空间向量及其运算
空间向量及其运算
1.空间向量的有关概念
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫作空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π
2，则称a 与b 互相垂直，
记作a ⊥b . ②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).
概念方法微思考
1.共线向量与共面向量相同吗？
提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？
提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.
3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？
提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × )
(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0.( √ ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( × ) 题组二 教材改编
2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →
相等的向量是( )
A.－12a ＋1
2b ＋c
B.12a ＋1
2b ＋c C.－12a －1
2b ＋c
D.12a －1
2
b ＋
c 答案 A
解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →
)
＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1
2
b ＋
c .
3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案
2
解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →
)2
＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，
∴|EF →
|＝2，∴EF 的长为 2.
题组三 易错自纠
4.在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3，2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直 B.平行
C.异面
D.相交但不垂直
答案 B
解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →
＝(1,1，－1)，
∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →
共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD . 5.已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 答案 2 6 解析 ∵a ⊥b ，
∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，
∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.
6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →
，若P ，A ，B ，C
四点共面，则实数t ＝______. 答案 1
8
解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝1
8
.
题型一 空间向量的线性运算
例1 如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →
＝b ，AD →
＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：
(1)AP →；
(2)MP →＋NC 1→.
解 (1)因为P 是C 1D 1的中点， 所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1————→ ＋D 1P → ＝a ＋AD →＋12D 1C 1————→
＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1
2b .
(2)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →
＝－1
2a ＋????a ＋c ＋12b ＝12a ＋1
2
b ＋
c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→
＝12AD →＋AA 1→＝1
2
c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→
＝????12a ＋12b ＋c ＋????a ＋12c ＝32a ＋12b ＋3
2
c . 思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.用AB →，AD →，AA 1→
表示OC 1→，则OC 1→
＝________________.
答案 12AB →＋12
AD →＋AA 1→
解析 ∵OC →＝12AC →＝12
(AB →＋AD →)，
∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→
＝12AB →＋12
AD →＋AA 1→. (2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →
等于( )
A.1
2
(－a ＋b ＋c ) B.1
2
(a ＋b －c ) C.1
2
(a －b ＋c ) D.1
2(－a －b ＋c ) 答案 B
解析 NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →
)＋12AB →
＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →
)＝12OA →＋12OB →－12OC →
＝1
2
(a ＋b －c ). 题型二 共线定理、共面定理的应用
例2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.
(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →
＝EB →＋12(BC →＋BD →)
＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，
由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面. (2)因为EH →＝AH →－AE →
＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .
又EH 平面EFGH ，BD ?平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .
思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
(0≤k ≤1).
(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→
共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？
解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→
，
∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→
共面. (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合， MN 在平面ABB 1A 1内，
当0 共面， ∴MN ∥平面ABB 1A 1. 综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内； 当0 例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点. (1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. (1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD → ＝r . 由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB → ＝1 2 (q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝1 2(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝1 2(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB → ，即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD . (2)解 设向量AN →与MC → 的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝1 2(q ＋r )， MC →＝AC →－AM → ＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·????q －12p ＝12? ???q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12? ???a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12????a 2－a 24＋a 22－a 2 4＝a 22 . 又∵|AN →|＝|MC → |＝32 a ， ∴AN →·MC →＝|AN →||MC → |cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22. ∴cos θ＝2 3 . ∴向量AN →与MC → 的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23. 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求平面与平面的夹角. (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1→ 的长； (2)求BD 1→与AC → 夹角的余弦值. 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→ ＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12 . |AC 1→ |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×????12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→ |＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC → ＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC → |＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1， ∴cos 〈BD 1→，AC → 〉＝BD 1→·AC → |BD 1→||AC → |＝66. 即BD 1→与AC → 夹角的余弦值为66 . 1.已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝1 2x －2a ，则x 等于( ) A.(0,3，－6) B.(0,6，－20) C.(0,6，－6) D.(6,6，－6) 答案 B 解析 由b ＝1 2x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20). 2.在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 3.已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32 B.－2 C.0 D.3 2 或－2 答案 B 解析 当m ＝0时，a ＝(1,3，－1)，b ＝(2,0,0)， a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ， ∴ 2m ＋12＝3m ＝m －1 －m ，解得m ＝－2. 4.在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|P A |＝|PB |，则P 点坐标为( ) A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3) 答案 C 解析 设P (0,0，z )， 则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2 ＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2， 解得z ＝3. 5.已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6 答案 D 解析 ∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1,1,2)， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32 ， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π 6，故选D. 6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( ) A. 3 B. 2 C.1 D.3－ 2 答案 D 解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →， ∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2， 故|BD → |＝3－ 2. 7.已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________. 答案 －9 解析 由题意知c ＝x a ＋y b ， 即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴???? ? 2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ， 解得λ＝－9. 8.已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝________. 答案 (3，－2,2) 解析 因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1 ， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)， 又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0， 即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2). 9.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝ 23 VD → .则VA 与平面PMN 的位置关系是________. 答案 平行 解析 如图，设VA →＝a ，VB → ＝b ， VC →＝c ，则VD → ＝a ＋c －b ， 由题意知PM →＝23b －1 3c ， PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13 c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN → 共面. 又VA ?平面PMN ，∴VA ∥平面PMN . 10.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→ 2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③向量AD 1→与向量A 1B → 的夹角是60°； ④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________. 答案 ①② 解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1————→ ＋A 1B 1————→ )2＝A 1A ————→ 2＋A 1D 1————→ 2＋A 1B 1————→ 2＝3A 1B 1————→ 2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→ ，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④不正确. 11.已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →). (1)判断MA →，MB →，MC → 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内. 解 (1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM → ， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC → 共面. (2)由(1)知MA →，MB →，MC → 共面且过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面. ∴点M 在平面ABC 内. 12.已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2). (1)求|2a ＋b |； (2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE → ⊥b ？(O 为原点) 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)令AE →＝tAB → (t ∈R )， 所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB → ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0， 所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95 . 因此存在点E ，使得OE → ⊥b ，此时E 点的坐标为????－65 ，－145，25. 13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC → ，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 56 解析 连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ， 则MN →＝ON →－OM → ＝12(OB →＋OC →)－12 OA → ＝12b ＋12c －12 a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12a ＋23????12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋1 3 c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC → ，所以x ＝16，y ＝13，z ＝13， 因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝5 6 . 14.A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD → ＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 答案 C 解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12 AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形. 15.已知O (0,0,0)，A (1,2,1)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________. 答案 (1,1,2) 解析 由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA → ＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB → ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1,1,2). 16.如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点. (1)求证：CE ⊥A ′D ； (2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值. (1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→ ＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D → ＝－c ＋12b －12a ， ∴CE →·A ′D → ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D → ，即CE ⊥A ′D . (2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE → |＝52|a |， AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·????b ＋12c ＝12c 2＝12 |a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE → 〉＝AC ′→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a | 2 2×52|a |2 ＝1010， 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010 . 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量 空间向量及其运算（理科 ） 一、 学习目标： 1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。 3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。 二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b 1、±=a b 2、λa = 3、?a b = 4、共线向量定理：（1）//a b ()≠?0b ? （2）//a b 222(0)x y z ≠? （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是 5、共面向量定理： 6、空间向量分解定理： 7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ； （2）两个向量b a ,数量积的定义： ； （3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。 （4）数量积满足的运算律： ， ， 。 8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==， 则=a ________，cos= ____________ 三、基础训练： （1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC === a b c 点M 在OA 上，且 OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = . （2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ） （A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a （3）设非零向量a ，b ，c ，,|||||| =++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3] （4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠= , §8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， 空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， 第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 空间向量知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r 也可以记作 AB u u u r ，其模记为a r 或AB u u u r . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r . 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r . 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r .如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+r r r r ，()() a b c a b c ++=++r r r r r r 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r 方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r 的长度的λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 () a b a b λλλ+=+r r r r ，() ()a a λμλμ=r r . 3.共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r 平行于b r ，记作//a b r r . 4.共线向量定理 3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本 空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图 第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法： ①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形 空间向量及其运算和空间位置关系 1．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ， z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1 的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→ 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －1 2 b ＋c 解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→ )＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c. 3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→ (x ， y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→ ，根据共面向量定理 新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ， 11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2 121 C ．c b a +-2121 D ．c b a +--2 1 21 2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB u u u r u u u r 与的夹角是（ ） A ．0 B ． 2 π C ．π D ． 32 π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ， a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c b a 213221+- B ． c b a 21 2132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 2 13232-+ 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=?=?=?AD AB ，AD AC ， AC AB ，则BCD 是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 图 祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题 一、选择题 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为1 2的是 （ ） A. BC AB ? B. BD AB ? C.DA AB ? D.AC AB ? 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 5．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( ) A ．a B ．b C ．c D ．2a 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） 空间向量的运算及应用 [考纲传真]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 【知识通关】 1．空间向量的有关概念 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． 5.空间位置关系的向量表示 1．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB → (x ＋y ＝1)，则P ，A ，B 三点共线． 2．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面． 3．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为??? n· a ＝0，n· b ＝0. 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( ) (3)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系 基础知识归纳 一、空间向量及其有关概念 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2. 2．向量的坐标运算 三、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量． (2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的． 基础题必做 1．(课本习题改编)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 解析：选C ∵c ＝(－4，－6,2)＝2a ，∴a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b . 2． 若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A ．{a ，a ＋b ，a －b } B ．{b ，a ＋b ，a －b } C ．{c ，a ＋b ，a －b } D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b } 解析：选C 若c 、a ＋b 、a －b 共面， 则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 3．(教材习题改编)下列命题： ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＋DA u u u r ＝0； ②若MB u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D 可判断①②③正确． 4．在四面体O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的 中点，则OE u u u r ＝________(用a ，b ，c 表示)． 解析：如图，OE u u u r ＝12OA u u u r ＋12 OD u u u r 3.1 空间向量及其运算 第一课时 3.1.1 空间向量及其加减运算----3.1.2 空间向量的数乘运 算 教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 教学过程： 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？ 二、新课讲授 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？） 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则． 5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D - （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵； 1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3 AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练 6. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量） 空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫作空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 概念方法微思考 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果. §1－3 空间向量与立体几何 【知识要点】 1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算： ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立． ②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)； 分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b． (2)空间向量的基本定理： ①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b． ②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b． ③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c． (3)空间向量的数量积运算： ①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜c os〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质： a·e＝|a｜c os＜a，e＞；a⊥b a·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： ( a )· b ＝(a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ； 分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示： ①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋ a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)． ②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 a ＋ b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； a ＝( a 1， a 2， a 3)；a · b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件： a ∥ b (b ≠0)?a ＝b ?a 1＝ b 1，a 2＝b 2，a 3＝b 3(∈R )； a ⊥ b ?a ·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ;||,||232 221232221b b b a a a ++==++==??b b b a a a ;||||,cos 23 2221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>= 1 A．-a+b+c B．a+b+c C．a-b+c D．-a-b+c A．OM=2OA-OB-OC B．O M=OA+OB+OC 1 C．（－，，－1）D．（2，－3，－22） 2 C．π N A．a-b+c B．-a+b+c C．a+b-c D．a+b-c 精心整理 新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填 在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD—A B C D中，M为AC与BD的交点，若A B=a， 1111 A D=b，A A=c.则下列向量中与 B M相等的向量是（） 1111 1111 2222 1111 2222 图 2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（） 111 532 C．MA+MB+MC=0D．OM+OA+OB+OC=0 3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=900， ∠BAA'=∠DAA'=600，则AC'等于（） A．85B．85C．52D．50 4．与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是（） A．（，1，1）B．（－1，－3，2） 3 13 22 5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（） A．0B．πD．3π2 6．已知空间四边形ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，为BC中点，则MN=（） 121 232 111 222 211 322 221 332 7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB?AC=0，AC?AD=0，AB?AD=0，则?BCD是 （） A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定 8．空间四边形OABC中，OB=OC，?AOB=?AOC=600，则cos O A，BC=（）空间向量及其运算详细教案
学案37 空间向量及其运算(理科 )
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