张宏伟大连理工大学矩阵与数值分析课后习题答案

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

【重磅】数值分析习题与答案

第一章绪论 习题一 1.设R>0,RR的相对误差为δ，求f(R)=lnR的误差限。解：求lnR的误差极限就是求f(R)=lnR的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知RR的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数RR=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1.给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2.在-4≤R≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?

解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3.若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4.若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5.求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得

6.已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(R)=1.0067R+0.08367R(R-0.2)+0.17400R(R-0.2)(R-0.3 ) 由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7.给定f(R)=cosR的函数表 用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差 解：先构造差分表

数值分析习题集及答案

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析复习题及答案65177

数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--

则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。

大连理工大学09级矩阵与数值分析试题

大 连 理 工 大 学 课 程 名 称： 矩阵与数值分析 试 卷： 统一 考试类型 闭卷 授课院 (系)： 数 学 系 考试日期：2010年1月12日 试卷共 8页 一、 填空与判断题（?或√），每空 2 分，共50分 (1) 已知2009.12a =，2010.01b =分别是按四舍五入原则得到的1x 和2x 近似值，那么，1x a -≤ ； 2x b b -≤ ；12x x ab -≤ 。 (2)[]0,1上权函 数()x x ρ=的正交多项式族中()1x φ= ; ()()1 5 350 x x x φ+=? 。 (3) 已知存在实数R 使曲线2y x =和()2 228y x R +-=相切。求切点横坐标近似值的Newton 迭代公式为 。 (4) 设1221?? ?-??A =，则它的奇异值为 。 (5)若取1101??=????A ，则1 d t e t =?A 。 (6) 若1

(8) 已知0.2510.25??= ?? ?A ,则0k k ∞ ==∑A 。 (9) 设,n ≠∈C s 0则 () 2 T =ss s,s 。 (10) 求解微分方程(0)2u t u u '=-??=?，的Euler 法公式为 ； 绝对稳定区间为 ；改进的Euler 公式为 。 (11) 用A (-2,-3.1)、B (-1,0.9)、C (0,1.0) 、D (1,3.1)、E (2,4.9)拟合一 直线s (x )=a +bx 的法方程组为： 。 (12) 已知多项式()3234321p x x x x =+++，那么求此多项式值的秦九韶算法公为：_ ______。 (13) 给定如下数据表 则均差[1,0,1f -= ，由数据构造出最简插值多项式 ()p x = 。 (14)设???? ? ? ?? +=231311a A ,当a 满足条件 时, A 必有唯一的T LL 分解（其中L 是对角元为正的下三角矩阵）。 (15) 求01)(=--=x e x f x 根的Newton 迭代法至少局部平方收敛 （ ） (16) 若A 为可逆矩阵，则求解A T Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛 （ ） (17) 分段二点三次Hermite 插值多项式∈C 2函数类 （ ） (18) 如果A 为Hermite 矩阵，则A 的奇异值是A 的特征值 （ ）

矩阵分析第3章习题答案

第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知

220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =，只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E

数值分析课后题答案

数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k

n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!

.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj

数值分析习题与答案

第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因,

故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和.

解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表

矩阵分析homework01答案

Homework1 1,show that U={(a,b,0)|a,b∈R}is a subspace of R3by proving it’s the span by vectors in R3.Find at least2sets of span-ning sets. Proof: Let V=span{(1,0,0),(0,1,0)}is a subspace.We want to prove U=V. Since(a,b,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)∈V,?U?V. And?x,y∈R,x(1,0,0)+y(0,1,0)=(x,y,0)∈U,?V?U. In all,U=V. {(1,1,0),(1,0,0)}is also a possible spanning set. 2,show that S={(a,b,1)|a,b∈R}cannot be a subspace. Proof: Take two vectors v1=(a1,b1,1),v2=(a2,b2,1),they are both in the set S. The addition of the two vectors:v1+v2=(a1+a2,b1+b2,2)∈S,?The set S is not closed under linear combination,so it’s not a subspace. 3,What is the dimension of Q={ax+ax2+bx3|a,b∈R}. Solution: The dimension of Q equals the size of a basis of Q(obviously Q is a vector space).Q can be written as span{x+x2,x3}.So the dim(Q) is2. 4,De?ne for p∈P n(a,b),the function N(p)=max a≤x≤b|p′(x)|, show that this is not a norm on P n(a,b). We just need to present an example of p. Let p(x)=1,then N(p)=max a≤x≤b|0|=0.If N(p)is a norm, p(x)=0,contradiction to the?rst property of norm. 5,show that x ∞is a norm. proof: 1.Let x=(x1,...,x n),Obviously, x ∞=max i|x i|≥0 if x ∞=0,|x i|≤0?x i=0,for i=1,...,n.So if x ∞=0,then x=0. 2.Letα∈C, 1

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

数值分析复习题要答案

第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2

大连理工大学矩阵与数值分析2017年考题

大连理工大学2017年研究生矩阵与数值分析考试 考试日期：2017年6月5日 一、填空题（50分，每空2分） 1.a=0.3000经过四舍五入具有4位有效数字，则 x a a -≤，ln ln x a -≤ 2.已知X=(1,5,12)T ，Y=(1,0,a)T ，则由X 映射到Y 的Householder 矩阵为：，计算||H||2=，cond 2(H)= 3.根据3次样条函数的性质（后面-前面=a （x-x0）3），一个求其中的参数b== 4.2 '3u u t =，写出隐式Euler 格式： 梯形法格式： 5.已知A=XX T ，其中X 为n 维列向量，则||A||2=，||A||F =，矩阵序列的极限：2lim k k A A →∞?? ? ? ?? = 6.A=LU ，其解为x ，写出一步迭代后的改善格式： 7. 531A -?? ? = ? ?-?? ，请问通过幂法与反幂法计算出的特征值分别是， 8.1111A ?? ?= ? ??? ，sin A =，823A A A +-=，At e =，d d At e t =，2 1At e dt ?= 9. ()()()()2 1 2 012f x dx A f A f A f =++?是Newton-cotes 公式，则1 A =，具有代数精度= 10. f(x)=7x 7+6x 6+…+x ，f[20,21,22….,28]= 11. 0.40.200.5A ??= ???，1 k k A ∞=∑= 12.f(0)=1,f(1)=-1,f(2)=1,f(3)=19,请问对该节点进行插值后最高次的系数= 还有2空没有回忆出来，但是比上面题目还简单，因此不用担心。 二、121232352A -?? ?=-- ? ?--??，121b ?? ? = ? ?-?? （1）计算LU 分解 （2）利用LU 求逆矩阵 （3）写出G-S 格式（12分）

数值分析习题与答案

第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因

，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.

解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表

矩阵与数值分析_大连理工大学2011试卷

2011级工科硕士研究生 《矩阵与数值分析》课程数值实验题目 一、 对于数列1111 1,,, ,,392781 ，有如下两种生成方式 1、首项为01a =，递推公式为11 ,1,2,3 n n a a n -== ； 2、前两项为011 1,3 a a ==，递推公式为1210,2,3,3n n n a a a n --=-= ； 给出利用上述两种递推公式生成的序列的第50项。 二、 利用迭代格式 1 0,1,2,k x k += = 及Aitken 加速后的新迭代格式求方程324100x x +-=在[1, 1.5]内的根 三、解线性方程组 1．分别Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 12346212425027,208511 3270x x x x -?????? ? ? ? - ? ? ? = ? ? ? -- ? ? ? ???? ?? 迭代法计算停止的条件为：6)() 1(3 110max -+≤≤<-k j k j j x x ． 2. 用Gauss 列主元消去法、QR 方法求解如下方程组： 1234221 2141312. 4201123 230x x x x ?????? ? ? ?- ? ? ? = ? ? ? -- ? ? ????? ?? 四、已知一组数据点，编写一程序求解三 次样条插值函数满足

并针对下面一组具体实验数据 求解，其中边界条件为. 五、编写程序构造区间上的以等分结点为插值结点的Newton插值公式，假设结点数为（包括两个端点），给定相应的函数值，插 值区间和等分的份数，该程序能快速计算出相应的插值公式。以 ，为例计算其对应的插值公式，分别取 不同的值并画出原函数的图像以及插值函数的图像，观察当增大 时的逼近效果. 实验须知： （1）所有的数值实验的题目要求用C语言或Matlab编程； （2）实验报告内容应包括问题、程序、计算结果及分析等； （3）12月26日前在本课程网站上提交实验报告； （4）本次实验成绩将占总成绩的10%。 （5）报告上要注明：所在教学班号、任课老师的姓名；报告人所在院系、学号。电子版提交到课程网站ftp://202.118.75.63/中各自老师目录下的homework文件夹内，文件名用学号命名。 《矩阵与数值分析》课程教学组 2011年11月30日

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后知识题目解析

第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用 ij E (,1,2, ,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素 为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成 (1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间，只需找出 (1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1) 2 n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 1234 1231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=??? ?+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++=

1210,3x x x +== 解之得 12343,3,2,1x x x x ==-==- 即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 方法二 应用同构的概念，22R ?是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ， 1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有 111111 000 31110201003110000 01021000300011???? ????-??? ?→???? ??? ? -???? 因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++= 即 12341234123134 12411111110110110110 k k k k k k k k k k k k k k k k k ????????+++???????????????? +++++??==??++++?? 于是 12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++= 解之得 12340k k k k ==== 故1234,,,αααα线性无关. 设

数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有