二次函数的符号问题

二次函数的图象与a,b,c 的符号问题

【学习目标】 【课前自学】

22

2. 抛物线31-+-=x y 的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.

3. 抛物线342

+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 .

【课堂学习】

一、自主探索：

1.观察c bx ax y ++=2

的图象，你能得到关于c b a 、、的哪些信息？ 2.归纳：

⑴a 的符号由 决定：

①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0⑵b 的符号由 决定； ① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③ 是y 轴 ?b 0.

⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c ）在原点 ?c 0；

③点（0，c ）在y 轴负半轴 ?c 0.

⑷ac b 42

-的符号由 决定：

①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. ⑸特别的，当x =1时，y = ，对应的点的坐标记为： ； 当x =-1时，y = ，对应的点的坐标记为： .

【课堂练习】

二次函数的图象与性质具体如下图所示：

【典型例题】

例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列

4个结论中：①abc>0；②b0；④b 2-4ac>0

⑤b=2a.正确的是

（填序号）

【拓展提升】

如图抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴交与点(-3,0)、(1,0),与y 轴交与点（0,-3）.

结合图象回答：

⑴当0>x 时，y 的取值范围是 ； 当0

时，x 的取值范围是 ； 当0>y 时，x 的取值范围是 .

⑶>++c bx ax 2

0的解集是 ；

c bx ax ++2≤0的解集是 .

归纳观察图像的方法：

①当0>x 时?观察 的函数图象；当0y

时?观察 的函数图象；当0

【课后作业】

1.根据图象填空，并说明理由：

⑴a 0 ? ；b 0 ? ；c

0 ? ；abc 0. ⑵b 2-4ac 0 ? . ⑶c b a ++ 0；c b a +- 0；

⑷当0>x 时，y 的取值范围是 ； 当0>y 时，x 的取值范围是 .

2. 已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图所示，则下列结论：0ac >①；

②方程2

0ax bx c ++=的两根之和大于0；

y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个

3. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是

A ．a ＜0

B.abc ＞0

C.c b a ++＞0

D.ac b 42-＞0

4.若直线y=ax+b 不经过一、三象限，则抛物线c bx ax y ++=2

（ ）. (A)开口向上，对称轴是y 轴;

(B) 开口向下，对称轴是y 轴; (C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;

5. 若二次函数c bx ax y ++=2

的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的

正半轴; 则点??

? ??

b c a P ,在（ ）.

(A)第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;

7. 关于二次函数y=ax 2

＋bx ＋c 的图象有下列命题

①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2

＋bx ＋c=0

必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是a

b a

c 442

-；④当b=0时

，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

8．已知直线y=x+m 与抛物线2

x y =相交于两点，则实数m 的取值范围是( ). (A)

m ﹥41-

; (B)m ﹤4

1

-; (C)m ﹥41; (D) m ﹤41.

9.若一条抛物线c bx ax y ++=2

的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.

(A)a ﹥0,bc ﹥0; (B)a ﹤0,bc ﹤0; (C) a ﹤0, bc ﹥0; (D) a ﹥0, bc ﹤0 10. 抛物线232

+-=x x y 不经过（ ）.

（A ）第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限

11. 在同一直角坐标系中，抛物线542

-+=x x y 与直线y=2x-6的交点个数是( ). (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 12．已知反比例函数x

k y =的图象在二、四象限，则二次函数2

22k x kx y +-=的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题 一、基本知识： （1）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的. 抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 抛物线的形状相同 （2）抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的. 抛物线与y 轴相交于正半轴上； 抛物线与y 轴相交于原点； 抛物线与y 轴相交于负半轴上. （3）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的. 对称轴在y 轴的左侧； 对称轴在y 轴的右侧； 对称轴就是y 轴. （4）抛物线与x 轴交点的个数由 决定的. 抛物线与x 轴有2个交点； 抛物线与x 轴有1个交点； 抛物线与x 轴有0个交点. （5）二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0（或恒小于0）的条件是: y 恒大于0 y 恒小于0 （6）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（ ， ） 顶点在x 轴上 顶点在y 轴上 二、例题： 例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a －b+c______0， （3） 例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a －b+c______； （2） 练习： 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a_____0，b____0，c_____0； （2）a+b+c_____0，a －2b_____0，9a －3b+c_____0 c_____0b 21a 41+-1_____0b 2 1a 41--

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

二次函数中的符号问题

第二十二章二次函数 22.1.4二次函数y= a x2+bx+c的图像和性质 第2课时：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,△的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确 定a,b,c,△等式子的符号。 【学情分析】 学生之前已经系统学习了二次函数的定义，图像及性质等基本知识，但是缺乏对知识之间内在联系的再认知，本节课内容的复习既是旧知识的再现，又是知识内部联系规律的生成，考虑到本节课要应用图像分析系数，要运用规律综合解决一些问题，所以在设计教学时有意识的注重思路、方法、规律的总结，重视原理的建构和方法的应用。 【教学重、难点】 教学重点是：掌握二次函数y=a x2+bx+c的图像与系数符号之间的关系。 教学难点是：运用数形结合思想，选用恰当的数学关系式解决不同类型的二次函数符号问题。 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三

【教学过程】 一、知识链接温故而知新 （一）回味知识点： 1、抛物线y=a x2+bx+c的开口方向与什么有关？ 2、抛物线y=a x2+bx+c与y轴的交点是。 3、抛物线y=a x2+bx+c的对称轴是。（二）归纳知识点： 抛物线y=a x2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定： 开口向上a>0 开口向下a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方c>0 交点在x轴下方c<0 经过坐标原点c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧a、b同号 对称轴在y轴右侧a、b异号 对称轴是y轴b=0 简记为：左同右异（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定:

二次函数中的符号问题

课题：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,?的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确定a,b,c,?等式子的符号。 【教学重点】数形结合思想的熟练运用 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三 【教学过程】 一、知识链接温故而知新 自学：抛物线y=a x 2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0；开口向下 a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 ；交点在x轴下方 c<0 经过坐标原点 c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定：简记为：左同右异 对称轴在y轴左侧 a、b同号；对称轴在y轴右侧 a、b异号；对称轴是y轴b=0 （4）b 2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点b 2-4ac>0；与x轴有一个交点 b 2-4ac=0 ；与x轴无交点 b 2-4ac<0； （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定,利用以上知识主要解决以下几方面问 题： （1）由a,b,c,?的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置； （2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,?等符号及有关a,b,c的代数式的符号； 二、（探究活动）典例学习温故而知新 【活动一】若二次函数c bx ax y+ + =2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴 的正半轴; 则点 ? ? ? ? ? b c a P,在（） .

(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 【变式训练1】 如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【变式训练2】 二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。 （小组交流自学成果并展示） 【活动二】 已知：二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0； ②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c) 2＜b 2，其中正确的个数是 （ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 三 、 教学互动 效果检测 1.（2008甘肃兰州）已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；② b ＜a ＋c ；③4a ＋2b+c ＞0；④b 2－4a c ＞0；其中正确的结论有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2.（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 O

二次函数中的符号问题专题复习

二次函数中的符号问题专题复习

挑战中考中考链接： 1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M （，a）在（ D ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 第3题第4题 2、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一 坐标系中的大致图象是图中的（C） (A) (B) (C) (D) 3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0， 正确的个数是（C） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 4、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2， 其中正确的个数是（B）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 突破中考： 1．(2012年)如图1，在平面直角坐标系中，有两条位置确 定的抛物线，它们的对称轴相同， 则下列关系不正确的是（ A ） A．k=n B．h=m C．k ＜n D．h＜0，k＜0 2．(2013年)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 4所示，下列说法错误 ．．的是( D ) （A）图象关于直线x=1对称 （B）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是-4 （C）-1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根 （D）当x<1时，y随x的增大而增大 3. (2014年)如图3，已知二次函数y =x x2 2+ -，当1 - 1（B）1 -0 （D）1 -

中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)

二次函数判断符号问题大全 1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： 0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增 大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3题图 4题图 5题图 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6、二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） x y O 1 B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O

二次函数中的系数符号问题(专题2)[1]

专题2：二次函数中的系数符号问题 2-的符号与谁有关： (一) a、b、c、△=ac b4 1、抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定，当开口向上时，则 ; 当开口向下时，则； 若交点在y轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（），若交点在y轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y轴左侧，则a、b符号 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，若对称轴在y轴右侧，则a、b符号 若对称轴是y轴，则 与x轴有两个交点，则 4、抛物线与x轴的交点个数由决定，与x轴有一个交点，则 与x轴无交点，则 （二）抛物线y=ax2+bx+c的其他符号问题： 点在x轴上方，则a+b+c 。 1.a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a+b+c 。 点在x轴上，则a+b+c 。 点在x轴上方，则a－b+c 。 2.a-b+c的符号：由x= －1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a－b+c 。 点在x轴上，则a－b+c 。 3.2a±b的符号：由对称轴与x=1或x=-1的位置相比较的情况决定 （三）常用方法 1、图象上的其他点的纵坐标与顶点纵坐标比较 2、作差法比较 3、数形结合方法：二次函数c + =2，若 x=m时，y<0，当x=n时，y>0,则，则 y+ ax bx + =2和x轴必有交点 y+ ax bx c （四）你还可以补充：

练习Ⅰ 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，2 40b ac -> 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )

专题训练 二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题

专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系： 一、选择题 1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 2．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图2－ZT －1所示，则下列关系式错误的是( ) 图2－ZT －1 A ．a ＜0 B ．b ＞0 C ．b 2 －4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜0 3．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2 －2(b －2)x ＋b 2 －1的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是( ) A ．b ≥5 4 B ．b ≥1或b ≤－1 C ．b ≥2 D ．1≤b ≤2 4．2017·威海已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －2所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝ a － b －c x 在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2－ZT －2 图2－ZT －3 5．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b x 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( ) 图2－ZT －4 6．2017·烟台二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －5所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab ＜0；②b 2 ＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( ) 图2－ZT －5 A ．①④ B ．②④ C ．①②③ D ．①②③④ 7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和

二次函数的符号问题

二次函数的图象与a,b,c 的符号问题 【学习目标】 【课前自学】 22 2. 抛物线31-+-=x y 的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 3. 抛物线342 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 . 【课堂学习】 一、自主探索： 1.观察c bx ax y ++=2 的图象，你能得到关于c b a 、、的哪些信息？ 2.归纳： ⑴a 的符号由 决定： ①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0⑵b 的符号由 决定； ① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③ 是y 轴 ?b 0. ⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c ）在原点 ?c 0；

③点（0，c ）在y 轴负半轴 ?c 0. ⑷ac b 42 -的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. ⑸特别的，当x =1时，y = ，对应的点的坐标记为： ； 当x =-1时，y = ，对应的点的坐标记为： . 【课堂练习】 二次函数的图象与性质具体如下图所示： 【典型例题】 例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b0；④b 2-4ac>0 ⑤b=2a.正确的是 （填序号） 【拓展提升】 如图抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交与点(-3,0)、(1,0),与y 轴交与点（0,-3）. 结合图象回答： ⑴当0>x 时，y 的取值范围是 ； 当0y 时，x 的取值范围是 .

二次函数的符号问题专题

一、选择题 1. (2010 天津市) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2. (2011 甘肃省兰州市) 如图所示的二次函数 2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2 40b ac ->；（2）1c >；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<．你认为其中错误．．的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3. (2011 湖北省孝感市) 如图，二次函数 2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交， 其顶点坐标为112?? ??? ，，下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③2 44ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (2012 山东省威海市) 已知二次函数 ()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论错误的是 （ ）． （A ）0abc > （B ）32a b > （C ）()m am b a b +-≤（m 为任意实数） （D ）42 0a b c -+< 5. (2012 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的 两个交点分别为 ()()1030.-，，，对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③240a b c -+<；④

判定二次函数中的a,b,c的符号

10 A B C D 二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0?；a<0?．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0?抛物线交y轴于； c<0?抛物线交y轴于；c=0?． （3）ab决定抛物线对称轴的位置， 当a,b同号时?对称轴在y轴；b=0?对称轴为；a,b异号?对称轴在y轴，简称为． 一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号． 例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号 y x 2.看图填空 （1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0 （3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0 二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置： 例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（） y y y y O x O x O x O x A B C D 例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1 的大致图象是（） y y y 1 x0x-1x 0-10 1．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限． 2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是() y O x

3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点 , ? 在．（ ） ? b 2 - 4ac b ? y y A 、 a < 0, b > 0, c < 0 B 、 b 2 - 4ac < 0 C 、 a + b + c < 0 D 、 a - b + c > 0 ? a + b ac ? y A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 O 4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是 ( ) y y O x O x O x O x A B C D 5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论① c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（ ） A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个 6．已知函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , c y O x x = 1 y 有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其 中正确个数为 ． 7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线 y = ax 2 + bx 一定经过（ ） A ．第一、二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限 8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图 象，那么 a 的值是__． - O 1 x

专题训练(二)二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题

专题训练（二）二次函数图象与a, b, c, b2—4ac等符号问题二次函数y= ax2+ bx+ c（a^ 0）的图象特征与a, b, c及判别式b2—4ac的符号之间的关系： 一、选择题 1. 2016宁波已知函数y= ax2—2ax—1（a是常数，a* 0）,下列结论正确的是（） A .当a = 1时，函数图象过点（一1, 1） B. 当a=—2时，函数图象与x轴没有交点

C. 若a>0,则当x> 1时，y随x的增大而减小 D. 若a v 0,则当x w 1时，y随x的增大而增大 2. 二次函数y= ax2+ bx + c的图象如图2- ZT —1所示，则下列关系式错误的是() 图 2 —ZT — 1 A. a v 0 B. b > 0 2 C. b —4ac>0 D. a+ b + c v 0 3. 以x为自变量的二次函数y= x2—2(b—2)x+ b2—1的图象不经过第三象限，贝U实数b 的取值范围是() A . b> 5 B. b > 1 或b w—1 4 C . b > 2 D . 1 w b w 2 4 . 2017威海已知二次函数y= ax2+ bx+ c(a^ 0)的图象如图2—ZT —2所示，则正比例 a _ b _ c 函数y= (b+ c)x与反比例函数y = ------------- 在同一坐标系中的大致图象是() 图 2 —ZT — 2

图 2 —ZT — 3

5. 2017安徽已知抛物线y= ax2+ bx + c与反比例函数y= b的图象在第一象限有一个公 X 共点，其横坐标为1,则一次函数y= bx+ ac的图象可能是（） A B C D 图 2 —ZT — 4 6. 2017烟台二次函数y= ax2+ bx+ c（a^ 0）的图象如图2 —ZT —5所示，对称轴是直线 x= 1.下列结论：①ab v 0 :②b2> 4ac;③a + b+ 2c v 0;④3a + c v 0.其中正确的是（） A .①④ B .②④ C.①②③ D .①②③④ 7. 2017鄂州如图2—ZT —6,抛物线y= ax2+ bx+ c的图象交x轴于点A（—2, 0）和点 1 a + b B,交y轴负半轴于点C,且OB = OC.下列结论：①2b—c = 2;②a =-；③ac= b —1;④一厂 >0,其中正确的结论有（） A . 1个 B . 2个C. 3个 & 2017齐齐哈尔抛物线y = ax2+ bx+ c（a丰0）的对称轴为直线x= —2,与x轴的一个交 点在（—3, 0）和（—4, 0）之间，其部分图象如图2—ZT —7所示，则下列结论：①4a—b= 0; 是该抛物线上的点，则y i< y2< y3.正确的结论有() ②c v 0；③一3a + c>0;④4a—2b>at2+ bt（t 为实数）;⑤点—|, 图 2 —ZT — 6 -2

二次函数符号问题专项训练

二次函数符号问题专项训练 1、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ） 2、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A 、240b ac -> B 、0a > C 、0c > D 、02b a - < 3、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜0 4、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 5、函数y=ax 2 ＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ） 6、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，正确的是（ ）

7、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是 图中的（ ） 8、已知a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示，则a ，b ，c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 10、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示， 则点c M b a ?? ??? ，在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11、已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12、下图中⊿0<的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 13、不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0; B.a>0, △<0; C.a<0, △<0; D.a<0, △<0 14、抛物线y=x 2+2x-4的对称轴是直线（ ）. A.x=-2 B.x=2 C.x=-1 D.x=1

二次函数中的符号问题 作业

二次函数中的符号问题作业姓名_______ 二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是由字母系数a 、b 、c 的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢? 现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下： （1）抛物线开口向上； 抛物线开口向下． （2）抛物线开口大小，越大开口越小（3）、同号对称轴在轴左侧；、异号对称轴在轴右侧； =0对称轴为轴．（4）抛物线与轴的交点在轴上方； 抛物线与轴的交点在轴下方； 抛物线必过原点． （5）抛物线与轴有两个交点； 抛物线与轴有唯一交点； 抛物线与轴没有交点． （6）的符号由点( 1，

的位置来确定； 的符号由点( -1， 的位置来确定； 的符号由点(2，的位置来确定。 1如图1 是抛物线 的图像，则① 0；② 0；③ 0；④ 0； ⑤ 0；⑥ 0； ⑦ 0。 2. （2014?绥化）如图是二次函数y=ax2 +bx+c

图象的一部分，且过点A （3，0），二次函数 图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是 （） A ．b 2＞4ac B．ac ＞0 C ．a-b+c＞0 D ．4a+2b+c＜0 3.（2014?黔东南州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列4个结论： ①abc ＜0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b 2-4ac ＞0 其中正确结论的有（） A ．①②③ B．①②④ C ．①③④ D．②③④ 4. （2014?仙游县二模）已知二次函数

y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，给出以 下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0； ③b+2a＜0；④abc ＞0． 其中所有正确结论的序号是（） A ．③④ B ．②③ C．①④ D．①②③ 5. （2014?扬州，第16题，3分）如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且 平行于y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线 上，则4a ﹣2b +c 的值为． 6．(2014年天津市，第12 题3分已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣m =0没有实数根，有下列结论： ①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2． 其中，正确结论的个数是（）

二次函数a,b,c 的符号判断问题

二次函数的符号问题 1. 如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（1，y 2）是抛物线 2.如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(-3，0)和 (-2，0)之间，有四个结论：①b 2-4ac ＜0； ②a +b +c ＜0； ③2c -b =4； ④方程ax 2+bx +c -2=0有两个不相等的实数根．其中正确结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3．二次函数2y ax bx c =++(a≠0 )的图象如图，其对称轴为x =-1，有下面五个结论：①b ＞0； ②24b ac -＞0； ③c=-3a ； ④4a -2b+c ＞0； ⑤对于图象上的两个不同的点(m , n )、(-1, k )，有n k >.其中正确结论有 ( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个

4. 抛物线2y ax bx c =++图象如图所示，给出下列四个结论：①abc >0；②2a b c ++=；③12 a >；④ b ＜1.其中正确的结论是 （ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④ 5.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ） 6.小轩从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤ ．