分类计数原理与分步计数原理

《分类计数原理与分步计数原理（一）》教学设计

柳州地区民族高级中学覃艳莉

相关教材：人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册（下B）

一、教学内容解析：

１.教学内容：

分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。

２.概念解析：

分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫加法原理和乘法原理。其区别在于：运用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。

3.两个计数原理的地位和作用：

分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。

二、教学目标设置：

1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题，使学生的建构思维能力得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在解题时通过类比，举一反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。

3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。让学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。

三、学生学情分析：

1.认知基础分析：

学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能

力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”。

2.可能学习障碍分析：

正确使用两个计数原理的前提是要学生清楚两个计数原理使用的条件：分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的。加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。更具体地说就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去数。学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍，部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。因此，把本节课的教学难点定为：（1）如何判断完成一件事是分类或分步完成；（2）理解分步计数原理中的运算方法，即总方法数为各步骤方法数之积。

３.突破难点分析：

要准确的判断是分类还是分步去完成一件事，首先得明确这是一件什么事，该怎样去完成。在分析的过程中，便会发现有些事可以按某些方法独立完成，有些事需要多个步骤才能完成。能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分步。为此，设计了两个小组活动来让学生体会。

对于分步计数原理的运算结果，可利用树状图并结合小学对乘法的理解来突破。

四、教学策略分析：

本节课的课本引例、例题同学们通过预习大多都能看懂。为了贴近学生实际生活，激发学生学习兴趣，在创设情境和例题的选用上，选择了学生所熟悉的校园生活事例。

本节课采用了老师引导启发，学生分小组合作学习的方法进行教学。利用多媒体显示问题情境，让学生通过小组活动，具体地分析比较，进而归纳总结，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

学生在小组合作交流中，对问题的理解可以得到互补完善。从学生回答问题和学生间的相互评价中，使老师更多地了解学生的理解程度。

五、教学过程：

１.创设情境，揭示课题

同学们，下学期我们就要搬到第一教学楼去学习了，大家观察过第一教学楼共有多少处楼梯吗？（4个）

假设我们班的教室在二楼，那么从一楼到二楼共有多少种不同的走法呢？（请一同学回答）

假设我们班的教室在六楼，那么从一楼到六楼共有多少种不同的走法呢？（让学生充分讨论，在解决问题的过程中产生困惑，从而激发学生的求知欲。）

这些问题实际上都是一些计数问题，都是计算完成一件事共有多少种不同的方法数。我们今天将要学习的分类计数原理和分步计数原理就是为了解决这类问题的。

计算完成一件事共有多少种不同方法，我们应该怎样做呢？（启发学生思考）这就好比我要你去完成一件事，你首先想到的是什么？（这是一件什么事？）然后想到的又是什么呢？（怎样去完成？）在分析的过程中我们才知道怎样完成这件事，其次才是计算完成它的所有方法数。

今天，我们的学习将从这两方面去展开。

设计目的:选择学生身边的素材作为新课引入的实例,利用简单的熟悉的问题情境激发学生学习的积级性,让学生在迫切要求下去探究。

２.逐层探索，构建新知

在刚才的第一问中，我们要完成什么事？要怎样去完成？

从一楼到二楼：（任选一个楼梯口上）一步到位，直接完成。

在第二问中呢，我们要完成什么事？又怎样去完成？（先到二楼，再到三楼，……）

从一楼到六楼：不能直接完成，需要分步完成。

第一步：从一楼到二楼；第二步：从二楼到三楼；第三步：从三楼到四楼；第四步：从四楼到五楼；第五步：从五楼到六楼。

比较两件事的完成过程，你能发现它们的不同之处吗？

完成一件事：一步到位，直接完成；不能直接完成，需要分步完成。

学习小组活动一：议一议，如何完成以下这些事情。

（学生在各自的学习小组内讨论之后，由小组代表发言。）

设计目的:让学生感知完成一件事，可以分类去解决，或者分步去解决。

情境１、节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，

（１）若从中任选一人主持节目；（可以选一名男同学或选一名女同学，都直接完成。在你的选法中，从同学的性别来分，可分为两类，一类是选男同学，一类是选女同学，不管选男还是选女，它们都可以独立地完成这件事。）

（２）若从中任选一个男同学和一个女同学共同主持节目。（不能直接完成，需分两步。第一步选一个男同学，第二步选一个女同学。不管选男同学还是选女同学，若少一步则不能完成这件事，这两步的关系是相互依存的。）

情境２、书架上有４０本不同的语文书，３０本不同的数学书，２０本不同的英语书，

（１）从书架上任取一本书；

（２）从中任选三本不同科目的书。

在完成的过程中，我们还发现，能直接完成的往往也可以按某一标准分类去完成；不能直接完成的则需要分步去完成。

什么时候可分类完成，什么时候需分步完成呢？

能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分步。

学习小组活动二：算一算，完成以下这些事情分别有多少种不同的方法。

设计目的:让学生用已有的知识去计算，在与同学的交流中完善其方法，找到其中的规律。

分类完成：

（１）节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，若从中选一人主持节目，共有多少种不同的选法？

第一类：选一男有4种选法；第二类：选一女有8种选法，共４＋８＝１２种

（２）书架上有４０本不同的语文书，３０本不同的数学书，２０本不同的英语书，从书架上任取一本书，共有多少种不同的选法？

第一类：选一语有40种选法；第二类：选一数有30种选法；第三类：选一英有20种选法，共４０＋３０＋２０＝９０种

分步完成：

（１）节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，若从中选一个男同学和一个女同学共同主持节目，共有多少种不同的选法？

男1配一女有8种选法，共4个男；女1配一男有4种选法，共8个女；（树状图）

第一步：选一男有4种选法；第二步：选一女有8种选法。

（８＋８＋８＋８＝４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＝＝３２）

（２）书架上有４０本不同的语文书，３０本不同的数学书，２０本不同的英语书，从中任选三本不同科目的书，共有多少种不同的选法？

分析：完成第一步和第二步（选定一本语文书和一本数学书）共有１２００种方法，再选英语书时，前面的每一种方法都对应２０种选法，所以共有２４０００种选法。

３.比较归纳，深化概念

学习小组活动三：想一想：分类完成的计数问题如何计算？

分步完成的计数问题如何计算？

设计目的:学生通过具体事例的分析、计算，找到规律，用自己的语言表述出来，锻炼了学生的概括能力。

分类解决：完成这件事的所有方法数为各类办法的方法数之和。

分步解决：完成这件事的所有方法数为各步方法数之积。

（由两位同学作总结发言）这也就是我们今天要学习的分类计数原理和分步计数原理的内容。（电脑显示，学生朗读）

分类计数原理：完成一件事情，有n类办法，在第１类办法中有种不同的方法，在第２类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

分步计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第１步有种不同的方法，做第２步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

分类计数原理又称加法原理，分步计数原理又称乘法原理，你能说说它们命名的理由吗？（一个结果用各类方法数相加，一个结果用各步方法数相乘）

什么时候用加法原理，什么时候用乘法原理呢？

再次强调加法原理中的每一种方法都能独立完成这件事，而乘法原理中的各步中的方法不能独立完成这件事。

４.学以致用，培养能力

我们学习了两个计数原理，我们又该如何运用它们去解决一开始提出的爬楼梯问题呢？

从一楼到二楼：分类完成，共四类，每类１种走法，所以共4种不同的走法。

从一楼到六楼：分步完成，共五步，每１步都有４种走法，所以共有种不同的走法。

设计目的:前后呼应，用已学知识解决提出的问题，达到学以致用的目的。

５.总结反思，提高认识

通过这节课的学习，同学们在知识方面有什么样的收获？

（1）知识积累：分类计数原理、分步计数原理。

同学们再回想一下，我们是怎样得到这两个计数原理的？

（2）思维体验：通过了一些具体的问题分别归纳出了分类计数原理和分步计数计数原理，由特殊到一般是重要思维方式之一。

师：完成什么事，怎样算完成？分类或分步？一定要分清！独立就分类，分类则相加。分步必相依，分步则相乘。

分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。

６.布置作业，拓展知识

练习：一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同。

（1）从两个口袋里，各取1封信，有多少种不同的取法？

（2）从两个口袋里，任取1封信，有多少种不同的取法？

（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？

希望大家课后通过练习再进一步巩固今天所学内容。

课后作业：

1.P９７习题１０.１１——６

2.实际应用：以小组为单位观察实际生活中的计数问题，并想办法解决它。

两个基本计数原理教案

第一章计数原理 第1节两个基本计数原理 教材分析 本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法. 学情分析 高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析 ⑴知识与技能 ①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容 ②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题． ⑵过程与方法 ①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用 ②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题 ⑶情感、态度、价值观 树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣. 教学重难点分析 教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握 教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题． 教法、学法分析 教法分析： ①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识. 教学过程 一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）： 该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是： 第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫. 第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？ 设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和. 第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？ 接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.

分类计数原理和分步计数原理教案

分类计数原理和分步计数原理教案 教学内容: 分类计数原理和分步计数原理 教学目标: 理解两计数原理的内涵;能运用两计数原理解简单计数问题及综合问 题 教学重点: 分类计数原理和分步计数原理的定义 教学难点: 应用两计数原理解题 教学方法: 讲解法 教学过程: 例:从甲地到乙地每天有三趟火车和两趟汽车,一天里从甲地到乙地 共有多少种走发? (图) 从甲地到乙地要途经丙地,一天里从甲地到丙地有三趟火车,从丙 地到乙地有 两趟汽车.问甲地到乙地有多少种走法? (图) 1. 复习两原理. 2. 分类计数原理中每一种方法都完成了这件事.分步计数原理中完 成这件事的任何一种方法都要分成n 个步骤. 分类和分步都要有标准. 3. 例题讲解: 例:书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同 的文艺书，第三层放有2本不同的体育书. (1).从书架上任取1本书,有多少不同的取发? 4+3+2=9 (2).从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法? 24234=?? (3).从中取出两本书,且计算机书,文艺书,体育书每种只能选1本, 有多少种不同的取法? 26232434=?+?+? 4.课堂练习: ● 有高一学生3名,高二学生5名,高三学生4名,选1名去参加接待外宾活 动,有多少种不同的选法? ● ()()()543214321321c c c c c b b b b a a a +++++++++展开后有多少 项? ● 在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在A={}5,4,3,2,1,0内取值的不 同点共有多少个? 5.布置作业: ● 复习资料第347页,课下知能提升1----6题.

分类计数加法原理与分步计数乘法原理(人教A版)(含答案)

分类计数加法原理与分步计数乘法原理（人教A 版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，则 （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )种 A.12 B.60 C.48 D.72 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理 2.上接第（1）题.（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )种 A.12 B.60 C.48 D.72 答案：B

试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理 3.展开后共有的项数为( ) A.11 B.14 C.45 D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理 4.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点

A.36 B.30 C.12 D.11 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理 5.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成的四位数号码个数是( ) A.6000个 B.36个 C.3645个 D.32个 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理 6.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( ) A.60种 B.15种 C.12种 D.10种 答案：A

解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理 7.从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( ) A.15种 B.27种 C.60种 D.125种 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理 8.集合的不同子集有( ) A.7个 B.8个 C.15个 D.16个 答案：D 解题思路：

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案 教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题． 教具准备：投影胶片（两个原理）． 教学过程： ［设置情境］ 先看下面的问题： 2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？ 要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法． 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理． ［探索研究］ 引导学生看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3＋2＝5 种不同的走法，如图所示． 一般地，有如下原理：（出示投影） 分类计数原理完成一件事，有类办法，在第1 类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．

再看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图）？ 这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6 种不同的走法．（让学生具体列出6种不同的走法） 于是得到如下原理：（出示投影） 分步计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第 种不同的方法． 教师提出问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 学生回答后，教师出示投影：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （出示投影） 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （解答略） 教师点评：注意区别“分类”与“分步”． 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣. 2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力. 3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点： 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 教 具 多媒体、实物投影仪 教学过程 一、引入课题 今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。 二、引出两个原理 问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽 车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从 重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。 由问题1引出分类加法计数原理： 完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书） 追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法， 在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的 方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述） 回答：有n m m m N +???++=21种方法。 问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津 办一件事，然后次日再乘汽车到北京。一天中，广州到天津的火车有３

计数原理基本知识点

计数原理基本知识点 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =??? 种不同的方法 3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫 做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤） 6 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．． ．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或)! (!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ； 12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C

(完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题

1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。 2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。 3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 __________种。 4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？ （2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？ （2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？ 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， （1）共有多少种不同的涂色方法？ （2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。 10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。

分类计数原理与分步计数原理教学设计

分类计数原理与分步计数原理

课题： 分类计数原理与分步计数原理 教材分析： 《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课，是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章的一个关键。 教学目标： 知识与技能目标： 准确理解两个原理，弄清它们的区别，培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力 过程与方法目标： 通过例题让学生理解两个计数原理，并能够将两个技术原理应用到实际问题中去。 情感、态度与价值观目标： 培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。 教学重点： 分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别 教学难点： 对较为复杂事件的分类和分步 教学方法： 启发引导式教学 教具准备： 作图工具 课型： 新授课 教学过程： 问题引入一 问题1从芜湖到合肥，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。假若一天中，火车有4班, 汽车有20班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析:从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有20种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。 问题 2 在全班同学中选出一名同学做班长，有多少种选择？ 新知探究一 分类计数原理：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。 说明： （1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。 （2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数。 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A 大学有5个自己感兴趣的强项专业，B 大学有4个自己感兴趣的强项专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。 问题引入二 问题3 如图,假设由芜湖去巢湖的道路有3条，由巢湖去合肥的道路有2条。从芜湖经巢湖去合肥，共有多少种不同的走法? 分析: 芜湖经巢湖去合肥有2步, 第一步, 由芜湖去巢湖有3种方法, 第二步, 由巢湖去合肥有2种方法, 所以芜湖经巢湖去合肥共有3×2=6种不同的方法。 问题 4 在全班每个组中都选出一名同学做组长，有多少种选择？ 新知探究二 分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成， 并且对于前面几芜湖北 南 北

分类计数原理和分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理 年级__________ 班级_________ 学号_________ __________ 分数____ 总分一二三 一、选择题(共33题，题分合计165分) 1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有 A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 2.若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有 A.2个 B.6个 C.9个 D.3个 3.七名男同学和九名女同学，组成班组乒乓球混合双打代表队，共可以组成 A.7队 B.8队 C.15队 D.63队 4.集合A={1，2，3，4}，B={a,b,c}，从集合A到集合B的不同映射f个数有 A.24个 B.4个 C.34个 D.43 5.计算1！+2！+3！+…+100！得到的数，其个位数字是 A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知集合 {}{}7,6,5,4 ,3,2 ,1- - = - =N M，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐 得分阅卷人

标系中可表示第一、二象限不同的点的个数是 A.18 B.10 C.16 D.14 7.用1，2，3，4四个数字中任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有 A.8个 B.9个 C.10个 D.5个 8.若 100 100 5 5 4 4 3 3 2 2 1 2 A A A A A A S+ + + + + + = ，则S的个位数字是 A.8 B.5 C.3 D.0 9.7名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法有 A.720种 B.360种 C.1440种 D.120种 10.有三位同学去阅览室借5本不同的书，不同的借法种数有 A.3 B.5 C.35 D.53 11.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有 A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 12.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 A.510种 B.10５种 C.50种 D.以上都不对 13.三位同学分别从"计算机"及"英语打字"两项活动中选修一项，不同的选法种数有 A.3 B.6 C.8 D.9 14.从1~8这八个数字中任取两个数相加（不重复取），其和是偶数的种数比其和是奇数的种数 A.多1种 B.多4种 C.少2种 D.少4种 15.正方体的每一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数最多是 A.3对 B.6对 C.12对 D.24对 16.从6本不同的书中任意取出4本分给四位同学，每人一本，不同的分法共有 A.24种 B.120种 C.360种 D.1440种 17.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 18.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有 A.34 B.43 C.A 3 4 D.44 19.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是

基本计数原理

基本计数原理 一、主要内容 一般计数原理部分的考试，分为两种，一是排列组合二项式定理单独出题，二是在概率中需要用到排列组合二项式定理。 1、基本计数原理 2、排列和组合 3、常用方法 二、知识梳理 1、基本计数原理 （1）分类加法计数原理 从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：可以乘火车，可以坐汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？（1+3+2=6种） 做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中，有1m 种不同的方法，在第二类办法中，有2m 种不同的方法，以此类推，在第n 类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法。 （2）分步乘法计数原理。 某中学的阅览室有50本不同的科技书，80本不同的文艺书，现在张三同学想借1本科技书和1本文艺书，共有多少种借法？（50*80=4000） 做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有 1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，以此类推，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法。 以上两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论依据。他们分别给出了两种不同方式完成一件事的方法总数的不同计算方法。 注意：分类要“不重不漏”，每类的每一种方法都能独立完成事件； 分步要“步骤完整”，每一步不能完成事件，只有各步依次都完成，才能完成事件。

2、排列与组合 （1）排列 有红球、白球、黄球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里，有多少种不同的方法？（3*2=6） 我们把被取的对象叫做元素。取出的元素按照已知的顺序排成一列，我们称它为该问题的一个排列。 一般地，从n 个不同元素中任取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 两个排列相同，则组成排列的元素相同，并且元素的排列顺序也相同。 从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号m n A 表示。 根据分步乘法计数原理，得到公式)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 这里+∈N m n ,，并且n m ≤，这个公式叫做排列数公式。 一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，这时n m =，则有123)2()1(????-?-?= n n n A m n ，这个公式是由1到n 。我们把正整数1到n 的连 乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示。所以n 个不同元素的全排列数公式可以写成!n A n n = 排列数的公式还有下面的另一种形式：)! (!m n n A m n -=，我们规定1!0=。 （2）组合 有红球、黄球、白球各一个，从这三个小球中，任意取出两个小球，共有多少种不同的取法？（与顺序无关，共3种） 一般地，从n 个不同元素中，任意取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合。 从n 个不同元素中，任意取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示。 一般地，从n 个不同元素中，任取m 个元素的排列，可以分两步完成：

分类分步计数原理

分类分步计数原理

题型一、分类加法计数原理 例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（） A.6 B.5 C.3 D.2 例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 【变式练习】 1.若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个． 2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？

例3、有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（） A．21种 B．315种 C．143种 D．153种 例4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )． A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理 【变式练习】 1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（） A．120 B．98 C．63 D．56

2．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（） A.5 B.6 C.7 D.8 3．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个． 4．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( )．A．238个 B．232个 C．174个 D．168个 【变式练习】 1．为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________． 2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利

分类计数原理、分步计数原理

第十章 排列、组合和二项式定理 ●网络体系总览 计数原理排列数公式二项式定理 组合数公式 通项公式二项式系数性质 排列 组合 排列与组合 组合数性质 ●考点目标定位 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2.理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题. 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. ●复习方略指南 排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上，运用两个基本原理，解决计数应用题. 二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用. 本章内容高考所占比重不大，经常以选择题、填空题的形式出现，但对思维能力要求较高，在复习中，要注意通过典型例题，掌握分析问题的方法，总结解题规律. 10.1 分类计数原理、分步计数原理 ●知识梳理 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点. 特别提示 正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. ●点击双基 1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_____________种行车路线. A.24 B.16 C.12 D.10 解析：起点为C 14种可能性，终点为C 13种可能性，因此，行车路线共有C 14×C 13=12 种. 答案：C 2.（2002年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C 13·C 14=12种. 答案：B

基本计数原理的综合应用

基本计数原理的综合应用 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘： 正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 知识内容

分类计数原理与分步计数原理练习测验题

分步计数原理与分类计数原理 基本知识点复习 1.分步计数原理: 2.分类计数原理: 复习练习题选 一、选择题 1．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出地4人中恰好有1名女同学地选法有（ ）A.150种 B.180种 C.300种 D.345种2.某班新年联欢会原定地5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同地插法地种类为（ ）A.42 B.30 C.20 D.12 3.甲、乙两人从4门功课中各选修2门，则甲、乙所选地课程中至少有一门不相同地选法共有（ ） A.6种 B.12种 C.30种 D.36种 4.三边长均为整数，且最大边长为11地三角形地个数是（ ） A.25 B.26 C.36 D.37 5.设集合I={1,2,3,4,5}，选择I 地两个非空子集A 、B 要使B 中最小地数大于A 中最大地数，则不同地选择方法共有（ ）A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 6.设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q=},|),{(Q b P a b a ∈∈，若P={0,1,2}，Q={1,2,3,4}，则P*Q 中地元素地个数是（ ）A.4 B.7 C.12 D.16 7.从长度分别为1,2,3,4,5地五条线段中任取三条地不同取法有n 种，以取出地 三条线段为边可组成地钝角三角形地个数为m ，则n m 等于（ ）A.101 B.51 C.103 D.5 2 8.若)(x f y =是定义域为A={}*,71|N x x x ∈≤≤，值域为{0,1}地函数，则这样地函数共有（ ） A.128个 B.126个 C.14个 D.16个 9.已知直线01=++by ax 中地a,b 是取自集合}2,1,0,1,2,3{---中地两个不同地元素，并且直线地倾斜角大于060，那么符合这些条件地直线共有（ ）A.8条 B.11条 C.13条 D.16条 10.从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程122 22=+n y m x 中地m 和n ，

分类加法计数原理和分步乘法计数原理练习题汇编

课时训练1两个计数原理(1) 一、选择题 1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,则不同的取法有(). A.50种 B.30种 C.20种 D.600种 2.高二(1)班有学生56人,其中男生38人,从中选取1名男生和1名女生作代表,参加学校组织的社会调查团,则选取代表的方法有(). A.38种 B.18种 C.684种 D.864种 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果1条长裤与1件上衣配成一套,则不同的配法种数为(). A.7 B.12 C.64 D.81 4.有不同的红球8个,不同的白球7个,不同的黄球6个,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有(). A.336种 B.21种 C.104种 D.146种 5.某通讯公司推出一组手机号码,卡号的前七位数字固定.从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为() A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 6.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为(). A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 7.将红、黄、绿、黑四种不同的颜 色涂入图中的五个区域内,要求相 邻的两个区域的颜色都不相同,则 不同的涂色方法有(). A.48种 B.72种 C.24种 D.27种 9.(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为() A． 1 8B． 3 8 C． 5 8D． 7 8 10.有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是() A．8种B．9种 C．10种D．11种 二、填空题 更多精品文档

习题课基本计数原理

习题课基本计数原理 一、基础过关 1．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是 () A．26 B．24 C．20 D．19 2．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为() A．4 B．8 C．16 D．15 3．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是() A．100 B．90 C．81 D．72 4．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是() A．48 B．18 C．24 D．36 5．现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有() A．24种B．30种C．36种D．48种 6．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有 () A．6种B．12种C．24种D．48种 二、能力提升 7．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种． 8．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有______种不同的取法． 9．某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛且每科只有1人，其中甲、

分类计数原理与分步计数原理

《分类计数原理与分步计数原理（一）》教学设计 柳州地区民族高级中学覃艳莉 相关教材：人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册（下B） 一、教学内容解析： １.教学内容： 分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。 ２.概念解析： 分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫加法原理和乘法原理。其区别在于：运用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。 3.两个计数原理的地位和作用： 分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。 二、教学目标设置： 1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题，使学生的建构思维能力得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在解题时通过类比，举一反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。 3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。让学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。 三、学生学情分析： 1.认知基础分析： 学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理实例引入1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 共有3＋2＝5种不同的走法．分类计数原理 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办 法中有m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的办法． 对于分类计数原理，注意以下几点： ⑴从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理； ⑵分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准 火车汽车1 火车2 火车3 1 乙地甲地

下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法．2. 从甲地到乙地，先乘火车到丙地，再乘汽车到乙地．一天中从甲地到丙地火车有3班，从丙地到乙地汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 共有3×2＝6种不同的走法． 分步计数原理 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有 m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的办法． 对于分步计数原理，注意以下几点： ⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理． ⑵分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准； ⑶分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成 n 个步骤后这件事才 乙地 甲地火车1火车2火车3汽车1汽车2丙地

基本计数原理 概念及例题

111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 基本计数原理 分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照．．一定顺序．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一 个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。 ),,()! (!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、公式：， 11--=m n m n nA A 6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 8、二项式定理： ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 10、二项式系数C n r 为二项式系数（区别于该项的系数） 11、杨辉三角： () （）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n n n n 012+++= （3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 n C n n n n 2 112+?? ???+项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()