数学物理方程答案谷超豪

数学物理方程答案谷超豪

【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程

1 方程的导出。定解条件

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，

此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为

t(x)??g(l?x)

且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上

各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端

张力在u轴方向的投影分别为

?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)

其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角

又sin??tg??于是得运动方程

?u ?x.

?u?2u?u

??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g

?xx?x?t

利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得

?2u??u

?g[(l?x)]。

?x?x?t2

5. 验证u(x,y,t)?

1t2?x2?y2

在锥t?x?y0中都满足波动方程

222

?2u?2u?2u1222

证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?y

x,y,t有

二阶连续偏导数。且

2

3

2

?u

??(t2?x2?y2)?t

?

?t

35

??u

(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22

?t

?(t

2

?x2?y2)

?

32

?(2t2?x2?y2)

?u

?(t2?x2?y2)?x

?

32

?x

?2u?x

2

?t?x

?

22

352?2222?22?y?3t?x?yx

???

???52??u

同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?

2

?y

所以即得所证。

2 达朗贝尔公式、波的传抪

3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2

??2u2?u?2?a2t?x?

?ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?

5?

?t2?x2?y22t2?2x2?y2

?

?2u?x

2

?2u?y

2

?t?x?

?

22

5?y22

??2t

2

?x?y

22

???t2.

?2u

解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(

x2

x2

x?atx?at

)+?()-?(0). 22

即为古尔沙问题的解。

8．求解波动方程的初值问题

??2u?2u???t2??x2?tsinx

?

?u?u?0,|t?0?sinxt?0??t?

x?t

tx?(t??)

解：由非齐次方程初值问题解的公式得

11

sin?d???sin?d?d? u(x,t)????2x?t20x?(t??)

11

=?[cos(x?t)?cos(x?t)]???[cos(x?(t??))?cos(x?(t??))]d?

220

t

t

=sinxsint?sinx?sin(t??)d?

?

=sinxsint?sinx[?cos(t??)?sin(t??)]t0 =tsinx 即 u(x,t)?tsinx 为所求的解。

3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1)

2

??2u2?u?2?a2?t?x?

3?x?u?

u?sin,?t?0

l?t?

?u(0,t)?u(l,t)?0??

t?o

?x(1?x)(0?x?l)

解：边界条件齐次的且是第一类的，令

u(x,t)?x(x)t(t)

得固有函数xn(x)?sin

n?

x，且 l

an?an?

tn(t)?ancost?bnsint，(n?1,2?)

ll

于是 u(x,t)?

?(ancos

n?1

?

an?an?n?

t?bnsint)sinx lll

今由始值确定常数an及bn，由始值得

3?x?n?

sin??ansinx

lln?1

x(l?x)??

an?n?

bnsinx lln?1

?

所以 a3?1,an?0,当n?3

2n?

bn?x(l?x)sinxdx ?an?0l

2

?an?

??ln?l2n??xcosx?sin?l??lln2?2??n?

??l2n?x??xcosx ??l??n?

l

2l2xn?2l3n?

?22sinx?33cosx

lln?n?

因此所求解为

??

l

4l3

?44(1?(?1)n) an?

3a?3?4l3

u(x,t)?cotsix?

lla?4

2??2u2?u?0?2?a2?t?x??

(2) ?u(0,t)?0

?

?u(x,0)?hx,?l?

1?(?1)nan?n?

sitsix ?4

llnn?1

?

?u

(l,t)?0 ?t?u

(x,0)?0?t

解：边界条件齐次的，令 u(x,t)?x(x)t(t)得：?

?x????x?0

(1)

x?(l)?0?x(0)?0,

2

及t???a?x?0(2)。

求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 1? ??0时，方程的通解为

x(x)?c1e

??x

?c2e?

??x

由x(0)?0得c1?c2?0 由x?(l)?0得c1??e ??l

?c2??e?

??l

?0

解以上方程组，得c1?0，c2?0，故??0时得不到非零解。

2? ??0时，方程的通解为x(x)?c1?c2x

由边值x(0)?0得c1?0，再由x?(l)?0得c2?0，仍得不到非零解。 3???0时，方程的通解为

x(x)?c1cos

x?c2sinx

由x(0)?0得c1?0，再由x?(l)?0得

c2

?cos?l?0 l?0，于是

2

为了使c2?0，必须 cos

?2n?1?

???n???? (n?0,1,2?)

?2l?

且相应地得到xn(x)?sin

2n?1

?x (n?0,1,2?) 2l

2n?12n?1

a?t?bnsina?t(n?0,1,2?) 2l2l

将?代入方程(2)，解得

tn(t)?ancos

?

于是 u(x,t)?再由始值得

n?0

?(ancos

2n?12n?12n?1

a?t?bnsina?t)sin?x 2l2l2l

?

2n?1?h

x?asin?x?n??l2ln?0

??

2n?12n?1?0??a?bnsin?x

?2l2ln?0?

容易验证?sin

l

??2n?1?

?x?(n?0,1,2?)构成区间[0,l]上的正交函数系： 2l?

?2m?12n?1?0当m?n

sin?xsin?xdx??l?当m?n2l2l?0?2

【篇二：数学物理方程第一章部分答案】

>1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程

???u????u?

???x????e? ?t??t??x??x?

其中?为杆的密度，e为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。现在计算这段杆

在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：

x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)

其相对伸长等于令

[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x

?ux(x???x,t)

?x

?x?0，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力t(x,t)等于

t(x,t)?e(x)ux(x,t)

其中e(x)是在点x的杨氏模量。

设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为

e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t).

于是得运动方程

?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esux(x??x)|x??x?esux(x)|x

?

(esux) ?x

利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得

?(x)s(x)utt?

若s(x)?常量，则得

?u?2u?

?(x)2=(e(x))

?x?x?t

即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在x?0,x?l两点则相应的边界条件为

u(0,t)?0,u(l,t)?0.

(2)若x?l为自由端，则杆在x?l的张力t(l,t)?e(x)

的边界条件为

?u

|x?l等于零，因此相应?x

?u

|=0 ?xx?l

同理，若x?0为自由端，则相应的边界条件为

?u

∣?0 ?xx?0

(3)若x?l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的

偏移由函数v(t)给出，则在x?l端支承的伸长为u(l,t)?v(t)。由虎克定律有

e

?u

∣??k[u(l,t)?v(t)] ?xx?l

k?u

??u)∣x?l?f(t) 其中??

e?x

其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件

(

特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)?0,得边界条件

(

?u

??u)∣x?l?0。 ?x

同理，若x?0端固定在弹性支承上，则得边界条件

?u

∣?k[u(0,t)?v(t)] ?xx?0?u

??u)∣x?0?f(t). 即 (?x

e

?x2?ux2?2u[(1?)]??(1?)3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 e 2?xh?xh?t

其中h为圆锥的高(如图1)

证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l为： l?1?

所以截面积s(x)??(1?

x h

x2

)。利用第1题，得 h

x2?2u?x2?u

?(x)?(1?)?[e?(1?)]

h?t2?xh?x

若e(x)?e为常量，则得

?x2?ux2?2u

e[(1?)]??(1?) ?xh?xh?t2

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡

位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为 t(x)??g(l?x)

且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为

?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)

其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角

又sin??tg??于是得运动方程

?u ?x.

?u?2u?u

??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g

?xx?x?t

利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得

?2u??u

?g[(l?x)]。 2

?x?x?t

7. 验证u(x,y,t)?

1t2?x2?y2

在锥t?x?y0中都满足波动方程

222

?2u?2u?2u ??

?t2?x2?y2

证：函数u(x,y,t)?

1t2?x2?y2

在锥t?x?y0内对变量x,y,t有

3

222

??u2222

??(t?x?y)?t 二阶连续偏导数。且?t ?2u?t2

35

?

??(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t2 ?32

?(t

2

?x2?y2)

?

?(2t2?x2?y2)

?u

?(t2?x2?y2)?x

?

32

?x

35???u

?t2?x2?y22?3t2?x2?y22x2 22 ?x

????

???5??2u

同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2? 2

?y

所以即得所证。

2 达朗贝尔公式、波的传抪

1. 证明方程

22

???x??u?1?x??2u

?h?0常数? ??1????2?1??2

?x???h??x??a?h??t

5

?

?t2?x2?y22t2?2x2?y2

?

?2u?x

2

?

?2u?y

2

?t?x?

?

22

5?y22

??2t

2

?x?y

22

???t2.

?2u

的通解可以写成

u?

f?x?at??g?x?at?

h?x

?u

???x?. ?t

其中f,g为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题: t?0:u???x?,

解：令?h?x?u?v则

?v?

?h?x??u?u??v,?h?x?2?u??h?x???u??

?x

?x

?x

?

?x?

??v?u?2v2?u2?u[(h?x)??(u?)?(h?x)?(h?x)?(h?x)(u?2) ?x?x?x?x?x?x

?2u?2v又 ?h?x?2?2

?t?t

代入原方程，得

?2v1?2v?h?x?2?2?h?x?2

?xa?t

?2v1?2v?即 ?x2a2?t2

由波动方程通解表达式得

v?x,t??f?x?at??g?x?at?

所以 u?为原方程的通解。由初始条件得

f?x?at??g?x?at?

h?x1

?f?x??g?x??h?x1

??x???af/?x??ag/?x?

h?x

??x??

(1)

??

1

????d??c所以 f?x??g?x??????h?

ax0

由(1),(2)两式解出

x

(2)

11c

????f?x???h?x???x????h??d?? ?22ax2

o

x

11c??????h??d?? g?x???h?x???x?? ?22ax2

o

x

所以 u(x,t)?

1

[(h?x?at)?(x?at)?(h?x?at)?(x?at)]

2(h?x)

+

x?at1

(h??)?(?)d?. ?x?at2a(h?x)

即为初值问题的解散。

２．问初始条件?(x)与?(x)满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？

解：波动方程的通解为

u=f(x-at)+g(x+at)

其中f，g由初始条件?(x)与?(x)决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对于任何x,

t有g(x+at)?常数.

即对任何x, g(x)?c0

又 g（x）=?(x)?

121xc

?(?)d?? ?x02a2a

【篇三：数学物理方程课程教学大纲】

txt>一．《实变函数》课程说明

（一）课程代码：08130022

（二）课程英语名称：mathematics and physical equation (三)

开课对象：信息与计算科学专业本科生（四）课程性质：

数学物理方程指从物理学及其他各门自然科学、技术科学所产生的

偏微分(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它们反映了有关的

未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连

续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理

方程的范围。

（五）教学目的：

通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基

本方法，掌握三个典型方程定解问题的解法，为后继课程进一步扩

大数学知识面提供了必要的数学基础。（六）教学内容：

本课程主要包括波动方程、传导方程、调和方程、二阶线性偏微分

方程的分类、一阶偏微分方程组等几个部分。通过教学的各个环节

使学生达到各章中所提的基本要求。习题课是重要的教学环节，教

师要予以重视。

（七）学时数、学分数及学时数具体分配学时数：72学时学分数：4学分

(八)教学方式:以教师讲解为主的课堂教学方式 (九)考核方式和成绩记载说明:

考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学记管理的旷课量

取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩

占30％，期末成绩占70％。

二．讲授大纲与各章的基本要求第一章波动方程

教学要点：

通过本章的教学使学生初步了解数理方程方法及特点，掌握方程的

解法，及所表示的物理意义。

1．使学生了解波动方程的导出方法。 2．领会定解条件及意义。3．熟练掌握初边值问题的分离变量法解方程。 4．能解高维波动方程的柯西问题。 5．明确波的传播与衰减的意义。

6．用能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。教学时数：20学

时教学内容：

第一节方程的导出、定解条件第二节达朗贝尔公式、波的传播第

三节初边值问题的分离变量法第四节高维波动方程的柯西问题第

五节波的传导与衰减

第六节能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性考核要求：

第一节方程的导出、定解条件（领会与应用）第二节达朗贝尔公式、波的传播（领会）

第三节初边值问题的分离变量法（领会与应用）第四节高维波动

方程的柯西问题（领会与应用）第五节波的传导与衰减（领会）

第六节能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性（领会与应用）第二章热传导方程

教学要点：

通过本章的教学使学生初步了解通过物理原理建立热传导方程，能

用分离变量法解初边值问题，用傅立叶变换对柯西问题求解，用极

值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性。

教学时数：15学时教学内容：

第一节热传导方程及其定解问题的导出第二节初边值问题的分离

变量法第三节柯西问题

第四节极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性考核要求：

第一节热传导方程及其定解问题的导出（领会）第二节初边值问

题的分离变量法（领会与应用）第三节柯西问题（领会与应用）

第四节极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性（领会与应用）

第三章调和方程

教学要点：

通过本章的教学使学生能够建立调和方程，明确定解条件，熟练掌

握格林公式及其应用，了解格林函数，及用强极值原理判定第二边

值问题解的唯一性。

教学时数：15学时教学内容：

第一节建立方程、定解条件第二节格林公式及其应用第三节格林

函数

第四节强极值原理、第二边值问题解的唯一性考核要求：

第一节建立方程、定解条件（应用）第二节格林公式及其应用

（领会与应用）第三节格林函数（领会）

第四节强极值原理、第二边值问题解的唯一性（领会与应用）

第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结

教学要点:

通过本章的教学使学生初步掌握二阶线性方程的分类方法，二阶线

性方程的特征理论，三类方程的特点。

教学时数：12学时教学内容：

第一节二阶线性方程的分类第二节二阶线性方程的特征理论第三节三类方程的比较考核要求：

第一节二阶线性方程的分类（识记与领会）第二节二阶线性方程

的特征理论（识记与领会）第三节三类方程的比较（识记与领会）第五章积分论

教学要点:

通过本章的教学使学生初步了解一阶偏微分方程组的概念及特征理论，明确两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题及定解问题，

掌握二级数解法。

教学时数：10学时教学内容：

第一节引言 1.一阶偏微分方程组的例子 2.一阶方程组与高阶方程的

关系，第二节两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论.

第三节两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题第四节两个自

变量的线性双曲型方程组的其它定解问题第五节二级数解法 (应用)考核要求：

第一节引言 1.一阶偏微分方程组的例子 2.一阶方程组与高阶方程的

关系，(领会) 第二节两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征

理论. (识记与领会) 第三节两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问

题 (识记与领会) 第四节两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解

问题 (识记与领会)

三.推荐教材和参考数目

1.《数学物理方程》，谷超豪等编，第二版，高等教育出版社，

2002 2．《数学物理方程》，吉洪诺夫等编，黄克顾译,第二版，高

等教育出版社，1961 3．《数学物理方法》，南京工学院数学教研

组编，高等教育出版社， 1982 4．《高等数学》，四川大学数学系编，第四版，人民教育出版社，1979