高等代数试题四
线性变换
一 判断题
(1) 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3
R 的一个线性变换. ( ).
(2) 在向量空间[]n R x 中, 2
(())()f x f x σ=, 则σ是[]n R x 的一个线性变换. ( ).
(3) 取定()n A M F ∈, 对任意的n 阶矩阵()n X M F ∈, 定义()X AX XA σ=-, 则σ是()n M F 的一个线性变换. ( ).
(4) σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m ααα 线性相关, 那么
12(),(),,()m σασασα 也线性相关. ( ).
(5) 在向量空间[]n R x 中, 则微商'
(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ).
(6) 在向量空间3
R 中, 已知线性变换
123122
3312313
(,,)(,,),
(,,)
(,0,).
x x x x x x x x x x x x x στ=++=
则12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-. ( ).
(7) 对向量空间V 的任意线性变换σ, 有线性变换τ, 使(στιι=是单位变换). ( ). (8) 向量空间2
R 的两个线性变换σ,τ为12121(,)(,)x x x x x σ=-;12122(,)(,)x x x x x τ=-
则2
12212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+
(9) 在实数域F 上的n 维向量空间V 中取定一组基后, V 的全体线性变换和F 上全体n
阶矩阵之间就建立了一个一一对应. ( ).
(10)在取定基后, V 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵.
( ).
(11) 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). (12) 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). (13) 域F 上的向量空间V 及其零子空间, 对V 的每个线性变换来说, 都是不变子空间.
( ).
(14) 除零变换外, 还存在向量空间V 的线性变换, 能使V 的任意子空间对该变换不变.( )
(15) 向量空间V 的线性变换1σ的不变子空间W , 也是V 的另一线性变换2σ的不变子空
间, 这里21σσ≠. ( ).
(16) 向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). (17) 线性变换σ的特征向量之和, 仍为σ的特征向量. ( ). (18) 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). (19) 数域F 中任意数λ都是F 上的向量空间V 的零变换的特征根. ( ). (20) σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). (1)正确 (2)错误 (3)正确 (4)正确 (5)正确 (6)正确 (7)错误 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)错误 (16)正确 (17)错误 (18)正确 (19)错误 (20)错误
二 填空题
(1) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是单射的
充要条件是____________.
(2) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是满射的
充要条件是____________.
(3) σ是向量空间V 的线性变换, 若满足________________, 则称σ是可逆变换. (4) 向量空间V 的任意线性变换σ, 都有(0)_______,()______.
σσα=-= (5)σ是n 维向量空间V 的一个位似变换: (),k σξξ=那么σ关于V 的__________基的矩
阵是kI .
(6) 在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是
11
121321
222331
32
33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???
那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.
(7) 在3
F
中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基
123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________.
(8)设12,σσ分别是向量空间2
R 中绕原点逆时针旋转12,θθ角的线性变换, 那么21σσ关于
基12(1,0),(0,1)αα==的矩阵是___________________.
(9) 对于域F 上向量空间V 的数乘变换来说______________不变子空间. (10)2维平面上的旋转变换σ,_________非平凡的不变子空间.
(11) 若线性变换σ与τ是_____________, 则τ的象与核都是σ的不变子空间. (12) 相似矩阵有_____的特征多项式.
(13)0()0I A X λ-=的___________都是A 的属于0λ的特征向量. (14) A 与对角阵相似, ()[]f x F x ∈, 则()f A 必与某一______________.
(15) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ , 则
σ可对角化的充要条件是_____________.
(16) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, 如果V 的任意一维子空间都是σ
的不变子空间, 那么σ可以_____________.
(17) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, σ可对角化的充要条件是 1)σ的特征多项式的根都在F 内; 2)_______________________________;
(18) 设()n A M F ∈, 如果A 的特征多项式在F 内有______________, 那么A 可对角化. (19) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, λ是σ的一个特征根, 则dim ____V λλ的重数.
(20) 矩阵3270
2400
5??
?
? ??
?
的特征根是______________. 答案
(1)ker(){0}σ= (2)Im()W σ= (3)存在V 的线性变换τ, 使σττσι== (4)0,α-
(5)任意 (6)1311
12
11
23
212221
33313231
222a a a a a a a a a a a a +??
?
+ ? ?+?? (7)2
1001110
0-?? ? ? ??
?
(8)12121212cos()
sin()sin()cos()θθθθθθθθ+-+??
?++??
(9)每个子空间都是 (10)没有
(11)可交换的(12)相同 (13)非零解向量 (14)对角阵相似 (15)1
d i m
i t
i V n λ==∑ (16)对角化 (17)对于σ的特征多项式的每一个根λ, 特征子空间V λ的维数等于λ的重数 (18)n 个不同的 单根 (19)≤ (20)
3, 2, 5 三. 单选题：
1． 向量空间()n V F 的零变换θ的象及核的维数分别是（ ）。
.A 0,n .B ,0n .C 0,0 D. n, n
2．向量空间()n V F 的单位变换t 的象及核的维数分别是（ ）。
.A 1,1n - .B 1,1n - .C ,0n D. 0, n
3．“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（ ）条件。
.A 充分 .B 必要 .C 充分必要 D. 以上都不对
4．对于域F 上向量空间V 的数乘变换来说，（ ）不变子空间。
.A 只有一个 .B 每个子空间都是 .C 不存在 D. 存在且有限个
5. 2 维平面上的旋转变换σ，（ ）非平凡的不变子空间。
.A 有一个 .B 有无穷多 .C 没有 D. 有有限个 6．若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ 的不变子空间。
.A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D. 不可换的
7．以向量空间V 的任何非零向量作为特征向量的线性变换只能是（ ） .A 零变换 .B 位似（数乘）变换 .C 单位变换 D. 以上都不对 8．设σ是一线性变换，若{}()0Ker σ=。则下面说法正确的是（ ）
.A 无特征根零 .B 有特征根零 .C 不确定 D. 以上都不对
9．设S 是对合矩阵2()S I =，P 是幂等矩阵2()P P =，H 是幂零矩阵(0)m
H =且0H ≠,
那么（ ）可以对角化。 .A ,,S P H 在F 上均可以对角化 .B 仅,S P 在F 上可以对角化
.C 它们在F 上均不能对角化。 D. 在F 上可以对角化
答案：1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.A C B B C B B A B
四 多选题
1 设σ是n 维线性空间的线性变换, 则σ在不同基下的矩阵( ). A .一定合同 ; B . 一定相似;
C . 秩一定相等;
D .秩不一定相等. 2 设σ是线性空间V 的线性变换, 则 A .(0)0σ=;
B . 11221122()()()()n n n n a a a a a a σβββσβσβσβ+++=++ ;
C . 当12,,,n βββ 线性无关, 12(),(),,()n σβσβσβ 线性无关;
D . 当12,,,n βββ 线性相关, 12(),(),,()n σβσβσβ 线性相关. 3 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换, 且σ是单的. 则
A . 若1α, 2α, , n α是V 的一组基, 则12(),(),,()n σασασα 也是V 的一组基;
B . σ是满射;
C . σ不是满射;
D . σ是双射.
4 设V 是复数域上的n 维线性空间, ,στ是V 的线性变换, 且σττσ=. 那么 A . 若0λ是σ的一个特征值, 那么0
V λ是τ的不变子空间;
B . ,στ的特征值一定相同;
C . ,στ的特征子空间一定相同;
D . ,στ至少有一个特征值一定相同; 5
n 阶矩阵A 相似于对角阵的充要条件;
A . A 的特征子空间的维数和等于n ;
B . A 的初等因子都是一次的;
C . A 有n 个不同的特征根;
D . A 的最小多项式无重根.
答案: 1,;2,,;3,,;4,;5,,.B C A B D A B D A D A B D 五 简单题
1. 线性变换是否一定把线性无关的向量组变成线性无关的向量组?
2. 3R 的线性变换σ为
12312323123(,,)(2,33,2)x x x x x x x x x x x σ=+++-++
求σ的象与核的维数.
3．在数域F 上全体n 阶对称矩阵所组成的向量空间V 中定义变换:()X T XT σσ'= ，其中T 为一个固定的n 阶方阵，X 为V 中任一对称矩阵。 证明：σ是V 的一个线性变换。
4．在向量空间n F 中，对任意向量α，规定()A σαα=，这里A 为取定的一个n 阶方阵。 证明： σ是n F 的一个线性变换。
5．证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。
6．,στ是向量空间V 的线性变换。若στθ=，则σθ=或τθ=不成立，试举一反例. 7. []F x 的两个线性变换为：对任意()[]f x F x ∈，(())(),(())()f x f x f x xf x στ'== 证明：σττσι-=.
8．设,,στρ是()V F 的线性变换，定义[,]στσττσ=-
证明： 对任意,,στρ以下等式成立：[[,],][[,],][[,],]στρτρσρστθ++= 9．证明：若(),()f g σθσθ==，则()d σθ=，其中()d x 是[]F x 中多项式()f x 与()
g x
10．令123(,,)x x x ξ=是3R 中任意向量，σ是线性变换:12232()(,,)x x x x x σξ=+- 试证σ可逆。
11．设,A B 是数域F 上的n 阶矩阵，若,A B 之一可逆，则A B 与B A 相似。 12．设V 的两个线性变换σ与τ是可变换的。 试证τ的象Im()τ与核()Ker τ都是σ的不变子空间。
13．设σ是向量空间V 的线性变换，那么()W L ξ= 是σ的一维不变子空间当且仅当ξ是
σ 的属于某特征根0λ的特征向量。
14．设σ是复数域C 上线性空间的线性变换，若σ关于空间的一个基12,εε的矩阵为
0,00a A a a
??
=≠
?-??
求σ的特征根与特征向量。
15．设矩阵
cos sin ,0sin cos A θθθθ
θ??
=≠
?-??
求A 的特征根与特征向量。
16．设α是属于n 阶对称矩阵A 的特征根0λ的特征向量。
证明：0λ是1'()P AP -的特征根，并求矩阵1'()P AP -的属于0λ的一个特征向量。 17．试证幂等矩阵A 的特征根等于0或1。
18．设,A B 均为n 阶矩阵。证明：()()r r T AB T BA = 19．设n 阶矩阵()ij A a =的特征根是12,,...,n λλλ。
证明：21
1
1
n
n
n
i
ij
ji i i j a
a λ====
∑∑∑
20．令A 是数域F 上一个n 阶矩阵，A 可以对角化的充分必要条件是()A f x 在F 内有n 个单根。这种说法对吗？
答案
1. 答 不一定. 例如, 在二维空间2V 中, 到x 轴的投影变换121:(,)(,0)x x x σ
σ=, 把线性
无关的向量组(1,0),(0,1), 变为线性相关的向量组(1,0),(0,0). 2. 解 设123,,εεε为3R 的标准基, 则得线性方程组 123231
2320
33020
x x x x x x x x ++=??
+=??-++=?
其解空间即为ker()σ. 因为此方程组的系数矩阵的秩为2, 故dim ker() 1.σ= 3．证明：任取,,,X Y V k l F ∈∈，则
()()()()()()()()
kX lY T kX lY T T kX T T lY T
k T XT l T YT k X L Y σσσ'''+=+=+''=+=+
故σ是V 的线性变换。
4．证明：任取,,,n
F a b F αβ∈∈ ，有
()()()()
()()()()
a b A a b A a A b a A b A a b σαβαβαβαβσασβ+=+=+=+=+
故 σ 是n F 的线性变换。
5．证明：设向量组12,,...,r ααα在线性变换σ下的象12(),(),...,()r σασασα线性无关。 令1122...0r r k k k ααα+++=
于是1122()()...()0r r k k k σασασα+++=
由12(),(),...,()r σασασα线性无关，知12...0r k k k ====，故12,,...,r ααα线性无关。 6．解：反例为：对向量空间2R 的任意向量(,)x y ，定义线性变换
(,)(,0);(,)(0,)x y x x y y στ== 则有(,)(0,)(0,0).x y y στσ== 即 στθ= ，但是,σθτθ≠≠。 7．证明：任取()[]f x F x ∈，则
(())(())()()(())(())()
f x xf x f x xf x f x f x xf x στστστ'==+''==
因而()(())(())(())()f x f x f x f x σττσσττσ-=-= 故σττσι-=
[,][,][,][,][,][,]στρρσττρσστρρσττρσστρτσρρστρτστρσρτσστρσρτρστσρττρστσρθ
=-+-+-=--++--++--+=8.证明:原式
9．证明：因为()d x 是()f x 与()g x 的最大公因式，所以存在(),()()u x v x F x ∈，使
()()()()()f x u x g x v x d x +=
故有()()()()()()()d f u g v u v σσσσσθσθσθ=+=+= 。 10．任取3R 的一个基，123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===
那么123123110((),(),())(,,)0
1001
1σεσεσεεεε??
?= ? ?-?
?
由于 σ 关于此基的矩阵是可逆阵，故σ可逆。
11．证明：不妨设A 可逆，于是存在1
A -而有1
1
()()BA A A BA A AB A --==
12．证明：任取Im()ξτ∈，则存在V η∈ 使()ξτη=于是
()(())()()()()(())Im()σξστηστητσητσητ====∈ 所以Im()τ是的σ不变子空间。 任取()Ker ξτ∈，则 ()0τξ=，于是
(())()()()()(())(0)0τσξτσξστξστξσ===== 故由()()Ker σξτ∈而知()Ker τ是σ的不变子空间。
13．证明 ：ξ是一维不变子空间V 的生成向量，自然有0ξ≠，且()()W L σξξ∈=，因此存在0F λ∈，而使0()σξλξ=。反之，若ξ是σ的属于特征根0λ的特征向量，那么对任何0,()()()F μσμξμσξλμξ∈== 故(())()L L σξξ?。
14．解：易证λ的特征根为12,ai ai λλ==-，它们相应的特征向量分别为12,0,k ki k k C εε+≠∈，及12,0,k ki k k C εε-≠∈
15．解：2()2cos 1A f λλθλ=-+，从而A 的特征根为
12cos sin ,cos sin i i λθθλθθ=+=-
因此它们的特征向量分别是：11121(,1)(),0k i k i k εε-=-+≠ 和221232(2,1,1)(2),0k k k εεε-=+-≠。 16．证明：因为
,A A A αλα'==
故1
0()()()P AP P P A P ααλα-''''==
又 0α≠,P 可逆，易知0P α'≠，因此0λ是 1
()P AP -'的一个特征根，并且P α'是所求
的一个特征向量。
17．设i λ是A 的任一特征根，因2()i i f λλ=是2
()f A A =的特征根，所以 2()i i i f λλλ==
故幂等阵的特征根是0或1。
18．证明：设(),()ij ij A a B b ==，那么1
1
1
1
()()()()n
n
n
n
r ik
ki ki
ik r i k k i T AB a
b b
a T BA =====
=
=∑∑∑∑
19．证明：由题设易知2
A 的特征根为 2221
2
,,...n λλλ ，因此22
1
1
1
()n n
n
i
r ij
ji i i j T A a
a λ=====
∑∑∑
20．答；不对。例如，矩阵
100
1A ??=
???
有二重根1，而A 本身就是对角形矩阵。
六．计算题：
1． 向量空间3R 的线性变换σ为 123123(,,)(2,3,2)x x x x x x σ=-
求Im()σ与()Ker σ，并计算它们的维数。 1. 解 取3R 的标准基123,,,εεε，于是
1()(1,0,0)(2,0,0),σεσ==2()(0,1,0)(0,3,0),σεσ==3()(0,0,1)(0,0,2),σεσ==-
任取112233a a a ξεεε=++ ，则112233()()()()a a a σξσεσεσε=++ 因此123Im ()((),(),())L σσεσεσε? 显然123Im ()((),(),())L σσεσεσε? 故123Im()((),(),())L σσεσεσε=
而123(),(),()σεσεσε线性无关，所以3
Im(),dim Im()3R σσ== 因为}{3
()()0K er R σξσξ=∈=
则由123(2,3,2)(0,0,0)x x x -= 得1230x x x ===
所以{}()0,dim ()0Ker Ker σσ== 2． 令4F 表示数域F 上四元列空间。取
11511123318113
9
7A --?? ?-
?= ?- ? ?-?
?
对于任4F ξ∈ ，令()A σξξ=。求线性变换σ的核和象的维数。
2. 解 取4F 的标准基1234,,,.εεεε由1234Im()((),(),(),())L σσεσεσεσε= 其中111()31σε?? ? ?= ? ? ???211()13σε-?? ? ?= ?- ? ???352()89σε?? ?- ?= ? ? ?-??352()89σε?? ?- ?= ? ? ???4
13
()17σε-??
? ?= ? ? ???
由此得dim Im()σ=A 秩2=
由线性方程组0A ξ=的解空间的维数，得dim ()422Ker σ=-= 3． 设1234{,,,}εεεε是4V 的标准基，线性变换σ 关于此基的矩阵是 1
0211213125522
1
2A ?? ?-
?= ? ? ?--?
?
求σ的象Im()σ与()Ker σ。
3 解：解齐次线性方程组0A X =得基础解系12{,}ηη 其中321(2,,1,0)η=--2(1,2,0,1)η=--，从而 12()(,)Ker L σηη=
又由于A 的秩为2 ，知1234(),(),(),()σεσεσεσε的秩为2，且12(),()σεσε线性无关，它们构成Im()σ的一个基，从而 12Im()((),()).L σσεσε=
4． 设σ是向量空间 2
C 的线性变换， σ在基12,αα下的矩阵是
2452A -??=
?-??
试找出σ的所有不变子空间。
4 解：2
C 和00??
???? ?????
是σ的两个不变子空间，那么其余的不变子空间都是一维的。由于
2
()16(4)(4)f I A i i λλλλλ=-=+=-+
因此当14i λ= 时，我们得A 的属于1λ的特征向量1212i ξ??
= ?-??
当24i λ=-时，得特征向量22
12i ξ?
?
= ?+??
。 令
1122122(12),2(12).
i i βααβαα=+-=++
那么11()W L β=和22()W L β=是σ的另两个不变子空间. 5.设数域F 上向量空间V 的线性变换σ关于基123,,ααα的矩阵是 （1）4
525
73694A -??
?=- ? ?-?? （2）1344
78677A -??
?=- ? ?-?? （3）26151
1512
6A -??
?=- ? ?-?
?
试找出σ的一个不变子空间。
5 解：（1）因为111?? ?
? ???
是A 的属于特征根1的特征向量，所以123()L ααα++是σ的不变子空
间。
（2）122?? ?
? ???
是A 属于特征根3的特征向量，所以123(22)L ααα++是σ的不变子空间。
（3）因为A 的特征根是三重根 1- 所以V =特征子空间1V -就是σ的不变子空间。
6． 在3F 中定义线性变换如下，试求σ的特征根和特征向量。 12312323123(,,)(2,2,3)x x x x x x x x x x x σ=+++-++
6 解：设σ 关于3F 的标准基123,,,εεε的矩阵是A ，则 1130
2111
3A ?? ?= ? ?-?
?
A 的特征多项式为
1
120211
1
3
I A λλλλ----=
----
所以A 的特征根为三重根1232λλλ===。解方程组(2)0I A X -= ，得特征向量 12(1,1,0),0k k k k εε=+≠
7． 设σ是3F 的一个线性变换。
已知：(1,0,0)(5,6,3),(0,1,0)(1,0,1),(0,0,1)(1,2,1)σσσ=-=-= 试求：σ的全部特征根及特征向量。 7 解：σ 关于标准基123,,εεε的矩阵为 5
116
0231
1A -?? ?= ? ?-?
?
那么A 的特征多项式为3
(2)I A λλ-=-，且特征根为1232λλλ=== 解齐次线性方程组 (2)0I A x -=，得出特征向量为12(1,3,0)(0,1,1),k k + 即1112223(3)k k k k εεε+++ 这里12,k k 不全为零。
8．设123,,εεε是3F 的一个基，令
1123,22αεεε=-+2123,224αεεε=--+3123242αεεε=+-
3
()L F σ∈，且112233112233()l l l l l l σεεεααα++=++
求：σ 的特征根与特征向量。 8 解：由条件(),1,2,3i i i σεα== 故σ关于基123,,εεε 的矩阵为1222
2424
2A -??
?=-- ? ?-?
?
于是求出 A 的特征根为1232,7λλλ===-
当 122λλ==时，解齐次方程组(2)0I A X -=，得出特征向量为12(2,1,0)(2,0,1)k k -+=1211223(22)k k k k εεε-+++
12,k k 不全为零。
当37λ=-时，解齐次方程组(7)0
I A X --=，得特征向量为
(1,2,2)k --12322k k k εεε=--+0k ≠
9．设3
104
1048
2A ??
?
=-- ? ?--?
?
，试由A 的特征多项式和特征根写出1A -的伴随阵1()A -* 的特征多项式和特征根。
9 解：因2
(2)(1)I A λλλ-=+- A 的特征根为2,1,1-。 今111()()A A A I --*-=
所以11()A A A
-*
=
又2,A =-
所以 1()A -*
的特征多项式是
3
3
2
3
11()()()(2)2
2
11()(22)(21)(1)()
2
2
g I A I A
λλλλλλλ=--=---=-
-+--=-+
由此()g x 的特征根为11,,12
2
--
。
10．试求方阵 .....................
a a a a a a A a a
a ?? ?
?= ? ? ??
?
的特征根。
10 解：显然秩1A =
所以 A 的任何高于一阶的子式皆为0。于是1
1
()n
n n n r I A T A na λλλλλ
---=-=-
故A 的特征根为1210,n n na λλλλ-===== 。
七．证明题：
1．取定()n A M F ∈，对任意()n X M F ∈，规定()X AX XA σ=- 证明：()F σn 是M 的一个线性变换。 1 证明：任取
,(),,,
()()()()()()()n
X Y M F a b F a X b Y
A a X b Y a X b Y
A a A X X A b A Y
Y A a X b Y
σσ
σ
∈∈+=+-+=-
+
-=+ 故()F σn 是M 的线性变换。
2．设M 是向量空间()V F 的一个子空间，并且存在V 的子空间N ，使V M N =+，对任意V α∈，有唯一分解式1212,,M N ααααα=+∈∈。定义V 的变换2:()σσαα= 。 证明： σ是V 的一个线性变换 。
2 证明：设任意,V αβ∈，并且12121122,,,,,,M N k F αααβββαβαβ=+=+∈∈∈ 于是121222()(()())()()σαβσααββαβσασβ+=+++=+=+ !22()(())(),k k k k σασααασα=+==
故σ是V 的线性变换。
3．对向量空间n F 的任意向量12(,,...,)n x x x ，定义
σ12(,,...,)n x x x =121(0,,,...,)n x x x -
证明：σ是n F 的线性变换。
3 证明：任取α=12(,,...,)n x x x 12,(,,...,),,n n y y y F a b F β=∈∈ 则
1122
1111
1111()(,,...,)
(0,,...,)
(0,,...,)(0,,...,
)
()(
)
n
n
n n n n a b ax by ax by ax by ax by ax by a x x b y y a b σαβσσασβ----+=+++=++=+=+
故σ是n F 的线性变换。
4．在2()M F 中定义线性变换σ如下：2(),().a
b X X X M F c
d σ??
=∈
???
证明：σ可逆的充分必要条件是
0a b c
d
≠
4 证明：取2()M F 的标准基11122122{,,,}E E E E ，则σ关于此基的矩阵为
0000000
a b a b A c d c
d
=
因为 2
a b A c
d
=
，
故σ可逆当且仅当A 矩阵可逆当且仅当0a b c
d
≠
5．试证明：若矩阵A 与B 相似，C 与D 相似。 则矩阵A O O
C ??
???与B O O
D ??
???
相似。 5 证明：因为由题设，存在可逆T ，使B T A T '= 。 又因为存在可逆矩阵Q ，使1
D Q C Q -=，那么我们有分块矩阵
T O G O
Q ??=
???及11
1T O G O
Q ---??
= ???
从而得到
1
G
-A O O
C ??
???G =11T O O
Q --?? ???A
O O
C ?? ???T O O
Q ?? ???11
T AT O
O
Q C Q --??=
???=B O O D ?? ???
故得求证的相似关系。
6．令σ是n 维向量空间V 的线性变换。 若σ是可逆变换。
则σ关于V 的某一基的矩阵A 秩为n 。
6 证明 设12(,,...,)n ααα是向量空间V 的一个基，且 12(,,...,)n σααα12(,,...,)n A ααα=
而σ可逆当且仅当A 可逆，因此矩阵A 秩为 n 。
7．试证线性变换σ的不变子空间的交与和都是σ的不变子空间。
7 证明：设W 与S 是σ 的两个不变子空间。那么W S 与W S +都是向量空间V 的子空间。现在证它们是不变的。任取ξ∈W S 则由()W σξ∈及()S σξ∈ ，推出
()σξ∈W S 。这证明了W S 是σ的不变子空间。如果η∈W S +，那么η可表成
1212,,W S ηηηηη=+∈∈
于是12()()()σησηση=+ 又由于12(),()W S σηση∈∈ 所以()ση∈W S + 故W S +是σ的不变子空间。
8．设V 是复数域C 上的向量空间，σ与τ是V 的线性变换，并且σττσ=。 证明：如果0λ是σ的一个特征跟，那么特征子空间0
V λ也是τ的不变子空间。
8 证明：显然已知00{()}V V λασαλα=∈=是σ的不变子空间。现在证它是τ的不变子空间。即任取0
V λα∈ ，往证0
()V λτα∈. 由于
00(())(())()(())στατσατλαλτα===
故0
()V λτα∈ 。
9．设V 是复数域上n 维向量空间，其线性变换12,,...,s σσσ两两可换。 证明：i σ的每一个特征子空间都是j σ的不变子空间(,1,2,...,)i j s =。 9 证明： 设0
V λ是i σ属于特征根0λ 的特征子空间，任取α∈0
V λ
则有：0()i σαλα=∈0
V λ
那么0(())(())(()),i j j i j σσασσαλσα== 可见()j σα∈0
V λ
所以0
V λ是i σ 的不变子空间(,1,2,...,)i j s =。
10．设σ是向量空间V 的可逆线性变换。 证明：σ的特征根都不为零。
10 证明：设12,,...,n λλλ为σ的特征根，且设σ在V 的某个基下对应的矩阵是A 。那么12...n A λλλ=, 并且由σ可逆知A 可逆。
故σ的特征根都不为零。
11．设非奇异矩阵A 的全部特征跟为12,,...,n λλλ，则1A -的全部特征根为：11112,,...,n λλλ--- 11 证明：由A 为可逆阵，有A =12...n λλλ0≠
所以A 的全部特征根12,,...,n λλλ皆不为零，其次对每个i λ，由存在非零向量i α使
i i i A αλα=。
我们可再从11i i i A A A αλα--=，推得11i i i A αλα--= 。所以1
,1,2,...,i i n λ-=都是1A -的特征
根。再由111112...n A λλλ----=，
即知1A -全部特征根是111
12,,...,n λλλ--- 。
12．若α为n 阶方阵A 的属于特征根0λ的特征向量。 证明：0λ为1T AT -的特征根。
12 证明：因为A 与1T AT -有相同的特征多项式，所以0λ也是1T AT -的特征根。 13．设数域F 上的矩阵 ,b c a A c
a b a b
c ?? ?= ? ??
?,c a b B a b c b c
a ?? ?= ? ??
?a
b c C b c a c a
b ??
?= ? ??
?
证明：,,A B C 彼此相似。
13 证明：在3
F 中取定基123,,ααα，并且令线性变换σ关于基123{,,}ααα的矩阵为A 。那
么有
231((),(),())σασασα231(,,)C ααα= 312((),(),())σασασα312(,,)C ααα=
因此,,A B C 是线性变换关于不同基的矩阵，故它们彼此相似。 14．设σ是数域F 上n 维向量空间 V 的一个线性变换。 证明：σ可以对角化那么σ有n 个线性无关的特征向量。 14 证明；若σ可以对角化，必存在V 的一个基12,,...,,n ααα 使12((),(),...,())n σασασα = 12(,,...,)n ααα12
00n λλλ??
?
? ? ? ??
?
它即是(),1,2,...,i i i i n σαλα==
因此σ有n 个线性无关的特征向量12,,...,n ααα.
15．证明：若数域F 上n 维向量空间V 的线性变换σ有n 个不同的特征根，
则σ在某一基下的矩阵是对角形。
15 证明：由题设σ的特征多项式 ()f x σ在[]F x 内可以分解成为线性因式的乘积
()f x σ12()()...()n x x x λλλ=---
i F λ∈且两两不同。对于每一i λ，选取一个特征向量i ξ，1,2,...,i n =
易知12,,...,n ξξξ 线性无关。因而构成V 的一个基。 σ 关于这个基的矩阵是对角形矩阵 120
...00...0 (00)
...
n λλλ?? ? ? ? ? ??
?
故σ 在基12,,...,n ξξξ下的矩阵是对角形。
16．设2(),00
a
c A M F c b ??
=∈≠
???
。 证明：A 在F 上可对角化的充分必要条件是a b ≠。 16 证明：必要性。用反证法，若a b =
则a 是A 的二重特征根，但秩()1220aI A n s -=≠-=-=
故A 不能对角化，矛盾。
充分性。若a b ≠，则特征多项式 ()A f n xI A =-有两个不同的特征根，因此，A 可对角化。
17．设A 是n 阶方阵，A 有n 个线性无关的特征向量 12,,...,n ηηη，其对应的特征根均为 1 . 证明：A 是单位矩阵。
17 证明：以12,,...,n ηηη的坐标为列，作一个n 阶矩阵 T ，由于T 的列线性无关，因而是一个可逆矩阵，并且
1
1
0...001...0 (00)
...
1T AT -?? ?
?= ? ? ??
?
于是1A TIT I -== 18．设 122
(),00a A M R A a ??
=∈≠
???
证明：A 在R 上可以对角化的充分必要条件是120a a > 18 证明：必要性。因为A =120a a -≠ 所以120a a ≠ 若120a a <
则 2
12()A f x x a a =-无实根 与A 可对角化矛盾。 充分性。若120a a >
则2
12()A f x x a a =-有两个不同的实特征根
，所以A 可以对角化。
19．设A 是可逆矩阵且可对角化。 证明：1A -也可对角化。
19 证明：因A 可以对角化，所以存在可逆矩阵T ，使
高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页
,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?
高等代数试卷及答案1
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
高等代数习题
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1αβ，那么 ∑== n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
00020 高等数学(一)自考历年真题
2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2 211lim e x bx x =?? ? ??+∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数 C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数? = Φx tdt t x 20 cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间I 上的凹 凸性。
高等代数试题附答案
高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）
厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)
10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。
历年高等数学期末考试试题
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
《高等代数》试题库
《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ；
．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4
专升本高数考试试题库
全国教师教育网络联盟入学联考 （专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2012年 一、选择题 1. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为（ ）. A: ?? ? ???1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12?? ?? ? 2. 函数()()a r c s i n s i n f x x =的定义域为（ ）. A: (),-∞+∞ B: ,22ππ ??- ??? C: ,22ππ??-???? D: []1,1- 3.下列说确的为（ ）. A: 单调数列必收敛； B: 有界数列必收敛； C: 收敛数列必单调； D: 收敛数列必有界. 4.函数x x f sin )(=不是（ ）函数. A: 有界 B: 单调 C: 周期 D: 奇
5.函数1 23sin +=x e y 的复合过程为（ ）. A: 12,,sin 3+===x v e u u y v B: 1 2,sin ,3+===x v e u u y v C: 123,sin ,+===x e v v u u y D: 12,,sin ,3+====x w e v v u u y w 6.设??? ??=≠=001 4sin )(x x x x x f ，则下面说法不正确的为( ). A: 函数)(x f 在0=x 有定义； B: 极限)(lim 0 x f x →存在； C: 函数)(x f 在0=x 连续； D: 函数)(x f 在0=x 间断。 7. 极限x x x 4sin lim 0→= ( ). A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8.51lim(1)n n n -→∞ +=（ ）. A: 1 B: e C: 5 e - D: ∞ 9.函数)cos 1(3 x x y +=的图形对称于（ ）. A: ox 轴； B: 直线y=x ； C: 坐标原点; D: oy 轴 10.函数x x x f sin )(3 =是（ ）. A: 奇函数； B: 偶函数； C: 有界函数； D: 周期函数.
《高等代数》(上)题库
《高等代数》（上）题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2
高等代数精彩试题(卷)库
《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242 ()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是 （ ）。 A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题 乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 A .甲成立, 乙不成立； B . 甲不成立, 乙成立； C .甲, 乙均成立； D ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 A . 奇数次实系数多项式必有实根； B . 代数基本定理适用于复数域； C ．任一数域包含Q ； D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =?= 8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则11 21112 22212......... ............n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。 A . D B . D - C ./ D D ． (1)n D -
考研数学历年真题(免费下载)
真题一定要成套的练习。历年真题从10往前做，先前做李永乐400 做真题填空选择都要做到400那么顺手。 2011年考研数学必备——1996年到2010年——15年考研数学真题（数1、数2、数3、数4）大汇总——免费下载 2010年全国硕士研究生入学考试数学一试题 2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题 2010年全国硕士研究生入学考试数学三试题 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
高等代数试题及答案
. . 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且= . 证明: 的值域与核都是 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ????????? ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 610210 2 2T ?-????-? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
Igcse-数学-历年真题
4400/4H Edexcel IGCSE Mathematics Paper 4H Higher Tier Friday 11 June 2010 – Afternoon Time: 2 hours Materials required for examination Items included with question papers Ruler graduated in centimetres and Nil millimetres, protractor, compasses, pen, HB pencil, eraser, calculator. Tracing paper may be used. Instructions to Candidates In the boxes above, write your centre number, candidate number, your surname, initials and signature. Check that you have the correct question paper. Answer ALL the questions. Write your answers in the spaces provided in this question paper. You must NOT write on the formulae page. Anything you write on the formulae page will gain NO credit. If you need more space to complete your answer to any question, use additional answer sheets. Information for Candidates The marks for individual questions and the parts of questions are shown in round brackets: e.g. (2). There are 22 questions in this question paper. The total mark for this paper is 100. You may use a calculator. Advice to Candidates Write your answers neatly and in good English.
高等代数真题答案
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
历年考研高数一真题
1995 一、 填空題 (l)linj(l 十珂圭= _________ .⑵話(xcos 為 二 ----------- (3)________________________________________ 设(axb)y = 2, PJ [(a 十E)x(b + c)]. (c 十a)二 ___________________________________________ . (4漏级数匕―“的收鈑半径R=— ?-i 2K 4-(-3) (5)设三阶方阵几 呂满足关系式：A X BA = 6A ￥BA f 且4二0 | 0，则￡ = _______ 0 0 1 L 7」 二选择題 (1) 设有直J Z+3y+22 + 1= °及平面开：4x —S+"2 = 0,则直线L 2x-y-\0z 十3 二 0 (A)平行于兀 (B)在幵上. (C)垂直于兀 (D)与幵斜交. ⑵ 设在[0,l]±/(z)>0,则于(0)、/ (1). 或于(0)-川1)的大小 顺序是 (B) /(I) 〔C)/(I)-/(0) >/(I) >/ (0). ⑶ 设/㈤可导,^(x)=/(x)(U|S inx|)?则/(0) = 0是只(刃在x=0处可导的 (A)充分必妾条件. (B)充分条件但非必要条件. (C)必要条件但菲充分条件. (4)设乙=(-1)” lnll + 4-L 则级数 (A )ix 与都收敛 ?J x-1 CD)既非充分条件又非必婪条件. (B )22与工":都发散. M-l W-1 (C )乞均收敛而发数. ?-1 ?J ?知 a 12 a u ~ '两 如 勺3 ' '0 1 (5)设山= 如如% 宀 °11 a \l 攵 13 1 0 內％ 抵 _%+知知+牝勺 .0 0 (A) AP f P 2 = B (D)乞叫发散而文>/收敛. ?-1 ?-1 1 0 0 0 1 p,= 0 1 0 ,则必有
《高等代数》月测试试题与及答案
《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分） 一、（共12分）叙述下列概念或命题： （1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理. 答：（1）向量组 称为线性相关，如果有数域 中不全为零的数 ，使 . 注对如下定义也视为正确：如果向量组 （ ）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组 称为线性相关的. （2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身 是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关. 注对如下定义也视为正确：向量组 的一个部分组 称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ） 线性无关；（ⅱ） 可由 线性表出.
（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和. 注用公式写出按行（或列）展开定理亦可. 二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1． ． （×） 2．若向量组 （ ）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部 （ ）级排列中，奇排列的个数为 ．（√）4．若排列 为奇排列，则排列 为偶排 列．（×）5．若矩阵 的秩是 ，则 的所有高于 级的子式（如果有的话）全为零．（√）
6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比 例．（×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无 解．（×） 8．对 个未知量 个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无 解．（×） 9．等价向量组的秩相 等． （√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的 解．（√） 三、（共18分）计算行列式 （1） 解原式 ． 注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）