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行列式练习题及答案

一、填空题

1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题

1.由定义计算行列式n

n 0

000010

0200

01000

-= （）. （A ）!n

（B ）!)1(2

)

1(n n n --

（C ）!)

1(2)

2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --

2．在函数x

x x x x x f 2

23232101)(=

中，3x 的系数是（）.

（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3

3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8.

三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1．各项以行标为标准顺序排列；

2．各项以列标为标准顺序排列；

3．各项行列标均以任意顺序排列.

四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.

一、填空题

1．若D=._____324324324,133

3131

2322212113

111113332

232221

131211

=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程

229132

3232213211x x --=0的根为___________ .

二、计算题

1． 8

451530169144312

----- 2．

b a

10011001---

3．a

b a b b b a D n

4.1

113

3211211211211

n n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ---+=

5．计算n 阶行列式)2(2

121222

111≥+++++++++=n n

x x x n x x x n x x x D n n n n 。

第1章行列式 (作业3)

一、填空题

1．当n 为奇数时，行列式0

00032132313

223

11312 n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a ------=_________. 2．行列式=x

y x y x y x 0

0000

00000

二、选择题

1．设D 是n 阶行列式,则下列各式中正确的是( ).[ij A 是D 中ij a 的代数余子式]. (A)

;,,2,1,01n j A a

i ij

ij ==∑= (B) ;,,2,1,1n j D A a

i ij

ij ==∑= (C)

21D A a

n j j

j =∑= (D)

.,,2,1,01

n i A a

j ij

ij ==∑=

2．行列式结果等于))()()()()((c d b d b c a d a c a b ------的行列式是（）.

（A ）

22221111

d c b a d c b a d c b a

；（B ）3330001

111d c b d c b a d a c a b ---；（C ）3

1111d d d c c c b b b a a a ；（D ）2221110001d d a d c c a c b b a b ---

三、计算题

1．设4

321143113

151-=A ，计算,44434241A A A A +++ 其中），，，（4321

4=j A j 是A 中元素j a 4的代数余子式.

2．122110000

0001a x a a a a x x

x n n n +-----

3．1

)()1()()1(1

111

n a a a n a a a n a a a D n n n n

n ------=---+

4．n n

n d c d c b a b a D

000

112=

第1章行列式 (作业4)

一、填空题

1．已知关于变量)3,1(=i x i 的线性方程组???

??=++=++=++333221

123322111332211d

x c x c x c d x b x b x b d x a x a x a ，由克莱姆法则，当满足

条件时，方程组有唯一解，且=3x .

2．齐次线性方程组??

???

??=++=++=++0

0221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式为D ，那么0=D 是该行列式有

非零解的条件.

二、求解下列行列式

1．0

4321401233

1012

2210113210

--------=

n n n n n n n n D n

2．n

n a a a D +++=

111

112

1 ,其中021≠n a a a .

三、问λ取何值时，齐次线性方程组???

??=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321

321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？

第1章行列式 (检测题)

一、填空题

1．若排列n i i i 21的逆序数为k ，则排列11i i i n n -的逆序数为 .

2． =-=0

544101320

00006

4321

21c c c c c c a a a a D . 3． n 阶行列式0

00000

221211221

1121

a a a a a a a a a a n n n n nn

n n n n -----= . 4．

32555144411

1112221= .

二、选择题

1．121121

1121,,,,1

12111

1P(x)------++++++=n n n n n a a a n x a a a a x a a a a x a a a a 其中设是互不相同得实数，则方程P （x ）=0（）。

（A ）无实根；（B ）根为 1，2，。。。，n-1 ；（C ）根为 -1，-2，。。。，-（n-1）；（D ）根为0 。

2．设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得

n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11

113a a a a D n n nn =，则（）

（A ）D D D D ===321；（B ）；D D D D D D n n n =-=-=-32

)

1(2

1,)(,)1(

（C ）D D D D D n n 2

)

1(321)1(,--=

==；（D ）D D D D D n n =-=

=-32

)1(21,)1( 。

三、计算题

1．

5320121

252314123

-； 2． 0

000a b a a a b b a a a b a 。

3．1

1819202

1217

181918

17161

231918172122019183

D ；

4．),1,(121n i x a a x x x x a x x x x

a x

x x x a D i n

n n =≠=-

四、证明题

1．行列式D 中的每个数ij a 分别用)0(≠-b b j i 去乘，试证所得行列式1D 与D 相等.

2．证明 θ

θθ

θθθθ

sin )1sin(cos 21

1cos 200000cos 210001cos 2100

01cos 2+=

n D n

答案

第1章行列式(作业1) 答案

一. 填空题 1．2)

1(-n n ，)1(-n n . 2．正号. 3．2

!n 二、选择题 1．（C ）； 2．（B ）； 3．（C ）

三、1．∑

(21)(2212)1(n i n n i p p p np p p p p p t a a a ； 2.

∑

(21)(2212)1(n i n n i q q q n q q q q q q t a a a .

3．

∑

+-n n n n i q p q p q p q q q t p p p t a a a 2211212)()()1(. 四.值为0.

第1章行列式(作业2) 答案

一、填空题1． -12。 2。 ±1,±2.

二、计算题 1．0； 2.1++++ad cd ab abcd ；3.)

(])1([1

b a b n a n --+-； 4.

∏=-n

i i

a x 1

)(；

5．当n=2时，212x x D -=；当 n>2时,用拆项法可得0=n D 。

第1章行列式(作业3) 答案

一、填空题1.0. 2.n n n y x 1)1(+-+. 二、选择题 1 (B). 2（C ），（D ）

三、计算题 1.6； 2．n n n n

a x a x

a x ++++--11

1 ； 3.

∏≥>≥+-1

1)(j i n j i ；4.∏=-=

i i i i

i n

c b d

a D

2)(.

第1章行列式(作业4) 答案

一、填空题1.03

321

≠c c c b b b a a a ，

321

321221121c c c b b b a a a d c c d b b d a a 。 2.充要条件. 二、1．212)1()1(----n n n ；

1(1

∑

∏

==+

j j

j j a a 。三、当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解. 第1章行列式(检测题) 答案

一、填空题 1.k n n --2

)

1(； 2.)(123241a a a a -；3． nn

n n a a a

22112)1()

1(--； 4. – 72.

二、选择题 1（C ）； 2（D ）. 三、1．-37； 2． ()

2224a b b -. 3.18221?-.

4.()?

???

??-+-∑∏==n

i i n

i i x a x x a 111；四、1．[提示]用行列式定义证明；2.[提示]用数学归纳法证明.第

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练复数与行列式一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）

行列式练习题及答案资料

一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0 0000010 020 001000Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛ -= （）. （A ）!n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 232 3 21 01)(= 中，3x 的系数是（）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1．各项以行标为标准顺序排列； 2．各项以列标为标准顺序排列； 3．各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.

一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2 913 2 5 1 3 232213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 817116045153016 9144 3 1 2 ----- 2．d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设）（则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

行列式经典例题及计算方法

行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =

行列式的计算（四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算（二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑

行列式检验测试题(有规范标准答案)

第九讲行列式单元测试题点评一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L

10.当 k=22 ±时，542k k k =。二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若（∨）的符号的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是（×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。（×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。（×）三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）

行列式习题答案

2 线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节 n 阶行列式一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13， 5 -）（D ）（5,13--） 3 ．方程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：

线性代数习题册行列式-习题详解.doc

行列式的概念一、选择题 1．下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行列式的值（）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号．答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.

阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i

综合练习一-矩阵、行列式-习题+答案

第一、二章阶段练习答案 1、设三阶行列式1)det(==ij a D ，则=++231322122111A a A a A a 0 。 2、设三阶行列式3 88 838 1 43-=D ，则元素13a 的代数余子式=13A 40 。 3、如果11 2101 3=c b a ，则 =---1 1 1 4253 33c b a 1 。 4、行列式=-1 11 1 021********* 7 。 5、行列式 =2300120000340 023 1 。 6、行列式 =3 3 3 3 22225432543254321111 12 。 7、方程组?? ? ??=-+=-+=-+434212633352z y x z y x z y x 的解)2,1,1(),,(--=z y x 。 8、设多项式x x x x x x x x f 123011 3215)(=，则多项式的次数为 4 。 9、四阶行列式 2 23 5 7 022220403 --的第四行各元素代数余子式之和的值为 0 。 10、设方程?? ? ??=+-=-+=++0200z y x z y x z y x λλ有非零解，则=λ 4或 1 。

11、若??? ? ??-=???? ??-0921209612y x ，则=x 2 ，=y 6 。 12、设A 为三阶方阵，且2 1 =A ，则=--*12)3(A A 16/27 。 13、设???? ??--=7865A ，???? ??--=8616B ，则=-B A 32???? ??--1034158。 14、设???? ??-=???? ??12643152X ，则=X ???? ? ?-80232。 15、已知????? ??--=121011322A ，则=-1A ???? ? ??-----461351341。 16、解矩阵方程 X B AX =+，其中????? ??---=101111010A ，????? ??--=350211B ，=X ??? ?? ??--110213。 17、已知方阵A 、B 满足E AB A =-2 ，其中????? ??--=100110111A ，则=B ????? ??000000120。 18、设B A 、均为三阶方阵，已知B A AB +=2，其中???? ? ??=202040202B ，证明E A -可逆，且1)(--E A =????? ??001010100。 19、设????? ??=????? ??????? ??987654321100010101100001010A ，则=A ??? ? ? ??287221254。 20、设B A 、为n 阶对称矩阵，且A 和AB E +均可逆，证明A AB E 1)(-+为对称矩阵。

行列式练习题目及答案

第一章行列式一、单项选择题 1．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 3332 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133312221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.

( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 =-0 10000200 0010Λ ΛΛΛΛΛΛn n . 3．行列式 =--0 01)1(2211)1(111Λ ΛΛΛ Λn n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λ λλ 111 1 11111Λ ΛΛΛ Λ. 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 . 9．设行列式5 678123487654 321= D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，

矩阵典型习题解析

2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等设mn ij mn ij b B a A )(; )(==

若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法（1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置

线性代数总结材料汇总情况+经典例题

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）德蒙德行列式数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案.doc

《线性代数》 (工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵 A 为 4 阶方阵，且 | A| =5，则 | A* | =__125____，| 2A| =__80___， | A1 |= 1/5 bx ay 0 、若方程组cx az b 有唯一解，则 abc≠ 2 cy bz a 3 、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式0 . x1 x2 x3 0 4 、当 a 为 1 or 2 时，方程组x1 2x2 ax3 0 有非零解. x1 4x2 a2 x3 0 3 1 2 5 、设 D 2 3 1 , 则2 A11 A21 4 A31 .0 01 4 二、单项选择题 a 11 a 12 a 13 4a11 2a11 3a12 a 13 1．设 D a 21 a 22 a 23 1, 则D 4a21 2a21 3a22 a 23 （ B ）a 31 a 32 a 33 4a31 2a31 3a32 a 33 （A)0 ；（B)―12 ；（C）12 ；（D）1 kx ky z 0 （ A ．设齐次线性方程组2x z 0 有非零解，则k = ）2 kx 2 y z 0 （A）2 （B）0 （C）-1 （D）- 2 2 0 8 3．设 A= 3 1 5 ，则代数余子式A 12 ( B ) 2 9 7 (A) 31 (B) 31 (C) 0 (D) 11 4．已知四阶行列式 D中第三列元素依次为 -1 ，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4 ，则 D= ( A ) （ A） -15 （B） 15 （C） 0 （D） 1 三、计算行列式 1

(完整版)第一章行列式试题及答案

第一章行列式试题及答案一选择题 (每小题3分，共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中，x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλN O 21 2 1 = ，则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 22 2c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二填空 (每小题3分，共15分) ⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。三计算行列式 (每小题6分，共30分) ⑴ 0 1 1 2 2 1032101132 221 13 132 11----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n Λ ΛM M O M M Λ Λ =(a ≠b ) 四证明题 (每小题10分，共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ，证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a

行列式经典例题

大学——行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1 由题设知， an =0, a 〔2 1 , L ,a 1n n 1 丄故 0 1 L n 1 0 1 L n 1 1 L n 2 r i r 1 1 1 L 1 D n M O i n ,n 1,L ,2 M O n 1 n 2 L 0 1 1 L 1 n 1 n L L n 1 2 L L 1 C j C n M O O L ( 1)n 12* 2 (n 1) j 1,L ,n 1 M 0 2 L 0 1 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行?第二步用的每列加第 n 列. 证明：考察范德蒙行列式： =(a 一②o -打)3 -刃3 一 (匚 -y) 1 L n 1 1 1 L 1 1 0 L n 2 r i r i 1 1 1 L 1 M O i 1,2,L ,n 1 M O n 1 n 2 L n 1 n 2 L 方法2 D n Cj q j 2,L ,n 例2. 1 1 M n 1 设a , 0 L 2 L O 2n 3 L b , c 是互异的实数 =0 =(1)n 12n 2(n 1) 的充要条件是a + c =0.

=-1 ■■■■ J J - I .■- ■ ■ J I . 1 1 1 a b c 行列式云即为y2前的系数?于是 1 1 1 a b c 口m ={a-b)[a - e)(b-c){a-\-b-\-c) =0 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D a n 1 a n 2 a i 解：方法1递推法按第列展开, D n = x D n 1 + (-1) a n 由于D1 = x + a 1，D2 2 1+ a n=x(x D n 2+a n 1) + a n=x D n 2+ a2 a1 n 1 a n 必+ a n = L = x D 1+ a n 2X n + a n 1x + a n =x n a〔x L a n 1x a n 方法2第2列的x倍，第3列的x 倍, ，第n列的x n1倍分别加到第1列上 q XC2 D n a n xa n 1 a n 1 a n 2 K x a1