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数学建模之回归模型

二、多元线性回归分析

1.简介

多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。

应用于根据现有资料对某变量进行预测，如预测某商品的销量等。

2.步骤

①根据预测目标，确定自变量和因变量。 ②建立多元线性归回模型根据预测目标得自变量(1,2,

,)k x k m =，因变量y 。设与k x 无关的未知量

2(1,,),j j m βσ= ，j β为回归系数。

记y ，k x 的观测值分别为i b ，im a ，1,

,,i n n m =>，n 阶单位矩阵n E ，且

111111m n nm a a X a a ????= ???? ??

，1,n b Y b ????= ??????

[][]101

,,,,,T

n m εεεββββ==

则多元线性回归分析的模型为

~(0,).

n Y X N E βεεσ=+???（1） ③求归回系数

使用最小二乘法求j β的估计值，选取估计值?j β，使当?j j

ββ=时，误差平方和2

220111

?)()n

i i i

i i m im i i i Q b b b a a εβββ=====-=----∑∑∑（

最小。

因此，令

0,0,1,2,3Q

j c ?==?.

得到正规方程组: ,T T j X X X Y β=

则有

1?().T T j

X X X Y β-= 利用matlab 求解正规方程组即得j β的估计值为

将?j β带回（1）得y 的估计值为 011

????,m m

y x x βββ=+++ 拟合为

011

????,1,,.i m m

b x x i n βββ=+++=

用拟合误差?e Y Y =-作为随机误差ε的估计值得ε= 残差平方和

?()n

i i i

i i Q e b b ====-∑∑ ④回归模型的假设检验

由于不确定因变量与自变量之间是否存在线性关系，现对其作出检验。

要使在所有?||j β都很小时，y 与k x 的线性关系也明显，则设

0:0,1,

,.j H j m β==

当0H 成立时，回归平方和211

1?()n

i i

i i U b b n ===-∑∑，残差平方和Q 满足 /(,1),/(1)

U m

F F m n m Q n m =

----

利用matlab 求出统计量F ，查表得出α/2分位数在显著水平α下，若

1/2/2(,1)(,1)F m n m F F m n m αα---<<--

则接受0H ，否则拒绝。

⑤回归系数的假设检验及区间估计

若0H 被拒绝，说明j β不全为0，但存在有若干个等于0的情况。因此做m+1个检验：

()0:0,0,1,

,.j j H j m β==

令jj c 为1()T X X -中的第(,)j j 元素，当()0j H 成立时，有

(1),j t t n m =

利用matlab 求出j t ，查表得α/2分位数

在显著性水平α下，若2

||(1)j t t n m α<--，则接受()0j H ，否则拒绝。

在置信水平1-α下，j β的置信区间为

22??((j j t n m t n m ααββ?---+--?? ⑥利用回归模型进行预测

建立的回归模型和系数都通过了检验，现预测y 的取值0b ，0b 为

00101

0????.m m

b a a βββ=+++ 标准正态分布的上α/2分位数2

z α为

因为n 较大且0i a 接近平均值i x ，所以简化0b 的预测区间为

00??b b ?-+??

剔除异常数据

数据残差?(1,2,,)i i e b b

i n =-=，i e 服从均值为0的正态分布，求出i e 的置信

区间为，若某个i e 的置信区间不包括零点，则此数据异常，需要剔除。例题：

题目见书386页解：模型的建立

①建立多元线性归回模型

记y ，(1,2,3)k x k =的观测值分别为i b ，im a (1,

,25;3)i m ==，n 阶单位矩阵：

111325,125,311a a X a a ????= ???? ??

，125,b Y b ??

??= ??????

②求归回系数

使用最小二乘法求0123,,,c c c c 的估计值，选取估计值?j c

，使当?j j c c =时，误差平方和2

22011331

?)()n n n

i i i

i i i i i i Q b b b c c a c a ε=====-=----∑∑∑（

最小。

因此，令

0,0,1,2,3Q

j c ?==?. 得到正规方程组: ,T T j X X X Y β=

则有

1?().T T j c

X X X Y -= 利用matlab 求解正规方程组即得j c 的估计值。

③回归模型与回归系数的假设检验

由于不确定因变量与自变量之间是否存在线性关系，现对其作出检验。

要使在所有?||j β都很小时，y 与k x 的线性关系也明显，则设

0:0,1,2,3.j H c j ==

当0H 成立时，回归平方和21

11?()n

i i i U b b n ===-∑∑，残差平方和Q 满足 /(,1),/(1)

U m

F F m n m Q n m =

----

利用matlab 求出统计量F ，查表得出α/2分位数在显著水平α下，若

1/2/2(,1)(,1)F m n m F F m n m αα---<<--

则接受0H ，否则拒绝。

若0H 被拒绝，说明j β不全为0，但存在有若干个等于0的情况。因此做m+1个检验：

()0:0,0,1,2,3.j j H c j ==

令jj c 为1()T X X -中的第(,)j j 元素，当()0j H 成立时，有

(1),j t t n m =

利用matlab 求出j t ，查表得α/2分位数

在显著性水平α下，若2

||(1)j t t n m α<--，则接受()0j H ，否则拒绝。

④利用回归模型进行预测

建立的回归模型和系数都通过了检验，现预测y 的取值0b ，0b 为

0101303????.b c c a c

a =+++ 标准正态分布的上α/2分位数2

z α为

因为n 较大且0i a 接近平均值i x ，所以简化0b 的预测区间为

00??b b ?-+??

模型的求解：

（1）由①，② 并利用matlab 解得

1123????0.5839,0.0178, 2.0782, 1.9396c

c c c ====。（2）由③ 并利用matlab 得出统计量F=37.7453，分位数0.025(321) 3.8188F =，

,所以拒绝原假设，模型整体通过了检验。

统计量01230.6223,0.6090,7.7407, 3.8062t t t t ====，查表得0.025(21) 2.0796,t =

所以，在显著水平α=0.05时，接受()0:0(0,1)j j H c j ==，拒绝()

0:0(2,3)j j H c j ==，

即变量1x 对模型影响不显著，在建模时可以不使用。 (3)由④ 并利用matlab 得出 1231222213231

17.09880.3611 2.356318.27300.14120.4404 1.27540.02170.50250.3962y x x x x x x x x x x x x

=-+++- --+++

多元线性回归模型练习题及答案

C ．(1-R)(k-1) 多元线性回归模型练习一、单项选择题 1.在由n=30的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得可决系数为0.8500，则调整后的可决系数为（D） A.0.8603 B.0.8389 C.0.8655 D.0.8327 2.用一组有30个观测值的样本估计模型y t=b0+b1x1t+b2x2t+u t后，在0.05的显著性水平上对b1的显著性作t检验，则b1显著地不等于零的条件是其统计量t大于等于（C） A.t0.05(30) B.t0.025(28) C.t0.025(27) D.F0.025(1,28) 3.线性回归模型y t=b0+b1x1t+b2x2t+......+b k x kt+u t中，检验 H0:b t=0(i=0,1,2,...k)时，所用的统计量服从(C) A.t(n-k+1) B.t(n-k-2) C.t(n-k-1) D.t(n-k+2) 4.调整的可决系数与多元样本判定系数之间有如下关系(D) A.R2=n-1 n-k-1 R2 B. R2=1-n-1 n-k-1 R2 C.R2=1-n-1 n-k-1 (1+R2) D. R2=1-n-1 n-k-1 (1-R2) 5.对模型Y i=β0+β1X1i+β2X2i+μi进行总体显著性F检验，检验的零假设是( A) A.β1=β2=0 B.β1=0 C.β2=0 D.β0=0或β1=0 6．设k为回归模型中的参数个数，n为样本容量。则对多元线性回归方程进行显著性检验时，所用的F统计量可表示为（B） A.RSS k-1)B． R2k (1-R2)(n-k-1) R2(n-k) 2 ESS/(k-1) D．TSS n-k) 7．多元线性回归分析中（回归模型中的参数个数为k），调整后的可决系数R2与可决系数R2之间的关系（A） R2=1-(1-R2)n-1 n-k-1 A. B.R2≥R2

数学建模——回归分析

回归分析——20121060025 吕佳琪企业编号生产性固定资产价值(万元)工业总产值(万元) 1318524 29101019 3200638 4409815 5415913 6502928 7314605 812101516 910221219 1012251624 合计65259801 （2）建立直线回归方程; （3）计算估价标准误差; （4）估计生产性固定资产(自变量)为1100万元时总产值(因变量)的可能值。解: (1)画出散点图,观察二变量的相关方向 x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; plot(x,y,'or') xlabel('生产性固定资产价值(万元)') ylabel('工业总产值(万元)') 由图形可得,二变量的相关方向应为直线 (2)

x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; X = [ones(size(x))', x']; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0、05); b,bint,stats b = 395、5670 0、8958 bint = 210、4845 580、6495 0、6500 1、1417 stats = 1、0e+004 * 0、0001 0、0071 0、0000 1、6035 上述相关系数r为1,显著性水平为0 Y=395、5670+0、8958*x (3) 计算方法:W=((Y1-y1)^2+……+(Y10-y10)^2)^(1/2)/10 利用SPSS进行回归分析:

数学建模多元回归模型修订稿

数学建模多元回归模型 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-

实习报告书学生姓名：学号：学院名称：专业名称：实习时间： 2014年 06 月 05 日第六次实验报告要求实验目的：掌握多元线性回归模型的原理，多元线性回归模型的建立、估计、检验及解释变量的增减的方法，以及运用相应的Matlab软件的函数计算。实验内容：已知某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据，见表1。请选择恰当的解释变量和恰当的模型，建立粮食年销售量的回归模型，并对其进行估计和检验。表1 某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据年份粮食年销售量Y/ 万吨常住人口X2/ 万人人均收入 X3/元肉销售量 X4/万吨蛋销售量 X5/万吨鱼虾销售量 X6/万吨 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981

1982 1983 1984 1985 1986 1987 实验要求：撰写实验报告，参考第10章中牙膏销售量，软件开发人员的薪金两个案例，写出建模过程，包括以下步骤 1.分析影响因变量Y 的主要影响因素及经济意义；影响因变量Y 的主要影响因素有常住人口数量，城市中人口越多，需要的粮食数量就越多，粮食的年销售量就会相应增加。粮食销量还和人均收入有关，人均收入增加了，居民所能购买的粮食数量也会相应增加。另外，肉类销量、蛋销售量、鱼虾销售量也会对粮食的销售量有影响，这些销量增加了，也表示居民的饮食结构也在发生变化，生活水平在提高，所以相应的，生活水平提升了，居民也有能力购买更多的粮食。 2. 建立散点图考察Y 与每一个自变量之间的相关关系从上述散点图，我们可以看出，当x2增大时，y 有向上增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型。随着x3，x4，x5，x6的增加，y 的值都有比较明显的线性增长趋势，直线是用线性模型 3.建立多元线性回归模型，并计算回归系数和统计量；综合上述分析，可以建立如下回归模型：表1 初始模型的计算结果 εββ++=210x y εββ++=510x y

多元线性回归模型案例(DOC)

多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。二·模型设定为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）：表1 中国人口增长率及相关数据

设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。年份人口自然增长率（%。）国民总收入（亿元）居民消费价格指数增长率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024

数据建模目前有两种比较通用的方式

数据建模目前有两种比较通用的方式1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。本文主要介绍了数学建模中常用的方法。一、数学建模的相关概念原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。二、教学模型的分类数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。三、数学建模的常用方法 1.类比法数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，

(完整版)多元线性回归模型习题及答案

多元线性回归模型一、单项选择题 1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（ D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2.下列样本模型中，哪一个模型通常是无效的（B ） A. i C （消费）=500+0.8 i I （收入） B. d i Q （商品需求）=10+0.8i I （收入）+0.9i P （价格） C. s i Q （商品供给）=20+0.75i P （价格） D. i Y （产出量）=0.650.6i L （劳动）0.4 i K （资本） 3.用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t t y b b x b x u =+++后，在0.05的显著性水平上对1 b 的显著性作t 检验，则1 b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ） A. )30(05.0t B. ) 28(025.0t C. ) 27(025.0t D. ) 28,1(025.0F 4.模型 t t t u x b b y ++=ln ln ln 10中，1b 的实际含义是（ B ） A.x 关于y 的弹性 B. y 关于x 的弹性 C. x 关于y 的边际倾向 D. y 关于x 的边际倾向 5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于１，则表明模型中存在（ C ） A.异方差性 B.序列相关 C.多重共线性 D.高拟合优度 6.线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验0:0(0,1,2,...) t H b i k ==时，所用的统计量服从( C ) A.t(n-k+1) B.t(n-k-2) C.t(n-k-1) D.t(n-k+2)

多元线性回归模型案例

我国农民收入影响因素的回归分析本文力图应用适当的多元线性回归模型,对有关农民收入的历史数据和现状进行分析,探讨影响农民收入的主要因素,并在此基础上对如何增加农民收入提出相应的政策建议。?农民收入水平的度量常采用人均纯收入指标。影响农民收入增长的因素是多方面的，既有结构性矛盾因素，又有体制性障碍因素。但可以归纳为以下几个方面：一是农产品收购价格水平。二是农业剩余劳动力转移水平。三是城市化、工业化水平。四是农业产业结构状况。五是农业投入水平。考虑到复杂性和可行性，所以对农业投入与农民收入，本文暂不作讨论。因此，以全国为例，把农民收入与各影响因素关系进行线性回归分析，并建立数学模型。一、计量经济模型分析 (一)、数据搜集根据以上分析，我们在影响农民收入因素中引入7个解释变量。即：2x -财政用于农业的支出的比重，3x -第二、三产业从业人数占全社会从业人数的比重，4x -非农村人口比重，5x -乡村从业人员占农村人口的比重，6x -农业总产值占农林牧总产值的比重，7x -农作物播种面积，8x —农村用电量。

资料来源《中国统计年鉴2006》。 (二)、计量经济学模型建立我们设定模型为下面所示的形式：利用Eviews 软件进行最小二乘估计，估计结果如下表所示： DependentVariable:Y Method:LeastSquares Sample: Includedobservations:19 Variable Coefficient t-Statistic Prob. C X1 X3 X4 X5 X6 X7 X8 R-squared Meandependentvar AdjustedR-squared 表1最小二乘估计结果回归分析报告为： () ()()()()()()()()()()()()()()() 2345678 2? -1102.373-6.6354X +18.2294X +2.4300X -16.2374X -2.1552X +0.0100X +0.0634X 375.83 3.7813 2.066618.37034 5.8941 2.77080.002330.02128 -2.933 1.7558.820900.20316 2.7550.778 4.27881 2.97930.99582i Y SE t R ===---=230.99316519 1.99327374.66 R Df DW F ====二、计量经济学检验 (一)、多重共线性的检验及修正 ①、检验多重共线性 (a)、直观法从“表1最小二乘估计结果”中可以看出，虽然模型的整体拟合的很好，但是x4x6

数学建模——商品需求量的预测

实验十三商品需求量的预测【实验目的】 1．了解回归分析的基本原理和方法。 2．学习用回归分析的方法解决问题，初步掌握对变量进行预测和控制。 3．学习掌握用MATLAB 命令求解回归分析问题。【实验内容】现有某种商品的需求量、消费者的平均收入、商品价格的统计数据如表1所示，试用所提供的数据预测消费者平均收入为1000、商品价格为6时的商品需求量。【实验准备】现实生活中，一切事物都是相互关联、相互制约的。我们将变化的事物看作变量，那么变量之间的相互关系，可以分为两大类：一类是确定性关系，也叫作函数关系，其特征是一个变量随着其它变量的确定而确定，如矩形的面积由长宽确定；另一类关系叫相关关系，其特征是变量之间很难用一种精确的方法表示出来，如商品销量与售价之间有一定的关联，但由售价我们不能精确地计算出销量。不过，确定性关系与相关关系之间没有一道不可逾越的鸿沟，由于存在实际误差等原因，确定性关系在实际问题中往往通过相关关系来体现；另一方面，当对事物内部规律了解得更加深刻时，相关关系也可能转化为确定性关系。 1．回归分析的基本概念回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法，它是最常用的数理统计方法，能解决预测、控制、生产工艺化等问题。由相关关系函数确定形式的不同，回归分析一般分为线性回归、非线性回归和逐步回归，在这里我们着重介绍线性回归，它是比较简单的一类回归分析，在实际问题的处理中也是应用得较多的一类。回归分析中最简单的形式是 y ＝0β＋1βx ＋ε （x 、y 为标量）（1）固定的未知参数0β，1β称为回归系数，自变量x 称为回归变量，ε是均值为零的随机变量，它是其他随机因素对 y 的影响，是不可观察的，我们称（1）为一元线性回归。它的一个自然推广是x 是多元变量，形如 y ＝0β＋1β1x ＋…＋m βm x ＋ε （2） m ≥2，我们称为多元线性回归，或者更有一般地

数学建模之回归分析法

什么是回归分析回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。回归分析之一多元线性回归模型案例解析多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：毫无疑问，多元线性回归方程应该为：上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：那么，多元线性回归方程矩阵形式为：其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。

今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：（数据可以先用excel建立再通过spss打开）点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：

matlab多元线性回归模型

云南大学数学与统计学实验教学中心实验报告一、实验目的 1.熟悉MATLAB的运行环境. 2.学会初步建立数学模型的方法 3.运用回归分析方法来解决问题二、实验内容实验一：某公司出口换回成本分析对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查,被调查的13家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如下表。试分析两个变量之间的关系,并估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本. 实验二：某建筑材料公司的销售量因素分析下表数据是某建筑材料公司去年20个地区的销售量（Y，千方），推销开支、实际帐目数、同类商品

竞争数和地区销售潜力分别是影响建筑材料销售量的因素。1）试建立回归模型，且分析哪些是主要的影响因素。2）建立最优回归模型。提示：建立一个多元线性回归模型。

三、实验环境 Windows 操作系统; MATLAB 7.0. 四、实验过程实验一：运用回归分析在MATLAB 里实现输入：x=[4.20 5.30 7.10 3.70 6.20 3.50 4.80 5.50 4.10 5.00 4.00 3.40 6.90]'; X=[ones(13,1) x]; Y=[1.40 1.20 1.00 1.90 1.30 2.40 1.40 1.60 2.00 1.00 1.60 1.80 1.40]'; plot(x,Y,'*'); [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05); 输出： b = 2.6597 -0.2288 bint = 1.8873 3.4322 -0.3820 -0.0757 stats = 0.4958 10.8168 0.0072 0.0903 即==1,0?6597.2?ββ，-0.2288,0?β的置信区间为[1.8873 3.4322],1,?β的置信区间为[-0.3820 -0.0757]； 2r =0.4958, F=10.8168, p=0.0072 因P<0.05, 可知回归模型 y=2.6597-0.2288x 成立. 1 1.5 2 2.5 散点图估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本。将x=6.5代入回归模型中，得到 >> x=6.5; >> y=2.6597-0.2288*x y = 1.1725

第三章多元线性回归模型(stata)

一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验） 1.突变点检验 1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表。表中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据年份 t y （万辆） t x （元）年份 t y （万辆） t x （元） 1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 1993 2002 下图是关于t y 和t x 的散点图：

从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等H H ：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。 1 在1985—2002年样本范围内做回归。

在回归结果中作如下步骤(邹氏检验)： 1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest）用似然比作chow检验，chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化* 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All * 用似然比检验检验结构没有发生变化的约束得到结果如下;

(如何解释) 2.稳定性检验（邹氏稳定性检验）以表为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。 * 用F-test作chow间断点检验检验模型稳定性 * chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化 * 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All

回归分析在数学建模中的应用

摘要回归分析和方差分析是探究和处理相关关系的两个重要的分支,其中回归分析方法是预测方面最常用的数学方法,它是利用统计数据来确定变量之间的关系,并且依据这种关系来预测未来的发展趋势。本文主要介绍了一元线性回归分析方法和多元线性回归分析方法的一般思想方法和一般步骤,并且用它们来研究和分析我们在生活中常遇到的一些难以用函数形式确定的变量之间的关系。在解决的过程中,建立回归方程,再通过该回归方程进行预测。关键词:多元线性回归分析;参数估计;F检验

回归分析在数学建模中的应用 Abstract Regression analysis and analysis of variance is the inquiry and processing of the correlation between two important branches, wherein the regression analysis method is the most commonly used mathematical prediction method, it is the use of statistical data to determine the relationship between the variables, and based on this relationship predict future trends. introduces a linear regression analysis and multiple linear regression analysis method general way of thinking and the general steps, and use them to research and analysis that we encounter in our life, are difficult to determine as a function relationship between the variables in the solving process, the regression equation is established by the regression equation to predict. Keywords:Multiple linear regression analysis; parameter estimation;inspection II

数学建模-回归分析-多元回归分析

1、多元线性回归在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ）多元线性回归模型的一般形式为：其中k 为解释变量的数目，j β (j=1,2,…，k)称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为： j β也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。 2、多元线性回归计算模型多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。设（ 11 x ， 12 x ，…， 1p x ， 1 y ），…，（ 1 n x ， 2 n x ，…， np x ， n y ）是一个样本，用最大似然估计法估计参数：达到最小。

把（4）式化简可得：引入矩阵：方程组（5）可以化简得：可得最大似然估计值：

3、Matlab 多元线性回归的实现多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下：（1）b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值其中（2）[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型 ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差 ③rint 表示置信区间 ④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的概率p 说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。 ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) （3）rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间

数学建模回归分析多元回归分析

把（4）式化简可得：引入矩阵：方程组（5）可以化简得：可得最大似然估计值：

多元线性回归模型的各种检验方法

对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如 u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0 H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j β?才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j β?对我们就没有意义。具体检验方法如下：（1）给定虚拟假设 0H ：j j a =β；

（2）计算统计量 )?(?)?()(?j j j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11?)?(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ （3）在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4）如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝 0H ；反之，无法拒绝0H 。 t 检验方法的关键是统计量 )?(?j j j Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1）随机抽样性。我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，

数学建模多元回归模型

表1 某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据年份粮食年销售量Y/万吨常住人口 X2/万人人均收入X3/ 元肉销售量X4/万吨蛋销售量X5/ 万吨鱼虾销售量 X6/万吨 197498.45560.20153.20 6.53 1.23 1.89 1975100.70603.11190.009.12 1.30 2.03 1976102.80668.05240.308.10 1.80 2.71 1977133.95715.47301.1210.10 2.09 3.00 1978140.13724.27361.0010.93 2.39 3.29 1979143.11736.13420.0011.85 3.90 5.24 1980146.15748.91491.7612.28 5.13 6.83 1981144.60760.32501.0013.50 5.418.36 1982148.94774.92529.2015.29 6.0910.07

1983158.55785.30552.7218.107.9712.57 1984169.68795.50771.1619.6110.1815.12 1985162.14804.80811.8017.2211.7918.25 1986170.09814.94988.4318.6011.5420.59 1987178.69828.731094.6 523.5311.6823.37 实验要求：撰写实验报告，参考第10章中牙膏销售量，软件开发人员的薪金两个案例，写出建模过程，包括以下步骤 1.分析影响因变量Y的主要影响因素及经济意义；影响因变量Y的主要影响因素有常住人口数量，城市中人口越多，需要的粮食数量就越多，粮食的年销售量就会相应增加。粮食销量还和人均收入有关，人均收入增加了，居民所能购买的粮食数量也会相应增加。另外，肉类销量、蛋销售量、鱼虾销售量也会对粮食的销售量有影响，这些销量增加了，也表示居民的饮食结构也在发生变化，生活水平在提高，所以相应的，生活水平提升了，居民也有能力购买更多的粮食。

多元线性回归分析模型

企业销售额影响因素分析及回归模型学号：1003131014 姓名：李绍林班级：10级人力资源管理一、问题提出（一）研究问题：随着市场经济的进一步发展，也加剧了企业在市场运行中的不确定性，如何在复杂多变的市场中占据主导，如何在经济流通的过程中，充分利用各种有利的因素，来确保企业销售额的增长，如何控制经济流通中的各项开支，如何组合来服务于企业销售额的增长。因此，在这里通过分析某家公司的企业销售状况，试图研究影响企业销售额的各因素及其之间的关系，建立企业销售额及其因素的回归模型，并进行经济分析。（二）数据来源某企业开支与销售额关系表：

二、定性分析为了研究企业销售额的影响因素，我们对相关数据进行简单的定性分析，并各因素同因变量的相关关系做了一个简单的预测。个人可支配收入反映一个地区或市场上消费者的购买能力，单独来看，应与企业的销售额呈正相关关系，即企业产品的目标市场群体的个人可支配收入起高，企业所能获得的销售额也会相应提高。商业回扣是企业为了改善销售商之间的关系，同时加强同销售商之间的合作，通过商业回扣的方式来吸引销售商，商业回扣作为企业的一个重要的营销策略，这也会减少企业的利润，商业回扣作为影响企业销售额的重要因素，商业回扣投入情况同企业的销售额多少有一定的关系。商品价格能够通过企业产品的需求来影响企业的销售量，两者共同作用于企业的销售额，是影响企业销售额的一个关系因子。如何制定价格策略来提高企业的销售额，具有重要的现实意义。研究与发展经费反映企业的研发能力和对市场的捕捉能力，能够适应市场需求来适应开发新的产品，不断开拓新的市场，提高产品的质量和水平，这能够为企业的扩大市场份额和企业销售额的提高。广告费用是企业为了对产品进行推广和让消费者更好地了解产品和创造需求，引导消费者的购买欲望，同时有利于树立产品和企业的形象。当然广告费用的支出也是影响企业销售额的一个重要因子。销售费用是企业为了产品的销售在产品的流通和销售过程中发生的一系列费用的总和，其与企业的销售额有一定的关系。因此，我们选择企业的销售额作为被解释变量y ，选取个人可支配收入、商业回扣、商品价格、研究与发展经费、广告费、销售费作为解释变量，分别设其为x1、x2、x3、x4、x5、x6 。三、相关分析（一）数据基本描述 Descriptive Statistics

数学建模实验 ——曲线拟合与回归分析

曲线拟合与回归分析 1、有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下：（1）说明两变量之间的相关方向；（2）建立直线回归方程；（3）计算估计标准误差；（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时的总资产（因变量）的可能值。解： (1)工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的，存在正向相关性。用spss回归（2）spss回归可知：若用y表示工业总产值（万元），用x表示生产性固定资产，二者可用如下的表达式近似表示： .0+ y =x 896 . 395 567 （3）spss回归知标准误差为80.216（万元）。（4）当固定资产为1100时，总产值为：（0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216）即（1301.0~146.4）这个范围内的某个值。 MATLAB程序如下所示： function [b,bint,r,rint,stats] = regression1 x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; X = [ones(size(x))', x']; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05); display(b); display(stats); x1 = [300:10:1250]; y1 = b(1) + b(2)*x1; figure;plot(x,y,'ro',x1,y1,'g-');

(完整版)多元线性回归模型公式

二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21）， n a ,...,2,1=。那么，多元线性回归模型的结构形式为： a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3.2.11）式中： k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为 ?=k k x b x b x b b ++++...22110（3.2.12）式中： 0b 为常数； k b b b ,...,,21称为偏回归系数。偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时，自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使 ()[]min (2) 1 2211012 →++++-=??? ??-=∑∑==∧ n a ka k a a a n a a a x b x b x b b y y y Q （3.2.13）有求极值的必要条件得 ???????==??? ??--=??=??? ??--=??∑∑=∧=∧n a ja a a j n a a a k j x y y b Q y y b Q 110) ,...,2,1(0202（3.2.14）将方程组（3.2.14）式展开整理后得：

统计学数学模型

一、多元回归 1、方法概述：在研究变量之间的相互影响关系模型时候，用到这类方法，具体地说：其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类分为两类：多元线性回归和非线性线性回归；其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如：y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决；所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项在做回归的时候，一定要注意两件事：（1）回归方程的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）（2）回归系数的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤：（1）根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系；（2）选取适当的回归方程；（3）拟合回归参数；（4）回归方程显著性检验及回归系数显著性检验

（5）进行后继研究（如：预测等）这种模型的的特点是直观，容易理解。这体现在：动态聚类图可以很直观地体现出来！当然，这只是直观的一个方面！二、聚类分析聚类有两种类型：（1） Q型聚类：即对样本聚类；（2） R型聚类：即对变量聚类；聚类方法：（1）最短距离法（2）最长距离法（3）中间距离法（4）重心法（5）类平均法（6）可变类平均法（7）可变法（8）利差平均和法在具体做题中，适当选取方法； 3、注意事项在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。还需要注意的是：如果总体样本的显著性差异不是特别大的时候，使用的时候也要注意！4、方法步骤（1）首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵，比如说：距离矩阵或相似性矩阵，找到矩阵中最小的元素，将该元素对应的两个类归为一类，（4）重复第2步，直到只剩下一个类；补充：聚类分析是一种无监督的分类，下面将介绍有监督的“分