王天泽线性代数习题答案1
习题1参考答案
（A ）
1.计算下列行列式
（1）0；（2）0；（3）66223+-x x ；（4）0；（5）!)
1(1
n n +-；
（6）12
22+++z y x ； （7）)(23
3
y x +-；（8）))((32324141b b a a b b a a --；（9）!2)!1(! -n n 3.5=t ；
4．（1）4；（2）-17；
5.（1）1,3,2321-=-==x x x ；（2）1,2,2,14321-====x x x x ；
6.2≠k ；
7.01462
=++-b a a ；
8.2,5,0,73210=-===a a a a ；
习题2参考答案
（A ）
1.（1）O ；（2）4；（3）56
2
-；（4）????
?
??
?
??
-1233
321
23121131n ；（5）A A n 2-；（6）)(E A +-；
（7）O ；（8）?????
??
? ??
-
20
00121
0211；（9）???? ??**
B A ；（10）0；（11）??
????
?
??---
21010100021； （12）???
? ?
?-----11
11
B CA B O A ；（13）)2(31E A +；)6(211E A +-；（14）n -11
； 2.????? ??--71422112207410
，????
? ??-348306324； 3.（1）???
?
??a b a 0，其中b a ,为任意数。
（2）???
?
? ??a b a c b a ，其中c b a ,,为任意数。 4.4=T
αβ，???
? ??--=6432βαT
，()
???
?
??--=6432499
100
β
αT
。
5.证明：（1）因为()
T T T
T T
T AA A A
AA ==)(，所以T AA 为对称矩阵。
（2）将矩阵A 按行分块，记????
??
? ??=n A ααα 21，其中i α为矩阵的第i 行，则
O AA T n n T
n T n T
n T
T T n T T T
=??
??
??
?
??=αααααααααααααααααα
2
1
22
21212
111，
所以，n i T
i i ,,2,1,0
==αα，
即)0,,0,0( =i α， 所以，O A =。
6.证明：（充分条件）因为,,,BA AB B B A A T
T
===所以
AB BA A B AB T T T ===)(，
所以，AB 为对称矩阵。
（必要条件）因为(),,,AB AB B B A A T
T
T
===所以，
()BA A B AB AB T
T
T
===。
8.O A f =)(
9.（1）????
??-=?
??
?
??--132410143211
， （2）??????
?
?
?
----2121
110321211
，（3）?
??
?
? ??----113214124。 10.证明：设E a A a A
a A a A f n n n
n 011
1)(++++=-- ，因为1-=PBP A
所以，(
)
11111-----===P PB PBP P PBP PBP PBP
A k k
k
()
1
101111
011111)()(---------=++++=++++=P B Pf P E a A a B a B a P PP a PBP a P PB a P PB a A f n n n n n n n n
11.解：
???? ??-=??????
??--???? ??--=?
????? ??--???? ?????? ??--=???? ??-=-68468327322731313
13431
2121313
13431
200111412001111311111
11P P A
12.（1）????
??
?
?????????
?
?--???????
?
?---000
00100001
0000
1,00006100901
050
01,000061003210
21
1
1
， （2）???
?
?
??????? ??--????? ??---000000100001,000022101501,000022103121，
（3）??
?
?
?
?
?
?????????
??---???????
??---0000
00000
00001
00000
1,
000000000
02210
032
01
1,
00000000002210
034311。
13．（1）2； （2）3； （3）2.
16．（1）?
??? ??--4332
； （2）????? ??---965311； （3）?
???
?
??----201431012； （4）?
???
? ??--110213； （5）???
??
??100210521。 17.1,5==μλ
习题3参考答案
（A ）
1.（1）)18,10,2,10(--；（2）3
4；（3）a b 2=；（4）相关；（5）????
?
?
? ????????? ????????? ??0300,0001,0020；
（6）???
?? ??????? ??110,101；（7）?????? ??-3134313
5；（8）?????
?
??-4543；（9）0,1,2==-=r q p ； （10）0))()((=---b c a c a b ；（11）????
??
?
??111 ；（12）0,0,0≠≠≠c b a 。
2.（1）线性相关；（2）线性无关。
3．证明：因为βαβα++21,线性相关，所以存在不全为零的数21,k k ，使得
0)()(2211=+++βαβαk k ，
即 0)(221121=+++ααβk k k k ，
假设021=+k k ，则上式为02211=+ααk k ，因为21,k k 不全为零，所以
21,αα线性相关与已知21,αα线性无关矛盾，所以021≠+k k ，
从而，22
12
1211ααβk k k k k k +-+-=
，
即，向量β可以用21,αα线性表示。
4.不一定线性相关。例如：????
??=???? ??=???? ??--=???? ??=02,01,11,112121ββαα 。
6.证明：
（充分条件）因为11αβ=，212ααβ+=，…, s s αααβ+++= 21，所以，
11βα=，122ββα-=，233ββα-=，…，1--=s s s ββα，
构造以s x x x ,,,21 为未知元的齐次线性方程组
02211=+++s s x x x ααα ，
即
()()0112211=-++-+-s s s x x x βββββ ，
整理，得
0)()()(11232121=+-++-+---s s s s s x x x x x x x ββββ ， 因为s βββ,,,21 线性无关，所以，
?????
????==-=-=--0
0013221s s
s x x x x x x x
解上述方程组得，021====s x x x ，即02211=+++s s x x x ααα 只有
零解，从而s ααα,,,21 线性无关。
（必要条件）构造以s x x x ,,,21 为未知元的齐次线性方程组
02211=+++s s x x x βββ ，
因为11αβ=，212ααβ+=，…, s s αααβ+++= 21，所以，
0)()(2121211=+++++++s s x x x αααααα ，
即0)()(22121=++++++++s s s s x x x x x x ααα ， 因为s ααα,,,21 线性无关，所以
???????==++=+++0
00
221s s
s x x x x x x
解得：021====s x x x ，即02211=+++s s x x x βββ 只有零解， 所以，s βββ,,,21 线性无关。 7.解：构造以321,,x x x 为未知元的齐次线性方程组
0332211=++βββx x x ，
即0)()()(133322211=+++++ααααααb a x b a x b a x ， 整理，得0)()()(332221131=+++++αααax bx ax bx bx ax ， 因为321,,ααα线性无关，所以
???
??=+=+=+0
0032
2131ax bx ax bx bx ax ， 若321,,βββ线性无关，则上述方程组只有零解，由Cramer 法则，
000033≠+=b a a
b a b b
a 。
8.证明：因为任意一个n 维向量都可以由n 维基本单位向量线性表示，
所以向量组n ααα,,,21 可以由n 维基本单位向量组线性表示， 又由已知n 维基本单位向量可以由向量组n ααα,,,21 线性表示， 所以n 维基本单位向量组与向量组n ααα,,,21 等价， 所以，这两个向量组等价，
所以，向量组n ααα,,,21 线性无关。
9.（1）3=r ，321,,ααα为其极大无关组； （2）2=r ，21,αα为其极大无关组。
10.(1)??
?
?
?
?
?
?
?-????→????????
?
?---0000011100
13010
01
00114011313021512012
2
11-经初等行变换,则
????
??
?
????????? ????????? ??0312,1021,1201为矩阵列向量组的最大无关组，且
??????
? ??-??????? ??+??????? ??=??????? ??-03121021312014152， ????
??
? ??+??????? ??-=??????? ??--0312********。 （2）??
?
?
?
?
?
?
????→????????
?
?000001000001100
01021
112211134201221
10121-初等行变换，则
????
???
????????? ????????? ??11012321,1211，，
为矩阵列向量组的最大无关组，且 ??????? ??=??????? ??121122422，????
??
? ??+??????? ??=??????? ??2321,12111110-。
11.10
39
,2131=
=
b a 。 12.证明：不防设n ααα,,,21 ，n βββ,,,21 为列向量，记
),,,(),,,,(2121n n B A βββααα ==， 则，????
??
?
??=011101110
A B , 记K =????
??
?
??011101110
，因为0)1()1(1≠--=-n K n ，即K 可逆， 所以1
-=BK A ，所以向量组n βββ,,,21 与向量组n ααα,,,21 等价。
13.（1）??????? ??+??????? ??-=104100143421c c x ，基础解系：??????
? ??=??
??
???
??-=10410,0143421ξξ，
（2）???????? ??-+???????? ??=1019719101191419221c c x ，基础解系：????
???? ??-=???????? ??10197191,01191419221ξξ。
14．??????
?
??-+??????? ??-=201380111c x ； （2）?
?????? ??-+????????
??-+???????
? ??--=002110212101717921c c x 15.（1）（i ）当021,1=--++≠≠abc c b a a b 且时，方程组无解； （ii ）当02,1≠--++≠abc c b a b 时，方程组有唯一解； （iii ）当01,1,1=--+=≠bc c b a b 时，方程组有无穷多解； （iv ）当1,1,1≠≠=c a b 时，方程组有唯一解； （v ）当1,1==c b ，a 为任意数时，方程组有无穷多解。 （2）（i ）当21-≠≠λλ且时，方程组有唯一解；
（ii ）当2-=λ时，方程组无解；
（iii ）当1=λ时，方程组有无穷多解，且其解为
???
?
? ??+????? ??-+????? ??-=00110101121c c x 。
16.当2-=λ时，方程组有无穷多解，且其解为
????
? ??+????? ??=001111c x 。
17.证明：构造以t x x x ,,,10 为未知元的齐次线性方程组
0)()(110=+++++t t x x x ηξηξξ ， （1）
即
0)(1110=++++++t t t x x x x x ηηξ . （2）
对（1）式两端同时在左边乘A ，可得
0)(10=++ξA x x x t ， 因为0≠ξA ，所以，
010=++t x x x ， （3）
将（3）式代入（2）式可得
011=++t t x x ηη ，
因为t ηη,,1 线性无关，所以01===t x x ，代入（3）式，可得00=x ，从而 齐次线性方程组0)()(110=+++++t t x x x ηξηξξ 只有零解，所以
t ηξηξξ++,,,1 线性无关。
18.证明：首先，由齐次线性方程组解的性质，可得：
133221,,ηηηηηη+++是齐次线性方程组0=Ax 的解。 其次，133221,,ηηηηηη+++与321,,ηηη等价
所以，133221,,ηηηηηη+++也是方程组0=Ax 的基础解系。 19.（1）证明：构造以1x ，2x 为未知元的齐次线性方程组 02211=+ηηx x ， 两端同时左乘A ，可得：
0)(21=+b x x ，
所以21x x -=，从而()0211=-ηηx ，又因为21ηη≠，所以01=x ， 则021==x x ，即02211=+ηηx x 只有零解，从而21,ηη线性无关。 （2）证明：
20.（1）当4-≠a 时，β可以由321,,ααα唯一线性表示； （2）当2,4≠--=c b a 时，β不可以由321,,ααα线性表示；
（3）当2,4=--=c b a 时，β可以由321,,ααα线性表示，但表示式不唯一。
23.,111032121????? ??=P η在基321,,e e e 下的坐标为?
???
? ??321，在基321,,ααα下的坐标为????? ??-023.
习题4参考答案
（A ）
1.填空题
（1）-1,3,6； （2）18； （3）1，-2,0；0；2；-1； （4）02=+s t ；
（5）0,1==-=c b a ； （6）1,1,0； （7）???
?
? ??111，5.
2.解：因为A 的每行元素之和为6，所以有???
?
? ??=????? ??1116111A ，从而6是A 的一个特征值。
3. 解：（1）因为)4)(2(3
1
1
3
)(--=----=
-=λλλλλλA E f ，
所以A 有两个不同的特征值4,221==λλ.
对21=λ，求解线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系为：???
?
??-11，
因此，A 的对应于特征值21=λ的特征向量为0,1111≠???
?
??-k k 为任意实数. 对42=λ，求解线性方程组0)4(=-x A E ，得其基础解系为：???
?
??11，
因此，A 的对应于特征值42=λ的特征向量为0,1122≠???
?
??k k 为任意实数.
（2）因为2)1)(2(2
1
3
4011
)(--=----+=
-=λλλλλλλA E f ， 所以A 的特
征值为1,2321===λλλ.
对21=λ，求解线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系为：???
? ?10，
因此，A 的对应于特征值21=λ的特征向量为0,10011≠???
?
? ??k k 为任意实数.
对132==λλ，求解线性方程组0)(=-x A E ，得其基础解系为：???
?? ??-121，
因此，A 的对应于特征值132==λλ的特征向量为0,12122≠????
? ??-k k 为任意实数. （3）因为)1()2(3
1
4
2
0112
)(2+-=-----+=
-=λλλλλλλA E f ， 所以A 的特
征值为1,2321-===λλλ.
对221==λλ，求解线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系为：???
?? ??????? ??-110,041，
因此，A 的对应于特征值21=λ的特征向量为2121,,110041k k k k ???
?
? ??+????? ??-为不全为零的任意
实数.
对13-=λ，求解线性方程组0)(=--x A E ，得其基础解系为：???
?
?
??101，
因此，A 的对应于特征值13-=λ的特征向量为0,10133≠???
?
? ??k k 为任意实数.
（4）因为)6)(3)(1(6
5
4
3
2
001
)(---=------=-=λλλλλλλλA E f ， 所以A 的
特征值为6,3,1321===λλλ.
对11=λ，求解线性方程组0)(=-x A E ，得其基础解系为：???
? ?-15，
因此，A 的对应于特征值11=λ的特征向量为0,15511≠???
?
? ??-k k 为任意实数.
对32=λ，求解线性方程组0)3(=-x A E ，得其基础解系为：???
?? ??-531，
因此，A 的对应于特征值32=λ的特征向量为0,53122≠????
? ??-k k 为任意实数. 对63=λ，求解线性方程组0)6(=-x A E ，得其基础解系为：???
?? ??100，
因此，A 的对应于特征值63=λ的特征向量为0,10033≠???
?
? ??k k 为任意实数.
4.解：（1）O A T
T
==αβ
αβ2
，
（2）设λ是A 的特征值，则02
=λ，所以，A 的特征值只能是0。
又因为??
??
?
?
?
?????→????????
??=0000002121
2221
212
11
1
n n n n n n n b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 初等行变换， 所以齐次线性方程组0=Ax 的基础解系为：
???????
? ??-?
?
?
??
?
??
??-???????? ??-1131200,,00,00b b b b b b n ，
所以A 的对应于特征值0的特征向量为：
?????
??
?
??-++?????
???
??-+???????? ??--11
132121000000b b k
b b k b b k n n ，其中1
21,,,-n k k k 是不全为零的任意常数.
5.解：（1）???
?
? ??=311221001B .
（2）可求得矩阵B 的特征值为1,1,4，
因为321,,ααα是线性无关的3维列向量，所以，矩阵),,(321ααα可逆，从而， A 相似于B ，因此，A 的特征值也为1,1,4.
（3）可求得0)(=-x B E 的基础解系为：???
??
??-????? ??-102,011，
0)4(=-x B E 的基础解系为：???
?
? ??110，
所以，令????? ??--=110101021Q ，则有????
? ??=-4111
BQ Q
又因为),,(),,(3211
321ααααααA B -=，
所以，令),2,(110101021),,(323121321ααααααααα++-+-=???
?
?
??--=P ， 即有????
?
??=-4111
AP P .
6.解：（1）因为
1))(]()1(([)(----+-=---------=
-=n b a b n a a
b
b
b a b b b a
A E f λλλλλλλ
，
所以A 的特征值为b a n -===-11λλ ，b n a n )1(-+=λ.
对b a n -===-11λλ ，求解线性方程组0))((=--x A E b a ，得其基础解系为：
?????
??
? ??-???????? ??-???????? ??-1001,,0101,0011
因此A 的对应于特征值b a n -===-11λλ 的特征向量为：
?????
??
?
??-++???????? ??-+???????? ??--100101010011121 n k k k ，121,,,-n k k k 是不全为零的任意常数. 对b n a n )1(-+=λ，求解线性方程组0)))1(((=--+x A E b n a ，得其基础解系
???????
?
??1111 ， 因此，A 的对应于特征值b n a n )1(-+=λ的特征向量为0,1111≠?????
??
? ??n n k k 为任意实数.
（2）记?????
??
?
?
?---=1100101
01001
1111
P ，则???????
??-+--=-b n a b
a b a AP P )1(1
. 7.解：因为)6()1(5
41
3
1
02
)(2--=-------=-=λλλλλλλx A E f ，所以A 的特征值为
6,1321===λλλ，要使A 可以相似对角化，则对应于121==λλ的线性无关的特征向量
应有两个，即0)(=-x A E 的基础解系中有两个解向量，即使1)(=-A E R 。因为
???
?
? ??------=-40403101x A E ，
显然3=x 时，1)(=-A E R ，即当3=x 时，A 可以相似对角化.
8.解：由题，得???? ?????? ??--=???? ??--112121
32n n n n v u v u ，记???
?
??--=212
132A ，则 ???
? ??=???? ??00v u A v u n n n . 因为)2
1
)(1(2
12
13
2
)(--=+--=
-=λλλλλλA E f ，所以A 的特征值为11=λ，2
12=λ.
对11=λ，求解线性方程组0)(=-x A E ，得其基础解系为：???
? ??13，
因此，A 的对应于特征值11=λ的特征向量为0,1311≠???
?
??k k 为任意实数.
对212=
λ，求解线性方程组0)21
(=-x A E ，得其基础解系为：???
? ??12， 因此，A 的对应于特征值21
2=λ的特征向量为0,1222≠???
? ??k k 为任意实数. 记???? ??=1123P ，则1210
01-???
?
?
?=P P A ，因此 ?
???
??
?
?
+--+--=???
?
?
?=---n n n n n
n
P P A 23221123621321001111， 所以???? ???????
?
?
?+--+
--=???? ??--0123221123621311n n
n n n n v u ，即 12
1
3--=n n u ，
而3lim =∞
→n n u .
9.解：（1）正交化：
???
?
?
??==11111αβ，
?
???
? ??-=-=110),()
,(1
111222ββββααβ， ????
?
??
? ??-=--=616131)
,(),(),(),(222231111333ββββαββββααβ
单位化：
?
???????
? ??-=??
???????
??-=?????????
?
?
=616162,21210,313131321e e e （2）正交化：
????
??
?
??-==110111αβ，
????
?
?
? ??-=-=0010)
,(),(1111222ββββααβ，
???
?????
? ??=--
=3231031),()
,(),(),(222231111333ββββαββββααβ 单位化：
?
?
??????
?
? ??=???????
??-=?????????? ??-=6261061,0010,3131031321e e e .
11.证明：因为α的长度为1，所以1=ααT
， 又 E E E E HH
T T T T T T
=+-=--=αααααααααα44)2)(2(，
所以，H 时正交矩阵.
12.证明：因为A 是正交矩阵，所以E AA T =，从而T A A =-1,两边取行列式可得1±=A . 若A 、B 是正交矩阵，则E AA T =，E BB T
=，所以 E AB A B AB AB T
T T ==)()( ， 从而AB 也是正交矩阵.
因为E A A E A A E A A A AA A E T
T
T
+?=+?=+=+=+)()(，
若1-=A ，则A E A E +-=+，从而0=+A E 13.解：（1）Λ=A
,)()(Λ=tr A tr
∴ 843-=-y x ,1-=-y x , ∴ 5,4==y x
（2） 对41-=λ，求解线性方程组0)4(=--x A E ，得其基础解系为：???
??
??212，
因此，A 的对应于特征值41-=λ的线性无关的特征向量为???
?
? ??212.
对532==λλ，求解线性方程组0)5(=-x A E ，得其基础解系为：???
?
? ??-????? ??-102,012，
因此，A 的对应于特征值532==λλ的线性无关特征向量为???
?
? ??-????? ??-120,021.
从而A 的三个线性无关特征向量????? ??212，???
?
? ??-????? ??-120,021，由Gram-Schimidt 标准正交化
方法，可将化为与之等价的标准正交向量组：??????
?? ??323132，????????? ??-05
251，?????
???
?
??--455452454 令????????
?
?
?---=4550
324525231
4545132
P ，则有?????
??-=-5541
AP P . 14.解：由题可得：
???
?
? ??=321),,(),,(321321ααααααA ， 所以，
??
???
??
?
??----=???
?? ??=-2323232350
32037
),,(321),,(1
321321ααααααA 15.解：因为A 是实对称矩阵，所以，对应3λ的特征向量与21,p p 正交.
因此，设?
???
? ??=3213x x x p ，则有???=-+=++0220
22321321x x x x x x ，
解方程组可得：???
?
? ??-=1223p .
令????? ??--=12221
2221P ，则有????
?
??-=-0111
AP P ，所以 ???????
? ??-=????
?
??-=-03
23
23231032031
0111
P P A 。 16.解：可求得矩阵A 的特征值为：1,7321===λλλ，所对应的特征向量为
???
?
? ??-=????? ??-=????? ??=101,011,111321ααα
所以，*A 的特征值为：7,7,1，所对应的特征向量为：
????
?
??-=????? ??-=????? ??=101,011,111321ααα.
从而B 的特征值为：7,7,1，所对应的特征向量为： 31
321
211
1,,αξαξαξ---===P P P
则，E B 2+的特征值为3,9,9，所对应的特征向量为：
????
?
??--==????? ??-==????? ??==---111,011,11031
3212111αξαξαξP P P .
习题5 （A ）
1.（1）????? ??---120221011；（2）???
??
??322223231； 2.证明：令????? ??=010001100C ，则????
?
??=?????
??13
2
32
1
a a a C a a a C T
， 所以，???
?
?
?
??????
?
?13
232
1a a a a a a 与合同。 3.证明：因为D C B A 与与,合同，所以，存在可逆矩阵Q P ,，使得
CQ Q D AP P B T T ==,，
令????
?
?=Q O
O P T ，则T 是可逆的，且 ???
? ??=????
??D O O B T C O O A T T
所以???
? ?????? ??D O O B C O O A 与是合同的.
4.解：（1）
232232123
322
22
3213
222232232321213
22
2312121321)2()(44)(63)()()(26322),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +-+-=---+-=-----+--=--+-=
令???
??=+=+-=33
3223
2112x
y x x y x x x y ， 所以，二次型的标准形为：2
221y y -，并且所做的线性变换为：
线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
《线性代数》期末练习试卷答案
《线性代数》期末练习试卷答案 一、单项选择题 1.三阶行列式11 1 10121 λ λλ≠的充分必要条件是( B ) .A 0λ≠ .B 0λ≠且1λ≠ .C 1λ≠ .D 0λ≠且-1λ≠ 2. 1111121314 12131435 2111 5 ,,,11112413 =A A A A A A A A -----+++设 中第一行元素的代数余子式为则（A ） .A 0 .B 2 .C 3 .D 7 3. 已知行列式210 11424 x 中；代数余子式120A =；则||A =( .C ) . A -8 .B 8 .C 4 .D 0 4.下列结论正确的是（.C ） . A ,AB AC B C ==若则 .B ()1 11 AB A B ---= .C ()T T T AB B A = .D 20=0 A A =若，则 5.向量组12(0,1,1),(1,1,0)αα==和1(1,0)β=-，1，()23(1,2,1),=3,21ββ=-， 则向量组间的关系是（C ） . A 向量组12αα,能被123βββ,，线性表示；但123βββ,，不能被12αα,线性表 示 . B 向量组123βββ,，能被12αα,线性表示； 但12αα,不能被123βββ,，线性表示
. C 向量组123βββ,，和12αα,等价 .D 向量组123βββ,，不能被12αα,线性表示；且12αα,不能被123βββ,，线性表 示 6. 下列不是矩阵n n A ?可逆的充分必要条件的是（ . B ） . A 矩阵A 为非奇异矩阵 . 0B A ≠ . C 齐次线性方程组0Ax =有唯一解 . R()D A n = 7. 已知()4=(3,1,1),=(11,3)=(0,24)=21,4αααα---123向量组，，，，，；则向量组的 秩(.B ) . A 1 .B 2 .C 3 .D 4 8. 下面结论错误的是( C ) .A 若n 维向量组123456,,,,,αααααα线性无关；则356,,ααα也线性无关 .B 若n 维向量组3456,,,αααα线性相关；则13456,,,,ααααα也线性相关 .C 含零向量的向量组线性无关 .D 向量组 12,,,m αααL （当m>1 时）线性相关的充分必要条件是 12,,,m αααL 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 9.线性方程组m n A x b ?=无解的充分必要条件是（ A ） .A ()(,)R A R A b ≠ .B ()=(,)R A R A b .C ()=(,)R A R A b n < .D ()=(,)=R A R A b n 10.下列四个矩阵中；哪个是行最简形（.B ） . A 102201120012A ?? ?=- ? ??? .B 010*********A ?? ? = ? ???
线性代数考试题库及答案(五)
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B ) (C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ） 一．单项选择题 1. A 2. B 3．A 4． A 5. D 6. C 7．C 8．B 9..D 10．A 11．C 12．D 13．D 14．C 15．D 16．D 17．C 18．B 19．B 20．B 21．A 22．B 23．A 24．D 25．B 26． C 27．D 28．A 29．D 30．Ｂ 31．B 32．D 33．A 34．D 35．C 36． D 37．C 38．C 39．A 40．C 41．A 42． D 43．A 44．A 45． B 46．D 47．B 48．Ｂ 49．A 50．C 51．B 52．D 53．C 54．B 55．D 56．C 57．A 58．D 59．D 60．D 61．B 62．B 63．D 64．C 65．B 66．A 67．C 68．A 69．C 70．A 二．填空题 1．653010422-?? ? - ? ?--?? 2．0 3．0 4．125 5．4 6．9 7． ()()()y x z x z y --- 8．17 9．0 10．1 11． 1002011032?? ? ?- ? - ??? 12．()0,1,2T 13．3 14．2 15．0 16．3λ=- 17．-2 18．120220003?? ? ? ?-?? 19． 40 三、简答题 1．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3 x 的项只 有两项：3 443322115x a a a a -=；和3 2 1 43342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3 x 系数是：—2。 2．显然2121 2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。 任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c 即 02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以 ?? ?=-=+.,0022 121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即2121 2αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。 3．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3 x 的项只 有两项：3 443322115x a a a a -=；和3 2 1 43342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3 x 系数是：—2。 4．显然2121 2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。 任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c 即 02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以 ?? ?=-=+. , 0022121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即21212αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。 四．计算题 WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 8线性代数练习题(带解题过程) ０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 １ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ 第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1 7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1线性代数考试题库及答案(六)
线性代数习题1参考答案
(完整word版)线性代数考试题及答案解析
《线性代数》习题集(含答案)
2010-2011-2线性代数试卷及答案
线性代数习题及答案(复旦版)1
线性代数期末考试试卷答案合集
线性代数复习题及答案
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数期末考试试卷答案
8线性代数练习题(带解题过程)
线性代数习题集(带答案)
上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B)及答案
线性代数习题集(带答案)