样本空间与概率空间

样本空间、概率空间及概率的公理化定义

一、样本空间

在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试验。我们用E 表示随机试验。随机试验E 的所有可能出现的结果构成一个集合，而把每一可能出现的试验结果称为一个基本事件（样本点）。随机试验E 的所有基本事件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。

例1 掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基本事件构成一个样本空间。

例2 掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。

例3 向实数轴的(0,1)区间上随意地投掷一个点。在(0,1)区间中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合（即(0,1)区间）构成一个样本空间。

抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本点。样本空间记为()ωΩ=，其中ω表示样本点。这里小括号表示所有样本点构成的集合。

样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需加一些约束。

定义 设样本空间()ωΩ=的某些子集构成的集合记为F ，如果F 满足下列性质：

（1）Ω∈F ；

（2）若A ∈F ，则A A =Ω-∈F ；

（3）若,1,2,k A k ∈= F ，则1k

k A ∞=∈ F

那么称F 是一个波雷尔（Borel 事件域），或σ事件域。波雷尔事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。

特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集φ称为不可能事件。

在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是基本事件。但是，一般并不要求样本点必需是基本事件。

在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作{=F 正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明，F 表达式中的花括号。是指事件的集合。

在例2中共有六个样本点，记i ω为出现“i 点”的样本点，1,2,3,4,5,6i =。作{),,(,),,(),,,(),,(,),,(),,(,,,65442132165312161ωωωωωωωωωωωωωωωωω?????????=F 123434561234523456(,,,),,(,,,),(,,,,),,(,,,,),ωωωωωωωωωωωωωωωωωω 123456(,,,,,)}ωωωωωω，它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包含的样本点的集合。123456(,,,,,)}ωωωωωω中一元素（即126(,,,ωωω ）或每一对小括号表示的样本点集合）是一个事件。

在例3中，作1{(0,1)=F 区间中任意子集}。1F 构成一个波雷尔事件域，其中每一个元

素是一个事件。再构造另一个波雷尔事件域。若取1{(,]:n k k k G a

b == 01k k a b <<<，

1,2,,k n = ，而1}n ≥，即G 是(0,1)区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集类。集类是指以点集作为元素的集合。显然G 不具有波雷尔事件域的第三条性质，这是因为G 中可列无限个元素之和，也可以是无限多个左开右闭区间之和，这种和不再是G 中的元素（例??

? ??∞=n n n 21,311 ?G ）），因而G 不是波雷尔事件域。记2F 是包含G 的最小的波雷尔事件域。数学上可以证明2F 与1F 并不重合，而2F 中的元素比1F 少。波雷尔事件域2F 中的每一个元素都是事件。

需要指出，在上面的三个例子中，四个F 有三个取为样本空间Ω中任意子集全体构成的波雷尔域，因而样本空间的1任意一个子集都是事件。但是，F 还可以选Ω的一部分子集构成一个波雷尔事件域，如例3中的2F 。又如在例1中取{,}φ=ΩF ，这种F 也构成波雷尔事件域（平凡的波雷尔事件域）。此时只有两个事件，但这样取F 的实际意义不大。

二、概率的公理化定义

在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。古典概率定义要求样本空间由N 个等可能性的基本事件构成，具有一定的局限性。概率的统计定义与大量重复试验相联系。现在介绍一种概率的抽象的数学定义——公理化定义。这种定义是从一些具体的概率定义（如概率的统计定义，古典概率定义等）抽象出来的，同时又保留了具体概率定义中的一些特征。事件的概率是对应于波雷尔事件域F 中每一个Ω的子集的一个数，即可以看成集合函数。

概率的公理化定义 设()P A 是定义在样本空间Ω中波雷尔事件域F 上的集合函数。如果()P A 满足

（1）对任一A ∈F ，有0()1P A ≤≤；

（2）()1,()0P P φΩ==；

（3）若12,A A ，两两不相交，即,k j A A k j φ=≠，且,1,2,k A k ∈= F ，则

1

1()k k k k P A P A ∞∞

==??= ???∑ 那么称P 是波雷尔事件域上的概率。

在例1中定义()2

k P A =，其中k 是事件A 包含的样本点数，0,1,2k =，那么P 是概率。另外，如果定义P （正面）1120=，P （反面）9,20

P =（正面或反面）1,P =（空集）0=，这样定义的P 也是概率。

在例2中定义()/6P A k =，其中k 是事件A 包含的样本点数，0,1,2,3,4,5,6k =，那么P 是概率。

在例3中考虑波雷尔事件域2F ，数学上可以证明在2F 上存在一个集合函数P ，满足概率公理化定义中的三个条件，且对1(,]n k k

k A a b == ，有1()()n k k k P A b a ==-∑，

其中(,)k k a b 两

两不相交（显然A 是G 中元素），所以这个2F 上的集合函数P 是概率。此概率表示(0,1)区间上的均匀分布。特别指出，1F 是由(0,1)区间上任意子集构成的波雷尔事件域，数学上已经证明并不存在1F 上的集合函数P （！！！）。而对上述事件A 有1()()n k k k P A b

a ==-∑，且满

足概率公理化定义中的三个条件。

对随机试验E 而言，样本空间Ω给出它的所有可能的试验结果，F 给出了由这些可能结果组成的各种各样事件，而P 给出每一事件发生的概率。(,,)P ΩF 称为概率空间（三元有机体）。

概率论

1.1.1 确定性现象 在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象． 确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象． 例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；?? 确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识． 如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力??这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果． 对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点： (1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一； (2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的． 换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变． 1.1.2 随机现象 随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象． 例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；?? 随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上． 1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验 因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验： 从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法． 1.1.4 统计规律性(2)--其他实验 我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子． 1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1． 2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线． 1.1.5 统计规律性(3)--规律描述 从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科． 既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点： (1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的； (2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的． 一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小． 通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的．

(完整版)概率的定义及其确定方法

§1.2 概率的定义及其确定方法 在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。 随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。这个数字就称为事件的概率。 然而，对于给定的事件A ，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A 的特殊性，不能一概而论。在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展. 1. 概率的公理化定义 定义1.2.1 设Ω为样本空间,F 为Ω的某些子集组成的事件域.))((F A A P ∈是定义在事件域F 上的实值集函数,如果它满足: (1) 非负性公理 对于任一F A ∈,有0)(≥A P ; (2) 正则性公理 1)(=ΩP ; (3) 可列可加性公理 若,,21A A …,,n A …两两互不相容,则 则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体),,(P F Ω为概率空间. 概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在 事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。 这个定义只涉及样本空间和事件域及概率的最本质的性质而与具体的随机现象无关。对于具体的随机现象中的给定的事件，其概率如何合理地确定那要依据具

逻辑伪度量空间中的孤立点

ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃｔ露ｉｏｎｓ计算机工程与应用２０１０。４雠１１）１◎博士论坛。 逻辑伪度量空间中的孤立点 李璧镜Ｌ２，王国俊? ＬＩＢｉ＿ｊｉｎｇｌ，２，ＷＡＮＧＧｕｏ－ｊｕｎｌ １．陕西师范大学数学与信息科学学院，西安７１００６２ ２．宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１００７ １．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａａｎｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００６２，Ｃｈｉｎａ ２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢａｏｊｉＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂａｏｊｉ，Ｓｈａａｎｘｉ７２１００７，Ｃｈｉｎａ Ｅ?—ｍａｉｌ：ｌｂｊ２００７＠１６３．ｃｏｒｎ ＬＩＢｉ－ｊｉｎｇ，ＷＡＮＧＧｕｏ－ｊｕ儿ｂ恻ｐｏｉｎｔｓｉｎｌｏｇｉｃｐｓｅｕｄｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０．４６（１１）：１－２． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔｓｉｎｌｏｇｉｃｐｓｅｕｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓｉｎｄｕｃｅｄｂｙｉｎｔｅｇｒａｌｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓｉｎＭＴＬａｒｅｄｉｓｓｅｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｓａ∞ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙｎｏｔｔｈｅｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔｓｉｎｃｏｒｒｅｓｐｏｎｇｄｉｎｇ８ｐ骶：髓ｗｈｅｎｔｈｅｉｒｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓａｌｅｎｏｔｅｑｕａｌｔｏｚｅｒｏｉｓｐｒｏｖｅｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｆｏｒｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｓｗｈｏｓｅｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓｅｑＩｌａｌＺｅｒＯ，ｔｈｅｅｏｎｃｌｕｓｉｏｍａ托ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｈｅｎｅｖｅｒｔｈｅｃｈａｒａｅｔｅｒｉｓ－在ｃｏｆｌｏｇｉｃｓｙｓｔｅｍｓａ１１ｅｃｈａｎｇｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｌｔ／ｕｔｈｄｅｇｒｅｅ；ｌｏｇｉｃｐｓｅｕｄｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅ；ｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔ 摘要：在逻辑系统ＭＴＬ中，对全体逻辑公式集上建立的逻辑伪度量空同进行研究，讨论了孤立点的情形，指出积务真度不为零的公式一定不是对应空间中的孤立点，而对于积分真度为零的公式，则要分不同性质类型的系统讨论，得到的情形也完全不同。 关键词：积分真度；逻辑伪度量空间；孤立点 ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．２０１０．１１．００１文章编号：１００２－８３３１（２０１０）１１－０００１－．０２文献标识码：Ａ中图分类号：０１４２ １引言 逻辑系统的建立最终是为了推理【煳，而进行推理的角度有很多，可以从逻辑公式间固有的蕴含关系出发借助推理规则得到结论，也就是所说的语构理论；也可以借助赋值，刻画出公式之间的距离大小，从而形成—个公式集上的度量空间，进而在空间内进行推理，甚至近似推理。由于公式间的距离有多种不同形式的定义方法，从而可以诱导出不同的空间，例如概率伪度量空间昀，Ｄ—逻辑空间［７－８１，逻辑伪度量空间卿等等，而文献［９】中所定义的方式被更多的人接受，应用也最广泛。针对由左连续的三角模对应的逻辑系统（ＭｒｒＬ），讨论了赋值格是单位闭区间时生成的逻辑伪度量空间中孤立点的情形，以明确具有什么性质的公式是对应空间中的孤立点，从而为进一步讨论此类空间的其他性质，为在此类逻辑系统中进行近似推理打下基础。 ２预备知识 定义１闭设＠：［ｏ，１】叫ｏ，１】是二元函数，如果当口，ｂ，ｃ∈【０，ｌ】时 （１）固６：６＠Ｄ； （２）（国６）＠ｃ－－ａ＠（ｂ＠ｅ）； （３）囝１铷； （４）若６≤ｃ，则ａ＠６≤◇。 则称。为【０，ｌ止的三角模，简称ｔ一模。 定义２阁三角模＠叫左连续的，如果对于每个ａＥ［ｏ，１】，有工（Ｖｂｉ）＝ＶＡ（６；）。这里Ａ（ｘ）－－－ａ＠。 ｆＥ，ＩＥｆ 命题ｌ圈设。是［０，１】上的左连续的三角模，在［０，ｌ】上定义二元运算一如下： ６‘一ｃ＝Ｖ协ｋ＠６≤ｃ｝，茹，ｂ，Ｃ∈【０，ｌ】 则 （１）国６≤ｃ当且仅当ｎ≤６一ｃ，即—是与＠互为伴随对； （２）ｂ－－＊ｃ＝ｌ当且仅当ｂ≤ｃ； （３）口≤６—呛当且仅当ｂ≤旷＋ｃ； （４）口－＋（６—圮）＝６—＋（旷～）； （５）１飞：ｃ； （６）卜Ａｃ＿ＦＡ（６飞；），（Ａｂｉ）飞＝＾（６一）； ｉＥｌｉＥｌｌＥｌｌｔｌ （７）６一ｃ关于ｅ单调递增，关于ｂ耸ｔｉｇｌ递减。 定义３嘲设—是ｆ０，ｌ】上的二元运算，如果—满足上述命题中的性质（２）一（７），则称为［０，１止的正则蕴涵算子。 基金项目：国家自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．１０７７１１２９）；宝鸡文理学院重点科研项目（Ｎｏｚｌ（２５１９）。作者筒介：李壁镜（１９８１一），女，博士研究生，讲师，研究方向：不确定性推理。模态逻辑；王国俊（１９３５一），男，博士生导师，教授，研究方向：不确定性推理，非经典数理逻辑等。 收稿日期：２０１０－０１—２０修囿日期：２０１０－０３一０１ 万方数据

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件

样本空间与概率空间

样本空间、概率空间及概率的公理化定义 一、样本空间 在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试验。我们用E 表示随机试验。随机试验E 的所有可能出现的结果构成一个集合，而把每一可能出现的试验结果称为一个基本事件（样本点）。随机试验E 的所有基本事件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。 例1 掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基本事件构成一个样本空间。 例2 掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。 例3 向实数轴的(0,1)区间上随意地投掷一个点。在(0,1)区间中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合（即(0,1)区间）构成一个样本空间。 抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本点。样本空间记为()ωΩ=，其中ω表示样本点。这里小括号表示所有样本点构成的集合。 样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需加一些约束。 定义 设样本空间()ωΩ=的某些子集构成的集合记为F ，如果F 满足下列性质： （1）Ω∈F ； （2）若A ∈F ，则A A =Ω-∈F ； （3）若,1,2,k A k ∈= F ，则1k k A ∞=∈ F 那么称F 是一个波雷尔（Borel 事件域），或σ事件域。波雷尔事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。 特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集φ称为不可能事件。 在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是基本事件。但是，一般并不要求样本点必需是基本事件。 在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作{=F 正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明，F 表达式中的花括号。是指事件的集合。 在例2中共有六个样本点，记i ω为出现“i 点”的样本点，1,2,3,4,5,6i =。作{),,(,),,(),,,(),,(,),,(),,(,,,65442132165312161ωωωωωωωωωωωωωωωωω?????????=F 123434561234523456(,,,),,(,,,),(,,,,),,(,,,,),ωωωωωωωωωωωωωωωωωω 123456(,,,,,)}ωωωωωω，它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包含的样本点的集合。123456(,,,,,)}ωωωωωω中一元素（即126(,,,ωωω ）或每一对小括号表示的样本点集合）是一个事件。 在例3中，作1{(0,1)=F 区间中任意子集}。1F 构成一个波雷尔事件域，其中每一个元

概率论综述

概率论综述

第一章 事件与概率 §1. 随机现象与统计规律性 一.随机现象 概率论（probability theory ）是研究随机现象的数量规律的数学分支。本节概述他的研究对象及殊地位。 在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。反之，那种在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件，这些统称为决定性现象。 另一类现象，在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，即就个别实验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现结果，呈现出一种偶然性。这种现象称之为随机现象（random phenomenon ）,对于随机现象通常关心的是试验或观察中某个结果是否出现，这些结果称之为随机事件，简称事件(event)。 二.频率稳定性 对于随机事件A,若在N 次实验中出现了n 次，则称 N n A F N =)( 为随机事件A 在N 次实验中出现的频率. 有种种事实表明，随机现象有其偶然的一面，也有其必然的一面。这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这种规律性我们称之为统计规律性。 对于一个随机事件A ，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称之为随机事件A 的概率（probability ）.因此概率度量了随机事件发生的可能性大小。 三.频率与概率 首先，概率具有非负性 0)(≥A F N 其次，对于必然发生的事件，在N 此试验中应出现N 次。若以Ω记必然事件，则应有 1)(=ΩN F 还有，若A 及B 是两个两个不会同时发生的随机事件，以A+B 表示A 或B 至少出现其一这一事件，则应有

样本空间

第1讲样本空间随机事件概率的定义及性质 教学目的：1．使学生理解随机试验，样本空间，随机事件, 频率及概率的概念。 2．使学生掌握并会运用概率的性质。 教学重点：随机事件，概率的概念和性质。 教学难点：概率的概念及性质。 教学时数：2学时。 教学过程： 第一章随机事件及其概率 §1.1 样本空间随机事件 1．随机试验与随机事件 确定性现象：在一定的条件下，必然会出现的某种确定的结果。 随机现象：在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果。 随机现象，从表面上看，由于人们事先不知道会出现哪种结果，似乎不可捉摸。其实不然，人们通过实践观察证明，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性，我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性。 为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学试验和对某一事物的观测统称为试验。如果试验具有下述特点： （1）试验可在相同条件下重复进行； （2）每次试验可能结果不止一个，但能确定所有的可能结果； （3）每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 则称这种试验为随机试验，通常用字母E或E1， E2，…表示。例1试验E1: 抛一枚 硬币，分别用“H” 和“T” 表示正面朝上和反面朝上，观察出现的结果，可能是“H” 也可能是“T”。 例2试验E2: 从一批产品中任意取10个样品，观察其中的次品数，可能是0，1，

2， (10) 例3 试验E 3: 记录某段时间内电话交换台接到的呼唤次数，可能是0，1，2，…。 例4 试验E 4: 掷一颗骰子，观察可能出现的点数。 我们把试验的结果中发生的现象称为事件。在每次试验的结果中，如果某事件一定发生, 则称为必然事件；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件称为随机事件, 简称事件，通常记作A ，B ，C 等。 例5 在试验E 1中: H —“正面朝上”，T —“反面朝上”，都是随机事件。 例6 在试验E 2中: B —“取出10个样品有1至3个次品” 是随机事件。 例7 在试验E 3中: C —“在该段时间内电话交换台接到的呼唤次数不超过8次” 是随机事件。 例8 在试验E 4中:D —“出现的点数是6”是随机事件。 定义1 设随机事件A 在n 次试验中发生了A n 次，则比值n n A 称为随机事件A 的频 率，记作()A f n ，即 ()n n A f A n = 实践证明：在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性。 2．样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为样本点,记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω。 任一随机事件A 都是样本空间Ω的一个子集，称事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A 中的元素。 几个特殊的事件: 基本事件：只包括一个样本点的子集。 必然事件：样本空间Ω 所表示的事件,每次试验必然发生。 不可能事件：不含任何样本点的空集,用Φ 表示。