切比雪夫大数法则

切比雪夫大数法则

设随机变量

,,,2,1n ξξξ相互独立，且具有相同的数学期望和方差：μξ=n E ，2σξ=n Var （ ,2,1=n ） 则对任意正数ε，有：

121lim =??????<-++++∞→εμξξξn P n n

即对任意正数ε

，当n 充分大时，事件??????<-+++εμξξξn n 21几乎为必然事件。

该大数法则应用于保险经营中，其含义是：

只要保险公司承保的同类保险标的数量足够多，投保人交付的净保险费就可以达到于每个被保险人发生的平均损失几乎相等。

浅谈几个著名的大数定律及应用

2010.No34 4 摘 要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，是随机现象统计规律性的具体表现，本文介绍了几种常用的大数定律，并给出一些简单应用。 关键词 大数定律 随机变量 数学期望 概率 1 引言 “大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们就会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一。偶然中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近．人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数要研究的问题。 2 几个大数定律 在介绍大数定律之前，先介绍几个相关定义。 定义1[1]设ξn (n=1,2,……)为概率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变数ξ，使对任意ε>0，恒有： 则称随机序列 依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是一个常数），并用下面的符号表示： 定义2[2]设 为一随机序列，数学期望E（ξn ）存在，令 ，若 ，则称随机序列 服从大数定律，或者说大数法则成立。 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望E（X）与方差D（X）存在，则对于任意正数ε，不等式 都成立。不等式(1)和(2)称为切比雪夫不等式。切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用J的数学期望和方差即可对J的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。 大数定律形式很多，我们仅介绍几种最常用的大数定律。定理1[1] （切比雪夫大数定律） 设随机变量ξ1,ξ2,…ξn 相互独立，它们的数学期望依次为a 1,a 2,…a n 方差依次为σ12,σ22,…σn 2而且存在正常数k，使得对一切i=1，2，…，有σi 2

(完整版)大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理 【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯 中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用 相关定理近似计算有关随机事件的概率。 【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。 【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。 【学时分配】2学时 【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言 在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。 下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。 一、切比雪夫大数定律 1

2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划 （弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ， 则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式 设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律） 设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在 常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即

浅析切比雪夫不等式及其在大数定律中的应用

浅析切比雪夫不等式及其在大数定律中的应用 发表时间：2018-12-21T14:00:50.797Z 来源：《文化研究》2018年第12月作者：吉润辰 [导读] 切比雪夫不等式一直以来在概率统计中占有十分重要的地位，它阐明了实验均数和方差之间的具体关系 扬州中学树人学校九龙湖校区 摘要：切比雪夫不等式一直以来在概率统计中占有十分重要的地位，它阐明了实验均数和方差之间的具体关系，并为大数定律提供理论基础,在生产和生活中有广泛的应用。利用该不等式可以成功推导得到正态分布的3准则，并引出利用中心极限定理将各类分布形式与正态分布相联系。本文主要介绍切比雪夫不等式和大数定律的推导方式，并举例说明二者在实验科学中的具体应用。 关键词：切比雪夫不等式；大数定律；马尔科夫不等式；标准正态分布 1.引言 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究概率统计规律中发现的，并用该不等式描述了标准差与实验样本量之间的关系，具有十分普遍的意义，是概率统计中最重要的不等式之一，可以将其推广为切比雪夫定理[2]。它将随机变量的期望和方差联系起来，并阐述了实验样本数据与理论计算真值的误差具体关系。除此之外，切比雪夫不等式也是马尔可夫不等式的特殊形式，即随机变量的误差函数大于或等于任意一个正数的概率的上限，该不等式是以俄国数学家马尔可夫命名，但它也曾出现在一些更早的文献中。 切比雪夫不等最重要的应用就是证明了大数定律，这为中心极限定理和正态分布的进一步研究打下基础[3]。说明了当实验次数达到一定数量时，可以将实验误差看作均匀分布的函数，并可以用实验样本频率来近似的替代实验概率，是各类概率统计方法的前提条件，并为统计方法的一般化提供令人信服的理论基础，是该类方法在各个领域均有广泛的应用。本文主要介绍切比雪夫不等式及大数定律的推导方式，并与马尔科夫不等式相联系，列举二者在解决实际问题中的具体应用。我们可以发现，正态分布最为重要的3准则便由此得到，并拓宽中心极限定理的一般化应用。 2.基本原理 2.1 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式的具体表述如下：设任意一组随机变量为X，且该组数据的期望为E（X）=，方差为D（x）=。对于任意一个正数，均有如下表示[1]：

概率论大数定律及其应用

概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者：信计1301班王彩云130350119 摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。

05第五讲 大数定律与中心极限定理

第五讲 大数定律与中心极限定理 考纲要求 1.了解切比雪夫不等式. 2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定理和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）. 3.了解棣莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）. 问题1 何谓切比雪夫不等式？ 答 设随机变量X 的数学期望和方差存在，则对于任意0ε>，有 {}21DX P X EX εε-<>-或者{}2DX P X EX εε-≥≤. 利用切比雪夫不等式，可以用DX 估计事件X EX ε-<的概率. 例 1.设随机变量X 和Y 的数学期望分别2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，有}6{≥+Y X P . 解 ()0E X Y +=，()2(,)3D X Y DX DY Cov X Y +=++=， 根据切比雪夫不等式，有231{6}612P X Y +≥≤ =. 2.设随机变量X 的数学期望为1，方差为14 ，试何用切比雪夫不等式估计{03}P X <<. 问题2 何谓大数定律？叙述切比雪夫大数定律、辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）和伯努利大数定理. 答 将切比雪夫不等式应用于随机变量列n X X X ,,,21 的算术平均值1 1n n i i X X n ==∑，得 {}21n n n DX P X EX εε-<>- . 若,0n n DX →∞→，则有 {} lim 1n n n P X EX ε→∞-<=. 称随机变量列12,,,,n X X X 服从大数定律，并称n X 依概率收敛于n EX . ⑴切比雪夫大数定律：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，则

第五章大数定理与中心极限定理

第五章 大数定理与中心极限定理 一、选择题 1、设随机变量12 ,n X X X 相互独立均服从泊松分布(2)π，则随机变量 1001 i i Y X ==∑近似服从( )分布 (A) (200)π (B)(200,200)N (C)(200,400)N (D)(100,200) B 2、在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,估计住房温度与平均温 度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界为( ) (A) 14 (B) 12 (C) 34 (D) 1 二、填空题 1、设随机变量1X ，2X ，100X 相互独立，且都服从参数为4的泊松分布，则100 1i i X =∑近似服从 (要求写出分布及具体参数) 2、设随机变量1X ，2X ，16X 相互独立同分布， ()i E X μ=，()8i D X = ()1,2,,16i =，则由切比雪夫不等式估计概率(44)P X μμ-<<+≥ 3、设随机变量 X 具有数学期望μ=)(X E ,反差2)(σ=X D ，则对于任意正数ε， 切比雪夫不等式为___ 4、已知随机变量Y X 与的相关系数21=ρ，且EY EX =，DY DX 4 1=，则根据切比雪夫不等式有估计式≤≥-)(DY Y X P 5、设随机变量序列2721,,,X X X 相互独立且都服从[]11， -上的均匀分布，则由中心极限定理得：概率=≤∑=)131(27 1 i i X P （8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ） 6．设~(100,0.2)X B ，用中心极限定理求(24)P X <≈ （只要求写出近似分 布的查表计算式）。 7、已知随机变量X 的期望和方差分别为μ和0.009，利用切比雪夫不等式估计 ()0.9p X με-≤≥，则ε最小值是

切比雪夫不等式及其应用

切比雪夫不等式及其应用 王林（2013080201031） 指导教师：吕恕 摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用 0.引言 切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。 1.切比雪夫不等式 设随机变量X 存在数学期望E(X)和方差D （X)，则对任意实数ε有：P{X-E(X)}≥ε}≤2)(εX D 证明：（1）设X 为离散型随机变量，其分布列为P(X=i X ）=i P （i=1,2,3...)则 P{|X-E(X)|ε≥}=∑∑∞=≥-= -≤12 22)|(|)())((1i i i X E X i X D P X E X P i εεε （2）设X 为连续性随机变量，其概率密度为P （X),由于E(X),D(X)均存在，则有D(X)=?+∞ ∞--dx X P X E X )())((2 ? ?-∞-+∞ +-+-≥εε)()(22)())(()())((X E X E dx X P X E X dx X P X E X ??-∞-+∞++≥ε εεε)()(22)()(X E X E dx X P dx X P =))(())((2 2εεεε+≥+-≤X E X X E X P )|)((|2εε≥-=X E X P 2) ()|)(|(εεX D X E X P ≤≥-∴ (1) 切比雪夫不等式还有另一种形式， 2) (1)|)((|εεX D X E X P -≥<- (2) 由切比雪夫不等式得，D(X)越小，则表明X 的取值越集中在E(X)附近；反之D(X)越大，说明X 的取值越分散。说明，方差刻画了随机变量取值的离散程度。

第五章大数定律与中心极限定理

第五章 大数定律与中心极限定理 本章学习要点 ① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大 数定律）； ③ 了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德 伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率. §5.1 知识点考点精要 一 、切比雪夫不等式与依概率收敛 1、 切比雪夫不等式 设随机变量数学期望和方差都存在，则对任意给定的正数X ()E X ()D X ε，有 {}2 () ()D X P X E X εε ?≥≤ 或等价地 {}2 () |()|1D X P X E X εε ?<≥?. 2、依概率收敛 设是一个随机变量序列，12,,,,n X X X X 是一个随机变量，如果对于任意给定的正数 ε，恒有 {}lim 0,n n P X X ε→∞ ?>= 则称随机变量序列依概率收敛于12,,,,n X X X X ，记作n P X X ??→. 依概率收敛的随机变量具有以下性质： 设n P X a ??→，n P Y b ??→，又函数(,)f x y 在点处连续，则(,)a b (,)(,)n n P X f Y f a ??→b . 二、大数定律 1、切比雪夫大数定律 设是相互独立的随机变量序列（即对任意的，随机变量相互独立）,其数学期望与方差都存在，且方差一致有界,即存在正数,,,,12X X X n n ,,,12X X X n M ,对任意i （）， 1,2,i =

概率论与数理统计全程学习指导 有()k D X M ≤ ，则对任意给定的正数ε,恒有 1111lim ()1n n i i n i i P X E X n n ε→∞==?<=?? ???? ∑∑. 特别地，随机变量相互独立且具有相同数学期望12,,,n X X X ，()(1,2,)i E X i μ== 和方差2()i D X σ=（），则对任意给定的正数1,2,i = ε，有 { } 1 1 lim 1n n i i P X n με→∞ =?<=∑. 【评注】n 个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量，当充分大时，它们的 算术平均值几乎是一个常数，这个常数就是它们的数学期望. n 2、伯努利大数定律 设A n 是重伯努利试验中事件n A 发生的次数， p (01)p <<是事件A 在一次试验中发生的概率，则对任意给定的正数ε，有 { } lim 1n A n P p n ε→∞ ?<=. 【评注】当充分大时，重贝努利试验中事件n n A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率. 3、辛钦大数定律 设随机变量序列相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望 12,,,n X X X ，()i E X μ=,（） ,则对任意给定的正数1,2,i = ε，有 { } 1 1 lim 1n n i i P X n με→∞ =?<=∑. 三、中心极限定理 1、列维-林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量相互独立且服从相同的分布,具有数学期望12,,,,n X X X ()k E X μ=和方差 2 ()0i D X σ=> (1,2,)i = ,则对任意实数x ，有 2 2 1 lim Φd (n i n t x X n P x t x e →∞ ? ?∞ ?μ≤==???? ??? ∑).

大数定律及其应用

本 科 毕 业 论 文 ( 2013届) 题 目: 大数定律及其应用 学 院: 数学与信息科学学院 专 业: 统计学 班 级: 09统计 姓 名: 学 号: 指导老师: 完成日期: 2013年4月1日

目录 §1、引言 (2) §2、大数定律的发展历程 (3) §3、常见的大数定律及中心极限定理 (4) §3.1常见的大数定律 (4) §3.2常见的中心极限定理 (5) §4、大数定律的应用 (6) §4.1大数定律在数学分析中的应用 (6) §4.1.1 在积分方面的应用 (6) §4.1.2 在极限中的应用 (7) §4.2大数定律在生产生活中的应用 (9) §4.2.1 误差方面的应用 (9) §4.2.2 估计数学期望和方差 (10) §4.3大数定律在经济中的应用 (11) §4.3.1 大数定律在保险业中的应用 (11) §4.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用 (12) §5、结束语 (13) §6、致谢 (14) 参考文献 (14) . .

大数定律及其应用 （温州大学数学与信息科学学院 09统计） 摘要：大数定律顾名思义就是指当样本数据量很大的时候，然后某一变量就会呈现出某种规律性，这一呈现出规律性的变量就是我们经常说的平均值，即当样本数据量很大的时候，平均结果将稳定于某一稳定值。大数定律在概率论中的重要性不言而喻，而且其在数学领域以及经济生活领域也有着非常重要的作用。本文列举了我们在大学阶段经常遇到的一些大数定律和中心极限定理，通过一些具体的例题，介绍了常见的大数定律和中心极限定理在一些重要领域的应用，具体包括在数学分析中求极限和积分，预测误差，近似计算，以及在保险业和银行经营管理方面的应用,进一步阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律；中心极限定理；经济生活；应用 §1、引言 大数定律对于很多人来说都很陌生，即使学过概率论的也说不出个所以然。记得刚学大数定律的时候，觉得这个定理好难理解，书本反复翻了几次还是不懂。感觉这定理没什么作用，理论性这么强，没什么应用价值。直到后来学了中心极限定理，介绍了其大量应用，例如在保险业中的应用，可以说保险业离不开中心极限定理。这才知道自己错了，原来大数定律也有着非常重要的作用，因为中心极限定理正是基于大数定律的基础上而发展出来的定理，没有大数定律作为基础是不会有中心极限定理的。大数定律与中心极限定理是概率论中具有标志性的两类定理，其作用恰如一颗纽带，很好地承接了概率论与数理统计。大数定律所要阐明的是大量随机现象平均结果的稳定性，即当样本量很大的情况下，样本的平均值可以近似看作总体平均值。因为在实际生活中，当我们要考查某一变量，总体数据统计起来往往难度过大甚至不可能，这时我们就需要用到大数定律。我们先统计总体的一个样本量，这个样本量要足够大，一般根据总体而定，然后考查这个样本数据的特征，最后样本数据的结果可以近似看作是总体的结果。例如：我们要考查某一地区居民的月平均消费水平，如果要去统计这一地区所有居民月消费额工作量就会太大，有了大数定律，我们只要抽取足够数量的居民，统计他们的月消费额，最后这一样本量的平均值就可以近似看作这一地区居民平均消费额。这种思想恰恰是概率论中最为重要的思想，而这种思想在数学领域也有着相当重要的作用。对于中心极限定理我们要更为熟悉，它比大数定律论述更为详细具体。中心极限定理主要论述的是其他分布和正态分布之间的某种内在关系，一般对于某一总体，不管其服从什么分布，泊松分布也好，二项分布也好，只要考查的样本数据量足够大，那么样本的均值就近似服从正态分布。

切比雪夫不等式练习题

切比雪夫不等式练习题 第一章 习题一1.4 证由切比雪夫不等式及E|?|?0 P?1?P?1?nE|?|?1 故P?P?limP?1。 n?1n??? 由切比雪夫不等式P?E|?|/n及E|?|??，得 P?P与有相同的n阶自协方差矩阵。故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知，对任给整数k?1，存在非零实向量b?使得 var[Tn?k?1 i?k?{|?|?n})?limP?0。 n?1n????bi?k?1]?0。 不妨假设bn?0，则有对任给整数k?1，Xn?k可由Xk,Xk?1,?,Xn?k?1线性表出。 对m?n?1，Xn可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，Xn?1可由X2,X2,?,Xn线性 表出，故Xn?1可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。 假设对所有n?m?n?k，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。则对 m?n?k?1，由于Xn?k?1可由Xk?1,Xk?2,?,Xn?k线性表出，由假设，Xn?k?1也可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。 根据，，对任何m?n，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，

即存在常数a0,a1,?,an?1，使得Xm?a0??aiXn?i, i?1n?1a.s.。 习题四 .3 解显然服从二维正态分布，且EXt?EXs?0。 记t?12k?l,s?12m?n,其中0?l?11,0?n?11，则Xt???12i?l,Xs???12j?n，这里?0?0。 i?0j?0km 由于{?t}是正态白噪声WN，故 当l?n，即t?s时， ?t,s?cov?0； 当l?n?0，即t?s,t?12k 时， ?t,s?cov?min?2?[min2]?； 12 12),t?12k时，当l?n?0，即t?s?min? 所以 2?]?1)?2。12t,tt,s?~N，其中??T,Σ???????。 ?s,s??t,s?? 第二章 习题二 1X???2. tt?t?1,Xt??t?a?t?1 习题三 3. 提示：当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A?B时，是AR序列。 习题五

12 二维随机变量的数字特征 切比雪夫不等式与大数定律

12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律 一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为 ()() . 1 ,2 2 2++= y x A y x f 求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ． 解: (1) 由 ?? +∞∞-+∞ ∞ -=1),(dxdy y x f . 有 () () ???? ∞+∞-∞ +∞ -∞ +==+=++11 1 20 2 2 2 2 2 A dr r r d A dxdy y x A πθπ 解得, π 1 = A . (2) () 01 1 ),()(2 2 ?? ?? ∞ +∞ -∞ +∞ -∞+∞-∞ +∞ -=++= = dx y x x dy dxdy y x xf X E π. 由对称性, 知 0)(=Y E . ? ? +∞∞-+∞ ∞ -==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(2 2 2() ? ? ∞ +∞ -∞ +∞ -++= dx y x x dy 2 2 2 2 1 1 π () () +∞=++ +=+-+=+= ∞ +∞ +∞ +? ? ? 220 2 2220 2 2 3 ]11)1ln([1 )1(211 r r dr r r r r dr r r d π θπ 同理, 有 +∞=)(Y D . )()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--= ?? +∞∞-+∞ ∞ -= dxdy y x xyf ),( () 01 1 ),(2 2 ?? ? ? ∞ +∞ -∞ +∞ -∞+∞-∞ +∞ -=++= =dx y x x ydy dxdy y x xyf π. 二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为 ?? ?<<<=其它． ,0; 10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？ 解: (1) 因为 ????? = === -∞+∞-∞ +∞ -1 210 3 22),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x 0),(10 ===??? ?-+∞∞-+∞ ∞ -x x ydy dx dxdy y x yf EY 0),()(1 ===???? -+∞∞-+∞ ∞ -x x ydy xdx dxdy y x xyf XY E 所以有 ])3 2 [()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=??+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),( 010 ==??-x x ydy xdx ．