长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试
数学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足||3z z i +=+,则z 对应点所在的象限是( ) A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
2.设集合{}
22(,)|1A x y x y =+=,{}
(,)|3x
B x y y ==,则A
B 的子集的个数是( )
A .4
B .3
C .2
D .1
3.已知双曲线22
221y x a b
-=(0a >,0b >)的一个焦点为(0,2)F -该双曲线的方程为( )
A .2
213x y -= B .2
213
y x -= C .2
213y x -= D .2
2
13
x y -= 4.在数列{}n a 中,12a =,11
ln(1)1n n a a n n n
+=+++,则n a =( ) A .2ln n n + B .2(1)ln n n n +- C .2ln n n n +
D .1ln n n n ++
5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直
角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为( )
A .3π+
B .4(1)π
C .4(π
D .4(1)π+
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?”该著
作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过
对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时,均可采用此方法求解.如图是解决这类问题的程序框图,若输入24n =,则输出的结果为( ) A .23
B .47
C .24
D .48
7.郑州绿博园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有( ) A .168种 B .156种
C .172种
D .180
种
8.设A ,B ,C 是半径为1的圆O 上的三点,OA OB ⊥,则
()()OC OA OC OB -?-的最大值是( )
A
.1B
.1C
1
D .1
9.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移?个单位长度,得到函数
2sin cos y x x =-的图象,则sin ?的值为( )
A
B .
35
C .
12
D .
45
10.已知1
051
x e dx
n e =
-?,其中 2.71e =…,e 为自然对数的底数,则在4
(2)n x x
-
-的展开式中2x 的系数是( ) A .240
B .80
C .80-
D .240-
11.过抛物线C :2
4y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ,Q 两点,与抛物线准线交于M ,且3FM FP =,则||FP =( ) A .
32
B .
23
C .
43
D .
34
12.已知函数()sin 2f x x =的图象与直线220kx y k π--=(0k >
)恰有三个公共点,这三个点的
横坐标从小到大分别为1x ,2x ,3x ,则1323()tan(2)x x x x --=( ) A .2-
B .1-
C .0
D .1
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知实数x ,y 满足1,
1,0,
x y x y x -≤??
+≤??>?
则22x y x ++的最小值为 .
14.已知点(,)P a b 在函数2
e y x
=(其中 2.71e =…,e 为自然对数的底数)
的图象上,且1a >,1b >,则ln b a 的最大值为 .
15.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒,若该巧克力球的半径为3,则其包装盒的体积的最小值为 .
16.在平面四边形ABCD 中,120ABC ∠=?
,AC =,23AB BC =,2AD BD =,BCD ?
的面积为AD = .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a λ=-(0λ>,*n N ∈). (1)证明:数列{}n a 为等比数列,并求n a ;
(2)若4λ=,2,,
log ,n n n
a n
b a n ?=??是奇是偶(*n N ∈),求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.如图1,菱形ABCD 的边长为12,
60BAD ∠=?,AC 与BD 交于O 点,将菱
形ABCD 沿对角线AC 折起,得到三棱锥
B ACD -,点M 是棱BC
的中点,
DM =
(1)求证:平面ODM ⊥平面ABC ;
(2)求二面角M AD C --的余弦值.
19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量X (小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y (百斤)与使用某种液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系?请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01);(若||0.75r >,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制,并有如表关系:
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
附:相关系数公式()()
n
i
i
x x y y r --=
∑
0.55≈
0.95≈.
20.设点A 为圆C :224x y +=上的动点,点A 在x 轴上的投影为Q ,动点M 满足2MQ AQ =,动点M 的轨迹为E . (1)求E 的方程;
(2)设E 与y 轴正半轴的交点为B ,过点B 的直线l 的斜率为k (0k ≠),l 与E 交于另一点为P ,若以点B 为圆心,以线段BP 长为半径的圆与E 有4个公共点,求k 的取值范围.
21.已知函数2()x x x f x ae ae xe =--(0a ≥, 2.718e =…,e 为自然对数的底数),若()0f x ≥对于x R ∈恒成立. (1)求实数a 的值;
(2)证明:()f x 存在唯一极值点0x ,且
02ln 211
()244
f x e e +≤<.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,倾斜角为α的直线l 过点(2,4)M --,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2
sin
2cos ρθθ=.
(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程;
(2)若直线l 与C 交于A 、B 两点,且||||40MA MB ?=,求倾斜角α的值. 23.选修4-5:不等式选讲
已知函数()|1||1|f x m x x =---+. (1)当5m =时,求不等式()2f x >的解集;
(2)若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点,求实数m 的取值范围.
长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学(理科)答案 一、选择题
1-5:DACCA 6-10:BBADB 11、12:CB
二、填空题
13.4 14.e 15.72π
16.三、解答题
17.解:(1)由题意可知112S a λ=-,即1a λ=;
当2n ≥时,111(2)(2)22n n n n n n n a S S a a a a λλ---=-=---=-,即12n n a a -=; 所以数列{}n a 是首项为λ,公比为2的等比数列, 所以12n n a λ-=?.
(2)由(1)可知当4λ=时1
2
n n a +=,从而12,1,n n n b n n +?=?+?是奇,
是偶.
n 为偶数时,2
(31)
4(14)2
142
n
n n
n T ++-=+
-; n 为奇数时,11n n n T T b ++=-1
21(311)
4(14)
2(2)142
n n n n +++++-=+-+-
14(21)(1)(5)
234n n n n +-++=+--
14(21)(1)(3)34
n n n +--+=+,
综上,1
4(21)(4),34
4(21)(1)(3),34n n n n n
n T n n n +?-++??=?--+?+??
是偶,是奇. 18.(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形, ∴AD DC =,OD AC ⊥,
ADC ?中,12AD DC ==,120ADC ∠=?,
∴6OD =,
又M 是BC 中点,∴1
62
OM AB =
=
,又MD = ∵222OD OM MD +=,∴DO OM ⊥, ∵OM ,AC ?平面ABC ,OM AC O =,
∴OD ⊥平面ABC ,
又∵OD ?平面ODM ,∴平面ODM ⊥平面ABC . (2)解:由题意,OD DC ⊥,OB OC ⊥,
又由(1)知OB OD ⊥,建立如图所示空间直角坐标系,由条件知:(6,0,0)D
,(0,A -
,
M ,
故AM =
,AD =, 设平面MAD 的法向量(,,)m x y z =,
则0,0,m AM m AD ??=???=??
即30,60,
z x ?+=??+=??
令y =3x =,9z =,
∴(3,m =.
由条件知OB ⊥平面ACD ,故取平面ACD 的法向量为(0,0,1)n =, 所以,393
cos ,31||||
m n m n m n ?<>=
=
?, 由图知二面角M AD C --为锐二面角, 故二面角M AD C -- 19.解:(1)由已知数据可得2456855x ++++=
=,34445
45
y ++++==,
因为
5
1
()()(3)(1)000316i
i
i x
x y y =-
-=-?-
++++?=∑,
=
=
所以相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑
0.95=
=≈,
因为0.75r >,所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.
(2)记商家周总利润为Y 元,由条件可知至少需要安装1台,最多安装3台光照控制仪. ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元; ②安装2台光照控制仪的情形:
当70X >时,只有1台光照控制仪运行,此时周总利润300010002000Y =-=元, 当3070X <≤时,2台光照控制仪都运行,此时周总利润230006000Y =?=元, 故Y 的分布列为:
所以()10000.250000.790000.14600E Y =?+?+?=元.
综上可知,为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪. 20.解:(1)设点(,)M x y ,由2MQ AQ =,得(,2)A x y , 由于点A 在圆C :2
2
4x y +=上,则2
2
44x y +=,
即点M 的轨迹E 的方程为2
214x y +=. (2)由(1)知,E 的方程为2
214
x y +=, 因为E 与y 轴的正半轴的交点为B ,所以(0,1)B , 所以故B 且斜率为k 的直线l 的方程为1y kx =+(0k ≠).
由22
1,1,4
y kx x y =+???+=??得22(14)80k x kx ++=,
设11(,)B x y ,22(,)P x y ,因此10x =,22
814k
x k
=-
+,
12|||BP x x =-=
由于圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设在y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P ,T ,满足||||BP BP =,此时直线BP 斜率0k >, 设直线BT 的斜率为1k ,且10k >,1k k ≠,
则||BT =
=
10=,
即2
2
1(14(14k k +=+ 所以222222111()(18)0k k k k k k -++-=, 由于12k k ≠,因此222211180k k k k ++-=,
故22
122
11119
8188(81)
k k k k +==+--. 因为2
0k >,所以21810k ->,
因此22
119188(81)8k k =
+>-,又因为0k >
,所以4
k >, 又因为1k k ≠,所以2222
180k k k k ++-≠,
所以42
8210k k --≠,又因为0k >
,解得2
k ≠
,
所以2(,)k ∈+∞,
综上所述,k 的取值范围为22222(,(,)(,)(,)224422
-∞-
--+∞.
21.解:(1)由()()0x x f x e ae a x =--≥,可得()0x g x ae a x =--≥, 因为(0)0g =,所以()(0)g x g ≥, 从而0x =是()g x 的一个极小值点,
由于'()1x
g x ae =-,所以'(0)10g a =-=,即1a =. 当1a =时,()1x g x e x =--,'()1x
g x e =-,
∵(,0)x ∈-∞时,'()0g x <,()g x 在(,0)-∞上单调递减,
(0,)x ∈+∞时,'()0g x >,()g x 在(0,)+∞上单调递增;
∴()(0)0g x g ≥=,故1a =.
(2)当1a =时,2()x x x f x e e xe =--,'()(22)x x
f x e e x =--.
令()22x
h x e x =--,则'()21x
h x e =-,
∵(,ln 2)x ∈-∞-时,'()0h x <,()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数;
(ln 2,)x ∈-+∞时,'()0h x >,()h x 在(ln 2,)-+∞上为增函数,
由于(1)0h -<,(2)0h ->,所以在(2,1)--上存在0x x =满足0()0h x =, ∵()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数,
∴0(,)x x ∈-∞时,()0h x >,即'()0f x >,()f x 在0(,)x -∞上为增函数,
0(,ln 2)x x ∈-时,()0h x <,即'()0f x <,()f x 在0(,ln 2)x -上为减函数,
(ln 2,0)x ∈-时,()0h x <,即'()0f x <,()f x 在(ln 2,0)-上为减函数, (0,)x ∈+∞时,()0h x >,即'()0f x >,()f x 在(0,)+∞上为增函数,
因此()f x 在(ln 2,)-+∞上只有一个极小值点0,
综上可知,()f x 存在唯一的极大值点0x ,且0(2,1)x ∈--. ∵0()0h x =,∴00220x e x --=, 所以0
2220000
000222()()()(1)224
x x x x x x x f x e
e x e x +++=--=-+=-,0(2,1)x ∈--,
∵(2,1)x ∈--时,22144x x +-
<,∴01()4f x <; ∵1ln
(2,1)2e ∈--,∴021ln 21
()(ln )224f x f e e e
≥=+; 综上知:
02ln 211
()244
f x e e +≤<. 22.解:(1)∵倾斜角为α的直线过点(2,4)M --,
∴直线l 的参数方程是2cos ,
4sin x t y t αα
=-+??
=-+?(t 是参数),
∵曲线C 的极坐标方程为2
sin 2cos ρθθ=,∴曲线C 的直角坐标方程是:22y x =.
(2)把直线的参数方程代入2
2y x =,得2
2
sin (2cos 8sin )200t t ααα-++=,
∴1222cos 8sin sin t t ααα++=
,122
20
sin t t α
=, 根据直线参数方程的几何意义
12220||||||40sin MA MB t t α==
=,故4πα=或34
π
α=,
又∵2
2
(2cos 8sin )80sin 0ααα?=+->,
∴34
π
α=
. 23.解:(1)当5m =时,52,1,()3,11,52, 1.x x f x x x x +<-??
=-≤≤??->?
由()2f x >得不等式的解集为3
3|2
2x x ??
-
<??
?
. (2)由二次函数2223(1)2y x x x =++=++,该函数在1x =-取得最小值2,
因为2,1,()2,11,2,1,m x x f x m x m x x +<-??
=--≤≤??->?
在1x =-处取得最大值2m -,
所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点, 只需22m -≥,即4m ≥.