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概率论第四章课后习题解答

概率论第四章习题解答

1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y

（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。

解（1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为

所以 1

51115()234988884

E X =?+?

+?+?=。（2）因为Y 的取值为2,3，4，9

当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故

21{2}3015

C P Y ==

=；当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故

135151

{3}30302

C P Y ==

== 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故

1442{4}303015

C P Y ==

== 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 993{9}303010

P Y ====

112314673

()234915215103015

E Y =?

+?+?+?==。（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；

若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。

1(1)(2)(3)(4)(5)6

P X P X P X P X P X ==========

(7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 111

=?= 61217

11215759

()63663612i i E X i i ===+=+=∑∑

2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）

解（1）求每次检验时产品出现次品的概率

因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y ，则

(10,0.1)Y B :，于是有 1010

{}(0.1)(0.9)k

k k P Y k C -== （2）一次检验中不需要调整设备的概率

{1}{0}{1}P Y P Y P Y ≤==+=101

191010(0.1)(0.9)

(0.1)(0.9)k k k C C -=+ 109

(0.9)(0.9)34860.38740.7361=+=+=

则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律

由于X 取值为0，1，2，3，4。0.2369p =，则(4,0.2369)X B :

于是 004

4{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===

4{1}(0.2639)(0.7361)40.26390.39890.4211P X C ===??= 222

4{2}(0.2639)(0.7361)60.06960.54180.2263P X C ===??=

4{3}(0.2639)(0.7361)40.01840.73610.0542P X C ===??= 44

4{4}(0.2639)0.0049P X C ===

（4）求数学期望

()00.293610.421120.226330.054240.0049E X =?+?+?+?+?

1.0556=。

3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求()E X 。解（1）求X 的分布律

由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3

464= 种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而 1

{4}64

P X ==；又{3}X = “3X

=”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只

能放在第3、4号两个盒子中，共有3

28=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X

=这一要求，需要除去，故有

3217{3}6464

P X -===

“2X

=”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、

4号三个盒子中，共有3

327=种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有3

28=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X

=这一要求，需要除去，故有

333219

{2}6464

P X -===

171937

{1}1{1}164646464

P X P X ==-≠=-

--= 即

（2）求()E X

37197110025()1234 1.5625646464646416

E X =?

+?+?+?===。 4（1）设随机变量X 的分布律为1

{(1)

j j j P X j +=-=，（1,2,3,j =L ），说明X 的数学期望不存在。

（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。试说明要游戏结束的摸球次数X 的数学期望不存在。解（1）因为级数

111

13332(1)

{(1)}(1)3j j j j j j j j j P j j j ∞

∞+++==--=-?∑∑11

(1)2j j j +∞

=-=∑，这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。所以其数学期望不存在。

（2）以k A 记事件“第k 次摸到黑球”，以k A 记事件“第k 次摸到白球”，以k C 表示事件“游戏在k 次摸球时结束”，1,2,3,k =L 。

按题意，121k k k C A A A A -=L ，由乘法公式得

1211122211()(|)(|)(|)()k k k k k P C P A A A A P A A A A P A A P A ---=L L L 而 11

{1}()2

P X P A ===

2211111{2}()(|)()32

P X P A A P A A P A ====? 21221112111

(|)(|)()43243

P A A A P A A P A =??=?，

一般地，若当X k =时，盒中共有1k +只球，其中只有一只白球，故

1211211122211()()(|)(|)(|)()

k k k k k k P X k P A A A A P A A A A P A A A A P A A P A ----===L L L L

1121211111432k k k k k k k

--=

????=?+-+L 若()E X 存在，则根据数学期望的定义，就有

111

111()()11k k k E X kP X k k k k k ∞∞

∞======?=++∑∑∑，

而调和级数

1k k ∞

=+∑却是发散的，此即表明数学期望()E X 不存在。

5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X （以min 计）是一

个随机变量，其概率密度为

1,01500,15001

()(3000),15003000,1500

0,x x f x x x ?

≤≤??-?=-<≤???

其它求()E X

解按连续型随机变量的数学期望的定义有

01500

()()()()E X xf x dx xf x dx xf x dx ∞-∞

-∞

==+???

3000

1500

3000

()()xf x dx xf x dx ∞

++?

1500

01500x dx dx -∞

?+?

30002

2150030001(3000)01500x x dx dx ∞-+-+??? 3

15000

231500x =

?3230001500

1(1500)15003

x x -+-

6 设随机变量X 的分布律为

求()E X ，2

()E X ，2

(35)E X + （2）设()X πλ:

，求11E X ??

?+??

解 ()20.400.320.302E X =-?+?+?=-； 2

()(2)0.4(0)0.3(2)0.3 2.8E X =-?+?+?

= 或所以 2

()00.340.7 2.8E X =?+?=。

(31)(3)(5)3()53 2.8113.4E X E X E E X +=+=+=?+=

（2）因为 !

k k e p k λ

λ-=

，0,1,2,k =L

所以 001111!(1)!

k k k k e E e X k k k λλ

λλ-∞∞

-==??=?= ?+++??∑∑ 10

(1)(1)!!k k

k k e

e e k k λ

λλλλλ+∞

∞

--===

==-+∑∑

(1)(1)e e e λλλλ

（注在公式0

()k k k E X x p ∞

==∑中现在的1

1k x k =+，!k k e p k λλ-=，0!k k e k λλ∞==∑） 7 （1）设随机变量X 的概率密度为

()0,0

x e x f x x -?>=?≤?

求（ⅰ）2Y X =，（ⅱ）2X

Y e

-=的数学期望；

（2）设随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布

（ⅰ）求12max{,,,}n U X X X =L 的数学期望，（ⅱ）求12min{,,,}n V X X X =L 的数学期望。解（1）0

()(2)2()2x E Y E X xf x dx xe dx ∞

∞

--∞

02()x x xe

e dx ∞

-∞-=-+?022x

e -∞=-=

2220

()()()X

x x x E Y E e e f x dx e e dx ∞∞

-----∞

===??

330

x x

e dx e ∞

--∞=

=-=?

。（2）因为（ⅰ）因为随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，其概率密度为

1,01

()0,i X x f x

＜其它

其分布函数为

0,0(),011,1i X x F x x x x

=≤

1,2,,i n =L

而 12max{,,,}n U X X X =L 的分布函数为

即max 0,0(),011,0n

z F z z z z ?

，

于是1max ,01

()0,

n nz z f z -?≤<=??其它

11max 00

()()11

n n n n

E Z zf z dz nz dz z n n ∞

+-∞

=++?

?。（ⅱ）12min{,,,}n V X X X =L

12min ()1(1())(1())(1())1(1())n n X X X F z F z F z F z F z =----=--L

11min min

()()(1())()(1())()n n z z z z f z F z n F z F z n F z f z --''==-=- 1(1),01

0,.n n z z -?-≤<=??

其它

()()(1)n z E Z zf z dz n z z dz ∞

--∞

==-??

(1)n n

u u du -=--?

（令1u z =-）

0()n n n u

u du -=-?

()n n n u u du -=-?

n n n u

u n n +=-

++。 8 设随机变量(,)X Y 的分布律为

（1）求()E X ，()E Y ；

（2）设Y

Z X

，求()E Z ；（3）设2

()Z X Y =-，求()E Z 。解

()10.420.230.42E X =?+?+?=； ()10.300.410.30E Y =-?+?+?=。

（2）由已知的分布律有

111

()(

){1,1}{2,1}{3,1}123

Y E Z E P X Y P X Y P X Y X ---====-+==-+==-

000

{1,0}{2,0}{3,0}123P X Y P X Y P X Y +

==+==+== 111

{1,1}{2,1}{3,1}123

P X Y P X Y P X Y +==+==+==

0.11

0.20.050.10.05315

=--+++=-。

（3） 33

()[()]()

ij j i E Z E X Y x y p ===-=

-∑∑

2222

20.230.14010.1=?+?+?+?

22222

2030.300.110.120.15+?+?+?+?+?=。或先求出2

()X Y -的分布律，再求对应的数学期望

2{0}{()0}{1,1}0.1P Z P X Y P X Y ==-=====,

2{1}{()1}{1,0}{2,1}0.2P Z P X Y P X Y P X Y ==-====+===

2{4}{()4}{1,1}{2,0}{3,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ==-====-+==+===2{9}{()9}{2,1}{3,0}{3,1}0.4P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ==-====-+==+===

即

所以 ()00.110.240.390.45E Z =?+?+?+?=。 9（1）随机变量(,)X Y 的概率密度为

212,01,

(,)0,.y y x f x y ?≤<≤=??

其它

求()E X ，()E Y ，()E XY ，2

()E X Y +；（2）随机变量(,)X Y 的概率密度为

()1,0,0(,)0,.x

y y

e x y

f x y y -+?>>?

=???

其它

求()E X ，()E Y ，()E XY 解（1）()(,)E X xf x y dxdy ∞∞

-∞-∞

=??

120

12x

xdx y dy =??

145

04445

x dx x ==

()(,)E Y yf x y dxdy ∞

∞

-∞-∞=

??1

345100003312355

dx y dy y dx y ===

=??? 1300()(,)12x E XY xyf x y dxdy xdx y dy ∞∞-∞-∞==????15

610011322

x dx x ===?

2220

()()(,)12()x

E X Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞∞

-∞-∞

+=+=+?

23500

12(4)5

y x

y x y y dx ===

? 15

566

01221221216(4)5330

33015

x x dx x x =+=+=

+=?。（2）()0

()(,)x

y y x E X xf x y dxdy dy e dx y

-+∞∞

∞∞

-∞-∞

=????

0()x y y

e dy xe d y

-∞∞

()x

x y

y y

e xe

e dx dy -

∞

-∞=-

x y y x e ye

dy ye dy -

∞

-=∞-==

?=?

1y y y

e dy e ∞

-∞

--∞=-+==?

()

()(,)x y y

E Y yf x y dxdy dy e

dx -+∞

∞

∞∞

-∞-∞

==?

???

00()x

y y

ye dy e d y

∞

-=--??

x y y

y y

y x ye e

dy ye dy ye e dy e -

∞

-=∞--∞--∞==-==-+==???

()

()(,)x y y

E XY xyf x y dxdy dy xe

dx -+∞

∞

-∞-∞

==?

000()x x y y y y

e dy xe dx e dy xe d y

∞

--=

=--?

???

()x

x y x y y

x ye xe

e dx dy --

∞

-=∞==--??

x y y x ye ye

dy y e dy -

∞

-=∞-==?=??

200

2y y y e

ye dy ∞

-∞

-=-+?

22()y

y y ye dy ye e dy ∞

∞

--∞

-==-+?

222y y

e dy e ∞

--∞===?

。

注：可以利用

(3)2y y e dy ∞

-=Γ=?

10 （1）设随机变量(0,1)X N :，(0,1)Y N :，且X 和Y 相互独立。

求(

E X Y +；

（2）一飞机进行空投作业，设目标点为原点(0,0)o ，物资着陆点为(,)X Y ，X 和

Y 相互独立，

且设2

(0,)X N σ:，2(0,)Y N σ:，求原点到点(,)X Y 间的距离的数学期望。解（1）根据对称性，

2222

()()X Y E E X Y X Y =++，而X 和Y 相互独立且

2222

2222222

()()()(1)1X Y X Y E E E E X Y X Y X Y X Y +=+==++++ 所以 2222()1X E X Y =+，即2221

()2X E X Y =+。

或因为X 和Y 相互独立，2

1(,)2x

y f x y e π

+-=，x -∞<<∞，y -∞<<∞。

22221

(

)2x y G

X x

E e dxdy X Y x y π

++?? 222

cos r r d r

e dr r π

θπ

∞

cos r d re

dr π

θθπ

∞-

?22

cos ()2

r r d e

d πθθπ

∞

-=-

-??

cos r r r e

d π

θθπ

=∞==-

1cos 22

d π

θπ

(sin 2)

θθπ=+12

。（2）设原点到(,)X Y 的距离为R

，则R =(,)X Y 的概率密度为

222

1(,)2x y f x y e σπσ

=，x -∞<<∞，y -∞<<∞。

222

cos r r d r e dr

r πθθπ∞

222

2(,),

x y G

E x y dxdy dxdy

σ+-

12r d r e

dr π

σθπσ

∞

22022,

r r

e dr σππσ-

∞

222

r r e

dr σσ

-∞

2222

2220

()r r r rd e

dr σσσ--

∞

∞∞=-=-+??

2222122

r r e dr dr σσ--∞∞

-∞==

＝=。 11 一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为

1,0

()40,0x e x f x x -?>?=??≤?

工厂规定：出售的设备若在一年之内损坏可予调换，若工厂售出的一台设备赢利

100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

解因为设备的寿命为随机变量X ，则一台设备在一年内调换的概率 11

01{1}()14

x x

p P X f x dx e dx e e ∞

---

-∞

=<=

==-=-?

故有 1114

()100200(1)300200E Y e

e e ---=--=-

3000.778820033.64=?-=（元）

12、某车间生产的圆盘直径在区间(,)a b 内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

解设圆盘的直径为X ，则X 的概率密度为

,()0,

.a x b f x b a ?<

=-???其它

记圆盘的面积为Y ，则24

Y X π

=，于是圆盘面积的数学期望为 22()(

)()4

E Y E X E X π

x dx b a

-?322()43()12

x b ab a b a ππ

++-

13设电压（以V 计）(0,9)X N :，将电压施加于一检波器，其输出的电压为2

5Y X =，求输出电压Y 的平均值。

解因为(0,9)X N :，所以()0E X =，()9D X = 由2

()()(())D X E X E X =+得

()()(())E X D X E X =-

又 222

(5)5()5[()(())]E X E X D X E X ==- 故 2

(5)5[90]45E X =-=（V ）

或

因为2

18()x f x -=

()(5)5()E Y E X E X ==

1818

]x x x dx xe e

dx -

∞

∞∞

-∞

-+??

234545x e dx -∞

?-∞

==?

（V ）

15、将n 只球（1n :）号随机地放进n 个盒子（1n :）中去，一个例子中装一只球。若一只球装入与球同号的例子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求()E X

解设1,i X ?=?

?第i 号球配成对

0，第i 号球不配对

，1,2,,i n =L ，则i X 服从（0－1）分布，故

1{1}i P X n ==

，1{0}i n P X n -==，111()10i n E X n n n

-=?+?= 又 1n

i X X

∑，所以

()()n

i i E X E X ==∑1

i n n n

===?=∑

。 16、若n 有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把打开门上的锁，用它们去试开门上

的锁，设取到每只钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求开锁的次数X 的数学期望。

（1）写出X 的分布律，（2）不写出X 的分布律。解（1）写出分布律

开锁的次数X 的取值为1,2，…，n 。则 1{1}P X n ==

，111

{2}1n P X n n n -==

?=-， 1211

{3}12n n P X n n n n --==??=--，…，一般地

12111

{}11n n n i P X i n n n i n i n

---+==????=---+L ，1,2,,i n =L

（备注：这实质上是一个抽签问题，由条件概率知每把钥匙把门打开的概率是相等

的，均为

）

所以 11

111(1)1

()22n

n i i n n n E X i i n n n ==++=?==?=∑∑

（2）不写出分布律

不妨设第j 抒钥匙能打开门上的锁，把第一次抽取看作是第一轮，则第一次抽取后，

剩下的有1n -把钥匙，依此类推。

1,0,i X ?=?

?第i 轮抽到第j 把钥匙

第i 轮没抽到第j 把钥匙

则 111{1}n i i C n i P X n n -+-+=== （11

{0}1i n i i P X n n

-+-==-=

）故 1

111(1)1

()1(1)(1)22n

n i i n i n n E X n i n n n ==-+++=?=+-=+-=∑∑ 17、设X 为随机变量，C 为常数，证明2

()[()]D X E X c <-，对于()c E X ≠。（由于

2()[()]D X E X C =-，上式表明2[()]E X C -当()C E X =时取到最小值。）

证明因为 2

[()]()E X c D X --

22(2)()E X cX c D X =-+-

()2()(()())E X cE X c E X E X =-+-+ 2

()2()E X cE X c =-+ 2

(())E X c =-

当 ()c E X ≠时，2

[()]()E X c D X --2

(())0E X c =->。

即 2

()[()]D X E X c <-

当 ()c E X =时 2

[()]()0E X c D X --=，即 2

()[()]D X E X c =-

18、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为

22)

,0()0,

x x e

x f x σσ-?>?=??≤?

其中0σ＞是常数，求()E X 和()D X 。

解 2

()()x

x E X x f x dx e dx σσ

∞

--∞=

()x

xd e

σ∞

-=-?

222

2200

|x x

xe e dx σσ∞

-∞

-=-+?

e dx σ∞

dx σ∞

12== 又 2

()()x

x E X x f x dx e dx σσ

∞

--∞

220

()x

x d e σ∞

222

2220

2|2x x

x e xe dx σσ∞

-∞

-=-+?

xe dx σ∞

-=?

222

2x x

e dx σσσ

∞

-=?

2x x

dx σσ

σ∞

--∞

（概率密度的性质()1f x dx ∞-∞

）

212σσ=?=

所以 2

4()()()22

D X

E X E X π

πσσσ-=-=-

19、设随机变量X 服从Γ分布，其概率密度为

11,0()()0,0x

x e x f x x αβ

βα--?>?Γ=??≤?

其中0α>，0β>是常数，求()E X 和()D X 解 10

()()()

x x E X xf x dx x e dx αβ

βα∞

∞

---∞

=Γ?

01()

x x e dx αβ

βα∞-=Γ? 1001(|)()

x x x e x e dx ααββα

ββαβα∞--∞-=-+Γ? 1

()

x x e dx αβα

βα

βα-∞

-=Γ?

1()

x x e dx αβαβααββα-∞

--∞==Γ? 又 2

101()()

x E X x e dx αβ

αβα∞+=

-Γ? 1001(|(1))()

x x x e x e dx ααββα

ββαβα∞--+∞=-++Γ? 0

(1)()x x e dx αβ

αβαβα∞-+=Γ? 100(1)(|)()

x x x e x e dx ααββ

αβαββαβα∞--∞-+=-+Γ?

()

x x e dx αβα

βααβα-∞

-=+Γ?

()()

x x e dx αβ

αβααβα-∞

--∞=+Γ?22()βαα=+ 故 22()()()D X E X E X =-2222

()()βαααβαβ=+-= 20、设随机变量X 服从几何分布，其分布律为 1

{}(1)

k P X k p p -==-，1,2,k =L 。

其中01p <<是常数，求()E X 和()D X

解 1

()(1)

()

k k k k E X k p p p k q ∞

∞

--===

-=∑∑ 1

()n

k p

='=∑

11()()1k

k p q p q ∞

=''==-∑ 2

()(1)k k p p q q ∞

='==-∑ 1p =

又 2

2111

()(1)

()k k k k E X k

p p p k q ∞

∞

--===

-=∑∑

11()k k p

k k q ∞

-==+-∑

(1)k k k k p

k k q

p kq ∞

∞

--===+-∑∑

1(1)k k p

k k q p

∞

-==+-

∑ 因为

(1)((1))((1))k k

k k k k k k q

k q k q ∞

∞

-+==='''+=+=+∑∑∑

()1q

''=-23224

2(1)2(2)(1)()(1)(1)q q q q q q q -+--'==-- 33

22(1)q p =

所以 2

32212()p E X p p p p

-=?

-= 2

222211()()()p p

D X

E X E X p p p

--=-=

-= 21、设长方形的高（以m 计）(0,2)X U :，已知长方形的周长（以m 计）为20，求长方形的面积A 的数学期望和方差。

解因为(0,2)X U :，所以 20

()12

E X -==，221()123D X =

= 2

()()()133

E X E X D X =+=+= 而 2(202)

(10)102

X A X

X X X X -==-=- 426

()108.666733

E A =-== 又2

()()()D A E A E A =- 而 2

22()(10)()E A x x f x dx ∞

-∞

234

0100202

x x x dx -+=? 3452

11001(5)|235x x x =

-+ 10011448

4(524)96.533515

=-?+?==

所以 2

()()()D A E A E A =-

96.53338.666796.533375.111721.4216=-=-=。 22、（1）设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有()i E X i =，()5i D X i =-，

1,2,3,4i =。设12341

232

Y X X X X =-+-

求()E Y 和()D Y ；

（2）设随机变量X ，Y 相互独立，且2(720,30)X N :，2

(640,25)Y N :，

求12Z X Y =+，2Z X Y =-的分布，并求概率{}P X Y >，{1400}P X Y +>。解（1） 12341

()2()()3()()2

E Y E X E X X E X =-+- 1

21233472

=?-+?-

?= 12341

()4()()9()()4D Y D X E X D X D X =+++ 1

4(51)(52)9(53)(54)37.254

=?-+-+-+-=

（2）因为2(720,30)X N :，2

(640,25)Y N :

所以 222

1112122(2,2)Z X Y N μμσσ=+++: 即 22

1(2720640,43025)Z N ?+?+: 故 2

1(2080,65)Z N :

同样，因为()720E X =，()640E Y =，()72064080E X Y -=-=

()30D X =，2

()25D Y =

()()()30251525D X Y D X D Y -=+=+= 所以 2()(80,1525)Z X Y N =-:

又 {}{0}1{0}P X Y P X Y P X Y >=->=--<

P =-<

=-Φ=Φ 80

(

)(2.05)39.05

=Φ=Φ0.9798= 又因为 ()7206401360E X Y +=+=，

22()()()30251525D X Y D X D Y +=+=+=

所以 ()(1360,1525)X Y N +:

{1400}1

P X Y P +>=-≤

=-Φ

)39.05

=-Φ1(1.02)=-Φ 10.84610.1539=-=

23、五家商店联营，它们每两周的出售的农产品的数量（以kg 计）分别为

12345,,,,X X X X X 已知1(200,225)X N :，2(240,240)X N :，3(180,225)X N :，4(260,265)X N :，5(320,270)X N :，且12345,,,,X X X X X 相互独立。

（1）求五家商店的总销售量的均值和方差。

（2）商店每隔两周进一次货，为了使新的供货到达商店前不会脱销的概率达到0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克产品。

解（1）设五家商店每两周的总销量为X ，则

()()i i E X E X ==∑2202401802603201200=++++=

()()2252402252652701225i

i D X D X ==

=++++=∑

则五家商店的总销量 (1200,1225)X N :

（2）设商店仓库需要储存该产品的数量为m(kg)，则在新货到达之前不会脱销的

概率达到0.99，即{}0.99P X m ≤>。

而

{}P X m P ≤=≤

1200

}35m P -=≤

查表得 (2.33)0.99Φ>

令

1200

2.3335

m -> 解得 1281.551282m >≥

即仓库需要储存至少1282kg 该产品，才能保证其不脱销的概率达到0.99。

24卡车装运水泥，设每袋水泥重量X （以kg 计）服从2

(50,2.5)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率大于0.05

解设卡车所装的水泥袋数为m ，则水泥的总问题为

i X X

∑

因为 2

(50,2.5)N :，所以 2

(50,2.5)X N m m :

而所求概率为 {2000}0.05P X >≤

{2000}1{2000}P X P X >=-≤

10.05P =-≤≤

即

0.95P ≤≥

即

0.95Φ≥，

查表得 (1.65)0.95Φ≥

1.65=，

80020m -=

208000m +=

1.6540-±

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）. 解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)] 查二项分布表 1－=. 因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=??? ? ??04×× =. P (X =1)=???? ??14××=, P (X =2)= ???? ??24××=. P (X =3)=???? ??34××=, P (X =4)= ??? ? ??44××=. 从而 E (X )=np =4×= 习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==???? ??-=+j j X P j j j ,说明X 的数学期望不存在. 解：由于 1 11 1133322(1) ((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞ ∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数1 12j j ∞ =∑发散，故级数1 11 33(1) ((1))j j j j j P X j j ∞ ++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X -2 0 2 k p 求)53(),(),(2 2 +X E X E X E . 解 E (X )=(-2)+0+2= 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知 E (X 2)=(-2)2+02+22= E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3 22 +5] = 如利用数学期望的性质，则有 E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数，易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)资料

中北大学概率统计习题册第四章完整答案 (详解)

1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ， DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1λ ，DX = 2 1 λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ， DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则 EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。 50000.0015λ=?=，则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 5000499910.99950000.0010.999=--?? 0155 5510!1! e e --≈--10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和分别为()~[0,5]X U ， 52EX = ；2512 DX =。 5.设(){ }3.02010,,10~2=<

概率论第4章习题参考解答

概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20 件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此

概率论习题第三章答案

第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果在其它场合恰当定义。在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F －则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有

概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章

第四章习题解答 1．设随机变量X ～B （30， 6 1），则E （X ）＝( D ). A.6 1 ； B. 65； C.6 25； D.5. 1 ()3056 E X np ==?= 2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. ()1()3E X E Y == 因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y == 3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______． (10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==: 22()(())()18.4E X E X D X =+= 4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为3 2，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113()233999 E X = +?+?= 5．设X 的概率密度函数为 , 01()2,120,x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它求2() ,().E X E X 解：12 20 1 ()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞ ==+-=? ??, 12 22320 1 7 ()()(2)6 E X x f x dx x dx x x dx +∞ -∞ ==+-= ? ??.

概率论与数理统计习题及答案第三章

习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<

概率论第四章习题解答

第四章随机变量的数字特征 I 教学基本要求 1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望； 2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差； 3、了解切比雪夫不等式及应用； 4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念； 5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理； 6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用. II 习题解答 A 组 1、离散型随机变量X 的概率分布为求()E X 、(35)E X +、2 ()E X ？解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-?+?+?=-； (35)3()5 4.4E X E X +=+=； 2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-?+?+?=. 2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为则()80.1898100.80889.61E X =?+?≈(元). 3、设随机变量X 的分布函数为0 0()/40414x F x x x x ≤?? =<≤??>? .求()E X ？

解：由分布函数知X 的密度函数为 1/404 ()0 x f x <≤?=? ?其它则4 ()()24 x E X xf x dx dx +∞ -∞ = ==? ? . 4、设随机变量X 服从几何分布，即1 ()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k =L ，其中 01p <<是常数.求()E X ？解：1 11 1 ()(1) (1)k k k k E X kp p p k p +∞ +∞ --=== -=-∑∑ 由级数 21 2 1123(1) k x x kx x -=+++++-L L (||1)x <，知 211 ()[1(1)]E X p p p =? =--. 5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即 ()! k p X k e k λλ-== (0,1,2,)k =L 求()E X 、2 ()E X ？解：1 00 ()!(1)!k k k k E X k e e e e k k λ λ λλλλλλλ-+∞ +∞ --- === ===-∑∑； 12 2 010 (1)()[]! (1)!!k k k k k k k k E X k e e e k k k λ λ λ λλλλλ-+∞ +∞ +∞ ---===+===-∑∑∑ 1 21 []()(1)! ! k k k k e e e e k k λ λλλλλλλλλλλ-+∞ +∞ --===+=+=+-∑ ∑ . 6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布 (1) 求该工程队完成此项工程的平均时间； (2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？解：(1) ()100.4110.3120.2130.111E X =?+?+?+?=(月)；

(完整版)概率论第四章答案

习题4-1 1. 设随机变量X 求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +. 解由定义和数学期望的性质知 2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为 ,0,()0, 0.x e x f x x -?>?=???≤ 求X e Z X Y 22-==和的数学期望. 解 ()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞ -====?e d , 220 1 ()()3 X x x E Z E e e e dx ∞ ---==?= ?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第 55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为 1 ,060,()600, .x f x =?????≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则 5,05,25,525,()55,2555,65, 5560. X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-

概率论第三章题库

第三章多维随机变量及其分布一、选择题 1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以下结论正确的是（） A.? +∞ ∞-=1)(dx x f X B. ? +∞ ∞ -= 2 1 )(dx y f Y C. ? +∞ ∞ -=0)(dx x f X D. ? +∞ ∞ -=0)(dx y f Y 2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（） A. 211(,)N μσ B. 221(,)N μσ C. 2 12 (,)N μσ D. 2 22(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2 +y 2 ≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（） A. f(x ，y)=1 B. 1(,)0, x y D f x y ∈?=? ?，（,）,其他 C. f(x ，y)=1 π D. 1 (,)0, x y D f x y π?∈?=???，（,）,其他 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（）. A .1,0.8,(,)0, .x y F x y +>?=? ?其他 B .?????>>??=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞ ---y x t s dsdt e y x F ),( D .? ????>>=--. , 0, 0,0,),(其他y x e y x F y x 5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=?????<<<<,, 0; 20,20,41 其他y x 则P{0

概率论第四章课后习题解答

概率论第四章习题解答 1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。 “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y （3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。解（1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以 151115()234988884 E X =?+?+?+?=。（2）因为Y 的取值为2,3，4，9 当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故 1 21 {2}3015 C P Y == =；当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故

112314673 ()234915215103015 E Y =? +?+?+?== 。（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。 2 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）解（1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为，设出现次品的件数为 Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010{}(0.1)(0.9)k k k P Y k C -== （2 ）一次检验中不需要调整设备的概率则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律

概率论第三章练习题

习题三 1．（１）盒子中装有３只黑球，２只红球，２只白球，在其中任取４只球．以Ｘ表示取到黑球的只数，以Ｙ表示取到红球的只数．求Ｘ和Ｙ的联合分布律．（２）在（１）中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>．２．设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f （１）确定常数k ．（２）求3}Y 1,P{X <<．（３）求 1.5}P{X <．（４）求4}Y P{X ≤+．３．设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度．４．将一枚硬币掷３次，以Ｘ表示前２次出现Ｈ的次数，以Ｙ表示３次出现Ｈ的次数．求Ｘ，Ｙ的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律．５．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度．６．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度.

7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的．求（１）两周的需求量的概率密度．（２）三周的需求量的概率密度．

概率论答案第三章测试题

第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律；（2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。解（2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他（1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。解（1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为：求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律（2）

4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。解（1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x

概率论与数理统计第三章测试题

第3章多维随机变量及其分布一、选择题 1．设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则()m i n ,Z X Y =的分布函数是（） (A) ()()()max ,Z X Y F z F z F z =???? (B) ()()()min ,Z X Y F z F z F z =???? (C) ()()()111Z X Y F z F z F z =---???????? (D) ()()Z Y F z F y = 2．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1) 和 N(1,1)，则（A ）2 1)0(=≤+Y X P （B ）2 1)1(=≤+Y X P （C ）2 1)0(=≤-Y X P （D ）2 1)1(=≤-Y X P 3．设二维随机变量(),X Y 服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（） (A) ,X Y 一定相互独立 (B) ,X Y 的任意线性组合12l X l Y +服从于一维正态分布 (C) ,X Y 分别服从于一维正态分布 (D) 当参数0ρ=时，,X Y 相互独立 4．,ξη相互独立且在[]0,1上服从均匀分布，则使方程220x x ξη++=有实根的概率为（） (A) 1 (B) 12 (C) 0.4930 (D) 4 5．设随机变量,X Y 都服从正态分布，则（） (A) X Y +一定服从正态分布 (B) ,X Y 不相关与独立等价 (C) (),X Y 一定服从正态分布 (D) (),X Y -未必服从正态分布 6．设随机变量X, Y 相互独立，且X 服从正态分布),0(21σN ，Y 服从正态分布),0(22σN ，则概率)1|(|<-Y X P （A ）随1σ与2σ的减少而减少（B ）随1σ与2σ的增加而减少（C ）随1σ的增加而减少，随2σ的减少而增加（D ）随1σ的增加而增加，随2σ的减少而减少 7．设),(Y X 的联合概率密度为： ?? ?<+=, , 0; 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为（A ）独立同分布（B ）独立不同分布（C ）不独立同分布（D ）不独立不同分布 8．设X i ~ N (0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立, 则 ( ) 成立。

概率论与数理统计总结之第四章

第四章数学期望和方差数学期望：设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k … 若级数k k k p x ∑∞=1绝对收敛，则称级数k k k p x ∑∞ =1的和为随机变量X 的数学期望，记为 E(X),即E(X)=k k k p x ∑∞ =1 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x), 若积分?∞∞-dx x xf )(绝对收敛，则称积分?∞ ∞-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记为E(X),即E(X)=?∞ ∞-dx x xf )( 数学期望简称期望，又称为均值数学期望E(X)完全由随机变量X 的概率分布所确定，若X 服从某一分布也称E(X)是这一分布的数学期望定理设Y 是随机变量X 的函数：Y=g(X)(g 是连续函数） 1）X 是离散型随机变量，它的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k …，若k k k p x g )(1∑∞ =绝对收敛，则有[]==)(()(X g E Y E k k k p x g )(1∑∞ = 2）X 是连续型随机变量，它的概率密度为f(x ）。若?∞ ∞-dx x f x g )()(绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=?∞ ∞-dx x f x g )()( 数学期望的几个重要性质：

1.设C 是常数，则有E(C)=C 2.设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX)=CE(X) 若A,B 相互独立，则有E(AB)=E(A)E(B) 3.设X,Y 是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y) 方差设X 是一个随机变量，若})]({[2X E X E -存在，则称})]({[2X E X E -为X 的方差，记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=})]({[2X E X E - )(X D ,记为σ（X)，称为标准差或均方差对于离散型随机变量，k k k p X E x X D ∑∞=-=1 2)]([)( 对于连续型随机变量，dx x f X E x X D )()]([)(2?∞∞ --= 随机变量X 的方差计算公式：22)]([)()(X E X E X D -= 方差的几个重要性质： 1.设C 是常数，则D(C)=0 2.设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(2X D C CX D = 3.设X,Y 是两个随机变量，则有 ))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+ 特别地，若X,Y 相互独立，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 4.D(X)=0的充要条件是X 以概率1取常数C ，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X)

概率论习题解答(第4章)

第4章习题答案三、解答题 1. 设随机变量X 的分布律为求)(X E ，)(2 X E ，)53(+X E ．解：E (X ) = ∑∞ =1 i i xp = ()2-4.0?+03.0?+23.0?= -0.2 E (X 2 ) = ∑∞ =1 2 i i p x = 44.0?+ 03.0?+ 43.0?= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-?+5 = 4.4 2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为 6 ,,2,1,6/1}{Λ===i i X P 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙

{}k X == λ λ-e k k ! ，k = 1,2,... 又P {}5=X =P {}6=X , 所以 λ λ λλ--= e e ! 6!56 5 解得 6=λ，所以 E (X ) = 6. 6. 设随机变量 X 的分布律为 ,,4,3,2,1,6 }{2 2Λ--== =k k k X P π问X 的数学期望是否存在？解：因为级数∑∑∑∞ =+∞ =+∞ =+-=-=?-1 1 2 1 211 221 1 )1(6)6)1(()6) 1((k k k k k k k k k k πππ，而 ∑∞ =11k k 发散，所以X 的数学期望不存在. 7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为 ?????>=-.0 ,0,9 1)(3 /其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．解：E (X ) =??? ∞ -∞ -∞∞ -==0 3/20 3/9191)(dx e x dx xe x dx x f x x x =6. 8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为 ?????>-=.0 , 5,25 1)(2 其它x x x F 求这种家电的平均寿命E (X )．

概率论习题第四章答案

第四章大数定律与中心极限定理 4.1 设D(x)为退化分布： D(x)=?? ?≤>, 0,00 ,1x x 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ (1){D(x+n)}; （2）{D(x+ n 1)}; (3){D(x-n 1 )}，其中n=1,2,…。解：（1）（2）不是；（3）是。 4.2 设分布函数列Fn(x)如下定义： Fn(x)=?? ?????>≤<-+-≤n x n x n n n x n x ,1 ,2 ,0 问F(x)=∞ →n lim Fn(x)是分布函数吗？解：不是。 4.3 设分布函数列{ Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(∞∞-,)上一致收敛于F(x)。证：对任意的ε>0,取M 充分大，使有 1-F(x)<ε，；M x ≥? F(x)<ε, ；M x ≤? 对上述取定的M ，因为F(x)在[-M ，M]上一致连续，故可取它的k 分点：x 1=MN 时有 <-)()(i i n x F x F ε，0≤i ≤k+1 （2）成立，对任意的x ∈(∞∞-,)，必存在某个i （0≤i ≤k ）,使得],(1+∈i i x x x ,由(2)知当n>N 时有 +<≤++)()()(11i i n n x F x F x F ε, (3) ->≥)()()(i i n n x F x F x F ε, (4) 有(1)，(3)，(4)可得 +-<-+)()()()(1x F x F x F x F i n ε)()(1i i x F x F -≤++ε<2ε, )()(x F x F n ->--)()(x F x F i εε2)()(1->--≥+δi i x F x F , 即有<-)()(x F x F n 2ε成立，结论得证。

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