离散数学实验报告 四个实验!!!
《离散数学》
课程设计
学院计算机学院
学生姓名
学号
指导教师
评阅意见
提交日期 2011 年 11 月 25 日
引言
《离散数学》是现代数学的一个重要分支，也是计算机科学与技术，电子信息技术，生物技术等的核心基础课程。它是研究离散量（如整数、有理数、有限字母表等）的数学结构、性质及关系的学问。它一方面充分地描述了计算机科学离散性的特点，为学生进一步学习算法与数据结构、程序设计语言、操作系统、编译原理、电路设计、软件工程与方法学、数据库与信息检索系统、人工智能、网络、计算机图形学等专业课打好数学基础；另一方面，通过学习离散数学课程，学生在获得离散问题建模、离散数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，还可以培养和提高抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为今后爱念族皮及用计算机处理大量的日常事务和科研项目、从事计算机科学和应用打下坚实基础。特别是对于那些从事计算机科学与理论研究的高层次计算机人员来说，离散数学更是必不可少的基础理论工具。
实验一、编程判断一个二元关系的性质（是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性）
一、前言引语：二元关系是离散数学中重要的内容。因为事物之间总是可以
根据需要确定相应的关系。从数学的角度来看，这类联系就是某个集合中元素之间存在的关系。
二、数学原理：自反、对称、传递关系
设A和B都是已知的集合，R是A到B的一个确定的二元关系，那么集合R 就是A×B的一个合于R={(x,y)∈A×B|xRy}的子集合
设R是集合A上的二元关系：
自反关系：对任意的x∈A,都满足
对称关系：对任意的x,y∈A，如果
传递关系：对任意的x,y,z∈A，如果
三、实验原理：通过二元关系与关系矩阵的联系，可以引入N维数组，以数
组的运算来实现二元关系的判断。
图示：
四、实验环境：Windows 7 Ultimate DEV C++
五、实验语言：C 语言
六、程序源代码：
#include"stdio.h"
#define N 4
main()
{
int i,j,k;
int f,e,z;
int M[N][N];
printf("判断R是否为自反关系、对称关系、是否可传递？\n"); printf("请输入一个4*4的矩阵。\n");
for(i=0;i for(j=0;j scanf("%d",&M[i][j]); for(i=0;i { for(j=0;j printf("%4d",M[i][j]); printf("\n"); } for(i=0;i { if(M[i][i]==1)//判断自反性 { if(i=N-1 e=0; else ; else if(M[i][i]==0)//判断反自反性 { if(i=N-1) e=1; else ; } else { e=2; break; } } for(i=0;i { for(j=0;j if(M[i][j]!=M[j][i])//判断对称性 { f=1; break; } } for(i=0;i { for(j=0;j if(M[i][j]==1)//判断反对称性 { if(M[j][i]==0) { if(i==(N-1)&&j==N-1) f=0; else break; } } if(f!=0&&f!=1) { f=2; } for(i=0;i for(j=0;j if(M[i][j]==1) continue; else for(k=0;k if(M[i][k]*M[k][i]==0) continue; else z=0; if(e==0) printf("关系R是自反关系\n"); else if(e==1) printf("关系R是反自反关系\n"); else if(e==2) printf("关系R是反自反关系\n"); if(f==0) printf("关系R是反对称关系\n"); else if(f==1) printf("关系R不是对称关系\n"); else if(f==2) printf("关系R是对称关系\n"); if(z==0) printf("关系R是不可传递关系\n"); else printf("关系R是可传递关系\n"); system("PAUSE"); } 七、程序运行截图： i、程序启动截图： ii、程序输入截图： iii、程序运行结果截图: 八、实验总结：实验简洁高效地判断二元关系的性质。 实验二、编程求一个二元关系的自反闭包、对称闭包、 传递闭包 一、前言引语 一个二元关系可能具有某种性质，也可能不具有这种性质。现在讨论怎样使一个二元关系变成具有指定性质的新关系，并且还要满足最小性条件。 二、数学原理 自反闭包、对称闭包、传递闭包 设R是定义在A上的二元关系，若存在A上的关系R′满足： 1)R′是自反的(或对称的、或可传递的)， 2)R? R′， 3)对A上任何其它满足1）和2）的关系R〞，都有：R′?R〞。 则称R′为R的自反闭包(或对称闭包、或传递闭包)，分别记为r(R)、(s(R)和t(R))。 三、实验原理 Warshall算法的基本思想 对每个结点（从第一列开始），找出所有具有到此结点的有向边的结点（即该列中元素为1的所在行的结点），再将这些结点所在行同该结点所在行进行逻辑加后作为这些结点所在的新行（添加新的有向边）（反映了如果这些结点没有到其它结点的有向边，但有到该结点的有向边，再通过该结点间接到达其它结点，根据传递闭包的定义，这些结点就必然有一条有向边到达其它结点）。 ?设R是集合上的二元关系,Mr是R的关系矩阵 ?(1)置新矩阵A:=Mr ?(2)置(列) j:=1 ?(3) 对所有的i(1≤i≤n) 如A(i,j)=1,则对k=1,2,…,n A(i,k):=A(i,k) A(j,k) ?(即将A的第i行与A的第j行进行逻辑加后送回A的第i行) ?(4)j:=j+1 ?(5)如j≤n转(3),否则停止。 四、实验环境：Windows 7 Ultimate DEV C++ 五、实验编程语言：C语言 六、实验程序源代码 //source file:War.cpp #include void War(int m,int n) { int i,j,k;设置临时变量 int a = 0, b = 0;设置临时变量 int arr[10][10]; for(a = 0; a < m; ++a) { printf("请输入矩阵第%d行元素:",a); for(b = 0; b < n; ++b) { scanf("%d",&arr[a][b]); } printf("\n"); } for(i = 0; i < m; i++) { for( j= 0; j < m; j++) { if(arr[j][i] == 1) { for(k = 0;k < n; k++) { arr[j][k]=arr[i][k] || arr[j][k]; } } } } printf("所得的可传递闭包关系矩阵是：\n"); for(i = 0;i < m; ++i) { for(j = 0;j < n; ++j) { printf("%d ",arr[i][j]); } printf("\n"); } } //file:test.cpp #include void main() { printf("利用Warshall算法求二元关系的可传递闭包\n"); void War(int , int); int m, n; printf("请输入矩阵的行数(必须小于10）："); scanf("%d", &m); printf("请输入矩阵的列数(必须小于10）："); scanf("%d", &n); War(m, n); system ( “PAUSE”); return 0; } 七、实验截图 i.程序启动画面： ii.输入关系矩阵的行数和列数以及关系矩阵的各个元素。 iii.得出结果，并打印在屏幕上。 八、实验总结 如果当一个集合的元素的个数n很大时，求在该集合上的二元关系的可传递闭包是非常复杂的。幸好Warshall算法给我们提供了一个求二元关系的可传递闭包的高效方法。结合计算机程序技术，利用warshall算法我们可以轻松的求出一个二元关系的可传递闭包。本次实验便捷高效地达到了实验的目的。 实验三、编程求一个二元关系的复合运算 一、实验引语：关系作为集合，除了具有一般的运算功能外，还具有自身独特的复合运算。 二、数学原理 设R是集合A到B的二元关系，S是集合B到C的二元关系，则 R。S = ｛（x，z） A C|(y B)[(x，y) R ∧（y，z）S]｝称为R 和S的复合关系。 三、实验原理：矩阵的运算 四、实验环境：Windows 7 Ultimate DEV C++ 五、实验语言：C语言 六、实验程序源代码 #include"stdio.h" #include"string.h" #define M 3 #define N 3 #define P 3 main() { int i,j,k,x; char p; int A[N][M],B[M][P],C[N][P]; printf("关系的复合运算\n"); printf(“请输入一个3*3的矩阵”); printf("A:\n"); for(i=1;i<=N;i++) { for(j=1;j<=M;j++) scanf("%4d",&A[i][j]); printf("\n"); } printf(“请输入一个3*3的矩阵”); printf("B:\n"); for(i=1;i<=M;i++) { for(j=1;j<=P;j++) scanf("%4d",&B[i][j]); printf("\n"); } printf("经过复合运算后得到C:\n"); for(i=1;i<=N;i++) { for(j=1;j<=P;j++) { x=0; for(k=1;k<=M;k++) x=x+A[i][k]*B[k][j]; if(x>0) C[i][j]=1; else C[i][j]=0; printf("%4d",C[i][j]); } printf("\n"); } system("PAUSE"); return 0; } 七、程序运行截图： i、程序启动截图： ii、程序输入截图: iii、程序运行结果截图： 八、实验总结：本实验利用计算机技术，快速便捷地实现了关系的运算，极大提高了效率。 实验四：编程实现拓扑排序算法 一、实验引言 一个复杂的工程通常可以分解成一组小任务的集合，完成这些小任务意味着整个工程的完成,，任务之间具有先后关系，任务的先后顺序可用有向图表示。 二、数学原理：拓扑排序 i）定义：由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。 ii）实现方法： ①从有向图中选择一个没有前驱的顶点并输出它。 ②从网中删去该顶点并删去从该顶点发出的全部有向边。 ③重复上述两步直到剩余的网中不存在没有前驱的顶点。 三、实验原理 首先对有向图，我们采取邻接表作为数据结构。且将表头指针改为头结点，其数据域存放该结点的入度，入度设为零的结点即没有前趋。 在建立邻接表输入之前，表头向量的每个结点的初始状态为数据域VEX（入度）为零，指针域NXET为空，每输入一条弧< J, K > 建立链表的一个结点，同时令k 的入度加1，因此在输入结束时，表头的两个域分别表示顶点的入度和指向链表的第一个结点指针。 在拓扑排序的过程之中，输入入度为零（即没有前趋）的顶点，同时将该顶 点的直接后继的入度减1。 （1）、查邻接表中入度为零的顶点，并进栈。 （2）、当栈为空时，进行拓扑排序。 （a）、退栈，输出栈顶元素V。 （b）、在邻接表中查找Vj的直接后继Vk，将Vk的入度减一，并令入度减至零的顶点进栈。 （3）、若栈空时输出的顶点数不是N个则说明有向回路，否则拓扑排序结束。为建立存放入度为零的顶点的栈，不需要另分配存储单元，即可借入入度为零的数据域。一方面，入度为零的顶点序号即为表头结点的序号，另一方面，借用入度为零的数据域存放带链栈的指针域（下一个入度的顶点号）。 四、实验环境：Windows 7 Ultimate DEV C++ 五、实验语言：C++ 六、程序源代码 #include #include #include #include #include using namespace std; #define MAX 9999 stack int indegree[MAX]; struct node { int adjvex; node* next; }adj[MAX]; int Create(node adj[],int n,int m)//邻接表建表函数，n代表定点数，m代表边数 { int i; node *p; for(i=0;i<=n-1;i++) { adj[i].adjvex=i; adj[i].next=NULL; } for(i=0;i<=m-1;i++) { cout<<"请输入第"< int u,v; cin>>u>>v; p=new node; p->adjvex=v; p->next=adj[u].next; adj[u].next=p; } return 1; } void print(int n)//邻接表打印函数 { int i; node *p; for(i=0;i<=n-1;i++) { p=&adj[i]; while(p!=NULL) { cout< p=p->next; } cout< } } void topsort(node adj[],int n) { int i; node *p; memset(indegree,0,sizeof(indegree)); for(i=0;i<=n-1;i++) { p=adj[i].next; while(p!=NULL) { indegree[p->adjvex]++; p=p->next; } } for(i=0;i<=n-1;i++) { if(indegree[i]==0) mystack.push(i); } int count=0; while(mystack.size()!=0) { i=mystack.top(); mystack.pop(); cout< count++; for(p=adj[i].next;p!=NULL;p=p->next) { int k=p->adjvex; indegree[k]--; if(indegree[k]==0) mystack.push(k); } } cout< if(count } int main() { int n; int m; cout<<"拓扑排序算法"< cout<<"请输入顶点数及边数:"; cin>>n>>m; Create(adj,n,m); cout<<"输入的邻接表为:"< print(n); cout<<"拓扑排序结果为:"< topsort(adj,n); system("pause"); return 0; } 七、程序运行截图 以下图为例： i、程序启动截图 ii、程序输入截图 iii、程序运行结果截图 八、实验总结 通过本次实验掌握拓扑排序的算法，了解拓扑排序的有向图的数据结构。参考文献 1.《离散数学》冯伟森、栾新成、石兵等编著机械工业出版社 2.《C语言程序设计》陈良银、游洪跃、李旭伟等编著清华大学出版社 3.《C++：面向对象程序设计》李涛、游洪跃等编高等教育出版社 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式 《离散数学》实验报告专业网络工程 班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一六年十二月 目录 实验一联结词的运算 实验二根据矩阵的乘法求复合关系 实验三利用warshall算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现 实验一联结词的运算 一.实验目的 通过上机实验操作,将命题连接词运算融入到C语言的程序编写中,一方面加强对命题连接词运算的理解,另一方面通过编程实现命题连接词运算,帮助学生复习与锻炼C语言知识,将理论知识与实际操作结合,让学生更加容易理解与记忆命题连接词运算。 二.实验原理 (1) 非运算, 符号:? ,当P=T时 ,?P为F, 当P=F时 ,?P为T 。 (2) 合取, 符号: ∧ , 当且仅当P与Q的真值同为真,命题P∧Q的真值才为真;否则,P∧Q的真值为假。 (3) 析取, 符号: ∨ , 当且仅当P与Q的真值同为假,命题P∨Q的真值才为假;否则,P∨Q的真值为真。 (4) 异或, 符号: ▽ , 当且仅当P与Q的真值不同时,命题P▽Q的真值才为真;否则,P▽Q的真值为真。 (5) 蕴涵, 符号: →, 当且仅当P为T,Q为F时,命题P→Q的真值才为假;否则,P→Q 的真值为真。 (6) 等价, 符号: ? , 当且仅当P,Q的真值不同时,命题P?Q的真值才为假;否 则,P→Q的真值为真。 三.实验内容 编写一个程序实现非运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。四．算法程序 #include 离散数学实验报告（实验ABC） 专业班级 学生姓名 学生学号 指导老师 完成时间 目录 第一章实验概述..................................... 错误!未定义书签。 实验目的....................................... 错误!未定义书签。 实验内容....................................... 错误!未定义书签。 实验环境....................................... 错误!未定义书签。第二章实验原理和实现过程........................... 错误!未定义书签。 实验原理....................................... 错误!未定义书签。 建立图的邻接矩阵，判断图是否连通 ............ 错误!未定义书签。 计算任意两个结点间的距离 ................... 错误!未定义书签。 对不连通的图输出其各个连通支 ................ 错误!未定义书签。 实验过程（算法描述）........................... 错误!未定义书签。 程序整体思路 ............................... 错误!未定义书签。 具体算法流程 ................................ 错误!未定义书签。第三章实验数据及结果分析........................... 错误!未定义书签。 建立图的邻接矩阵并判断图是否连通的功能测试及结果分析错误!未定义书签。 输入无向图的边 .............................. 错误!未定义书签。 建立图的连接矩阵 ............................ 错误!未定义书签。 其他功能的功能测试和结果分析................... 错误!未定义书签。 计算节点间的距离 ............................ 错误!未定义书签。 判断图的连通性 .............................. 错误!未定义书签。 输出图的连通支 .............................. 错误!未定义书签。 退出系统 .................................... 错误!未定义书签。第四章实验收获和心得体会........................... 错误!未定义书签。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1或T ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如 果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 （P ∨Q ）→R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧?R) ． 4．设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ?x(P(x) ∧Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) ∨A(b)) ∨((B(a) ∧B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 大于3”，则谓词公式(?x )A (x ) 的真值为 0(F) ． 7．谓词命题公式(?x )((A (x )∧B (x )) ∨C (y ))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x )(P (x ) →Q (x ) ∨R (x ，y ))中的约束变元为 x ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 设P ：今天是晴天。 姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书 面作业 本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别就是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上就是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的就是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业就是第三次作业,大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”与“交卷”按钮,以便教师评分。 一、填空题 1.命题公式()P Q P →∨的真值就是 T 或1 . 2.设P :她生病了,Q :她出差了.R :我同意她不参加学习、 则命题“如果她生病或出差了,我就同意她不参加学习”符号化的结果为 (P ∨Q)→R . 3.含有三个命题变项P ,Q ,R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式就是 )()(R Q P R Q P ?∧∧∨∧∧ . 4.设P (x ):x 就是人,Q (x ):x 去上课,则命题“有人去上课.” 可符号化为 ))()((x Q x P x ∧? . 5.设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 ))()(())()((b B a B b A a A ∧∨∨ . 6.设个体域D ＝{1, 2, 3},A (x )为“x 大于3”,则谓词公式(?x )A (x ) 的真值为 F 或0 . 7.谓词命题公式(?x )((A (x )∧B (x )) ∨C (y ))中的自由变元为 y . 8.谓词命题公式(?x )(P (x ) →Q (x ) ∨R (x ,y ))中的约束变元为 x . 三、公式翻译题 1.请将语句“今天就是天晴”翻译成命题公式. P 。，P 则今天是天晴设答:: 2.请将语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式. Q 。P ；，Q P ∧则小李去旅游小王去旅游设答::: 3.请将语句“如果明天天下雪,那么我就去滑雪”翻译成命题公式. Q 。P ；，Q P →则我去滑雪明天下雪设答;:: 4.请将语句“她去旅游,仅当她有时间.”翻译成命题公式. 《离散数学》 课程设计 学院计算机学院 学生姓名 学号 指导教师 评阅意见 提交日期 2011 年 11 月 25 日 引言 《离散数学》是现代数学的一个重要分支，也是计算机科学与技术，电子信息技术，生物技术等的核心基础课程。它是研究离散量（如整数、有理数、有限字母表等）的数学结构、性质及关系的学问。它一方面充分地描述了计算机科学离散性的特点，为学生进一步学习算法与数据结构、程序设计语言、操作系统、编译原理、电路设计、软件工程与方法学、数据库与信息检索系统、人工智能、网络、计算机图形学等专业课打好数学基础；另一方面，通过学习离散数学课程，学生在获得离散问题建模、离散数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，还可以培养和提高抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为今后爱念族皮及用计算机处理大量的日常事务和科研项目、从事计算机科学和应用打下坚实基础。特别是对于那些从事计算机科学与理论研究的高层次计算机人员来说，离散数学更是必不可少的基础理论工具。 实验一、编程判断一个二元关系的性质（是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性） 一、前言引语：二元关系是离散数学中重要的内容。因为事物之间总是可以根据需要确定相应的关系。从数学的角度来看，这类联系就是某个集合中元素之 间存在的关系。 二、数学原理：自反、对称、传递关系 设A和B都是已知的集合，R是A到B的一个确定的二元关系，那么集合R 就是A×B的一个合于{()∈A×}的子集合 设R是集合A上的二元关系： 自反关系：对任意的x∈A,都满足<>∈R，则称R是自反的，或称R具有自反性，即R在A上是自反的?(?x)((x∈A)→(<>∈R))=1 对称关系：对任意的∈A，如果<>∈R，那么<>∈R，则称关系R是对称的，或称R具有对称性，即R在A上是对称的? (?x)(?y)((x∈A)∧(y∈A)∧(<>∈R)→(<>∈R))=1 传递关系：对任意的∈A，如果<>∈R且<>∈R，那么<>∈R，则称关系R是传递的，或称R具有传递性，即R在A上是传递的? (?x)(?y)(?z)[(x∈A)∧(y∈A)∧(z ∈A)∧((<>∈R)∧(<>∈R)→(<>∈R))]=1 三、实验原理：通过二元关系与关系矩阵的联系，可以引入N维数组，以数组的运算来实现二元关系的判断。 图示： 离散数学作业答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 离散数学集合论部分形成性考核书面作 业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数 理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题 目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识 点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地 完成集合论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答 过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界 面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)- A B P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A? B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ． 4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} ∈ y x∈ y < > = {B , , x , 2 y A x 那么R－1＝{<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={ 《离散数学》实验报告 专业网络工程 班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一六年十二月 目录 实验一联结词的运算 实验二根据矩阵的乘法求复合关系 实验三利用warshall算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现 实验一联结词的运算 一．实验目的 通过上机实验操作，将命题连接词运算融入到C语言的程序编写中，一方面加强对命题连接词运算的理解，另一方面通过编程实现命题连接词运算，帮助学生复习和锻炼C语言知识，将理论知识与实际操作结合，让学生更加容易理解和记忆命题连接词运算。二．实验原理 (1) 非运算, 符号: ,当P=T时，P为F, 当P=F时，P为T 。 (2) 合取, 符号: ∧ , 当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。 (3) 析取, 符号: ∨ , 当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；否则，P∨Q的真值为真。 (4) 异或, 符号: ▽ , 当且仅当P和Q的真值不同时，命题P▽Q的真值才为真；否则，P▽Q的真值为真。 (5) 蕴涵, 符号: →, 当且仅当P为T,Q为F时，命题P→Q的真值才为假；否则，P→Q 的真值为真。 (6) 等价, 符号: ?, 当且仅当P,Q的真值不同时，命题P?Q的真值才为假；否则，P→Q的真值为真。 三．实验内容 编写一个程序实现非运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。四．算法程序 #include 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 大连民族学院 计算机科学与工程学院实验报告 实验题目：判断关系的性质 课程名称：离散数学 实验类型：□演示性□验证性□操作性□设计性□综合性 专业：班级：学生姓名：学号： 实验日期：年月日实验地点： 实验学时：实验成绩： 指导教师签字：年月日 实验报告正文部分（具体要求详见实验报告格式要求） 实验报告格式 [实验题目] 判断关系的性质 [实验目的] 使学生掌握利用计算机语言实现判断关系性质的基本方法。[实验环境] Microsoft Visual C++6.0 [实验原理] 实验内容与要求：对给定表示有穷集上关系的矩阵，确定这个关系是否是自反的或反自反的；对称的或反对称的；是否传递的。 通过二元关系与关系矩阵的联系，可以引入N维数组，以数组的运算来实现二元关系的判断。 图示： 程序源代码： #include scanf("%d",&M[i][j]); for(i=0;i 离散数学实验报告 姓名： 学号： 班级： 实验地点： 实验时间： 1 实验目的和要求 运用最小生成树思想和求最小生成树程序解决实际问题。实际问题描述如下： 八口海上油井相互间距离如下表，其中1号井离海岸最近，为5km 。问从海岸经1号井铺设油管把各井连接起来，怎样连油管长度最短（为便于检修，油管只准在油井处分叉）？ 2 实验环境和工具 实验环境：Windows 7 旗舰版 工具：Dev-C++ 5.8.3 3 实验过程 3.1 算法流程图 3.2程序核心代码 //油管铺设问题Prim算法实现 #include /*输出邻接矩阵g*/ void DispMat(MGraph g){ int i,j; for (i=0;i 2011-2012学年第一学期离散数学作业及参考答案---信息安全10级5-1 1.利用素因子分解法求2545与360的最大公约数。 解：掌握两点：(1) 如何进行素因子分解 从最小素数2的素数去除n。 (2) 求最大公约数的方法 gcd(a,b) = p1min(a1,b1)p2min(a2,b2)pn min(an,bn) 360=2332515090 2545=2030515091 gcd(2545,360) =2030515090=5 2.求487与468的最小公倍数。 解：掌握两点：(1) 如何进行素因子分解 从最小素数2的素数去除n。 (2) 求最小公倍数的方法 lcm(a,b) = p1max(a1,b1)p2max(a2,b2)pn max(an,bn) ab=gcd(a, b)﹡lcm (a, b) 487是质数，因此gcd(487,468)=1 lcm(487,468)= (487*468)/1=487*468=227916 3.设n是正整数，证明：6|n(n+1)(2n+1) 证明：用数学归纳法： 归纳基础：当n=1时，n(n+1)(2n+1)=1*2*3=6，6|6 归纳假设：假设当n=m时，6|m(m+1)(2m+1) 归纳推导：当n=m+1时， n(n+1)(2n+1)=(m+1)(m+1+1)[2(m+1)+1] =(m+1)(m+2)(2m+3) = m(m+1)(2m+3)+2(m+1)(2m+3) = m(m+1)(2m+1+2)+2(m+1)(2m+3) = m(m+1)(2m+1)+2 m(m+1)+ 2(m+1)(2m+3) = m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(m+2m+3) = m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(3m+3) = m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2 因为由假设6|m(m+1)(2m+1)成立。 而6|6(m+1)2 所以6|m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2 故当n=m+1时，命题亦成立。 所以6| n(n + 1)(2n + 1) 5-2 1 已知 6x ≡7 (mod 23),下列式子成立的是( D ): A. x ≡7 (mod 23) B. x ≡8 (mod 23) C. x ≡6 (mod 23) D. x ≡5 (mod 23) 2 如果a ≡b (mod m) , c是任意整数，则（A ）： 《离散数学》实验报告 专业 班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一六年十二月 目录 实验一联结词的运算 实验二根据矩阵的乘法求复合关系实验三利用算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现 实验一联结词的运算 一．实验目的 通过上机实验操作，将命题连接词运算融入到C语言的程序编写中，一方面加强对命题连接词运算的理解，另一方面通过编程实现命题连接词运算，帮助学生复习和锻炼C语言知识，将理论知识与实际操作结合，让学生更加容易理解和记忆命题连接词运算。二．实验原理 (1) 非运算, 符号: ,当时，P为F, 当时，P为T 。 (2) 合取, 符号: ∧ , 当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。 (3) 析取, 符号: ∨ , 当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；否则，P∨Q的真值为真。 (4) 异或, 符号: ▽ , 当且仅当P和Q的真值不同时，命题P▽Q的真值才为真；否则，P▽Q的真值为真。 (5) 蕴涵, 符号: → , 当且仅当P为为F时，命题P→Q的真值才为假；否则，P→Q 的真值为真。 (6) 等价, 符号: ?, 当且仅当的真值不同时，命题P?Q的真值才为假；否则，P→Q 的真值为真。 三．实验内容 编写一个程序实现非运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。四．算法程序 <> () { ; ("请选择运算方式\n"); ("1.析取\n"); ("2.合取\n"); ("3.非\n"); ("4.蕴含\n"); ("5.等价\n"); m; (""); ( m>=1 m<=4 ) { ("请输入P Q的值\n"); (" " ); = 1; (m) { 1( ( >= 1)( < 4 ) ) { (0 0) ("P 析取Q = 0\n"); ("P 析取Q = 1\n"); ; (4) ; ("请输入P Q的值\n"); (" " ); } ; 2( ( >= 0)( < 4 ) ) { (1 1) ("P 合取Q = 1\n"); ("P 合取Q = 0\n"); ; (4) ; ("请输入P Q的值\n"); (" " ); } ; 3( ( >= 0)( < 4 ) ) { (0) ("非Q = 1\n"); ("非Q = 0\n"); 离散数学作业 一、选择题 1、下列语句中哪个是真命题（C ）。 A ．我正在说谎。 B ．如果1+2=3，那么雪是黑色的。 C ．如果1+2=5，那么雪是白色的。 D ．严禁吸烟！ 2、设命题公式))((r q p p G →∧→=，则G 是（ C ）。 A. 恒假的 B. 恒真的 C. 可满足的 D. 析取范式 3、谓词公式),,(),,(z y x yG x z y x F ??→中的变元x （ C ）。 A ．是自由变元但不是约束变元 B ．既不是自由变元又不是约束变元 C ．既是自由变元又是约束变元 D ．是约束变元但不是自由变元 4、设A={1，2，3}，则下列关系R 不是等价关系的是（C ） A ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>} B ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<2，3>，<3，2>} C ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，4>} D ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，2>，<1，3>，<2，3>，<2，1>， <3，1>，<3，2>} 5、设R 为实数集，映射 =R R ， （x ）= -x 2+2x-1，则 是（ D ）。 A ．单射而非满射 B ．满射而非单射 C ．双射 D ．既不是单射，也不是满射 6、下列二元运算在所给的集合上不封闭的是（ D ） A. S={2x-1|x ∈Z +}，S 关于普通的乘法运算 B. S={0，1}，S 关于普通的乘法运算 C. 整数集合Z 和普通的减法运算 D. S={x | x=2n ，n ∈Z +}，S 关于普通的加法运算 7、*运算如下表所示，哪个能使（{a,b}，*）成为含幺元半群（ D ） b a b b a a b a * b b b a a a b a * a a b a a a b a * a b b b a a b a * A B C D 8、下列图中是欧拉图的是（ A ）。 1.【实验目的】 对称： 通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为对称关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法 自反： 通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为自反关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法。 2.【实验内容】 已知关系R 由关系矩阵M 给出，要求判断由M 表示的这个关系是否为对称关 系。假定R 的关系矩阵为：?????? ? ??=1234210330124321M 3.【实验要求】 C 语言编程实现 4.【算法描述】 对称： 从给定的关系矩阵来判断关系R 是否为对称是很容易的。若M （R 的关系矩阵）为对称矩阵，则R 是对称关系；若M 为反对称矩阵，则R 是反对称关系。因为R 为对称的是等价关系的必要条件，所以，本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。 算法实现： （1） 输入关系矩阵M （M 为n 阶方阵）； （2） 判断对称性，对于i=2，3，….，n ；j=1，2,……，i-1，若存在m ij =m ji ， 则R 是对称的； （3） 判断反对称性； （4） 判断既是对称的又是反对称的； （5） 判断既不是对称的又不是反对称的； （6） 输出判断结果。 自反： 从给定的关系矩阵来断判关系R是否为自反是很容易的。若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为1，则R是自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为0，则R是反自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素既有1又有0，则R既不是自反关系也不是反自反关系。本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。 算法实现 （1）输入关系矩阵M（M为n阶方阵）。 （2）判断自反性，对于i=1，2，….，n；若存在m =0，则R不是自反 ii =1，则R是自反的；否则R既不是自反关系也不是的；若存在m ii 反自反关系。 （3）输出判断结果。 源代码 #include 《离散数学》 实验报告 题目 专业 学号 姓名 指导教师 提交日期 实验一五种连结词的逻辑运算 一.实验目的 用C语言实现两个命题变元的合取、析取、蕴涵和等价表达式的计算。熟悉连接词逻辑运算规则，利用程序语言实现逻辑这几种逻辑运算。 二.实验内容 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，求它们的合取、析取、蕴涵和等价四种运算的的真值。要求对输入内容进行分析，如果不符合0、1条件需要重新输入，程序有良好的输入输出界面。 三. 实验过程 1. 算法分析： 编程语言为c语言 合取/\：p，q都为1的时候为1，其他为0 析取\/：p，q都为0的时候为0，其他为1 蕴含->：p为1，q为0时为0，其他为1 等价<->：p，q同真同假 流程图 2. 程序代码： #include do{ printf("请输入q的值(0或1)"); scanf("%d",&q); if(q!=0&&q!=1) printf("输入有误"); }while(q!=0&&q!=1); do{ printf("请选择要进行的操作\n"); printf("1:合取\n2:析取\n3:蕴含\n4:等价\n"); scanf("%d",&i); switch(i){ case 1:{ if(p&&q) printf("合取运算：p/\q=1\n"); else printf("合取运算：p/\q=0\n"); break; } case 2:{ if(p||q) printf("析取运算：p\/q=1\n"); else printf("析取运算：p\/q=0\n"); break; } case 3:{ if(p&&!q) printf("蕴含：p->q=0\n"); else printf("蕴含：p->q=1\n"); break;} case 4:{ if((p&&q)||(!p&&!q)) printf("等价运算：p<->q=1\n"); else printf("等价运算：p<->q=0\n"); break; } }printf("是否继续运算1\\0\n"); scanf("%d",&t); }while(t); return 0; } 实验一命题逻辑公式化简 【实验目的】加深对五个基本联结词（否定、合取、析取、条件、双条件）的理解、掌握利用基本等价公式化简公式的方法。 【实验内容】用化简命题逻辑公式的方法设计一个表决开关电路。 实验用例：用化简命题逻辑公式的方法设计一个5人表决开关电路，要求3人以上（含3人）同意则表决通过（表决开关亮）。 【实验原理和方法】 （1）写出5人表决开关电路真值表，从真值表得出5人表决开关电路的主合取公式（或主析取公式），将公式化简成尽可能含五个基本联结词最少的等价公式。 （2）上面公式中的每一个联结词是一个开关元件，将它们定义成C语言中的函数。 （3）输入5人表决值（0或1），调用上面定义的函数，将5人表决开关电路真值表的等价公式写成一个函数表达式。 （4）输出函数表达式的结果，如果是1，则表明表决通过，否则表决不通过。 参考代码： #include 离散数学实验报告 题目：判断关系R是否为对称关系院系： 班级： 姓名： 学号： 【实验目的】 学会用编程实现判断关系是否为对称关系，反对称关系，既对称又反对称，既不对称又不反对称。 【实验内容】 编写C++程序,实现对关系矩阵R是否为对称关系、反对称关系、既是对称关系又是反对称关系、既不是对称关系又不是反对称关系的判断，并输出结果。关系矩阵R的内容参照离散数学书 p54-【例2-28】【例2-29】【例2-30】. 增加内容：根据实际程序编写情况,完成对关系矩阵R是否为传递关系的判断.（不包含于报告中） 【实验原理】 对称性：设R含于A×A，对于任意x，y∈A，如果（x,y）∈R，那么有（y，x）∈R。 反对称性：设R含于A×A，对于任意x，y∈A，若x≠y，如果（x,y）∈R 与（y，x）∈R不能同时成立。 Ia(恒等关系）中的元素不影响对称性与反对称性。 【程序代码】 #include { if(i!=j) { if(a[i][j]==1&&a[j][i]==1) x++; if(a[i][j]==1&&a[j][i]!=1) y++; } else { if(a[i][j]==1) z++; } } } if(x!=0&&y==0) printf("关系矩阵为对称关系\n"); if(y!=0&&x==0) printf("关系矩阵为反对称关系\n"); if(z!=0&&x==0&&y==0) printf("关系矩阵既为对称关系也为反对称关系："); if(x&&y) printf("关系矩阵既不是对称关系也不是反对称关系："); return 0; } 【实验结果】 【实验心得】 此次实验让我深刻的体会到离散数学关系性质的相关内容也让我深刻地体会到关 一、实验目的：掌握图的存储表示和以及图的最小生成树算法。 二、实验内容： 1.实现图的存储，并且读入图的内容。 2.利用克鲁斯卡尔算法求网络的最小生成树。 3.实现构造生成树过程中的连通分量抽象数据类型。 4.以文本形式输出对应图的最小生成树各条边及权值。 三、实验要求： 1．在上机前写出全部源程序； 2．能在机器上正确运行程序； 3．用户界面友好。 需求分析： 1、利用克鲁斯卡尔算法求网的最小生成树； 2、以用户指定的结点为起点,分别输出每种遍历下的结点访问序列； 3、输入为存在边的顶点对，以及它们之间的权值；输出为所得到的邻接矩 阵以及按权排序后的边和最后得到的最小生成树； 克鲁斯卡尔算法：假设WN=(V,{E}) 是一个含有n 个顶点的连通网，按照构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n 个顶点，而边集为空的子图，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。 测试数据： 自行指定图进行运算 四、详细设计 源程序 #include 《离散数学》实验报告 姓名： 学号： 班级： 实验一连结词逻辑运算 一.实验目的 实现二元合取、析取、蕴涵和等价表达式的计算。熟悉连接词逻辑运算规则，利用程序语言实现逻辑这几种逻辑运算。 二.实验内容 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，求它们的合取、析取、蕴涵和等价四种运算的真值。要求对输入内容进行分析，如果不符合0、1条件需要重新输入，程序有良好的输入输出界面。 三.实验环境 使用Microsoft Visual C++6.0为编程软件，采用称C/C++语言为编程语言实现。 四.实验过程 1.算法分析: 合取：p，q都为1的时候为1，其他为0 析取：p，q都为0的时候为0，其他为1 蕴含：p为1，q为0时为0，其他为1 等价：p，q同真同假 2.程序代码: #include p=1; else p=0; printf("\t%d",p); } } printf("\n 非Q的值"); for(P=0;P<2;P++) { for(Q=0;Q<2;Q++) { if(Q==1)/*判断非Q的值*/ q=0; else q=1; printf("\t%d",q); } } printf("\n P与Q的值"); for(P=0;P<2;P++) { for(Q=0;Q<2;Q++) { if(Q==0||P==0)/*判断P与Q的值*/ a=0; else a=1; printf("\t%d",a); } } printf("\n P或Q的值"); for(P=0;P<2;P++) { for(Q=0;Q<2;Q++) { if(Q==1||P==1)/*判断P或Q的值*/ b=1; else b=0; printf("\t%d",b); } } printf("\nP蕴含Q的值"); for(P=0;P<2;P++)(完整版)离散数学作业答案一
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