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圆周角导学案(1)导学案

课题：圆周角导学案（1）

【学习目标】：

1、知道圆周角的概念,

会证明圆周角定理。

2、经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法。

3、会运用圆周角定理解决简单问题。

【学习过程】一、知识回顾: 顶点在圆心的角叫做 ,如右图中∠AOB 是

二、预习展示：

如图，点A 在⊙O 外，点B 1 、B 2

、

３

在⊙

O 上，点C 在⊙O 内，你能发现什么？

∠B 1 、∠B 2 、∠B ３有什么共同的特征？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

归纳得出结论：顶点在_______，并且两边

__________________的角叫做圆周角。

强调条件：①_______________________，

②________________________。

自学检测：

1．判断：下列各图中，各图中的角是不是圆周角？

2．如图，AB 为⊙O 的直径，∠BOC 、∠BAC 分别是弧B C 所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC 的度数．

通过以上证明猜想：弧BC 所对的圆心角，与它所对的圆周角的数量关系是：

三、合作探究： 1．一条弧所对的圆周角可以画几个？

2．请认真观察多媒体展示，把圆心与弧AB 所对圆周角的位置关系试着画

出来，然后再画出弧AB 所对的圆心角。

3．请试着证明上面的猜想，完成证明过程。

A O

四、归纳总结：

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__________。思考：如图,在⊙O 中,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系?为什么?

圆周角定理的推论：

同圆或等圆中，所对的圆周角相等；

五、当堂检测：

1.如下（左）图，已知∠ACB = 20o，则∠AOB = _______.

2.如下（中）图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ___。

3.如下（右）图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形的对角线把４个内角分成８个角，这些角中哪些是相等的角？

4.如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A =40°， ∠OBC 的度数为_______．

六、拓展提升：

1.已知⊙O 中弦AB 的长等于半径，求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数。

2.在⊙O 中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A 。

七、课堂小结：本节课你学到了什么？

《圆周角定理的证明》优秀教学设计(教案)

《圆周角定理的证明》教学设计一、创设情境，引入新课师生活动:教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.并出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．学生通过观察分析和理解问题. 设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分．引导学生对图形的观察和发现，激发学生的好奇心和求知欲. 二、任务驱动，探究规律学生动手画圆，在圆上任取一条劣弧，作这条劣弧所对的圆心角和圆周角，然后用量角器测量这些角。回答下列问题：（1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？（2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？师生活动: 学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现．设计意图:让学生亲自动手，利用度量工具（如量角器、几何画板）进行实验、观察、猜想、分析、验证，得出结论: 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．三、动手操作，验证猜想拿出课前准备的圆形纸片，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC的顶点A．回答问题：（1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？（2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？（3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？师生活动：教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．学生写出已知、求证，完成证明．具体做法：1.学生分组讨论三类图形的已知、求证。2.要求其中的四个小组证明第二类图形，另外的四个小组证明第三类图形。3.师生归纳总结出圆周角定理，并且几何符号表示圆周角定理。设计意图:让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题（1）的设计是让学生通过动手探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．问题（2）、（3）的提出是让学生学会运用化归思想将问题转化，并启发培养学生创造性的解决问题. 四、巩固练习，学以致用

《圆》第一节圆周角导学案1

《圆》第一节圆周角导学案1 主编人：占利华主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技能】理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题【过程与方法】经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题【情感、态度与价值观】在探求新知的过程中学会合作、交流体会数学中的分类转化等方法。【重点】圆周角及圆周角定理【难点】圆周角定理的应用学习过程一、自主学习（一）复习巩固 1、叫圆心角。 2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。

（二）自主探究 1、如图，点A在⊙O外，点B 1、B 2 、B 3 在⊙O上，点C在⊙O内，度量∠A、 ∠B 1 、 ∠B 2、∠B 3 、∠C的大小，你能发现什么？ ∠B 1、∠B 2 、∠B ３有什么共同的特征？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。归纳得出结论，顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。强调条件：①_______________________，②___________________________。识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由． 2、如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数． O C B A

通过计算发现：∠BAC ＝＿＿∠BOC ．试证明这个结论： 3、如图，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC 所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。 4、思考与讨论（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O 有几种位置（2）设BC 所对的圆周角为∠BAC ，除了圆心O 在∠BAC 的一边上外，圆心O 与∠BAC 还有哪几种位置关系？，对于这几种位置关系，结论∠BAC ＝ 2 1 ∠BOC 还成立吗？试证明之．通过上述讨论总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的．

《1.3.1圆幂定理》教学案3

《1.3.1圆幂定理》教学案【教学目标】 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题； 2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育. 【教学重难点】重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用；难点：灵活运用圆幂定理解题. 【教学过程】相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等. 定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P D(相交弦定理) 2证明证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) ∴△P AC∽△PDB ∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆. 3比较相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度. 4相交弦定理推论定理如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项. 说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)

切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种. 切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=P A·PB(切割线定理) 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT2=P A·PB=PC·PD 2证明切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=P A·PB 证明：连接AT，BT ∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·P A

第三章《圆》导学案

3.1 圆的对称性（1）一、学习目标 1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程 2、掌握垂径定理 3、会运用垂径定理解决有关问题重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用二、知识准备： 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______。 2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。三、学习内容：（阅读课本68-75，完成学案上的内容） 1、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。练习：1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？ 2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） 3、得出垂径定理： 4、注意：①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 5、给出几何语言 B

O F E D C B A A B F M D O 例1、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？例 2 如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。 ⑴求⊙O 的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。四、知识梳理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。五、达标检测： 1、如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则 2、已知，如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点AEC =45°,则 CD 的长为。 3. 如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有_____= ， ____= ． T3 T4 T5 T6 4.过⊙O 内一点P 作一条弦AB ，使P 为AB 的中点. 5.⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM. 6.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半为． 7.⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___ 8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 CM 9.在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,则AB 和CD 的距离为 . 10. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： ⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？ O A B P O P B M O A C D P A O C D B O A B

圆周角定理及其推论.pdf

通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1）教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1）在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.

人教版九年级数学上册导学案：24.1垂径定理,圆心角、弧、弦、圆周角之间关系复习(无答案)

圆（一）垂径定理，圆心角、弧、弦、圆周角之间关系复习学习目标：1. 理解垂径定理及其推论，并能应用于计算或证明。 2、理解圆心角、弧、弦、圆周角之间关系定理，并能应用于证明。重点：垂径定理，圆心角、弧、弦、圆周角之间关系定理，难点：运用所学的知识解综合题－白【使用方法与学法指导】 1、课前学生复习课本圆心角、弧、弦、圆周角完成复习导入，整体把握本章知识；回顾导学案中的重点内容和未解决的问题，记录在导学案上，准备课上讨论质疑； 2、完成导学案中的综合练习，进一步巩固落实本节内容；学习小组讨论交流，然后进行展示，小组间互相点评，补充之后由老师进行点拨。最后通过当堂检测，巩固知识。 3、A层完成所有题目，带﹡的为BC层选作题。一.知识回顾： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分。 2、在同圆或等圆中，两条、两条、两个、两个，这四组量中，只要有一组量相等，其余各组量都。 3、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的的一半；反之，相等，它所对的弧也相等。 4、直径（或半圆）所对的圆周角是；反之，90的圆周角所对的弦是。 5、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。二、课前合作探究 1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（） A．60○B．45○ C．30○D．15○ 2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．

3.如图，A、B、C是⊙O上三个点，当 BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）． 4.如图，在⊙O中，弦AB=1．8cm，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm． 5.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______ 6、如图，⊙O的直径AB的长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于D，求四边形ABCD的面积。三、课中知识巩固，能力提升 1.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上，则∠C的度数是_______.

《圆》第一节圆周角导学案2

《圆》第一节圆周角导学案2 主编人：占利华主审人：文档设计者：设计时间：文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技能】掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题. 【过程与方法】经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力【情感、态度与价值观】激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活【重点】圆周角的推论学习【难点】圆周角推论的应用一、自主学习（一）复习巩固 1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则（1）∠BOC= °,理由是；（1）∠BDC= °,理由是。 2、如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB= °. 3、如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径，则∠ADB= °,∠DAB= ° 4、如图，AB 是⊙O 的直径，若AB=AC ，求证：BD=CD. （二）自主探究 1、如图,BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？（引导学生探究问题的解法） O D C B A 第1题 O C B A 第2题第3题 C 第4题

C B B 2、如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？（三）、归纳总结： 1、归纳自己总结的结论：（1） 2）注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视. （四）自我尝试： 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°， ∠ADC=50°,求∠CEB 的度数. 2、如图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠DAC=∠BAE 3、变式：如图，△ABF 与△ACB 中，∠C 与∠ABF 相等吗？ 4、如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD =∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？为什么？

圆周角定理及推论

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D 解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3 ∵OA、OC是半径解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA（） ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC（BC弧） ∠OCB=∠OBC= 2 1 ∠AOC（AC弧） ∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5：圆心角大于180°：图5 圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E， ∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°） ∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB 二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E

圆周角学案

圆周角第二课时班级：主备教师：单明波备课组长：领导批阅：上课时间：年月日二次备课教师寄语学习目标（1）掌握圆周角定理的推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；（2）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性．重（难）点预见重点：圆周角定理的推论的应用：难点：推论的灵活应用以及辅助线的添加学习流程一、自学指导 1、自学教材85页后8行及86页内容解决下列问题问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？问题2：在⊙O中，若= ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否得到= 呢？问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角? 问题4：圆内接四边形有什么性质？圆内接四边形一个外角和内角有什么关系？为什么？ 2、分析、研究、交流、归纳 ①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若= ，则∠C=∠G；但反之不成立．重视：同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中” 指出：问题3这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握．二、自学检测 1、同弧或等弧所对的（）相等；在同圆或等圆中，相等的（）所对的（）也相等．都等于这条弧所对的圆心角的一半 2、“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？ 3、半圆（或直径）所对的圆周角是；的圆周角所对的弦直径．三、当堂训练 1、课本87页练习1题、2题、3题

2、如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D；求BC，AD和BD的长．说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角三角形．（四）小结（指导学生共同小结）知识：本节课主要学习了圆周角定理的几及其及推论．推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握．能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握．教学反思圆周角第二课时作业：课本88页 10.题 11.题 12.题 6题

圆周角导学案

24.1.4圆周角学习目标： 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．重点、难点重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．导学过程：阅读教材P84 — 85 , 完成课前预习【课前预习】 1：知识准备（1）什么叫圆心角？（2）圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 2：探究1 圆周角：在圆上，并且都与圆相交的角叫做圆周角。为了进一步研究上面发现的，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC 的顶点A 。由于点A 的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：（1）在圆周角的一边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部。

(1)证明：在⊙O 中，∵OA=OC (2)证明： (3)证明： ∴∠A=∠ 又∵∠BOC=∠A+∠C=2∠ ∴∠A=2 1∠BOC 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的．表达式：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定．表达式：进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是， 90°的圆周角所对的弦是．表达式：探究2：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做这个多边形的圆内接四边形的对角已知：求证：证明：【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1．如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD D A B

《圆》第1节圆周角导学案2

《圆》第一节圆周角导学案2 主编人：主审人：班级：学号：姓名: 学习目标：【知识与技能】掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及 90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题. 【过程与方法】经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力【情感、态度与价值观】激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活【重点】圆周角的推论学习【难点】圆周角推论的应用一、自主学习（二）自主探究 1、如图,BC 是O O 的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么? （引导学生探究问题的解法）（一）复习巩固 1、如图，点 A 、 B 、 C 、 D 在O O 上，若/ BAC=40，则（1）/ BOC= （1）/ BDC= ° ,理由是 ,理由 ABC 中，OA=OB=O （则 / ACB= ________ ° O 中，△ ABC 是等边三角形，AD 是直径, _° , / DAB= ________ ° 2、如图，在△ 3、如图，在O 则/ ADB 二如图，AB 是O O 的直径，若 AB=AC 求证：BD=CD. 4、 B B D 第4题 C

2、如图，在O 0中，圆周角/ BAC=90，弦BC 经过圆心吗？为什么？（三）、归纳总结： 1、归纳自己总结的结论：（1） _________________________________________________________________ 2） ___________________________________________________________________ 注意：（1 ）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视（四）自我尝试： 1、如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点E ,/ ACD=60 , / ADC=50 ,求/ CEB 的度数. 二、教师点拔 1、两条性质: 2、直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线 2、如图，△ ABC 的顶点都在O O 上, 3、变式：如图，△ ABF 与△ ACB 中,/ C 与/ ABF 相等吗? 4、如图，A 、B 、E 、C 四点都在O 0上, =/ EAB,AE 是O 0的直径吗？为什么？ AD >△ ABC 的高, / CAD 求证：/ DAC=Z BAE C C C

苏科版-数学-九年级上册- 圆周角培优学案(二)

南沙初中初三数学教学案教学目标： 1．掌握圆周角定理几个推论的内容． 2．会熟练运用推论解决问题． 3.培养学生的探索精神和解决问题的能力. 教学重点、难点：掌握圆周角定理几个推论的内容；会熟练运用推论解决问题．教学过程：一、复习：圆周角的定义和圆周角定理二、探究: 1、请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)它们的大小有什么关系?你是如何得到的? 推论1:在同圆或等圆中，________或________所对的圆周角相等． 2、思考：“同弦或等弦”所对的圆心角相等吗？请同学们互相议一议．（1）（2）（3） 3、如图（2），BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的? 4、如图（3）如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?

O D C B A E O C B A 推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是_________ 三、例题例1、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么? 例2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于于点E ，∠ACD =60°，∠ADC =50°。求：∠CEB 的度数。例3、已知：如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径。求证：△ABE ∽△ACD ；

F E O C B A 例4、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC =AB ，BD 与CD 的大小有什么关系?为什么? 例5、已知，如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，以AD 为直径作圆，与AB 、AC 分别相交于点E 、F 。求证：AE ·AB =AF ·AC 四、课堂小结五、课堂作业（见作业纸）

圆周角教学设计

新人教版初中数学九上圆周角教学设计湖北省谷城县城关镇中心学校宋光艳一、内容和内容解析本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上； ②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。三、问题诊断分析教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。

圆周角定理及推论

1 / 6 24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及推论教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证

明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知

问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

苏教版初三圆专题复习

无锡特人教育1对1 数学学科导学案（第 1 次课）教师: 柏鹤学生: 年级: 日期: 星期: 时段:

∴ 2PA PC PB =? （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O 垂直平分AB 。即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C ?中，2 22 2 1 122AB CO O O CO ==-； 2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行： ::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::1:3:2AB OB OA =. 十五三角形外接圆内切圆三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。三角形外接圆圆心叫外心锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形）也可能在三角形上（如直角三角形）过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆） B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O E C B A D O B A O

北师大版数学九年级下册第三章圆教学案

课题：圆【学习目标】 1、理解圆的描述定头，了解圆的集合定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系【重点难点】重点：会确定点和圆的位置关系.。难点：初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题. 【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。【自主学习】（自学课本P65---P67思考下列问题） 1、举例说出生活中的圆。 2、车轮为什么做成圆形

3、你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念） 1圆的集合定义（集合的观点） 2、圆的运动定义：_____________________________________________ （运动的观点）圆心：----------------------------- 半径：_____________________________ 3、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ____________________ ”，读作 a ” 4、同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到_____________ （圆心）的距离都等于_______ 半径）；（2）到定点的距离等于_____________ 的点都在同一个圆上.

弧^i ; 弧的表示半圆 -------------------------- ；等圆等弧^τζ ----------------------- 优弧: 劣弧: ------------------------- ； 6、点和圆的位置关系：在平面内任意取一点P, 置关系若C)O 的半径为r, 点P 到圆心0的距离为d,那么: <=> 点P 在圆【训练案】的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；(2)到点A 和点B 的距离都点与圆有哪几种位 <=> 点P 在圆 1、设AB 二3cm,作图说明满足下列要求的图形: (1)到点A 和点B P

新人教版九年级数学上册导学案：24 1、4圆周角(2)

新人教版九年级数学上册导学案：24 1、4圆周角（2）课题圆周角（2）课型 [来源学科网Z,X,X,K] 探究课课时 1 四、反馈提升.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°， ∠ADC=50°,求∠CEB 的度数. 【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质 [来源学科网] 五、达标测评 1.如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°,则∠ABC=________. 2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______. 3.如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点(不与点A 、B 重合)，延长BD 到点C ，使DC=BD ，判断△ABC 的形状：__________。 4.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC=30°,则弧AC 的度数是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 8. 5、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？总结与反思学法指导栏 [来源学科网ZXXK] 学习目标．掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题. 学习重点 [来源:Z+xx+https://www.wendangku.net/doc/5511945903.html,] .激发探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，学习难点进一步体会数学源于生活并用于生活教师“复备栏”或学生“笔记栏” 学习过程：一、情景引入或知识回顾 1． 1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则（1）∠BOC= °,理由是；（1）∠BDC= °,理由是 . 2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB= °. 意图：复习圆周角的性质及直角三角形的识别方法. 二、自主学习如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径，则∠ADB= °,∠DAB= °. 三、问题探究 1.如图,BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？（学生探究问题的解法） 2.在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？ 3.归纳自己总结的结论：（1 ） _____________________________________ （ 2 ） _______________________________________ 注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视. O D C B A O A B C

圆周角定理优秀学案

九年级数学导学案 3.4 圆周角和圆心角的关系主备人：组名：班级：姓名：【学习目标】 1.知识目标：理解并掌握圆周角的概念、圆周角定理及其推论； 2.能力目标：渗透“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想；引导学生能主动的通过“实验、观察、猜想、验证”的方法探索圆周角和圆心角的关系，培养学生合情推理能力、实践能力和创新精神，从而提高数学素养； 3.情感目标：激发学生的求知欲，让学生在学习中不断感受获得成功的喜悦。【学习重难点】重点：理解并掌握圆周角的概念、圆周角定理及其推论难点：在探索圆周角和圆心角的关系的过程中提高数学素养【学习过程】（一）、温故知新： 1．圆：在平面上，到_______距离等于________的所有点组成的图形叫做圆。圆的灵魂是：_____________________ 2．弦：连接_______上任意两点的_________叫做弦。 3．弧：________上任意两点间的部分叫做弧 4．圆心角：顶点在________上，角的两边与_________相交的角叫圆心角。 5．在____________中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（即：____________）（二）、学习新知 1．什么是圆周角 A B ? 顶点在圆周上，角的两边与圆周相交的角叫圆周角→判断下列角是不是圆周角？

2.动手做一做：弧AB只对应一个圆心角，那么弧AB能对应几个圆周角呢？想一想，动手画一画一段弧对应无数个圆周角 3.猜一猜： AB所对的圆周角有什么关系，你能验证你的猜想吗？（三）探索新知 4.证明：同一条弧所对的圆周角相等情况一：情况二情况三圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半推论：同弧或等弧所对的圆周角相等小结：在这个证明过程中你学到了什么： →解决动态问题：由动到静，找到动静之间的联系; →动态问题要有：分类思想; →在分类讨论时：先特殊再一般，利用特殊情况下的结论证明其他情况;→多个角相等时可以通过设未知数屡清思路

圆周角导学案(1)导学案

《圆周角定理的证明》优秀教学设计(教案)

《圆》第一节 圆周角导学案1

《1.3.1圆幂定理》教学案3

第三章《圆》导学案

圆周角定理及其推论.pdf

人教版九年级数学上册导学案：24.1垂径定理,圆心角、弧、弦、圆周角之间关系复习(无答案)

《圆》第一节 圆周角导学案2

圆周角定理及推论

圆周角学案

圆周角导学案

《圆》第1节圆周角导学案2

苏科版-数学-九年级上册- 圆周角 培优学案(二)

圆周角教学设计

圆周角定理及推论

苏教版初三圆专题复习

北师大版数学九年级下册第三章圆教学案

新人教版九年级数学上册导学案：24 1、4圆周角(2)

圆周角定理优秀学案

最新浙教版九年级数学上册《圆周角1》教学设计(精品教案).docx

《圆》第一节圆周角导学案1

《圆》第一节圆周角导学案2

苏科版-数学-九年级上册- 圆周角培优学案(二)