，故选D ． 四、迁移应用
.1如图，
过抛物线)0(22
>=p px y 焦点F 的直线交抛物线于B A 、两点A (点位于x 轴上方M ),为抛物线的准线l 上一点，
AM AB MF ,⊥交y 轴于AB ND N ⊥,于,D 2DF =则直线AB 的斜率为
【答案】： 22
.2设21,F F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、
右焦点,若双曲线右支上存在一点,P 使O P F OF OP (0)(22=?+为坐标原点，)且,321PF PF =则该双曲线的离心率为 . 【答案】：31+
3．已知点p 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右支上一点，1F ，2F 分别为左右焦点，若双曲线C 的离心
率为3，△12PF F 的内切圆圆心为I ，半径为2，若1223PF I
PF I
S S
=+，则b 的值是（ ）
A ．2
B ．2
C ．6
D ．6
【答案】C
【解析】点p 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右支上一点，1F ，2F 分别为左右焦点，△12PF F 的内切圆
圆心为I ，半径为2，若1223PF I
PF I
S
S
=+，可得：1211
||||2322
PF r PF r ?=+，
可得12||||23PF PF -=，可得223a =，所以3a =； 双曲线C 的离心率为3，
3c a
=，可得3c =，则22
936b c a =-=-=．故选：C ． 4．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，△12PF F 是以2F P
为底边的等腰三角形，且1260120PF F ?<∠
A ．31(
1)- B ．311
(
)2-， C ．1
(1)2，
D ．1
(0,)2
【答案】B
【解析】△12PF F 是以2F P 为底边的等腰三角形，112||||2PF F F c ∴==，
由椭圆的定义可得：2||22PF a c =-．设12PF F θ∠=，1260120PF F ?<∠
θ∴∈-．
在△12PF F 中，由余弦定理可得：2222(2)2(22)2111
cos (,)222222
c a c e e c c e θ?--+-==∈-??．
解得1
)2
e ∈．故选：B ． 5．已知椭圆C
的左、右焦点坐标分别是(
，
y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；
（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．
【解析】（I
）因为
3
c a =
，且c =
1a b === 所以椭圆C 的方程为2
213
x y += （II ）由题意知(0,)(11)p t t -<<
由22
13
y t x y =???+=??
得x =所以圆P
解得2t =±
，所以点P 的坐标是（0
，2
± （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程2
2
2
()3(1)x y t t +-=-。因为点(,)Q x y 在圆P 上．
所以y t t =≤设cos ,(0,)t θθπ=∈
，则cos 2sin()6
t π
θθθ==+
当3
π
θ=
，即1
2
t =
，且0x =，y 取最大值2．
6．（2017山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
22
22
1
x y
a b
+=()0
a b
>>
，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如图，动直线l
：
1
y k x
=E于,A B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为
2
k
，且12
k k=，M是线段OC延长线上一点，且:2:3
MC AB=，M的半径为MC，,
OS OT是M的两条切线，切点分别为,S T．求SOT
∠的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
x
【解析】（I）由题意知
c
e
a
==，22
c=，所以1
a b
==，
因此椭圆E的方程为
2
21
2
x
y
+=．
（Ⅱ）设()()
1122
,,,
A
x y B x y，联立方程
2
2
1
1,
2
x
y
y k x
?
+=
??
?
?
=
??
得()
22
11
4210
k x x
+--=
，
由题意知0
?>，且()
1
1212
22
11
1
,
21221
x x x x
k k
+==-
+
+
，
所以
12
1
=-=
AB x．
由题意可知圆M的半径r
为
1
2
33
r AB
==
由题设知
1
24
k k=，所以
2
1
k
=
因此直线OC的方程为
1
y=．
联立方程22
11,
2,
x y y x ?+=????=??
得22
2122
1181,1414k x y k k ==++，
因此OC ==1
sin 21SOT r
OC r OC
r
∠==++
，
而
1OC r
=
2=
令2112t k =+，则()1
1,0,1t t
>∈，
因此
1OC r
=
==≥，
当且仅当112t =，即2t =
时等号成立，此时1k =，所以1sin 22SOT ∠≤，因此26
SOT π
∠≤，
所以SOT ∠最大值为3
π
．
综上所述：SOT ∠的最大值为
3
π
，取得最大值时直线l
的斜率为12k =±．
7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2
4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8=AB ． (1)求l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，
由2(1),4y k x y x
=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=．2
16160k ?=+>，故1222
24k x k x ++=． 所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k
x +=+=+++=． 由题设知22
44
8k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为1y x =-．
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+???-++=
+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=．
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
圆锥曲线大题十个大招——轨迹问题
招式八：轨迹问题 轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ， ，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O
即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程； 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。 【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =-
圆锥曲线的切线问题
圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2
5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2
高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 圆锥曲线的双切线问题初探 蓝 婷 深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055 【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。 【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程 一、研究背景 圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。 二、定理证明 为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。 引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000( )()()0222 x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++=。 证明：在圆锥曲线方程2 2 0Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得： 220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey C y Ex By D ++'=- ++ 则切线方程为：0000002()2Ax Ey C y y x x Ex By D ++-=- -++ 得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++- 化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++= 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 【例1】 抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ） A ． 35 5 B ． 45 5 C ． 135 20 D ． 95 20 【例2】 若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ） A ．430x y ++= B ．490x y +-= C ．430x y -+= D ．420x y --= 【例3】 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是 ； 【例4】 过点(01)P ， 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为_______________________． 【例5】 已知过定点A (2,0)的直线和抛物线2 14 y x = 有且只有一个交点，求满足条件的直线方程． 【例6】 已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为 2 2 的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂 典例分析 板块三.切线问题 线交直线2x =-于点Q ． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切． ⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由． 【例7】 如图，P 是抛物线C ：2 12 y x = 上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ． ⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求ST ST SP SQ + 的取值 范围． 【例8】 已知椭圆22 122:1(0)y x C a b a b +=>>的右顶点为(10)A ，，过1C 的焦点且垂直长轴 的弦长为1． ⑴求椭圆1C 的方程； ⑵设点P 在抛物线22:()C y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点M ，N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值． 是双曲线上不同的两个动点． ⑴ 求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程 ⑵ 若过点()0,h 的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值． 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题 【题型综述】 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 【典例指引】 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =2 4 x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率； （2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 类型二 椭圆的切线问题 例2（2014广东20）（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点P ∴ 22 231a b += 且222 a b c =+ ∴ 2 8a = 2 4b = 2 4c = 椭圆C 的方程是22 184 x y + = （2） 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 - “齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 例题、（07山东） 已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， （*） 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，（**） 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +--+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦 对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”） 解法二（齐次式法） 由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=?PB PA k k 。（??????PB PA k k ?为定值） 圆锥曲线轨迹问题 建设现代化(检验) ——有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 22ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线 PM PN ，（M N ， 分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线
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