有关圆的最值问题几种类型及方法

圆的最值问题

一圆心到定直线的距离的最值问题

例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点,PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线,C 是圆心,那么四边形PACB 的最小值是_____________.

变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线,A,B 是切点,若四边形PACB 最小面积是2,则k=_____________;

二圆上动点到定直线的距离的最值问题

例2 圆012222=+--+y x y x

上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________;

变式：已知P 是圆122=+y x

上的一点,Q 是直线052:=-+y x l 上的一点,求PQ 最小值;

三圆的切线长最值问题

例3 从点Pm,3向圆C:

()()12222=+++y x 引切线,则切线长的最小值为_____________;

变式：由直线

2+=x y 上的点向圆()()12y 42

2=++-x 引切线,怎切线的最小值为____________;

四与圆的弦长有关的最值问题

例4 在圆06222=--+y x y x 内,过点E0,1的最长弦和最短弦分别是AC 和BD,

则四边形ABCD 的面积为_______________;

变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x

,过点M3,0的最短弦所在的直线方程是_____;

五圆中“斜率”最值问题

例3 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为0158y 22=+-+x x ;若直线2y -=kx 上至少存在一点,使得以改点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则k 的最大值是_________________;

变式：如果实数x,y 满足等式(),1222=+-y x 那么13y -+x 的取值范围________________;

初中数学圆中最值定值问题专题（推荐）

初中数学圆中最值定值问题专题（推荐） 圆中最值域定值问题研究 类型一、 例1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB 的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_______ 1、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P 为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______ 2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，圆A和圆B上的动点，则PE+PF的最小值为_________ 类型二、折叠隐圆 【基本原理】（一箭穿心） 点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,,最大值为A P1 例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．

1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______ 2、四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P 是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____ 类型三、随动位似隐圆 例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．点D是 边AC上一点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F 始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为_________ [分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取 AB中点G，则FG为中位线，FG=1 2 AD'=3,故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。 问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。 思路2：倍长BC到B’，则CF为△B’D’B的中位线，CF=1 2 B’D’,当B’D’最大时，CF也取最大 值，问题实质为D在圆A上运动至何处时，BD取最大。

中考数学专题复习 圆的最值问题模型汇总

圆的最值问题 知识储备 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可． 当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆． 在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题． 若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最值的问题就会变得简单了，比如：如右图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小． 类型一已知圆轨迹类 典例分析 【例1.1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线L上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直线L不经过点C，则AB的最小值为． 【例1.2】如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（） A． B． C．3 D．2

【练习】 1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ). A ．19 4 B ． 245 C ． 5 D ． 2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中， 线段EF 长度的最小值为 ． 3. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5 ，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则线段MN 长的最大值为（ ）

圆中最值问题10种求法(供参考)

圆中最值的十种求法 在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下： 一、利用对称求最值 1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值. [分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长. 解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P 连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E 在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30° 在Rt△ODE中cos30°= 即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2 即PA+PC的最小值为2. 二、利用垂线段最短求最值 2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为. [分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2. 解：连接PA、QA 因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ 在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2 即PQ= 又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。 所以PA的最小值为2 所以PQ的最小值= 三、利用两点之间线段最短求最值 3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( ) A．B．2C．3D．3 [分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题. 解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB 根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6 因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB 所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3

圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题

圆的问题探究 安阳市龙安高级中学段可贺 高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。希望对读者有些启发。 类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题 分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。 1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。 所以max min 2; 2.222 CH BH AH d d d d d ===+==- 2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题 ,max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________. 解析:方法同第一题 ,min 5d = 类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题 分析：本质是两点间距离。涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。 1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离. 解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B . max min 1;1. OC OC d d r d d r =+==-= 2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求

专题：与圆有关的3类最值问题

与圆有关的3类最值问题 1.斜率型最值问题 【方法点拨】形如μ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化过定点(a ，b)的动直线斜率的最值问题求解． 【典例】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x ＝k ，即y ＝k x . 当直线y ＝k x 与圆相切时(如图)，斜率k 取得最大值或最小值，此时 |2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝± 3. ∴y x 的最大值为3，最小值为－ 3. 【练习】已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆上任意一点，则y －2x －1 的最大值为________． 解析： 设y －2x －1 ＝k ，即k x －y －k ＋2＝0， 圆心C (－2,0)，r ＝1. 当直线与圆相切时，k 有最值， ∴|－2k －0－k ＋2|k 2＋1 ＝1，解得k ＝3±34. ∴ y －2x －1的最大值为3＋34. 答案：3＋34

【方法点拨】形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b ＝y －x ，即y ＝x ＋b ，从而将y －x 的最值转化为求直线y ＝x ＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解． 【典例】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y －x 的最大值和最小值． 解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距， 如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2 ＝3， 解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 【练习】已知P (x ，y )为圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，则|3x ＋4y －3|的最大值为________． 解析：设t ＝3x ＋4y －3，即3x ＋4y －3－t ＝0. 由圆心(2,0)到直线3x ＋4y －3－t ＝0的距离d ＝|6－3－t |32＋4 2≤1， 解得－2≤t ≤8.所以|3x ＋4y －3|max ＝8. 答案：8

有关圆的最值问题几种类型及方法

圆的最值问题 一圆心到定直线的距离的最值问题 例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点，PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 的最小值是_____________. 变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线，A,B 是切点，若四边形PACB 最小面积是2，则k=_____________。 二圆上动点到定直线的距离的最值问题 例2 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________。 变式：已知P 是圆122=+y x 上的一点，Q 是直线052:=-+y x l 上的一点，求PQ 最小值。 三圆的切线长最值问题 例3 从点P(m,3)向圆C: ()()12222=+++y x 引切线，则切线长的最小值为_____________。 变式：由直线 2+=x y 上的点向圆()()12y 42 2=++-x 引切线，怎切线的最小值为____________。

四与圆的弦长有关的最值问题 例4 在圆06222=--+y x y x 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ， 则四边形ABCD 的面积为_______________。 变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x ，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是_____。 五圆中“斜率”最值问题 例3 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158y 22=+-+x x 。若直线2y -=kx 上至少存在一点，使得以改点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则k 的最大值是_________________。 变式：如果实数x,y 满足等式(),1222=+-y x 那么1 3y -+x 的取值范围________________。

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题 最值问题是数学中经常遇到的一类问题，也是我们在生活和工作中 经常需要解决的问题。与圆有关的最值问题较为常见，下面我们就来 详细讲解一下与圆有关的最值问题。 1、圆的面积最大值问题 对于一个给定的周长，圆的面积大小是有限制的，那么圆的面积能达 到最大值吗？答案是肯定的。如何求得圆的面积最大值呢？可以利用 圆形是周长相等的图形之中，面积最大的形状，这一性质来进行求解。根据圆形的定义可知，圆形是以线段为半径作为圆心所在的圆周所包 括的区域，而圆弧是圆周上的一段线段，用圆弧代替直线段，使得圆 与圆弧缩短弧长，从而面积更大。所以，圆的面积最大时，其圆弧的 长度正好等于圆的周长的一半。 2、圆的周长最大值问题 圆的周长与圆的半径成正比，所以圆的周长最大时，其半径也最大。 因此，圆的周长最大值问题可转化为半径最大值问题。但是一般情况下，圆的半径是有限制条件的，比如半径必须小于一定数值，这时我 们需要用到极值的判定方法来求解。 3、圆内切正方形的最大面积

若题目给出一个圆，要在圆内切一个面积最大的正方形，该如何求解？首先可以画出该图形的示意图，现在有一个边长等于圆的直径的正方形，在其中画出一个圆，且与正方形的四个顶点相切，如图。将图形 旋转一定角度，使正方形的一条边与水平线重合，则圆的直径同样水平，则圆的直径就是正方形的边长，此时，圆内切正方形的面积为(半 径的平方)÷2。 4、圆外接正方形的最小边长 同样地，若题目给出一个圆，要在圆周上找到一个最小边长的正方形，该如何求解？先画出一个圆外接正方形的示意图，即在圆上取四个点，使得这四个点构成一个正方形(如图)。要求这个正方形的最小边长，就 是要求这个正方形的最小周长。由于正方形的边长相等，所以可以将 正方形的周长都化为边长l的形式来表示。根据边长l和圆的半径r的 关系，可以列出如下方程： 2l + 2√2l = 2πr 将方程进行化简，得： l = r(π - 2√2) 所以，圆外接正方形的最小边长为r(π - 2√2)。 以上就是与圆有关的最值问题的详细介绍，不同的问题需要采用不同

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题 圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程． 【与圆有关的最值类型】 ①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径. 例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ). A.6；3. B.6；4. C.5；3. D.5；4. (2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d= 25√32+42 =5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直 线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B. 法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′= |3cosθ+4sinθ−25| 5 =|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4. 故应选B. (2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距 离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5. 法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5. 例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(8 5，6 5). B.( 8 5，−6 5). C.( −8 5，6 5) D.( −8 5，−6 5). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2 +y 2 =4, 3x −4y =0,⇒{x =8 5 y =65 或{x =−8 5 y =−65 . 结合图4.7—1知选A. x y O 4x+3y -12=0

2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展二：与圆有关的最值问题(详解版)

拓展二：与圆有关的最值问题 知识点1 圆的最值问题 求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为： 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 圆的最值类型：

一、圆上动点到定点距离的最值问题 圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于r PC +||，最小值等于. 圆内一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于r PC +||，最小值等于||PC r -. 二、圆上动点到定直线的距离的最值问题 圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径. 三、圆的切线长最值问题 四、由直线与圆的位置关系求距离的最值 五、过圆内定点的弦长的最值问题（最长弦、最短弦问题） 设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为. 六、与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： （1）形如u ＝y －b x －a 的最值问题，可转化过定点(a ，b )的动直线斜率的最值问题求解． （2）求形如u ＝ax ＋by 的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是： ①数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y 轴上的截距取得最值； ①把u ＝ax ＋by 代入圆的方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由Δ≥0求得u 的范围，进而求得最值. （3）求形如u ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x －a )2＋(y －b )2看作是点(a ，b )与圆上的点(x ，y )连线的距离的平方，利用数形结合法求解. 七、利用对称性求最值 形如|PA |＋|P Q|形式的与圆有关的折线段问题(其中P ，Q 均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．①“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 考点一 圆上动点到定点的距离的最值问题 【例1-1】圆()()22 341x y -+-=上一点到原点的距离的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 PC r -

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题 ∴点A（2，2）离点P（2，2）最近，且最近距离为22-2。 变式1：在例1的条件下，求一点B，使得离P最远，并求最远距离。 变式2：已知圆x2+y2=4，点P（1，1），在圆上求一点A，使得A离P最远，并求最远距离。小结：在圆上找一点P，使得P离点A最近或最远，并求最值距离，分两类情况： 设圆心到点A的距离为d， 当点A在圆内时，|PA|max=r+d，|PA|min=r-d。 当点A在圆外时，|PA|max=d+r，|PA|min=d-r。 二、圆上点与圆的相离直线的最值问题 例2：已知圆：x2+y2=4，直线L：x+y-3=0。在圆上求一点A，使得A到L的距离最短，并求 最短距离。 解：（如图）过O作直线OA垂直L，则点A为所求。直线OA的斜率为1，对应方程为： y=x。 由得。 ∴点A（2，2）到L的距离最短，最短距离为2－２。 变式：在例2条件下，求一点B，使得B到L的距离最远，并求最远距离。 小结：对于圆上点与圆的相离直线的最值问题，在处理时先作出过圆心且垂直于该直线的直线，这条直线与圆交于两点，则这两点为所求。设圆心到直线的距离为d，则：最短距离=d-r，最远距离=d+r。 三、过圆内点的最短弦问题 例3：已知点P（1，1），圆x2+y2=9，求过点P且被圆截得的弦长最短的直线L的方程。解：（如图）当直线L与直线OP垂直时所截得的弦最短，直线OP的斜率为1，则L的斜率 为-1；代入点斜式得所求直线方程为：x+y-2=0。 变式1：已知圆（x-3）2+（y-4）2=4和直线kx-y-4x+3=0，当圆被直线截得的弦最短时，求k 值。 变式2：求过点P（1，2）且把圆（x-2）2+y2=9分成两个弓形，当其中的劣弧最短时的直线 L的方程。 小结：对于过圆内点的最短弦问题，在处理时应先作出以该点和圆心为垂径的弦，则该弦所 在直线为所求直线。 四、利用圆的参数方程求最值 例4：已知圆x2+y2=9，求x+y的最值。

圆最值问题题型归纳

x 圆中最值问题 类型一 圆上一点到直线距离的最值问题 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ： 22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 . 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22 (3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 . 例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小 值的点P 坐标． 类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义） 例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求 12 y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？ 类型三：转化成函数或不等式求最值 例4已知圆O ：22 1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为

例5已知圆C ： 22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点， （1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值． 6、已知C 过点)1,1(P ,且与 M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求C 的方程； (Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值； (Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆 心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部 分） （Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分 矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切， 试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆． l P E C M

与圆有关的最值(范围)问题

x x 与圆有关的最值（范围）问题 圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22 (3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小 值为 。 【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用． 解：如图1，圆心C 到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =， 故1PQ PC r ≥-= 变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值 为 。 【分析】本题要求QAB S 的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求 “Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离， 则1 1)42 QAB Q Q S AB h = ⋅===+ 图1 图2 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :2 2 (3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为 222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1． 解：如图3，22221PA PC r PC = -=-，∵min PC =∴min PA 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：2 2 (3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大． 【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的

与圆有关的最值范围问题(九种题型) Word版含解析【KS5U 高考】

与圆有关的最值范围问题 一．基础知识回顾 1、圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 2、圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为 （过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 3、切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 4、过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM l C P M C P P MN

5、利用代数法的几何意义求最值 （1）形如a x b y --= μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如2 2 )()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题 二．题型分类 1.圆上动点到定点 2.圆上两动点 3.圆上动点到直线距离最值 4.切线长最值 5.圆内定点弦长最值 6.面积最值 7.代数式几何化最值—截距型 8.代数式几何化最值—斜率型 9.代数式几何化最值—距离型 三．常用方法策略 1.数形结合 2.转化到圆心问题 3.三角换元 四．例题解析 1.圆上动点到定点