初中数学如何证明圆的切线

如何证明圆的切线

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线．

思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD

＝90o即可．

证明：连接OC ，BC ．

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o．

∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝

21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2

1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o．

二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．

【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA

相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切．

思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由

角平分线上的点到角两边的距离相等证得．

请同学们写出证明过程．

【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性．

【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点

的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．

思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．

证明：连接OC．

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．

∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．

∴AC平分∠DAB．

【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．

【例4】如图4，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接

OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也

就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明

CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90o即可．

证明：连接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，

∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的．

初中数学《圆的切线》教案

初中数学《圆的切线》教案 教学内容24.2圆的切线（1） 课型新授课课时32 执教 教学目标使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题 通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力 教学重点切线的识别方法 教学难点方法的理解及实际运用 教具准备投影仪,胶片 教学过程教师活动学生活动 （一）复习情境导入 ：1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系． 2、请学生判断直线和圆的位置关系． 学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题) 抢答 学生总结判别方法 (二) 实践与探索1：圆的切线的判断方法1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线． 2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离与半径之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线． 3、实验：作⊙O的半径OA，过A作l⊥OA可以发现：（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂

直于半径．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．理解并识记圆的切线的几种方法，并比较应用。 通过实验探究圆的切线的位置判别方法，深入理解它的两个要义。 三、课堂练习 思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？ 请学生回顾作图过程，切线是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行? （学生画出反例图） （图1）（图2）图（3） 图(1)中直线经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)中直线与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线． 最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．试验体会圆的位置判别方法。 理解位置判别方法的两个要素。 （四）应用与拓展例1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，OBA=45，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？ 例2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D．BD是⊙ O的切线吗？为什么？ 分析：欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BD⊥OD，因OA＝OD，BAD＝B，易证BD⊥OD．

中考数学专题圆的切线精华习题

中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点， A ∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1 2 ，∴EC=4 tan DE C =. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC= 在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径.

初中数学：圆的切线的证明

中国最大的教育门户网站 E 度网https://www.wendangku.net/doc/5c13182973.html, 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．A B 是O 的直径，AB AC ⊥，B C 交⊙O 于P Q ，是A C 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接O P ，证明OP PQ ⊥即可． 证明：连接O P ，P A ， A B 是⊙O 的直径，90APB ∠=?∴． 在R t A P C △中，Q 是A C 的中点， PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴． 又O P O A =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴． A B A C ⊥ ，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形A B C D 中，以腰C D 为直径的⊙1O 恰与另一腰A B 相切，求证：以腰A B 为直径的⊙2O 也与腰C D 相切． 分析：要证明以腰A B 为直径的⊙2O 与腰C D 相切，因为⊙2O 的半径是A B 的一半， 由切线的定义可知，C D 如果与⊙2O 相切，则2O 到C D 的距离应等于半径 12 A B ，所以过2 O 作2O E C D ⊥，证明212 O E A B = 即可． 证明：过1O 作12O O AB ⊥，则22O A O B =， 作21DF O O ⊥于F ，作2O E C D ⊥于E ， A B 与⊙1O 相切，121O O O D =∴． 211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠ ，∴△≌△， 2O E DF =∴． A B C Q P O A B C D E F 1O 2O

初中数学圆专题复习精心整理版

圆 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于. 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的. 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是. 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.

知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分. 知识点5：确定圆的条件 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的. 知识点6：点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，

知识点7：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离． 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表： 位置关系相离相切相交 公共点个数0 1 2 数量关系 d r d r d r 知识点8：切线的判定与性质 判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有的直线是圆的切线。 ②到圆心的距离等于的直线是圆的切线。 ③经过半径的外端点并且于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：①切线与圆只有公共点； ②切线到圆心的距离等于圆的； ③切线垂直于经过切点的； ④经过圆心垂直于切线的直线必过； ⑤经过切点垂直于切线的直线必过。

初中数学-证明圆的切线经典例题

初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C

证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒

例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒

初中数学如何证明圆的切线

如何证明圆的切线 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝ 21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切． 思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由 角平分线上的点到角两边的距离相等证得． 请同学们写出证明过程． 【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性． 【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点 的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．

初中数学圆的切线Word版

切线的证明 1.已知：如图6，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． （图） 2.如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O,交⊙O于点C,∠A=∠B=30°. (1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？（2）连接CD,若CD=5，求AB的长。

3.如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长； （2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线 4.如图，AB 是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD。（1）求证：CD 是⊙O的切线； （2）若AC=2 ，BC=3 ，求AB的长。

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O 过B,D两点，且分别交AB,BC雨点E,F。 （1）求证：AC是⊙O的切线。 （2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r。 6.如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB=6，BC=3，求阴影部分的面积． （ 7、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,点D在AB上,DE⊥BE, （1）.求证；PC是⊙O的切线 （2）.若AD=6，AE=6倍根号2，则BE=？

8、如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，R是OA延长线上任一点，BQ是弦，BQ与OA交于点P。 （1）若 RP=RQ，求证：RQ是切线。 （2）若RQ是切线，求证：RP=RQ。

九年级数学上册第3章学习“圆的切线”三步曲(青岛版)

学习“圆的切线”三步曲 一、理解圆的定义 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 理解这个定义，必须抓住两点： （1）直线经过半径的外端点； （2）直线垂直于这条半径。这两个条件缺一不可。 二、辩明切线的特征 切线具有下列特征： 1、切线与圆只有一个公共点，如图所示，直线l 与⊙O 切与点A ，则A 是直线l 与⊙O 的唯一公共点； l r O A 2、切线到圆心的距离等于圆的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，⊙O 的半径为r ，则OA r ； 3、切线垂直于经过切点的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，则l ⊥OA ； 4、经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，l ⊥OA ，则A 是切点； 5、经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，A 为切点，直线l ⊥OA ，则OA 一定经过圆心。 说明：（1）在上述特征中，1、2是切线概念的变式； （2）上述特征中，3、4、5三条中如果具备圆与切线的三个条件中的两个，那么第三个就成立，这三个条件是：①垂直于切线；②过圆心；③过切点。 三、掌握切线的判定方法 总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种： 1、根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 说明：（1）“有切线，连半径，证垂直”是证明圆的切线问题的常用技巧之一； （2）要证明已知直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径；如果已知直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径。 例1、已知，如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，C 是AB 延长线上一点，∠A=30°，AD=DC ，求证：CD 是⊙O 的切线 O D B C A 分析：点D 是直线CD 与⊙O 的公共点，连接点D 与圆心得到半径，再证半径OD 与直线CD 垂直，即“连半径，证垂直”。 证明：连接OD ，∵∠A=30°，AD=DC ，∴∠C=∠A=30°， ∴∠ADC=180°-30°-30° =120°，∵OA=OD ，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠CDO=180°-30° =90°，而CD 经过半径的外端，∴CD 是⊙O 的切线。 例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=6，BC=8，以点C 为圆心，r 为半径画圆，当r =4.8时，直线AB 和圆有怎样的位置关系？并说明理由。 E B C A 分析：直线AB 与圆O 的公共点没有确定，过圆心C 作直线AB 的垂线CE ，证明线段CE 等于半径r ，即“作垂直，证半径”。 解：直线AB 和圆相切。

初中数学圆的切线

切线的证明 1. 已知：如图§,△ ABC内接于O 0,过A点作直线DE,当/ BAE=/C时，试确定直线DE与O 0的位置关系，并证明你的结论. 2. 如图，AD是O 0的弦，AB经过圆心0,交O 0于点C, / A=Z B=30° . (1)直线BD是否与O 0相切？为什么？( 2)连接CD,若CD=5求AB的长。 3. 如图AB是O0的直径，AP是O 0的切线，A是切点，BP与O 0 (1)若AB=2,Z P=30°,求AP 的长； (2)若D为AP的中点，求证：直线CD是O 0的切线 4. 如图，AB是O 0的直径，AC和BD是它的两条切线，C0平分/ ACD (1)求证：CD是O 0的切线； (2)若AC=2 , BC=3，求AB的长。

5. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90，/ ABC 的角平分线交 AC 于点D,点0是AB 上一点，O 0 过B,D 两点，且分别交 AB,BC 雨点E,F 。 (1)求证：AC 是O 0的切线。 (2)已知 AB=10, BC=6求O 0的半径r 。 6、 如图，AB 是O 0的直径，C 为圆周上的一点，过点 C 的直线MN 满足/ MCA M CBA (1) 求证：直线MN 是O 0的切线； (2) 过点A 作AD 丄MN 于点D,交O 0于点E ,已知AB=6, BC=3求阴影部分的 面积 7、 如图,在Rt △ ABC 中,/ C=90° , / ABC 的平分线 BE 交AC 于点E,点D 在AB 丄,DE 丄BE, (1) .求证；PC 是O 0的切线 ' (2) .若 AD=6 AE=6倍根号 2,贝U BE=? 8、 如图，0A 和0B 是O 0的半径，并且 OA!OB R 是0A 延长线上任一点， BQ 是弦，BQ 与 0A 交于点P 。 (1 )若RP=RQ 求证：RQ 是切线。 (2 )若RQ 是切线，求证： RP=RQ c D B

最新中考数学专题圆的切线

中考数学专题圆的切线晃位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径 . F C F C

【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交 于点F ，且8BE = ，tan BFA ∠= O 的半径长. 【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin E ∠的值． 【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E . （1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长. G F E D C B A C

第二部分发散思考 【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长. 【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。 【思考2】已知：AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB. （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O的半径等于4， 4 tan 3 ACB ∠=，求CD的长. 【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。 【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC 于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1）求证：AE与⊙O相切； （2）当BC=4,cosC= 1 3 时，求⊙O的半径. 【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。 A B C O

初中数学如何证明圆的切线 (1)

如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线，通常有的两种方法： 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o 即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切． 思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得． 请同学们写出证明过程． 【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性． 【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 图1 图3 图2

九年级数学证明圆的切线专题(可编辑修改word版)

证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在中，，点D 是AC 的中点，且,过点作Rt ABC ?90C ?∠=90A CDB ?∠+∠=,A D ，使圆心在上，与交于点． O A O AB O A AB E （1）求证：直线与相切； BD O A （2）若,求的直径． :4:5,6AD AE BC ==O A 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交 AB 、AC 于点E 、F ，且D 为的中点。A EF （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求的长。A AD 3. 如图，已知CD 是O 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． Θ(1)求证：直线AB 是OO 的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=；（2）如图②，若25 24sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．

圆的切线综合练习题与答案(2018)

切线的判定与性质练习题 一、选择题（答案唯一，每小题3分） 1．下列说法中，正确的是( ) A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的 度数为( ) A．70° B．35° C．20° D．40° 第2题第3题第4题第5题 3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线 于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( ) A．20° B．25° C．30° D．40° 4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与 AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( ) A．8 B．6 C．5 D．4 5.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不 一定正确的是( ) A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC 二．填空题（每小题3分） 6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的 位置关系是_________． 第6题第7题第8题 7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所 添加的条件为________________． 8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8， CD＝4，那么⊙O的半径是______．

初中数学圆的切线的证明

优秀学习资料欢迎下载 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．AB 是 O 的直径，AB AC ，BC 交⊙O 于P Q ，是AC 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为 P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接 OP ，证明OP PQ 即可．证明：连接OP ，PA ， AB 是⊙O 的直径，90APB ∴．在Rt APC △中，Q 是AC 的中点， PQ AQ ∴，QAP QPA ∴．又OP OA ，OAP QPA ∴，OAQ QPO ∴．AB AC ，OP PQ ∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形ABCD 中， 以腰CD 为直径的⊙1O 恰与另一腰AB 相切，求证：以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰 CD 相切．分析：要证明以腰 AB 为直径的⊙2O 与腰CD 相切，因为⊙2O 的半径是AB 的一半，由切线的定义可知， CD 如果与⊙2O 相切，则2O 到CD 的距离应等于半径12AB ，所以过2O 作2O E CD ，证明212 O E AB 即可．证明：过1O 作12 O O AB ，则22O A O B ，作21DF O O 于F ，作2O E CD 于E ， AB 与⊙1O 相切，12 1O O O D ∴．211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ，∴△≌△，2O E DF ∴．2DF O A ，21 2O E AB ∴，∴以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．A B C Q P O A B C D E F 1O 2O

初中数学 学习“圆的切线”三步曲

学习“圆的切线”三步曲 一、理解圆的定义 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 理解这个定义，必须抓住两点：（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂直于这条半径。这两个条件缺一不可。 二、辩明切线的特征 切线具有下列特征： 1、切线与圆只有一个公共点，如图所示，直线l 与⊙O 切与点A ，则A 是直线l 与⊙O 的唯一公共点； 2、切线到圆心的距离等于圆的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，⊙O 的半径为r ，则OA r ； 3、切线垂直于经过切点的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，则l ⊥OA ； 4、经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，l ⊥OA ，则A 是切点； 5、经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，A 为切点，直线l ⊥OA ，则OA 一定经过圆心。 说明：（1）在上述特征中，1、2是切线概念的变式； （2）上述特征中，3、4、5三条中如果具备圆与切线的三个条件中的两个，那么第三个就成立，这三个条件是：①垂直于切线；②过圆心；③过切点。 三、掌握切线的判定方法 总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种： 1、根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； l r O A

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 说明：（1）“有切线，连半径，证垂直”是证明圆的切线问题的常用技巧之一； （2）要证明已知直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径；如果已知直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径。 例1、已知，如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，C 是AB 延长线上一点，∠A=30°，AD=DC ，求证：CD 是⊙O 的切线 分析：点D 是直线CD 与⊙O 的公共点，连接点D 与圆心得到半径，再证半径OD 与直线CD 垂直，即“连半径，证垂直”。 证明：连接OD ，∵∠A=30°，AD=DC ，∴∠C=∠A=30°， ∴∠ADC=180°-30°-30°=120°，∵OA=OD ， ∴∠ADO=∠A=30°，∴∠CDO=180°-30°=90°， 而CD 经过半径的外端，∴CD 是⊙O 的切线 例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=6，BC=8，以点C 为圆心，r 为半径画圆，当r =4.8时，直线AB 和圆有怎样的位置关系？并说明理由。 分析：直线AB 与圆O 的公共点没有确定，过圆心C 作直线AB 的垂线CE ，证明线段CE 等于半径r ，即“作垂直，证半径” 解：直线AB 和圆相切 证明：作C E ⊥AB 于点E ，∵90BAC ∠=?，6AC =，8BC =， O D B C A E B C A

湘教版九年级数学下册《圆的切线(1)》教案-新版

2.5.2 圆的切线 第1课时圆的切线的判定 【知识与技能】 理解并掌握圆的切线判定定理,能初步运用它解决有关问题. 【过程与方法】 通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性. 【教学重点】 圆的切线的判定定理. 【教学难点】 圆的切线的判定定理的应用. 一、情境导入，初步认识 同学们,一辆汽车在一条笔直平坦的道路上行驶.如果把车轮看成圆,把路看成一条直线,这个情形相当于直线和圆相切的情况.再比如,你在下雨天转动湿的雨伞,你会发现水珠沿直线飞出,如果把雨伞看成一个圆,则水珠飞出的直线也是圆的切线,那么如何判定一条直线是圆的切线呢? 二、思考探究，获取新知 1.切线的判定 (1)提问:如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A，l与AB的夹角为 ∠α，当l绕点A旋转时，①随着∠α的变化，点O到l的距离d如何 变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？②当∠α等于多少度时，点O

到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ (2)探究：讨论直径与经过直径端点的直线所形成的∠α来得到切线的判定. 可通过多媒体演示∠α的大小与圆心O到直线的距离的大小关系，让学生用自己的语言描述直线与⊙O相切的条件. (3)总结：教师强调一条直线是圆的切线必须同时满足下列两个条件：①经过半径外端，②垂直于这条半径，这两个条件缺一不可. 做一做. 2.切线的画法：教师引导学生一起画圆的切线，完成教材P 67 【教学说明】让每一位学生动手画圆的切线,感知一条直线是圆的切线须满足的两个条件,加深对切线判定的理解. 例2 例1教材P 67 【教学说明】该例展示了判定圆的切线的一种方法，即已知直线和圆有公共点时，要证明该直线是圆的切线，常用证明方法是：连接圆心和该点，证明直线垂直于所连的半径. 例2如图，已知点O是∠APB平分线上一点，ON⊥AP于N，以ON为 半径作⊙O.求证：BP是⊙O的切线. 【分析】该例与上例不同,上例已知BC经过圆上一点D,所以思路是连 接半径证垂直.该例BP与⊙O是否有公共点还不能确定,而要证BP是⊙O的切线, 需用证明切线的另一种方法,即“作垂直，证明圆心到直线的距离并等于证半径”. 证明:作OM⊥BP于M. ∵OP平分∠APB,且ON⊥AP,OM⊥BP, ∴OM=ON,又ON是⊙O的半径 ∴OM也是⊙O的半径 ∴BP是⊙O的切线. 【教学说明】证明直线是圆的切线常有三种方法. (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (2)圆心到直线距离等于半径的直线是圆的切线; (3)经过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 三、运用新知，深化理解 1.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（） A.锐角三角形 B.直角三角形

中考数学-圆的切线证明方法

专题-------圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD⊥DM. ∴DM是⊙O的切线 D C

例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP. 求证：PC 是⊙O 的切线. 证明：连结OC ∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900 . ∴PC 是⊙O 的切线. D

初中数学圆的切线教学设计

初中数学圆的切线教学设计 这是一篇由网络搜集整理的关于初中数学圆的切线教学设计的文档，希望对你能有帮助。 1.本节课主要通过习题与考点实体的分析，使学生在复习过程中了解中招试题与课本的内在联系，避免在复习过程中抛开课本，一味地钻到偏题、怪题的题海里。 2.通过本节的复习，让学生牢牢地把握圆的切线的基础知识。 3.在基础知识掌握的同时去发挥：改变题的条件与结论、增加或减少条件、给出条件探索结论、给出结论探索条件等形成新题。 复习重点： 例习题的改造及分析。 复习难点： 试题的解答。 教具： 多媒体课件。 教学过程： 一、新课引入： 现在考试题目并不推崇怪题、偏题，很多题目就是以课本习题为蓝本，通过改编而成，所以深入挖掘研究教材是大有可为的。请看下面题目： 二、讲新课： 例1 （2001年湖北荆州市中考题）如图1，在△ABC中，∠B=

90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交与点E与AC 切于点D。 ⑴求证：DE‖OC； ⑵若AD＝2，DC＝3，求tan∠ADE的值。 （让学生读题,引导学生分析) 师:由AC与⊙O相切可得哪些结论? 生:AC与过切点D的半(直)径垂直. 师:连结OD后,图中都有哪些相等的角? 生:∠CDO=∠CBO=90°,∠ACO=∠BCO,∠COD=∠COB, ∠ODE=∠OED, ∠ACB=∠AOD(∵∠ACB+∠DOB=180°,∠AOD+∠DOB=180°,∴∠ACB=∠AOD.)师:由∠ACB=∠AOD,还能得出相等的角吗?(关键引导得出: ∠COD=∠COB=∠ODE=∠OED.再由∠COD=∠ODE或 ∠COB=∠OED.最后由内错角相等或同位角相等证明DE‖OC) 师: 第⑵问在第⑴问DE‖OC的基础上,若AD＝2，DC＝3，求tan∠ADE 的值,∠ADE与哪些角相等? 生:∠ADE=∠ACO,∠ADE=∠BCO. 师: 求tan∠ADE的值,若能求出tan∠BCO的值即可.Rt△OCB中，CB=CD=3，只要求出OB的值，能求出OB的.值吗？（设OB＝x，由勾股定理得AB＝4，由DE‖OC，得＝，即＝，得x=1.5, tan∠ADE=1.5.) 师:此题似曾相识，它的图形与我们学过的哪个题的图形差不多？区别在

初三数学-圆切线练习题

初三数学-圆切线练习 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

圆切线练习题（1） 1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 2、如图7-51，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB． 求证：AT是⊙O的切线． 3．如右图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线． 4、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D． 求证：AC平分∠DAB． 5、如图，AN是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D．DE⊥AC． 求证：DE是⊙O的切线． 6、已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，?弦BC∥OP，求 证：PC为⊙O的切线 7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB为直径的⊙O交AC于E点，D 为BC的中点。 求证：DE与⊙O相切。 8、已知：AB为⊙O的直径，AC为弦，D为AB上一点，过D点作AB的垂线DE交 AC于F，EF=EC。 O B A C E D 2

3 求证：EC 与⊙O 相切。 9、已知：△ABC 中AB=AC ，O 为BC 的中点，以O 为圆心的圆与 AC 相切于点E ， 求证：AB 与⊙O 也相切。 10.已知：在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 和CD 相等， 且AB 与小圆相切于点E ， 求证：CD 与小圆相切。 圆切线练习题（2） 1、已知：以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，，过D 作DE ⊥AC 于E ， 求证：DE 是⊙O 的切线。 2、如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线 于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论． 3．已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作⊙P ． 求证：⊙P 与OB 相切． 4．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为 直径的半圆O 交AB 于F ，E 是BC 的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线． O B A C D E F B C O E O E A B C B C D A O E