有关圆锥曲线--椭圆,双曲线、抛物线的一些经典题型和相关练习

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）

【学习要点】

解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）

)0(12

22

2>>=+

b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有

02

02

0=+

k b y a

x 。

（2）)0,0(12

22

2>>=-b a b

y a

x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有

02

02

0=-

k b

y a

x

（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)______________

(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。

解：（1）（2，2）

连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时AF

即 y=22(x-1),代入y 2

=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(2,2

1-)，

它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（

1,41）

过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2

=4x 得x=

4

1，∴Q(

1,4

1)

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例2、F 是椭圆

13

4

2

2

=+

y

x

的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为

分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '虑问题。

解：（1）4-5

设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '

542)(22-

='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA

当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 （2）3

作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=

2

1，

∴PH PF PH PF ==2,2

1即

∴PH PA PF PA +=+2

当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142

=-=-A x c

a

例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2

+y 2

=36内切,与圆C 2:(x-1)2

+y 2

=4分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：共线（如图中的A 、M 、C 共线，B 、D 、M 共线）圆的“半径等于半径”（如图中的MD MC =）。

解：如图，MD MC =，

∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA （*）

∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2

=15轨迹方程为

115

16

2

2

=+

y

x

点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出

4)1()1(2

22

2

=+-+++y

x y

x ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5

3sinA,求点A 的轨迹方程。

分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=

5

3sinA 2RsinC-2RsinB=

5

3·2RsinA

∴BC AC AB 53=

-

即6=-AC AB （*）

∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为

116

9

2

2

=-

y

x

（x>3）

点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x 12)，B(x 2，X 22)，又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M 到x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点M(x 0，y 0)

则?????=+=+=-+-02

221

212

2221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9

即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④

① ② ③

由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2

]=9

∴20

2

00

41944x x y +=

-，

11

49)14(49442

2

020

2

00-++

+=+

=x x x

x y

≥,5192=- 4

50≥

y

当4x 02

+1=3 即 2

20±

=x 时，4

5)(min 0=

y 此时)4

5,22(±

M

法二：如图，32222

=≥+=+=AB BF AF BB AA MM

∴232

≥MM

， 即∴4

51

≥MM

， 当∴M 到x 点评：而不求”的方法。证AB 是否能经过焦点F 例6、已知椭圆

)52(11

2

2

≤≤=-+

m m y

m

x

过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次

变于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A 、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立即可得防

得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0

设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-)52(1

22≤≤-m m m

1

2222)()(2)

()(2)(2121-?

=

+=

+-+=

---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B

（2）)1

211(21

21122

)(-+

=-+-=m m m m f

∴当m=5时，9

2

10)(min =

m f ； 当m=2时，3

24)(max =

m f

点评：此题因最终需求C B x x +，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差，得

01

00=?-+

k m y m

x ，将y 0=x 0+1，k=1代入得

01

100=-++

m x m

x ，∴

1

20--=m m x ，可见1

22--

=+m m

x x C B

当然，解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现C B x x m f +=)(是解此题的要点。

【同步练习】

1、已知：F 1，F 2是双曲线12

22

2=-

b

y a

x 的左、

右焦点，过F 1作直线交双曲线左支于点A 、B ，若m AB =，△ABF 2的周长为（ ）

A 、4a

B 、4a+m

C 、4a+2m

D 、4a-m

2、若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是 （ ）

A 、y 2=-16x

B 、y 2=-32x

C 、y 2=16x

D 、y 2=32x

3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列，且AC AB >，点B 、C 的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）

A 、

1342

2

=+

y

x

B 、

)0(1342

2

>=+

x y

x

C 、

)0(13

4

2

2

<=+

x y

x

D 、

)00(13

4

2

2

≠>=+

y x y

x

且

4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ） A 、)1(49)2

1(2

2-≠=

+-

x y

x B 、)1(49)2

1(2

2-≠=

++

x y

x

C 、)1(4

9)

2

1(2

2

-≠=-+x y x D 、)1(4

9)

2

1(2

2

-≠=+

+x y x

5、已知双曲线

116

9

2

2

=-

y

x

上一点M 的横坐标为4，则点M 到左焦点的距离是

6、抛物线y=2x 2

截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是

8、过双曲线x 2-y 2

=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个，则k= 10、设点P 是椭圆

19

25

2

2

=+

y

x

上的动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求sin ∠F 1PF 2的最大值。

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。

12、已知直线l 和双曲线)0,0(12

22

2>>=-

b a b

y a

x 及其渐近线的交点从左到右依次为A 、B 、C 、D 。

求证：CD AB =。

【参考答案】 1、C

a BF BF a AF AF 2,21212=-=-，

∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C 2、C

点P 到F 与到x+4=0等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y 2

=16x ，选C 3、D

∵22?=+AC AB ，且AC AB >

∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线，即y ≠0，故选D 。 4、A

设中心为(x ，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得4)

2()12(12

2=+-+y x ，

∴4

9)21(2

2

=

+-

y

x

①又c

∴(x-1)2+y 2<4 ②，由①，②得x ≠-1，选A 5、

3

29

左准线为x=-5

9，M 到左准线距离为5

29)5

9

(4=

--=d 则M 到左焦点的距离为3

29

52935=?=

ed 6、)2

1(2

1>=y x

设弦为AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点为(x ，y)，则y 1=2x 12，y 2=2x 22，y 1-y 2=2(x 12-x 22) ∴)(2212

121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ，2

1=

x

将2

1=

x 代入y=2x 2

得2

1=

y ，轨迹方程是2

1=x (y>2

1)

7、y 2=x+2(x>2)

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点M(x ，y)，则 2

)(),

(2,2,2212

121212

22

122

212

1=+?---=-==y y x x y y x x y y x y x y

∵2

0+-=

=x y k k MP AB ，∴

222

=?+y x y ，即y 2=x+2

又弦中点在已知抛物线内P ，即y 2<2x ，即x+2<2x ，∴x>2

8、4

22,8,42

2

2

====c c

b

a

，令22=x 代入方程得8-y 2

=4

∴y 2=4，y=±2，弦长为4 9、12±±

或

y=kx+1代入x 2

-y 2

=1得x 2

-(kx+1)2

-1=0 ∴(1-k 2)x 2①???=?-0

12k ②1-k 2

=0得10、解：a 2

设F 1、F 2设=1r PF 则??

?

-+=+22

21

21

r r r r ①2

-②得2r ∴1+cos θ∴1+cos θ的最小值为

2

2

2a

b ，即1+cos θ25

18≥

cos θ25

7-≥， 25

7arccos 0-≤≤πθ则当2

π

θ=时，sin θ取值得最大值1，

即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。

11、设椭圆方程为

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a x

由题意：C 、2C 、

c c

a

+2

成等差数列，

∴2

2

2

24c a

c c

a

c c =++

=即，

∴a 2=2(a 2-b 2),∴a 2=2b 2 椭圆方程为

122

22

2=+

b

y b

x

，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) 则122

2

12

21=+

b

y b

x ①

122

2

22

22

=+

b

y b

x ②

①-②得

022

2

2

2

12

2

22

1=-+

-b

y y b

x x

④ ⑤ ∴

022

2

=?+

k b

y b

x m m

即

02

2=+-k ∴k=1

直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2(x+3)2-2b 2=0 ∴3x 2+12x+18-2b 2=0， 342)

218(1212

3

1112

2

2

1=--=

+-=b x x AB

解得b 2

=12， ∴椭圆方程为

112

24

2

2

=+

y

x

，直线l 方程为x-y+3=0

12、证明：设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，AD 中点为M(x 0，y 0)直线l 的斜率为k ，则

???????=-=-11

22222

2

22

1

221b y a

x b

y a x ①-②得0222020=?-k b y a x ③ 设),(),,(),,(002211

y x M BC y x C y x B '''''''中点为， 则???????=-=-0

022

1222

12

2211

22

11

b y a

x b

y a x

④-⑤得

0222

1

02

1=?-

'k b

y a

x ⑥

由③、⑥知M 、M '均在直线022:2

2

=?-

'k b

y a

x l 上，而M 、M '又在直线l 上 ，

若l 过原点，则B 、C 重合于原点，命题成立 若l 与x 轴垂直，则由对称性知命题成立 若l 不过原点且与x 轴不垂直，则M 与M '重合 ∴CD AB =

①

②

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去

长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是

002

2

1x x y y a

b

+

=.

6. 若000(,)P x y 在椭圆

222

2

1x y a

b

+

=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线

方程是002

2

1x x y y a

b

+

=.

7. 椭圆

222

2

1x y a

b

+

= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆

的焦点角形的面积为1

2

2

tan

2

F P F S b γ

?=.

8. 椭圆

222

2

1x

y

a b

+

=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：

10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相

应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，

A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. A

B 是椭圆

2222

1x y a

b

+

=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22

O M AB b k k a

?=-

，

即0

2

02

y a x b K

AB

-

=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2

2

00002

2

2

2

x x y y x y a

b a b

+

=

+

.

13. 若000(,)P x y 在椭圆

222

2

1x y a

b

+

=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

22002

2

2

2

x x y y x y a

b

a

b

+

=

+

.

双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，

除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

5. 若000(,)P x y 在双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是

002

2

1x x y y a

b

-

=.

6. 若000(,)P x y 在双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、

P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002

2

1x x y y a

b

-

=.

7. 双曲线

222

2

1

x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为1

2

2t

2

F P F S b co γ

?=.

8. 双曲线

2

2

2

2

1x

y

a

b

-

=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--

9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .

10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q

交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线

2222

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则

2

02

y a x b K

K AB

OM =

?，即0

202

y a x b K AB =

。

12. 若000(,)P x y 在双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

2

2

00002

2

2

2

x x y y x y a

b

a

b

-

=

-

. 13. 若000(,)P x y 在双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

22002

2

2

2

x x y y x y a

b

a

b

-

=

-

.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

1. 椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、

P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是222

2

1x y a

b

-

=.

2. 过椭圆

222

2

1x y a

b

+

= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C

两点，则直线BC 有定向且2

020

B C b x k a y =（常数）.

3. 若P 为椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,

21PF F β∠=，则

tan

t

2

2

a c co a c

α

β

-=+.

4. 设椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在

△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c e a

αβγ

==+.

5. 若椭圆222

2

1x y a

b

+

=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e ≤

1时，

可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则

2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.

7. 椭圆

2

2

0022

()()

1x x y y a b

--+

=与直线0A x B y

C +

+=有公共点的充要条件是

2

2

2

2

00()A a B b A x B y C +≥++.

8. 已知椭圆

2222

1x y a

b

+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）2

2

2

2

11

11||

||

OP OQ a

b

+=+

;（2）|OP|2+|OQ|2

的最大值为

222

2

4a b

a b

+;

（3）O P Q S ?的最小值是222

2

a b

a b

+.

9. 过椭圆222

2

1x y a

b

+

=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平

分线交x 轴于P ，则||||

2

PF e M N =.

10. 已知椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相

交于点0(,0)P x , 则2

2

22

0a b a b x a

a

---<<

.

11. 设P 点是椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（ a ＞b ＞0）

上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2

122||||1cos b

PF PF θ=

+.(2) 1

2

2

tan

2

P F F S b γ

?=.

12. 设A 、B 是椭圆222

2

1x y a

b

+

=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，P A B α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)2

2

2

2

2|cos |||s ab PA a c co αγ

=-.(2)

2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b

S b a

γ?=

-.

13. 已知椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相

交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且B C x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1.

双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于

P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是222

2

1x y a

b

+

=.

2.

过双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C

两点，则直线BC 有定向且2

020

BC b x k a y =-（常数）.

3.

若P 为双曲线

222

2

1

x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan

t

2

2

c a co c a

α

β

-=+（或

tan

t

2

2

c a co c a

β

α

-=+）.

4. 设双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin (sin sin )

c e a

αγβ==±-.

5. 若双曲线222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，

可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6.

P 为双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则

21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线

222

2

1x y a

b -

=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222

A a

B b

C -≤.

8. 已知双曲线222

2

1x y a

b -=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）2

22

2

1111||

||OP OQ a

b

+

=-;（2）|OP|2+|OQ|2

的最小值为

222

2

4a b

b a

-;（3）O P Q S ?的最小值是

222

2

a b

b a

-.

9.

过双曲线222

2

1x y

a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2

PF e M N =.

10.

已知双曲线

222

2

1x y a

b -

=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交

于点0(,0)P x , 则2

2

0a b

x a +≥或22

0a b x a

+≤-.

11.

设P 点是双曲线

2222

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，

则(1)2

122||||1cos b

PF PF θ

=-.(2) 1

2

2

cot

2

P F F S b γ

?=.

12.

设A 、B 是双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，P A B α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)2

2

2

2

2|cos ||||s |

ab PA a c co αγ=-.

(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b

S b a

γ?=+.

13.

已知双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双

曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且B C x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必

与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.

双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.

双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

第十三单元 直线与圆锥曲线的位置关系

一.选择题 (1)

椭

圆

1

4

16

2

2

=+

y

x

上的点到直线

22=-+y x 的最大距离是

( )

A 3 B

11 C 22 D 10

(2) 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的

直线 ( ) A 有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D 不存在 (3) 设双曲线12

22

2=-

b

y a x

(0

4

3c,

则

双

曲线的离心率

为

( )

A 2

B 3

C 2

D 3

32

(4) 如果椭圆

19

362

2

=+

y

x

的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ( )

A 02=-y x

B 042=-+y x

C 01232=-+y x

D 082=-+y x

(5)过双曲线2x 2-y 2-8x +6=0的由焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点, 若|AB|=4, 则这样 的直线有 ( )

A 4条

B 3条

C 2条

D 1条 (6) 已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 ( )

A

2

1 B

2

3 C

2

7 D 5

(7) 直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点, 椭圆的上顶点为B 点, 若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l 的方程是 ( )

A 5x +6y -28=0

B 5x +6y -28=0

C 6x +5y -28=0

D 6x -5y -28=0

(8) 过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p

q

+

等于

( )

A2a B 12a

C 4a D

4a

(9) 已知双曲线

13

6

2

2

=-

y

x

的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为

( ) A

5

63 B

6

65 C

5

6 D

6

5

(10) 点P （-3，1）在椭圆

)0(12

22

2>>=+

b a b

y

a x

的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线，经直

线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为

( )

A

3

3 B 3

1 C

2

2 D 2

1

二.填空题 (11) 椭圆

19

252

2

=+

y

x

的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ___________.

(12) 若直线l 过抛物线2y ax =(a>0)的焦点，并且与y 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则

a=_______

(13) 过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14

2

2

=-y

x

的弦所在直线方程为 .

(14) 已知F 1、F 2是椭圆

4

2

x

+y 2

=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1|·|PF 2|的最大值

是 . 三.解答题

(15) 如图，O 为坐标原点，过点P （2，0）且斜率为k 的直线

l 交抛物线

y 2=2x 于M （x 1,y 1）,N(x 2, y 2)两点． （1）写出直线l 的方程； （2）求x 1x 2与y 1y 2的值； （3）求证：OM ⊥ON ．

(16) 已知椭圆C ：

2

2a x

＋

2

2b

y

＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线

l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的

对称点，设AM ＝λAB . （Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）若4

3=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程.

(17) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+

=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其中O 为原点）.

求k 的取值范围.

(18) 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，

长轴

12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值

参考答案

一选择题:

1.D [解析]：设椭圆

14

16

2

2

=+

y

x

上的点P （4cos θ，2sin θ）

则点P 到直线022=-+y x 的距离

d=

5

|

2)4

sin(24|5

|

2sin 4cos 4|-+=

-

+πθθθ

105

|

224|max =

-

-=

d

2.B ； [解析]：过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，

若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合。 故设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为)1(-=x k y

代入抛物线x y 42=得，0)2(22222=++-k x k x k ∵A 、B 两点的横坐标之和等于5，∴

5)

2(22

2

=+k

k

，3

42

=

k

则这样的直线有且仅有两条

3.A ； [解析]：直线l 过(a, 0), (0, b)两点. 即为：0=-+ab ay bx ，故原点到直线l 的距离2

2

||b

a a

b +-=

4

3c ，

2

2

2

2216

3)

(c c

a c a =

- 2

2

16

311e

e

=

-

∴e =

3

32 或2， 又0

2

22

2

22

22

>+>

+=

=

a

a a a

b a a

c e

∴e = 2 4.D ；[解析]：用‘点差法’： 这条弦的两端点位A(x 1,y 1),B （x 2,y 2）,斜率为k,则

?????

??=+=+1936

19

362

222

2

1

21y x y x 两式相减再变形得09362121=+++y y k x x

又弦中点为(4，2)，故k=2

1-

故这条弦所在的直线方程y －2=2

1-(x-4)

5.B ； [解析]：过双曲线2x 2－y 2－2=0的由焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点, 若轴，x l ⊥则AB 为通径，而通径长度正好是4，故直线l 交双曲线于同支上的A 、B 两点且|AB|=4，这样的直线只有一条，

若l 经过顶点，此时|AB|=2, 故直线l 交双曲线于异支上的A 、B 两点且|AB|=4，这样的直线有且只有两条， 故选B 。

6.C ； [解析]：已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则点P 的轨迹是以A 、B 为左右焦点的双曲线的右支，

故|PA|的最小值是A 到右顶点的距离，为2+

2

72

3=

7.D [解析]：设M （x 1,y 1）、N(x 2,y 2), 而B （0，4）, 又△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点（2，0）上, 故x 1+ x 2=6，y 1+ y 2=－4，又A 、B 在椭圆上，故得

???=--=--0

28560

28562211y x y x

则直线l 的方程是02856=--y x

8.C [解析]：过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，

设P （x 1,y 1）、Q(x 2,y 2),则p=a

y q a

y 41,

4121+

=+

设直线PQ 为a

kx y 41+=，联立直线方程与抛物线方程可得

21y y +=

a

k 2

21+，2

21161a

y y =+

11p

q

+

=2

212121161)(4121a

y y a y y a

y y +

++

+

+=4a

9.C [解析]：已知双曲线

13

6

2

2

=-y x

的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，M(3,

)2

6则

MF 1=

2

6,故MF 2=2

652

6

62=

+

，故F 1到直线F 2M 的距离为

5

62

652662

1

21=?=

?MF MF F F

10.A[解析]： 点P （-3，1）在椭圆

)0(12

22

2>>=+

b a b

y

a x

的左准线上， 故32

=c a

点P （-3，1）关于直线2-=y 的对称的点为Q ，则Q （-3，-5），设椭圆的左

焦点为F ，则直线FQ 为)5(2

5+=

+x y ，故)3(2

55+-=

c

∴=c 1，3=a

二填空题:

11. 20 ；[解析]：△PQF 2的周长=4a 12. 14

；[解析]：l 被抛物线截得的线段长 即为通径长

a

1 ，故

a

1=4，

13.

0543=-+y x ；[解析]： 参考选择题（4），由‘点差法’ 可得斜率为4

3-

14. 4 .； [解析]：由焦半径公式|PF 1|=ex a -，|PF 2|=ex a +

|PF 1|·|PF 2|=（ex a -）（ex a +）=2

22x e a - 则|PF 1|·|PF 2|的最大值是2

a =4.

三解答题

(15)解（Ⅰ）解：直线l 的方程为

)0()

2(≠-=k x k y ① （Ⅱ）解：由①及y 2=2x 消去y 可得

.04)1(22

2

2

2

=++-k

x k

x k ②

点M ，N 的横坐标x 1与 x 2是②的两个根，

由韦达定理得2

2

212

122

212,2.

44x y x y k k

x x ====由

.

4,0,16444)(2121212

21-=<=?==y y y y x x y y 所以注意到得

（Ⅲ）证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1, k 2,

.

,144.

,2

121212

22111ON OM x x y y k k x y

k x y k ⊥-=-==

==所以相乘得则

(16) （Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点， 所以A 、B 的坐标分别是2

222222.,

,1,).,0(),0,(b

a c a

b y

c x b y a

x a ex y a e a +=?????=

-=?????=++=-这里得由.

所以点M 的坐标是（a b

c 2

,-）. 由).,(),(2

a e

a

a b e a c AB AM λλ=+-=得

即2

2

1e a a

b e a

c e a

-=???????==-λλλ解得 证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).

,0(),0,(a e

a -

设M 的坐标是),,(

),(),,(0000a e a y e

a x AB AM y x λλ=+

=得由

所以?????=-=.

)1(0

a y e

a x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,122

0220=+b y a x 即

.11)1(,1)()]1([

2

22

2

2

2

2

2

=-+

-=+

-e

e

b

a a

e

a λ

λλλ所以

,0)1()1(22

2

4

=-+--λλe e 解得.112

2

e e -=-=λλ

即

（Ⅱ）当4

3=

λ时，2

1=

c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a

所以.3,1,22

2

2

=-===c a b c a 椭圆方程为.13

4

2

2

=+

y

x

(17) 解：（Ⅰ）设双曲线方程为

12222=-

b

y a

x ).0,0(>>b a

由已知得.1,2,2,32

2

2

2

==+==

b

b a

c a 得再由

故双曲线C 的方程为.13

2

2

=-y

x

（Ⅱ）将得代入

13

22

2

=-+

=y

x

kx y .0926)31(2

2=---kx x k

由直线l 与双曲线交于不同的两点得?????>-=-+=?≠-.

0)1(36)31(36)26(,

0312

222

k k k k

即.13

12

2<≠

k

k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则

,22,319,31262

2

>+>?--=

-=

+B A B A B A B A y y x x OB OA k

x x k k x x 得由

而2)(2)1()2)(2(2

+++

+=++

+=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k

kx kx x x y y x x

.1

373231262319)1(2

22

22

-+=

+-+

--+=k

k k

k k

k

k

于是

解此不等式得即

,01

39

3,2137

32

2

2

2>-+->-+k k

k k

.33

12

<

12

<

故k 的取值范围为).1,3

3(

)3

3,1(?--

(18)解 (Ⅰ)设椭圆方程为

()222

2

10x y a b a

b

+=>>，半焦距为c ，则

2

111,a

M A a A F a c c

=

-=-

()2

222224

a

a a c c a a

b

c ?-=-???

=??=+???

由题意,

得2,1a b c ∴===

2

2

1.4

3

x

y

+

=故椭圆方程为

(Ⅱ)()004,,0P y y -≠设

0011221211021122

12

0001212123

5

0,

2

2tan 115

15

tan arctan

15

y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π

=-

=-

<∠<∠<∴∠-∴∠==

≤

=

++=

±∠∠∠ 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。 当即=，取到最大值，此时最大，

故的最大值为

高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^20，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1x2时，直线与圆相离； 当x1 (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且r=根号（圆心坐标的平方和-F） <二>椭圆的标准方程 椭圆的标准方程分两种情况： 当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)； 当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。即

高二数学椭圆双曲线抛物线测试题

高二《椭圆 双曲线 抛物线》测试题 班级 姓名： 一、选择题 （每小题5分 共40分） 1、抛物线28y x =的准线方程是 （ ） (A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- ２、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4、双曲线与椭圆15 22 =+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ） A ．13 2 2=-x y B ．1322 =-x y C ．13 2 2=-y x D ．13 22 =-y x 5、已知椭圆19162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．7 79 D ．49 6、过抛物线焦点任意作一条弦，以这条弦为直径作圆，这个圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 7、一动圆的圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线02=-y 相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 8、以椭圆 116 252 2=+y x 的中心为顶点，以这个椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A 、 5 18 B 、 5 36 C 、 3 80 D 、 3 100 二、填空题（每小题5分 共25分） 9、抛物线的焦点为双曲线17 92 2=-y x 的左焦点，顶点在双曲线的中心，则抛物线方程为 10、抛物线y px p 2 20=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 11、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 12、设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是 13、抛物线y x =2上的点到直线l x y ：--=20的最短距离是

椭圆与双曲线综合练习题(培优专题练习)

椭圆与双曲线综合练习题 1.已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( ) A ． B ． － C ． D ． － 2. 若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点,1F 、2F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ，若021=?PF PF , ） A.4 B. 3 C. 2 D. 1 4.已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ． (0，] B ． (0，] C ． [，1) D ． [，1) 5.已知为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B (0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C 的方程为( )A ．＋＝1 B ．＋＝1 C ．＋＝1 D ．＋＝1 7.过椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若 ＝λ1，＝λ2，则λ1＋λ2等于( )A ． 10 B ． 5 C ． －5 D ． －10 8. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ＋5y ＝0 C ．5x ±4y ＝0 D ．4x ±3y ＝0 9.设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ． 椭圆 B ． 线段 C ． 不存在 D ． 椭圆或线段 10.已知F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P 是椭圆上的点，I 是△F 1PF 2内切圆的圆心，直线PI 交x 轴于点M ，则|PI |∶|IM |的值为( ) A ． B ． C ． D ． 11.已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个

2021【暑假作业】新高三数学 考点14 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质(学生版)

专题14 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 基础巩固 一、选择题 1．抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ） A ．()0,2- B ．()2,0- C ．10,32? ?- ??? D ．1,032??- ??? 2．椭圆22 143 x y +=的右焦点到直线y =的距离是（ ） A ．12 B C ．1 D 3．已知双曲线2 2 2:1y C x b -=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，2FM =，则双曲线的离心率（ ） A ．2 B C D 4．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> ） A ．y = B ．y = C ．2y x =± D ．3y x =± 5．已知定点()2,3A ，F 为抛物线26y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，则||||PF PA +的最小值为（ ） A ．5 B ．4.5 C ．3.5 D ．不能确定 6．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘 积．若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为，过点1F 的直线交C 于点A ，B ，且2ABF 的周长为8．则C 的标准方程为（ ） A ．2 214x y += B ．22134x y += C ．22143x y += D ．2241163 x y +=

二、填空题 7．过圆224x y +=上任意一点M 作x 轴垂线，垂足为N ，则线段MN 的中点的轨迹方程为____________. 8．过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为 4 π直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是 . 9．已知12,F F 是双曲线22 1412 x y -=两个焦点，P 是双曲线上的一点，且01260F PF ∠=，则12F PF ?的面积为__________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2 y =的焦点与双曲线2 21x y m -=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为________. 知能提升 一、选择题 11．设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足1212PF PF F F + =，则 ） A ．2 B ．2 C D ．1 12．方程x = ） A ．双曲线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．圆的一部分 D ．直线的一部分 13．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为（ ） A B ．13 C ．2 D ．12 二、填空题

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0

⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右

椭圆、双曲线、抛物线综合测试题

椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 2 1的一个焦点为（ 0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2 x 2椭圆 16 7 1的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是 ，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（） 13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |， 则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点， M 、N 分别是圆（ x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 2 4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 2 2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ 椭圆 双曲线 D 抛物线 2 x 8若双曲线— a 2 y_ b 2 1(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（ ）

S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________ 2 2 2 2 xy xy 14已知椭圆 1与双曲线 1 (m, n, p,q m n p q 16 已知双曲线a 2 "2= 1 a 2 的两条渐近线的夹角为 三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9抛物线y x 2上到直线2x y 0距离最近的点的坐标（ ) 3 5 (1,1) 3 9 D (2,4) A - J B C ,- 2 4 2 4 10已知c 是椭圆 2 2 x y 1 (a K b 0）的半焦距，则一 C 的取值范围（ ） a b a A (1, ) B (2 ) C (1,、 ② D (1,辽］ 11方程mx ny 2 0 与 mx 2 2 ny 1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 A D 2 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a -p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点，且 o C .5 F 1PF 2 =60 R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ----------------- 15已知抛物线x 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 —,则双曲线的离心率为 3 象可能是（ ）

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)基础知识及常用结论

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n

椭圆双曲线抛物线经典求法及历年真题

解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数

双曲线练习题含答案

双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a ?0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2 sin ??y 2cos ?=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角?的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6. 7. 若a ·b ?0，则ax 2 ?ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab ?0，方程y=?2x ?b 和bx 2 ?ay 2 =ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－10 C ．k ≥0 D ．k >1或k <－1 3．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线 4．以椭圆x 23＋y 2 4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A.x 23 －y 2 ＝1 B ．y 2－ x 23＝1 C.x 23－y 2 4 ＝1 D.y 23－x 2 4 ＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程：

122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+-

椭圆双曲线抛物线公式性质表

高中数学循环记忆学案

基本题目过关； 22 12 211,F F 1F AB 169 FAB _____,|AB|=5|x y +=?１１ 已知，是椭圆的两个焦点，过点 的直线交椭圆于两点 则的周长为若，则ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝＿＿＿＿＿＿． ２２ ２，ｘ＋ｙ＝４，如图ＯＡ中点为Ｎ，Ｍ在圆上，ＭＮ的垂直平分线交 ＯＭ于Ｐ点，当Ｍ点在椭圆上运动时Ｐ点的轨迹方程是什么图形＿＿ ３，已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆与坐标轴交点坐标为 Ａ　（－３,０），Ｂ（０,５），则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿ 且常州常时段周长的两倍，则该椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿ ５，已知椭圆的中心在原点，焦点ｘ轴上，椭圆Ｃ上的点到焦点的最大值为 ３，最小值为１，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ２２ ｘｙ ６，若方程＋＝１，表示焦点在　ｙ轴上的椭圆，则ｍ的 ｜ｍ｜－１２－ｍ 取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ７，椭圆的短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点 9,设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，则此椭圆的方程为________________ 2210,椭圆5x +ky =5的一个焦点为（0,2）则k=_________

22 11,M 123 M x y w 是椭圆+=1的焦点为焦点，过直线L;x-y+9=0上一点作椭圆， 要使所作椭圆长轴最短，点应在何处____并求出椭圆的方程_____ PQ OP OQ ⊥12,已知椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴直线y=x+1与椭圆相交于两点，且， 11122 121222213,F A B P PF FA PO//AB e=( ) 11 A B C.D 232 AB F BAF =90x y a b ⊥∠o 如图已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的右顶点和上顶点为椭圆上一点，当，时， 14,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，过F 的弦与构成等 腰直角三角形，若角，则e=_________ F C B C BF C D BF FD u u u r u u u r 15,已知是椭圆的一个焦点，是椭圆短轴的一个端点，线段 的延长线交于点，且=2,则e=______ 22 122212P x y a b F PF ∠o 16,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，为椭圆上一点， =90,离心率的最小值为__________ 22 12221217,P =x y x a b F F PF ∠o 过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F ，作轴的垂线交椭圆于， 为右焦点，若60，则e=______ 22 12122212P PF 1 2 x y PF a b ∠u u u r u u u u r 18，为F F 为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点，若=0 tan PF F =,则e=______

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 16 5 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线

椭圆双曲线典型例题整理

椭圆典型题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝ 2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 2．已知椭圆的两个焦点为 F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

五、求椭圆的离心率问题。 例一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 例已知椭圆 19 8 2 2 y k x 的离心率2 1e ，求k 的值． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。 2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2 25 ＝1(a >5)，它的两焦点分别是 F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦 AB 过点F 1，求△ABF 2的周长． 3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求 △PF 1F 2的面积．

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结 一、 椭圆的标准方程及其几何性质 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨 迹叫做椭圆。符号语言：()12222MF MF a a c +=> 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图 形 性质 焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦 距 c F F 221= c F F 221= 范 围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点坐标 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴 长 长轴长=a 2，短轴长=b 2；长半轴长=a ,短半轴长=b a b c 、、关系 222a b c =+ 离 心 率 )10(<<= e a c e 通 径 22b a 焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2 2 10,0,mx ny m n m n +=>>≠

与椭圆12222=+b y a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()22 22 21x y k b a k b k +=>-++ 二、 双曲线的标准方程及其几何性质 双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言：()12 -222MF MF a a c =< 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在 标准方程 22 22 1x y a b -= (0,0)a b >> 22 22 1y x a b -= (0,0)a b >> 图 形 性质 焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦 距 c F F 221= c F F 221= 范 围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点坐标 )0,(a ± ),0(a ±， 实轴、虚轴 实轴长=a 2，虚轴长=b 2；实半轴长=a ,虚半轴长=b a b c 、、关系 222c a b =+ 离 心 率 (e 1)c e a => 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± y o a b x x y o a b x y a o

高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3

椭圆和双曲线练习题及答案.docx

圆锥曲线测试题 一、选择题（共12题，每题5分） 2 2 1已知椭圆二11（a 5）的两个焦点为F I、F2 ,且∣F1F2∣=8 ,弦 a 25 AB过点F i ,则△ ABF2的周长为（） （A）10 （B）20 （C） 2 -41（D） 4 41 2 2 2椭圆丄丄J上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 100 36 到它的右焦点的距离是（） （A）15 （B）12 （C）10 （D） 8 2 2 3椭圆—y 1的焦点F1、F2 ,P为椭圆上的一点，已知PF^ PF2， 25 9 则厶F1PF2的面积为（） （A）9 （B）12 （C）10 （D）8 4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（） （A）X2-y2=2 （B）y2-x2=2 （C）X2- y2= 4 或y2 _ X2= 4 （D）X2 -y2 = 2或y2 -X2 = 2 2 2 5双曲线--y 1右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P 16 9 点到左准线的距离为（） （A） 6 （B）8 （C）10 （D）12 6过双曲线X2—y2 =8的右焦点F2有一条弦PQ ∣PQ∣=7,F 1是左焦点，那么△ F1PQ的周长为（） （A）28 （B）14-8、2 （C）14 8 2 （D）8 2 7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2, ?F1MF2 =120 , 则双曲线的离心率为（） （A）3（B）兰（C）H （D）三 2 3 3 2

8在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为,2 ,焦点到相应准线的距离为1 ,则该双曲线的离心率为（）

(A) — ( B) 2 ( C) 2 ( D) 2 2 2 2 2 9如果椭圆2L L "的弦被点(4 , 2)平分，则这条弦所在的直 36 9 线方程是( ) (A ) X — 2y =O ( B ) X 2y — 4 =0 ( C ) 2x 3y - 12 =0 ( D ) x 2y — 8 = 0 那么点P 到y 轴的距离是（ ） π :(0,2)， π (0,—] 4 2 3 y 2 =1 a 0,b 0的右焦点为F ,过F 且斜率为 (A) (B)竽 (C) 2」6 (D) 2 3 1 1 中心在原点，焦点在 y 轴的椭圆方程是 2 2 X Sin l " y cos ： -1 ， 则C 的离心率为（ )w.w.w.k.s.5.u.c.o. m A 、6 B 、 7 C 、5 D 、 5 5 8 9 5 二 _ 填空题（20 ) ■3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 10 2 如果双曲线- 4 2 y 2 =1上一点P 到双曲线右焦点的距离是 2, A. π (0,—) 4 B D. [J) 4 2 12 已知双曲线 (Z,F ) 则 (

重点高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

重点高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

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【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C. 3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = ?= ||2AF ∴=. 5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3