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自动控制原理-第8章非线性控制系统

8 非线性控制系统

前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。

8.1非线性控制系统概述

在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

图8-1 伺服电动机特性

8.1.1控制系统中的典型非线性特性

组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。

实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。

8.1.1.1饱和非线性

控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图8-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特

性以限制过载。

图8-2 饱和非线性

8.1.1.2不灵敏区(死区)非线性

控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。如图8-3所示，其特性是输入信号在?<

叫做不灵敏区或死区。

图8-3 不灵敏区非线性特性

图8-4 具有不灵敏区的饱和特性

死区特性给系统带来稳态误差和低速运动不稳定影响。但死区特性会减弱振荡、过滤输入端小幅度干扰，提高系统抗干扰能力。

8.1.1.3 具有不灵敏区的饱和非线性特性

在很多情况下，系统元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。如电枢电压控制的直流电动机的控制特性就具有这种特性。具有不灵敏区的饱和非线性特性如图8-4所示。

8.1.1.4 继电器非线性

实际继电器的特性如图8-5所示，输入和输出之间的关系不完全是单值的。由于继电器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电流是不相同的。因此，继电器的特性有一个滞环。这种特性称为具有滞环的三位置继电特性。当1-=m 时，可得到纯滞环的两位置继电特性，如图8-6所示。当1=m 时，可得到具有三位置的理想继电非线性特性，如图8-7所示。

图8-5 具有滞环的三位置继电非线性特性图8-6 具有滞环的两位置继电非线性特性

8.1.1.5 间隙非线性

间隙非线性形成的原因是由于滞后作用，如磁性材料的滞后现象，机械传动中的干摩擦与传动间隙。间隙非线性也称滞环非线性。间隙非线性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量的变化超出一定数值(间隙)后，输出量才跟着变化。齿轮传动中的间隙是最明显的例子。间隙非线性如图8-8所示。

图78-7 具有三位置的理想继电非线性特性图8-8 间隙非线性特性

7.1.2非线性控制系统的特殊性

非线性系统与线性系统相比，有许多独有的特点：

（1）线性系统的稳定性由系统的闭环极点决定，也就是说一旦系统确定，其稳定性也随即确定，与初始条件和输入信号无关。而非线性系统的稳定性除了与系统的闭环极点相关外，还与初始条件和输入信号相关。对于某一个确定的非线性系统，在一种初始条件下是稳定的，而在另一种初始条件下则可能是不稳定的，或者在一种输入信号作用下是稳定，而在另一种输入信号作用下却是不稳定的。

（2）线性系统的运动状态不是收敛与平衡状态，就是发散。理论上说，当系统处于临界时，会出现等幅振荡。但是在实际情况下，这种状态不可能维持，外界环境或系统参数稍有变化，系统就会趋于平衡状态或发散状态。而非线性系统的运动状态除了收敛和发散以外，还有等幅振荡的状态。这种振荡状态在没有外界作用的情况下，也会存在，而且保持一定的幅度和频率，称为自持振荡、自振荡或自激振荡。自持振荡由系统结构和参数决定，是非线性系统独有的现象。

（3）线性系统在输入某一频率的正弦信号时，输出的稳态分量是同频率的正弦信，系统只会改变输入信号的幅度和相位。而在非线性系统中，当输入信号是某一频率的正弦信号时，输出信号不仅含有同频率的正弦分量，还含有高次谐波分量。因此，在分析线性系统时采用的频率特性、传递函数等方法不能应用于非线性系统的分析。

（4）线性系统满足叠加原理。而非线性系统不满足叠加原理。对非线性系统的分析，重点是系统的稳定性，系统是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度是多少，如何减小和消除自持振荡等。

7.1.3 非线性控制系统的分析方法

目前尚没有通用的求解非线性微分方程的方法。虽然有一些针对特定非线性问题的系统分析与设计方法，但其适用范围有限。因此分析非线性系统要根据其不同特点，选用有针对性不同方法。

（1）相平面分析法非线性控制系统的相平面分析法是一种用图解法求解二阶非线性常微分方程的方法。相平面上的轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此可以在相平面图上分析平衡状态的稳定性和系统的时间响应特性。

（2）描述函数法描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统参数(如放大系数、时间常数等)的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。描述函数法是线性控制系统理论中的频率法在非线性系统中的推广。

用计算机直接求解非线性微分方程，以数值解形式进行仿真研究，是分析、设计复杂非线性系统的有效方法。随着计算机技术的发展，计算机仿真已成为研究非线性系统的重要手段。

8.2 描述函数法

描述函数法是一种基于谐波线性化概念，将分析线性系统的频率响应法移植到分析非线性系统中的一种工程近似方法。其基本思想是：当系统满足某种条件时，系统中非线性环节的输出信号中的高次谐波分量可以忽略，用基波近似输出信号，由此导出非线性环节的近似频率特性，即描述函数。此时的非线性系统就近似为一个线性系统，可以用线性系统分析方法中的频率响应法对其进行分析。描述函数法主要用于分析非线性系统的稳定性，是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度，消除和减弱自持振荡的方法等。

8.2.1 描述函数的基本概念

8.2.1.1继电特性引例

理想继电特性如图8-9（a ）所示，当输入正弦信号t Xsin x ω=时，其输出y(t)是一个与输入正弦函数同频率的周期方波。

()

图8-9 理想继电特性及输入、输出波形与输出波形

输出周期函数可展开成富里叶级数）

????+++

ωωωπ

5sin 5

3sin 31(sin 4M

y(t)t t =

∑

∞

=++0

2)12sin(M

4n n t

n ωπ

(8-1)

由式（8-1）可以看出，方波函数可以看做是无数个正弦信号分量的叠加。这些分量中，有一个与输入信号频率相同的分量，称为基波分量（或一次谐波分量），其幅值最大。其他分量的频率均为输入信号频率的奇数倍，统称为高次谐波。频率愈高的分量，振幅愈小，各谐波分量的振幅与频率的关系称为该方波的频谱，如图8-9（b ）所示。

8.2.1.2 谐波线性化

对于任意非线性特性，设输入的正弦信号为t x ωsin X =，输出波形为y(t)。输出y(t)有富氏形式：

)

sin(]

)sin(cos [)(1

010n n n n n n t n Y A t n B t n A A t y ?ωωω++=++=∑∑∞

=∞

=）（

式中 ?

ωπ200)()(21

A t d t y

)()cos()(120t d t n t y A n ωωππ

（8-2） )()sin()(1

t d t n t y B n ωωπ

（8-3）

n n

B A Y +=

，n

n B A arctan

=? 对于本章所讨论的几种典型非线性特性，均属于奇对称函数，y(t)是对称的，则A 0=0；若为单位奇对称函数，则A 0=A 1=0。

谐波线性化的基本思想或处理方法是略去输出高次谐波分量，用输出y(t)的基波分量y 1(t)近似地代替整个输出。即

)sin(sin cos )(y(t)11111?ωωω+=+=≈t Y t B t A t y （8-4）

式中 21211B A Y +=； 1

11arctan B A =?

=πωωπ201)(cos )(1

A t d t t y （8-4a ）

?=π

ωωπ20

1)(sin )(1

t d t t y B (8-4b)

因此，对于一个非线性元件，我们可以用输入t Xsin x ω=和输出)sin((t)y 111?ω+=t Y 近似描述其

基本性质。非线性元件的输出是一个与其输入同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦输入下的输出在形式上十分相似，故有些学者（特别是苏联学者）也称上述近似处理为谐波线性化。

8.2.1.3 描述函数

非线性特性在进行谐波线性化之后，可以仿照幅相频率特性的定义，建立非线性特性的等效幅相特性，即描述函数。

非线性元件的描述函数是由输出的基波分量y 1(t)对输入x 的复数比来定义的，即

12111arctan B A X

B A X

N ∠

∠=? （8-5）式中 N ——非线性元件的描述函数； X ——正弦输入的幅值；

Y 1——输出信号一次谐波的幅值；

φ1——输出信号一次基波与输入信号的相位差。

描述函数的实质是用一个等效线性元件替代原来的非线性元件，而等效线性元件的幅相特性函

数N 是输入信号t Xsin x ω=的幅值X 的函数。

图8-10所示为包括非线性元件的非线性系统框图，即非线性系统分成线性部分G （S ）与非线性部分N （S ）。

图8-10 典型非线性系统

把非线性元件等效为一个放大倍数为复数的放大器，与频率ω无关。这相当于线性系统中的放大器，其放大倍数是一个普通常数。

系统闭环传递函数为 ()()

()1()()

N X G s s N X G s Φ=

闭环系统特征方程为 1()()0N X G s += 8.2.2 典型非线性元件的描述函数

8.2.2.1理想继电特性的描述函数理想继电特性的数学表达式为 ,0

(),0M x y x M x ??=?

-??

图8-11 理想继电特性及输入、输出波形

由于正弦信号是单值奇函数，因此，00=A ,01=A 及1?=0。根据式（8-4b ）得富氏级数基波分量的系数B 1

ωωπ20

1)(sin )(1

t td t y B ，

因为y(t)是周期2π的方波，且对π点奇对称，故1B 可改写为

ωωπ

14)(sin 4

t td M B

因此基数分量为 t M

t y ωπ

sin 4)(1=

X Y X N π=

∠=

010)( （8-6）显然，理想继电特性的描述函数是一个实数量，并且只是输入振幅X 的函数。

8.2.2.2死区特性的描述函数

假设输入正弦信号函数为()sin x t X t ω=，则输出特性的数学表达式为：

11()0,(0

t<)()(sin ),(t )2

y t y t K X t a ωθπωθω=???=-≤≤??〈

当t>

ω时，死区特性及其输入、输出波形，如图8-12所示。

当输入信号幅值在死区范围内时，输出为零，只有输入信号幅值大于死区时，才有输出，故输

出为一些不连续、不完整的正弦波形。

图8-12 死区特性及输入、输出波形图8-13 死区特性描述函数

由于死区特性为单值奇对称函数，故0A 0=，01=A ，01=?, 而??

?-=

)(sin )sin (4

)(sin )(1

B π

ωωωπ

ωωπ

t td t X K t td t y

并且由于y(t)在一个周期中波形对称，即当1~0?时，y(t)=0, 故1B 的积分值只要计算

???

)(sin 4)(sin

4π

?π

?ωωπ

ωωπ

t td K t td KX

111cos 4)2sin 4124(4?π

??ππ?

-+-=

K KX 其中1sin ?X =?，即)arcsin(1X ?=?，代入上式并整理得

???

???????? ???-?-?-=211arcsin 22X X X XK B ππ

其描述函数为???

???????? ???-?+?=∠=20

11arcsin 2K -K 0)(X X X X B X N π ?≥X (8-7)

图8-13所示为X ?与K N 的关系曲线。

由图8-13可见，当1X ≥?时，输出为零，从而描述函数的值也为零；如死区?很小，或输入的振幅很大时，0X ≈?，K X N ≈)(，亦即可认为描述函数为常量，恰好等于死区特性线性段的斜率，

这表明死区影响可忽略不计。

8.2.2.3饱和非线性特性的描述函数

假设输入正弦信号函数为()sin x t X t ω=，则饱和非线性特性的数学表达式为：

11()KX sin t,(0t )(),(t )2

y t y t Ka ωωθπ

θω=≤≤??

?=≤≤?? 式中K 为斜率。饱和特性及其输入、输出波形如图7-14所示。

图8-14 饱和特性及其输入、输出波形

图8-15 饱和特性描述函数

由图可见，当正弦输入信号的振幅b X <时，工作在线性段，没有非线性的影响。当b X ≥时才进入非线性区。因此饱和特性的描述函数仅在b X ≥的情况下才有意义。

由于饱和特性为单值奇对称函数，所以010==A A ，01=?，且?

ωωπ

1)()sin()(1

B t d t n t y

????+=??2

1)(sin )(KXsin 4π

??ωωωωπt td Kb t td

???

??????? ??-+=

1arcsin 2X b X

X b KX π ， b X ≥

故描述函数为

???

???????? ??-+==2

11arcsin 2)(X b X b X b K X B X N π b X ≥ （8-8） X b 与K N 之间的关系如图8-15所示。

8.2.3 用描述函数法分析系统的稳定性

用描述函数法分析非线性系统的稳定性，首先将系统

化简成图8－16所示的形式。系统的频率响应为

)

j (G )X (N )

j (G )X (N )j (R )j (C ωωωω+=1 （8－9）

可以看出，当ωj s =时，系统的特征方程为

01=+)j (G )X (N ω

（8－10）

或者写成

)

X (N )j (G 1

=ω

（8－11）

其中，)X (N /1-称为非线性环节的负倒描述函数。)(ωj G 与)X (N /1-之间的相对位置就决定了非线性系统的稳定性，证明略去。

判断非线性系统的稳定性，首先应在s 平面上画出)(ωj G 与)X (N /1-轨迹，并在)(ωj G 上标明ω增大的方向，在)X (N /1-上标明X 增大的方向。如果非线性系统中的线性部分满足最小相位条件，则非线性系统稳定性的判定规则如下：

1) 如果)(ωj G 不包围)X (N /1-的轨迹，如图8－17a 所示，则系统稳定。)(ωj G 离)

X (N /1-越远，系统的相对稳定性越好。

2) 如果)(ωj G 包围)X (N /1-，如图8－17b 所示，则系统不稳定。

3) 如果)(ωj G 与)X (N /1-相交，如图8－17c 所示。若交点处0ωω=，而0X X =，设某一时

刻有t sin X )t (e 00ω=。可以看出，此信号经过系统闭环回路一周回到输入端仍然为

t sin X 00ω，系统中存在一个等幅振荡。该振荡可能是自持振荡，也可能在一定条件下收敛或

发散。

图8－16 非线性系统

(G )

X (N ∞-

1. 自持振荡的确定

当)(ωj G 与)X (N /1-相交时，方程

)

X (N )j (G 1

=ω

的解对应着一个周期运动的信号的振幅和频率。若这个等幅振荡在系统受到轻微扰动作用后偏离原来的运动状态，而当扰动消失后，系统又回到原来频率和振幅的等幅持续振荡，则这种等幅振荡称为非线性系统的自持振荡。自持振荡是一种稳定的等幅振荡，而不稳定的等幅振荡在系统受到扰动的时候，会收敛、发散或转移到另一个稳定的周期运动状态。

如图8－18所示，)(ωj G 与)X (N /1-有两个交点a 和b 。假设系统工作在a 点，当受到轻微的

扰动时，使非线性环节的振幅增加，即工作点沿)X (N /1-的曲线向X 增大的方向运动到c 点。由于c 点被)(ωj G 包围，属于不稳定点，系统的响应发散。此时，工作点会继续沿)X (N /1-的曲线向X 增大的方向运动至b 点。若系统受到轻微扰动使工作点沿)X (N /1-的曲线向X 减小的方向运动到d 点。由于d 点不被)(ωj G 包围，属于稳定点，系统的响应收敛。此时，工作点会继续沿

)X (N /1-的曲线向X 减小的方向运动，直到X 减小为零。显然，a 属于不稳定的等幅振荡点，

不是自持振荡点。

假设系统工作在b 点，当受到轻微的扰动时，使非线性环节的振幅增加，即工作点沿)X (N /1-的曲线向X 增大的方向运动到e 点。由于e 点不被)(ωj G 包围，属于稳定点，系统的响应收敛。此时，工作点会继续沿)X (N /1-的曲线向X 减小的方向回到b 点。若系统受到轻微扰动使工作点沿

)X (N /1-的曲线向X 减小的方向运动到f 点。由于f 点被)(ωj G 包围，属于不稳定点，系统的

响应发散。此时，工作点会继续沿)X (N /1-的曲线向X 增大的方向回到b 点。显然，b 是一个稳定的等幅振荡点，是自持振荡点。

从上面的分析可以看出，图8－18所示系统在非线性环节的输入信号振幅a X X <时，系统收敛；当

a X X >时，系统产生自持振荡。系统的稳定性与初始

条件及输入信号有关，这是非线性系统与线性系统的一个明显的区别。判断周期运动点是否是自持振荡点的方法为：如图8－19所示，将)(ωj G 包围的区域看作是不稳定区域，不被)(ωj G 包围的区域看作是稳定区域。当交点处的)X (N /1-轨迹沿)X (N /1-增大的方向由不稳定区域进入稳定区域时，该交点时自持振荡点。反之，当交点处的)X (N /1-轨迹沿)X (N /1-增大的方向由稳定区域进入不稳定区域时，该交点不是自持振荡点。

图8－18 自持振荡分析

∞0

图8－19 自持振荡的判别

8.3 机电控制系统中的非线性环节分析举例

实际工程控制系统大多是机电系统，如雷达与卫星跟踪设备的天线位置控制系统、轧钢钢坯定位系统、钢带跑偏控制等，在这些系统中存在的轴系-传动装置、电机、液压马达类机械结构是不可缺少的组成部分。机械机构参数（因素）包括转动惯量、驱动系统刚度、轴系精度、传动链间隙、齿轮运动误差、摩擦等，本节以控制系统中的传动链间隙为例进行分析，讨论解决这类问题的处理基本方法。

8.3.1 传动链的间隙

图8-20是一个典型的雷达位置伺服系统方框图。

图8-20 雷达伺服系统

图中I 1，I 2，I 3，I 4为四个是齿轮传动装置，比较装置为同步接收机和同步发送机组成的自同步变压器系统。传动链I 1，I 3，I 4连接各种传感器，用来传送各种信息，也称为数据传动链。而传动链I 2主要传递执行电机的动力，用以拖动负载，也称为动力传动链。I 1，I 4处在闭环系统之外，传动链I 2，I 3，处在闭环之内。在闭环系统中，传动链I 2又处在前向通道，I 3

处在反馈通道。传动链在系统中所处位置不同，其传动链的间隙对系统性能的影响也不同。

一般在各个传动链中都存在一定程度的间隙，包括齿轮的侧向间隙、轴承间隙以及连接部分的滑键轴销间隙等。这些间隙集中反应到传动链的空回量上。

分析模型如图8-21所示，图中i θ为传动链的输入角，0θ为传动链的输出角。2a 为输出轴固定时，从输入轴上度量而得到的空回量，它是一个角度值。

图8-21 齿轮间隙和输出-输入特性

图8-21中，Δ为间隙，R 1为主动轮节圆半径，所以2a=Δ/R 1。若传动链没有间隙，那么输出角和输入角之间将呈现线性关系，如图7-23所示。若存在间隙，且空回量为2a ，那么，当主动轴从中间位置开始转动a 角时，从动轴不动；只有当主动轴转动角大于a 时，从动轴才跟随主动轴转动。当主动轴转到某个位置时反向，这时从动轴不能立即跟随主动轴反转，只有当主动轴转过整个空回量2a 时，从动轴才开始跟着主动轴反向转动，使整个曲线呈时滞回线的形状，即滞环非线件。

8.3.2传动链影响分析

8.3.2.1传动链I 2的影响

根据传动链在系统中所处位置的不同，其空回量对系统性能的影响也不相同。下面以I 2为例，讨论起对系统影响的分析方法。假设传动链I 3是理想的，没有空回，而传动链I 2具有空回量2a 。其输入—输出特性关系如图8-23所示，设此时输入信号为正弦信号，即t X t x ωsin )(=。按照分析非线性系统的描述函数方法，可求出间隙非线性的描述函数为

12111arctan )(B A

X B A X

X N ∠?+=

?=? （8-12）

图8-23 传动链间隙时的输出-输入特性

图8-22 理想输出-输入特性

前面已推出滞环非线性的A 1和B 1为 )1(41-=

a K A n π， ??????--+-+?=)1()21(2)21arcsin(2

1X a X a X a X a X K B n

对于图8-20所示模型，式中1=n K 。将A 1、B 1代入式（8-12）中，便可求出描述函数N(X)。

其中幅度为X

B A N 2

21+=；相角为1

1arctan

B A N ==∠?。|N|和N ∠的曲线如图8-24所示。

a X

0N ∠0

1.0

1.00.8

0.80.60.60.40.40.20.210

-20-30-40-50

-60-70-80

-90

-N

∠1.2

图8-24 描述函数的幅值和幅角

从图中可以看出，这种非线性所造成的相位滞后，同空回量和输入幅度之比有关，最大可达0

之多。因此，空回对系统的稳定性是个严重威胁。含有非线性元件的控制系统框图如图8-25所示，令线性部分的频率特性为)(ωj G ，非线性部分的描述函数为N(X)。则系统的闭环频率特性为

)

()(1)

()()()()(0X N j G X N j G j j j i ωωωθωθω+==

其特征方程式为 0)()(1=+X N j G ω

图8-25典型非线性系统

即 )

)(X N j G -

=ω （8-13）我们知道，系统的稳定性取决于特征方程的根，所以说，式（8-13）就是我们讨论稳定性的基本方程。

为了使讨论简单明了，我们用图解法来求解。

假设某I 型系统的线性部分G （j ω）的轨迹曲线以及非线性部分的 -1/N(X) 轨迹曲线都画在同一个复平面上，如图8-26

所示。从图可以看出，两曲线有三个交点，其中P 1和P 3点的振荡是稳定的，即为稳定极限环；而P 2点的振荡是不稳定的，即为不稳定极限环。

应当注意，对于I 型系统，两曲线可能没有交点，也可能有一个交点或数个交点。图8-26是有三个交点的实例。如果没有交点，表明此时空回不会引起极限环振荡。但是，对于II 型系统来说，两部分轨迹必然有一个交点，因此必然产生极限环振荡，如图7-27所示。

图8-26

I 型系统图8-27 II 型系统

由于动力传动链存在空回，在起始状态下，电机需转功一个空回的相应角度a ，这时，相当于反馈被断开，处于开环状态，而开环系统的增益比闭环的增益大得多。在这种情况下，于轮转动一个角度i θ，自同步机上的误差电压经过增益很大的开环放大，使电机产生一个很大的力矩。同时，由于在空回范围内，电机轴上的负载几乎等于零。因而，使电机轴上的齿轮以很大的加速度撞击从动轮，而后，带动负载运动。正因为这个原因，天线才以比无空回时大得多的速度冲过i θ。负载一经被带动，反馈便被接通，开环状态转入闭环状态工作。天线的转角0θ则等于i θ。出于惯性，又使输出角0θ超过i θ，形成反极性的误差电压，使电机反转。在反转的过程中，由于空回，反馈又被断

开，由闭环状态转为开环状态，直至电机以极大的速度和加速度转过2a 角才重新拖动天线反转。如此反复，产生振荡。此时，这种振荡不完全是负载的惯性作用，还附加了在空回范围内所积累的动能的作用。因而，即使系统有足够的阻尼，能阻止无空回时系统的振荡，但不能阻止由空回引起的系统的持续振荡。

避免或消除极限环振荡的措施如下：

（1）对于III 型以上系统，欲避免这种振荡，只有彻底消除传动链的空回。

（2）对于I 型系统，可以减小环路的增益，使线性部分的开环频率特性曲线)(ωj G 完全落在

)(1X N -线之内。但这是以牺牲系统的精度为代价，来换取系统的稳定性。

(3)可在系统中加入校正环节，如在图8-26的P 2和P 3点的频率范围区加入微分校正环节，使系统的)(ωj G 曲线在这一段转弯，而避免与)(1X N -相交。

对于空回引起的极限环振荡，不管在什么情况下，其振荡频率都会低于系统的截止频率。因此，在实际设备中，根据振荡的波形和振荡的频率是不难鉴别空回型极限环振荡的。

8.3.2.2传动链I 1、I 4的影响从图8-20知道，I 1和I 4都处于闭环之外，用于数据传递，一旦存在空回，使会影响系统的精度。先看数据传动链I 1。假设其中有空间量2a ，手柄处于中间位置，那么在起始状态下，手柄转动小于a 角时，同步发送机转子不动，没有误差信号产生，天线也就不可能运动。只有在手柄的转角超过a 角时，同步发送器的转子才开始转动，才有误差信号发生，天线才有可能运动。这样，在手柄和同步发送器之间，形成了一个a 角的数据传递误差。手柄转过某一个较大的角度后，再反转时，由于存在空回，须使手柄转过2a 角后，同步发生器的转子才反向转动，因而，就形成一个数据传递误差2a 角。

同样，对于数据传动链I 4，由于存在空回量2a ，控制台上的指示器所指示的天线位置，不是天线的实际位置，两者相差2a 角。

8.3.2.3传动链I 3的影响

如图8-20所示，I 3处于闭环之内的反馈通道上，作为数据传递之用。

假定I 3有空回量2a 。在平衡状态下，系统的输入量(角位置i θ)等于系统的输出量(角位置0θ)，误差信号0=ε。这时，若天线在外负载的扰动下，转动角a ±≤角时，因为I 3有空回，则连接在I 3输出轴上的同步接受器，仍然处于静止状态，其输出电压不发生变化，误差信号ε仍为零，天线的实际位置和所希望的位置i θ之间相差一个a ±≤的角度，这便是系统的静态误差。由此可见，闭环内的数据传动链的空回量必会引起静态误差。

至于I 3的空回对系统稳定性的影响，完全可以仿照动力传动链中空回量的影响来进行分析，只不过这时空回型非线性的描述函数不是处于前向通道，而是处于反馈通道上，如图8-28所示。

图8-28 控制系统

显然，其闭环频率特性为

)

()(1)

()()()(1)()(1210ωωωωωθωj G X N j G j G j G X N j j +=+=

式中 )(1ωj G —前向通道线性部分的频率特性 )(2ωj G —反馈通道线性部分的频率特性； N(X)——空回型非线性的描述函数。 )()()(21ωωωj G j G j G = 系统的特征方程为 0)()(1=?+ωj G X N 即 )

)(X N j G -

=ω （8-14）式（8-14）和式（8-13）完全一样。因此，在反馈通道上的数据传动链中的空回量对系统稳定性的影响，同处于前向通道动力传动链中空回量影响完全一样，可能引起极限环振荡。

通过以上分析，可以得出如下结论：

(1)传动链中的各种间隙，集中反应在传动链的空回上；

(2)在雷达伺服系统中，各传动链所处位置不同，传动链的空回对系统的影响也不同； (3)处于闭环之外的数据传动链主要影响系统的数据传递精度；

(4)处于闭环以内的动力传动链主要影响系统的稳定性，使系统可能产生极限环振荡，但不影响系统的静态精度：

(5)处于闭环以内的数据传动链，既影响系统的稳定性，又影响系统的静态精度。简单关系见表8-1。

表8-1 传动链间隙对系统性能的影响

8.4改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用

非线性因素的存在，往往给系统带来不利的影响，如静差增大、响应迟钝或发生自振等等。消除或减小非线性因素的影响，是非线性系统研究中一个有实际意义的课题。非线性特性类型很多，在系统中接入的方式也各不相同，没有通用的解决办法，只能根据具体问题灵活采取适宜的校正补偿措施。

8.4.1 改变线性部分的参数或针对线性部分进行校正

（1）改变参数。

减小线性部分增益，)(ωj G 曲线会收缩，当)(ωj G 曲线与)(1A N -曲线不再相交时，自振消失。由于)(ωj G 不再包围)(1A N -曲线，闭环系统能够稳定工作。

（2）利用反馈校正方法。

为了消除系统自身的自振，可在线性部分加入局部反馈，适当选取反馈系数，可以改变线性环节幅相特性曲线的形状，使校正后的()G j βω曲线不再与负倒描述函数曲线相交，故自振不复存在。从而保证了系统的稳定性。

8.4.2 改变非线性特性

系统部件中固有的非线性特性，一般是不易改变的，要消除或减小其对系统的影响，可以引入新的非线性特性。作为一个例子，设1N 为饱和特性，若选择2N 为死区特性，并使死区范围?等于饱和特性的线性段范围，且保持二者线性段斜率相同，则并联后总的输入输出特性为线性特性。如图8-29所示。

图8-29 死区特性和饱和特性并联

由描述函数也可以证明：

222()sin 1()2()sin 1()2K N X arc A A A K N X arc A A A πππ??

???=

+-????

???=--

-????

故 K )X (N )X (N =+21

8.4.3 非线性特性的利用

非线性特性可以给系统的控制性能带来许多不利的影响，但是如果运用得当，有可能获得线性系统所无法比拟的良好效果。

图8-30 非线性阻尼控制

图8-30所示为非线性阻尼控制系统结构图。在线性控制中，常用速度反馈来增加系统的阻尼，改善动态响应的平稳性。但是这种校正在减小超调的同时，往往降低响应的速度，使系统的稳态误差增加。采用非线性校正，在速度反馈通道中串入死区特性。则系统输出量较小、小于死区0ε时，没有速度反馈，系统处于弱阻尼状态，响应较快。而当输出量增大、超过死区0ε时，速度反馈被接入，系统阻尼增大，从而抑止了超调量，使输出快速、平稳地跟踪输入指令。图8-31中1、2、3所示为系统分别在无速度反馈、采用线性速度反馈和采用非线性速度反馈三种情况下的阶跃响应曲线。由图可见，非线性速度反馈时，系统的动态过程（曲线3）既快又稳，具有良好的控制性能。

习题

8-1 请回答下列问题：

（1）在确定非线性系统描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求具有斜对称性，为什么？

（2）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数有什么相同点和不同点？

（3）非线性系统线性部分的频率特征与非线性元件的负倒幅相特征相等时，系统将出现临界振荡，其理论依据是什么？

8-2 试求图（题8-2）所示非线性特性的描述函数。

-a

k 1

k 2x 1

x 2

-a

a -x 2m

x 2m x 1

x 2

（a ）

(b)

图题8.2

8-3 用描述函数法分析图（题8-3）所示非线性系统的稳定性和自激振荡情况。

e +

-o r

3s(s+1)(s+2)

图题8-3

8-4试求由非线性特性3

x y =所表示的非线性元件的描述函数。式中x 为非线性元件的输入（正弦信号）；y 为非线性元件的输出。 8-5 图8-4所示系统是否稳定。

图8-31 非线性阻尼下的阶跃响应

图题8-4

8-6 已知非线性系统的结构图如题8-5图所示。图中非线性环节的描述函数

)A (A A )X (N 02

6>++=

试用描述函数法确定：

（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围；（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。

自动控制原理(梅晓榕)习题答案第八章汇编

习题答案8 8-1 1）二阶系统，2个状态变量。设 2121212)(2)()( )()(x x t y t y t y x t y x x t y x --=--==?=== ， []? ?? ???==??????--==00 01 2110 B y A A ，，，x x x 2) []x x x 001 100322100010=?? ?? ? ?????+??????????---=y u 3) []x x x 121 100321100010=?? ?? ? ?????+??????????---=y u 提示：本题利用了可控规范型与微分方程系数的关系。 8-2 1) 2 3101 )()(s s s U s Y += []x x x 001 1001000100010=?? ?? ? ?????+??????????-=y u 2) 8 1 5611171181891)()(2 3+?++?-?=++=s s s s s s s U s Y []x x x 001 100980100010=?? ??? ?????+??????????--=y u 或 x x x ?? ????-=???? ? ?????+??????????--=5617 1 8 1 111800010000y u 3) []x x x 145 1006116100010=?? ?? ? ?????+??????????---=y u 提示：本题利用了状态空间的规范型与传递函数系数的关系。

8-3 8 659 122+++s s s 8-4 ?? ? ???-=??????-??????+-+---==??????----------t t t t t t t t t t At t x t x e e 11e 2e e 2e 2e e e e 2)0(e )()(222221x 8-5 ?? ? ???-+-+-=-==------t t t t s BU A sI t 32321 1 3e 4e 1e e 21)]()[(L )()0(x 0x ， 8-6 [])(120)( )(100)(321100010)1(k k y k u k k x x x =?? ??? ?????+??????????---=+ 或 [])(100)( )(120)(310201100)1(k k y k u k k x x x =?? ??? ?????+??????????---=+ 或 [])(001)( )(111)(321100010)1(k k y k u k k x x x =?? ?? ? ?????-+??????????---=+ 提示：利用状态空间的规范型与差分方程系数的关系。 8-7 []0110 3210=??? ???=??????--= C B A 下面是对该状态方程的求解过程。设初始条件为零。 ???? ??????++++-+++++=? ? ????+-=---232 32231233321)(2 2221 1z z z z z z z z z z z z A zI ???? ??? ?????-++++--++-+=????????????-++-++=?? ? ?????--=-??????-=-=---)1(6)1(2)2(32)1(6)1(2)2(3)1)(23()1)(23( 10)(110()(22 21 1 1 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z A zI z z A)(zI BU(z)A)zI z X ? ?????????+-+--+---==-61)1(21)2(3 261)1(21)2(31)]([Z )(1k k k k z X k x 8-8 1) ???????=??????= 10 0010B A 101])[(L e 1 1? ? ????=-=--t A sI At

自动控制原理第六章

5-25 对于典型二阶系统，已知参数3=n ω，7.0=ξ，试确定截止频率c ω和相角裕度γ。解依题意，可设系统的开环传递函数为 ) 12 .4(143 .2) 37.02(3)2()(22+=??+=+=s s s s s s s G n n ξωω 绘制开环对数幅频特性曲线) (ωL 如图解5-25所示，得 143.2=c ω ?=+?=63)(180c ω?γ 5-26 对于典型二阶系统，已知σ％=15％，s 3=s t ，试计算相角裕度γ。解依题意，可设系统的开环传递函数为 ) 2()(2n n s s s G ξωω+= 依题 ???? ?====--n s o o o o t e σξξπ 5.33152 1 联立求解 ???==257.2517 .0n ωξ 有 )1333 .2(1824 .2) 257.2517.02(257.2)(2 +=??+= s s s s s G 绘制开环对数幅频特性曲线)(ωL 如图解5-26所示，得 1824.2=c ω ?=+?=9.46)(180c ω?γ 5-27 某单位反馈系统，其开环传递函数 G s s s s s ().(.)(.)(.) = +++1670810251006251 试应用尼柯尔斯图线，绘制闭环系统对数幅频特性和相频特性曲线。解由G(s)知：20lg16.7=24.5db 交接频率：ω11 08 125= =.. , ω210254==. , ω310062516==.

图解5-27 Bode 图 Nyquist 图 5-28 某控制系统，其结构图如图5-83所示，图中 ) 20 1(8.4)(,81) 1(10)(21s s s G s s s G += ++= 试按以下数据估算系统时域指标σ％和t s 。（1）γ和ωc （2）M r 和ωc （3）闭环幅频特性曲线形状解 (1) ) 20 1)(81()1(48)()()(21s s s s s G s G s G +++= = db 6.3348lg 20= 20, 1,125.081321====ωωω 065,6≈=∴ γωc 查图5-56 得 13.16 .6, %21%== =C S t ωσ秒 (2) 根据M r ,ωC 估算性能指标当 ω=5 时: L(ω)=0, ?(ω)=-111°

重庆大学自动控制原理2第9章习题参考答案_作业

9-2 已知非线性系统的微分方程为 (1) 320x x x ++= (2) 0x xx x ++= (3) 0x x x ++= (4) 2(1)0x x x x --+= 试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。解 (1) 奇点(0, 0)。特征方程为 2320λλ++= 两个特征根为 1,21, 2λ=-- 平衡点(0, 0)为稳定节点。在奇点附近的概略相轨迹图： x (2) 奇点(0, 0)。在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为 0x x += 其特征方程为 210λ+= 两个特征根为 1,2j λ=±

1 平衡点(0, 0)为中心点。在奇点附近的概略相轨迹图： x (3) 奇点(0, 0)。原方程可改写为 00 00 x x x x x x x x ++=≥?? +-=

2 为 0x x x -+= 其特征方程为 210λλ-+= 两个特征根为 1,20.50.866j λ=± 平衡点(0, 0)为不稳定焦点。在奇点附近的概略相轨迹图： x 9-6 非线性系统的结构图如图9-51所示，其中0.2a =，0.2b =，4K =， 1T s =。试分别画出输入信号取下列函数时在e -e 平面上系统的相平面图（设系统原处于静止状态）。 (1) () 2 1()r t t = (2) () 2 1()0.4r t t t =-+ (3) () 2 1()0.8r t t t =-+ (4) () 2 1() 1.2r t t t =-+ 图9-51 题9-6图解：由系统结构图可得4c c u +=。由于e r c =-，那么4e e u r r ++=+。

自动控制原理课程总结

自动控制原理课程总结 20091334023张杰作为一门电子信息类的学生，专业的培养目标就是要求我们能够设计简单的控制电路，加之自己对单片机的兴趣，因此有必要学习自动控制原理这门课程。第一节课老师的一些理念我非常的认同，比如一门课程要把握这门课的整体框架，即这门课多的灵魂所在，毕竟我们学的东西很多，如果不每天使用这些，一段很长的时间以后我们又能够记得多少呢，把握一门课的整体框架很重要；还有就是老师强调的就是要培养自己快速学习的能力，这个世界有很多东西要学，我们所处的IT行业新知识的更新速度更是飞快，以后在工作岗位上的许多知识技能都要从头开始，一个人最大的竞争优势就是能在最短的时间内掌握应有的技能……当时我就暗暗高兴，觉得选修这门课时明智之举。没有拿到书以前我所认为的子偶那个控制原理就是讲一些自动控制的某些方法，等接触到这门课程才发现这门课程用到了还多的方面的基本知识，深入了解之后才知道这门课程讲的是一些控制原理的一些原理，自动控制原理的思路，一些数学模型，以及线性系统的分析…… 本书的第一章对自动控制原理做了一个概述，正如老师所讲，学一门课程要先了解这门课程的整体结构，反馈的控制就是本书的重点，其基本原理是取被控量的反馈信息，用以不断地修正被控量与输入量之间的误差，从而实现对被控对象进行控制的任务。课程的主要内容包括：自动控制系统的基本组成和结构、自动控制系统的性能指标，自动控制系统的类型（连续、离散、线性、非线性等）及特点、自动控制系统的分析（时域法、频域法等）和设计方法等。这就是本书的整体框架。第二章刚开始讲的就是《信号与系统》的主要内容，傅里叶变换和拉普拉斯变换的规则和性质，这是自动控制原理的基础与基本的数学工具。在给定的最小RLC无源网络中了解了线性微分方程的建立以及控制系统微分方程的建立以及求解方法。接着是控制系统的复数域数学模型，再次加强了传递函数的概念，我们接下来研究的好多性质都是围绕传递函数进行的，这是一个很重要的概念。在控制系统的结构图和信号的流图这节中我是真正掌握了控制原理图的读图方法，解答了我以前学《信号与系统》与系统时读不懂结构图的困惑，顿时豁然开朗。方框图和信号流图的变换和化简讲了好多的性质，对我们以后读懂结构图打下的基础，其中有许多法则在这里就不列出了，毕竟这不是这篇课程总结的目的。我感觉有个梅森公式很有用，有了这个公式，我们以后在解题时就可以省去好多的不必要浪费的时间，直接套用公式就可以求出传递函数，对解大题时分析思路有很大的帮助。在确定系统的数学模型之后，我们可以用时域分析法，根轨迹法或频域分析法来分析线性系统的性能，第三章讲的就是线性系统的时域分析法，首先应掌握典型的输入输出信号，以及什么是动态和稳态过程以及它们的性能。重点是线性连续系统的动态过程分析。一阶系统的分析是指一阶微分方程作为运动方程的控制系统，需要掌握的内容是一届系统对典型输入信号的输出响应。二阶系统是指以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，以二阶系统的单位阶跃响应为例，分别研究了欠阻尼的单位阶跃响应，临界阻尼，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应。

自动控制原理习题第六章

第六章：例1 图6-1是一采用PD 串联校正的控制系统。图6-1 PD 串联校正的控制系统（1）当10,1p d K K ==时，求相位裕量γ。解：系统的开环传递函数为 ()(1) p d K K K s W s s s += + 当10,1p d K K ==时，有10(10.1) ()(1) K s W s s s +=+。开环对数幅频特性为 ()20lg1020lg L ωω=+- 0.1ω=时，()20lg1020lg 40L dB ωω=-= 1ω=时，()20lg1020lg 20L dB ωω=-= 剪切频率c ω为 ()20lg1020lg 20lg 0L dB ωωω=--= ，c ω相位裕量γ为 1 18090arctan arctan 35.10.1 c c γωω=?-?+-=? （2）若要求该系统剪切频率5c ω=，相位裕量50γ=?，求,p d K K 的值。解：系统的开环传递函数为 (1) ()(1) (1) p d p d p K K K s K K K s W s s s s s ++= = ++ 相位裕量为 18090arctan arctan 50d c c p K K γωω=?-?+-=?

得，/0.16d p K K = 当5c ω=，可以得到(5)20lg 20lg 520lg 50p L K =--=，最后解得 25,4p d K K == 例2 已知单位负反馈系统开环传递函数为 ()(0.051)(0.21) K K W s s s s = ++ 试设计串联校正装置，使系统1 5s v K -≥，超调量不大于25％，调节时间不大于1s 。解（1）由性能指标可知，系统提出的是时域指标，可利用它和频域指标的近似关系，先用频域法校正，然后再进行验算。由 2 %0.160.4(1)0.25%12 1.5(1) 2.5(1)1sin ()p s c p p p c M k t k M M M δπωγω=+-≤?? ?=≤?? ?=+-+-???= ?? 得系统要求的各项指标为 ?? ? ??=== 7.54)(74.7225.1c c p M ωγω （2）由5v K ≥，可以计算出放大系数5K =。其传递函数为 55 ()(0.051)(0.21)(1)(1) 205 W s s s s s s s = = ++++ 其对数幅频特性如图6-14所示。系统未校正时，按下式可计算出其穿越频率,c ω如认为 1,20c ω>>得 5 ()15 c c c A ωωω≈ =? 故得5c ω≈ 其相位裕度为

自动控制原理-第9章控制系统的非线性问题

9 控制系统的非线性问题 9.1概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。图9-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。图9-1 伺服电动机特性 9.1.1控制系统中的典型非线性特性的类型常见典型非线性特性有饱和非线性、间隙非线性、死区非线性、继电非线性等。 9.1.1.1饱和非线性控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图9-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特性以限制过载。图9-2 饱和非线性 9.1.1.2不灵敏区(死区)非线性控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。如图9-3所示，其特性是输入信号在?<

自动控制原理课程设计

审定成绩：自动控制原理课程设计报告题目：单位负反馈系统设计校正学生姓名姚海军班级0902 院别物理与电子学院专业电子科学与技术学号14092500070 指导老师杜健嵘设计时间2011-12-10

目录一设计任务二设计要求三设计原理四设计方法步骤及设计校正构图五课程设计总结六参考文献

一、设计任务设单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 12.0)(11.0()(0 ++= s s s K s G 用相应的频率域校正方法对系统进行校正设计，使系统满足如下动态和静态性能： (1) 相角裕度0 45 ≥γ ； (2) 在单位斜坡输入下的稳态误差05.0＜ss e ； (3) 系统的剪切频率s /rad 3＜c ω。二、设计要求（1）分析设计要求，说明校正的设计思路（超前校正，滞后校正或滞后－超前校正）；（2）详细设计（包括的图形有：校正结构图，校正前系统的Bode 图，校正装置的Bode 图，校正后系统的Bode 图）；（3）用MATLAB 编程代码及运行结果（包括图形、运算结果）；（4）校正前后系统的单位阶跃响应图。三、设计原理校正方式的选择。按照校正装置在系统中的链接方式，控制系统校正方式分为串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正4种。串联校正是最常用的一种校正方式，这种方式经济，且设计简单，易于实现，在实际应用中多采用这种校正方式。串联校正方式是校正器与受控对象进行串联连接的。本设计按照要求将采用串联校正方式进行校。校正方法的选择。根据控制系统的性能指标表达方式可以进行校正方法的确定。本设计要求以频域指标的形式给出，因此采用基于Bode 图的频域法进行校正。几种串联校正简述。串联校正可分为串联超前校正、串联滞后校正和滞后-超前校正等。超前校正的目的是改善系统的动态性能，实现在系统静态性能不受损的前提下，提高系统的动态性能。通过加入超前校正环节，利用其相位超前特性来增大系统的相位裕度，改变系统的开环频率特性。一般使校正环节的最大相位超前角出现在系统新的穿越频率点。

第8章非线性系统分析参考答案汇总

参考答案一、填空题 1. 非本质；本质 2. 自持振荡 3. 初始条件；输入信号大小 4. 饱和非线性；死区非线性；间隙非线性；继电器非线性 5. 不稳定 6. 稳定；不稳定；半稳定 7. 自左向右；自右向左二、分析与计算题 1. 求3()()y t ax t =的描述函数。解：由于3()()y t ax t =是单值奇函数，所以其傅里叶级数展开式中A 0=0、A 1=0、φ1=0，将()sin x t A t ω=代入B 1的计算公式，可得 2102330340 3203203 03031()sin 1sin sin 2sin 21cos 2()2 212cos 2cos 24 1cos 412cos 22242311(cos 2cos 4)828 231 (sin 284 B y t td t aA t td t aA td t aA t d t aA t t d t t t aA d t aA t t d t aA π π π ππππωωπωωωπωωπωωπωωωπωωωπωωωπππ===-=-+=+-+==-+=-???????3 1sin 4) 003234 t t aA ππωω+= 所以 32 133()44 B aA N A aA A A === 2．设具有滞环继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.1所示，已知b =1，a =0.3，试判断系统是否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频率。题图8.1 解：具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为 2 4()j ()ab N A A a A π=≥ 其描述函数负倒数特性为 1j ()()4a A a N A b π-=≥ 可见，描述函数负倒数特性的虚部为常数4a b π-，即1()N A -曲线为一条虚部为4a b π-的直线。由于10 ()(21)(0.41) G s s s =++，所以

自动控制原理课程总结1

HEFEI UNIVERSITY 自动控制原理课程总结系别电子信息与电气工程系专业自动化班级 09自动化（1）班姓名完成时间 2011.12.29

自动控制原理课程总结前言自动控制技术已广泛应用于制造、农业、交通、航空及航天等众多产业部门，极大地提高了社会劳动生产率，改善了人们的劳动环境，丰富了人民的生活水平。在今天的社会中，自动化装置无所不在，为人类文明进步做出了重要贡献。本学期我们开了自动控制原理这门专业课，下面主要介绍下我对这门课前五章的认识和总结。一、控制系统的数学模型 1.传递函数的定义：在线性定常系统中，当初是条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。（1）零极点表达式：（2）时间常数表达式： 2.信号流图

（1）信号流图的组成节点：用来表示变量或信号的点，用符号“○”表示。支路：连接两节点的定向线段，用符号“→”表示。（2）信号流图与结构图的关系 3.梅逊公式

其中：Δ=1-La+LbLc-LdLeLf+...成为特征试。 Pi：从输入端到输出端第k条前向通路的总传递函数 Δi：在Δ中，将与第i条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的部分，称为余子式。 La：所有单回路的“回路传递函数”之和 LbLc：两两不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和 LdLeL：所有三个互不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和“回路传递函数”指反馈回路的前向通路和反馈通路的传递函数只积并且包含表示反馈极性的正负号。二、线性系统的时域分 1.ζ、ωn坐标轴上表示如下：（1）闭环主导极点：

当一个极点距离虚轴较近，且周围没有其他闭环极点和零点，并且该极点的实部的绝对值应比其他极点的实部绝对值小5倍以上。（2）对于任何线性定常连续控制系统由如下的关系： ①系统的输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数； ②系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，积分常数由初始条件确定。 2.劳斯判据：设系统特征方程为 : 劳斯判据指出：系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列系数都大于零，否则系统不稳定，而且第一列系数符号改变的次数就是系统特征方程中正实部根的个数。劳斯判据特殊情况的处理 ⑴某行第一列元素为零而该行元素不全为零时——用一个很小的正数ε代替第一列的零元素参与计算，表格计算完成后再令ε→0。 ⑵某行元素全部为零时—利用上一行元素构成辅助方程，对辅助方程求导得到新的方程，用新方程的系数代替该行的零元素继续计算。 3.稳态误差 (1)定义： (2)各种误差系数的定义公式

神经网络实现非线性系统设计范本

神经网络实现非线性系统设计

毕业设计（论文）中文题目神经网络实现非线性系统设计英文题目 Neural Network Nonlinear System 院系：年级专业：姓名：学号：指导教师：职称：月日

【摘要】神经网络具有极强的非线性及自适应自学习的特性，常被用来模拟判断、拟合和控制等智能行为，成功渗透了几乎所有的工程应用领域，是一个在人工智能方向迅速发展的具有重大研究意义的前沿课题。本文前两章主要介绍了神经网络的发展背景和研究现状，还有BP 网络的结构原理及相关功能。然后，对如何利用GUI工具和神经网络原理设计非线性系统的基本流程进行了详细的阐述。最后，经过利用Matlab软件进行编程，以及是经过对BP神经网络算法及函数的运用，研究其在函数逼近和数据拟合方面的应用，并分析了相关参数对运行结果的影响。【关键词】BP网络，GUI，非线性系统【ABSTRACT】Neural network has a strong nonlinear and adaptive self-organizing properties, often used to simulate the behavior of intelligent decision-making, cognitive control, and the successful penetration of almost all engineering applications, is a rapid development in the direction of artificial intelligence

自动控制原理第六章课后习题答案

自动控制原理第六章课后习题答案（免费）线性定常系统的综合 6－1 已知系统状态方程为： ()100102301010100x x u y x ? -???? ? ?=--+ ? ? ? ?????= 试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为－1，－2，－3. 解: 由()100102301010100x x u y x ? -???? ? ?=--+ ? ? ? ?????=可得: (1) 加入状态反馈阵()0 12K k k k =,闭环系统特征多项式为: 32002012()det[()](2)(1)(2322)f I A bK k k k k k k λλλλλ=--=++++-+--+- (2) 根据给定的极点值,得期望特征多项式: *32()(1)(2)(3)6116f λλλλλλλ=+++=+++ (3) 比较()f λ与*()f λ各对应项系数,可得:0124,0,8;k k k === 即:()408K =

6－2 有系统： ()2100111,0x x u y x ? -????=+ ? ?-????= （1）画出模拟结构图。（2）若动态性能不能满足要求，可否任意配置极点？（3）若指定极点为－3，－3，求状态反馈阵。解(1) 模拟结构图如下: (2) 判断系统的能控性； 0111c U ?? =?? -?? 满秩，系统完全能控，可以任意配置极点。 (3)加入状态反馈阵01(,)K k k =,闭环系统特征多项式为: ()2101()det[()](3)22f I A bK k k k λλλλ=--=+++++ 根据给定的极点值,得期望特征多项式: *2()(3)(3)69f λλλλλ=++=++ 比较()f λ与*()f λ各对应项系数,可解得:011,3k k == 即:[1,3]K =

自动控制原理课程教学大纲

物理电子工程学院《自动控制原理》课程教学大纲课程编号：04210164 课程性质：专业必修课先修课程：高等数学、函数变换、模拟电路、电路分析总学时数：76 学分：4 适合专业：电子信息工程、机械与电子工程、机械自动化、电器自动化、通信、包装工程等专业 (一) 课程教学目标自动控制理论是电子信息科学与技术专业的一门重要的专业基础课程。它侧重于理论角度，系统地阐述了自动控制科学和技术领域的基本概念和基本规律，介绍了自动控制技术从建模分析到应用设计的各种思想和方法，内容十分丰富。通过自动控制理论的教学，应使学生全面系统地掌握自动控制技术领域的基本概念、基本规律和基本分析与设计方法，以便将来胜任实际工作，具有从事相关工程和技术工作的基本素质，同时具有一定的分析和解决有关自动控制实际问题的能力。 (二) 课程的目的与任务本课程是电子通信工程、机电一体化、包装工程等专业、工科及相关理科的必修基础课程。通过本课程的学习，使学生掌握自动控制的基础理论，并具有对简单连续系统进行定性分析、定量估算和初步设计的能力，为专业课学习和参加控制工程实践打下必要的基础。学生将掌握自动控制系统分析与设计等方面的基本方法，如控制系统的时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法、状态空间分析法、采样控制系统的分析等基本方法等。为各类计算机控制系统设计打好基础。 (三) 理论教学的基本要求 1、熟练掌握自动控制的概念、基本控制方式及特点、对控制系统性能的基本要求。 2、熟练掌握典型环节的传递函数、结构图化简或梅森公式以及控制系统传递函数的建立和表示方法，初步掌握小偏差线性化方法和通过机理分析建立数学模型的方法。

自动控制原理第8章习题解——邵世凡

习题8 8—1 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为 ①G㈤一赢；②G㈤一志；③G㈤一高等揣。试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高? 8 2试求图8～41所示非线性特性的描述函数 8—3 试求图8—42所示非线性特性的描述函数。8—4求图8 43所示非线性描述函数。 8—5求图8 44所示非线性描述函数。 8 非线性系统理论§265 8—6 求出图8—45所示非线性控制系统线性部分的传递函数。

8—7一非线性系统其前向通路中有一描述函数N(A)一去e j寻的非线性元件，线性部分传递函数为试用描述函数法确定系统是否存在自激振荡，若有，求出自激振荡参数。 8 8试用描述函数分析图8 46所示系统必然存在自激振荡， y．z，e的稳态波形。 8 9若非线性系统的微分方程为试求系统的奇点．并概略绘制奇点附近的相轨迹。并求出自激振荡振幅和振荡频率，并画出 8 10 非线性系统结构如图8—47所示，系统开始是静止的，输入信号r(￡)一4×1(f)，试写出切换线方程，确定奇点的位置和类型，作出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。 8—11 已知非线性系统的微分方程为图8 47题8—10非线性系统 i1一T1(T；+z；一1)(T；+上；～9)一z2(z；+T；一4) j 2一z2(z；+卫!一1)(工}+z；～9)+z1(zi+T；一4) 试分析系统奇点的类型，判断系统是否存在极限环。 8 12绘制图8 48所示非线性系统的相轨迹，分析系统的运动特性(B>O，B。<4K)。

8—13 已知非线性系统如图8—49所示，粗略绘制系统在单位阶跃及斜坡输入r一、，T+R 作用下系统的相轨迹，并分析系统的运动特性(T>O，4KT>1)。 8—14一非线性控制系统如图8—50所示，请绘制系统在如下情况下的相轨迹，并分析系统的运动特性。初始状态为P(O)：3．5，i(O)一O。 8—15一位置继电控制系统结构如图8—51所示．当输入幅度为4的阶跃函数，绘制从y(0)一一3，j(O)一O出发的相轨迹，求系统运动的最大速度、超调量及峰值时间。

重庆大学自动控制原理课程设计

目录 1 实验背景 (2) 2 实验介绍 (3) 3 微分方程和传递函数 (6)

1 实验背景在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。自动控制原理是相对于人工控制概念而言的，自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器，设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控制量）自动地按照预定的规律运行。在自动控制原理【1】中提出，20世纪50年代末60年代初，由于空间技术发展的需要，对自动控制的精密性和经济指标，提出了极其严格的要求；同时，由于数字计算机，特别是微型机的迅速发展，为控制理论的发展提供了有力的工具。在他们的推动下，控制理论有了重大发展，如庞特里亚金的极大值原理，贝尔曼的动态规划理论。卡尔曼的能控性能观测性和最优滤波理论等，这些都标志着控制理论已从经典控制理论发展到现代控制理论的阶段。现代控制理论的特点。是采用状态空间法（时域方法），研究“多输入-多输出”控制系统、时变和非线性控制系统的分析和设计。现在，随着技术革命和大规模复杂系统的发展，已促使控制理论开始向第三个发展阶段即第三代控制理论——大系统理论和智能控制理论发展。在其他文献中也有所述及（如下）：至今自动控制已经经历了五代的发展：第一代过程控制体系是150年前基于5－13psi的气动信号标准（气动控制系统PCS，Pneumatic Control System）。简单的就地操作模式，控制理论初步形成，尚未有控制室的概念。第二代过程控制体系（模拟式或ACS,Analog Control System）是基于0－10mA或4－20mA 的电流模拟信号，这一明显的进步，在整整25年内牢牢地统治了整个自动控制领域。它标志了电气自动控制时代的到来。控制理论有了重大发展，三大控制论的确立奠定了现代控制的基础；控制室的设立，控制功能分离的模式一直沿用至今。第三代过程控制体系（CCS，Computer Control System）.70年代开始了数字计算机的应用，产生了巨大的技术优势，人们在测量，模拟和逻辑控制领域率先使用，从而产生了第三代过程控制体系（CCS，Computer Control System）。这个被称为第三代过程控制体系是自动控制领域的一次革命，它充分发挥了计算机的特长，于是人们普遍认为计算机能做好一切事情，自然而然地产生了被称为“集中控制”的中央控制计算机系统，需要指出的是系统的信号传输系统依然是大部分沿用4－20mA的模拟信号，但是时隔不久人们发现，随着控制的集中和可靠性方面的问题，失控的危险也集中了，稍有不慎就会使整个系统瘫痪。所以它很快被发展成分布式控制系统（DCS）。第四代过程控制体系（DCS，Distributed Control System分布式控制系统）：随着半导体制造技术的飞速发展，微处理器的普遍使用，计算机技术可靠性的大幅度增加，目前普遍使用的是第四代过程控制体系（DCS，或分布式数字控制系统），它主要特点是整个控制系统不再是仅仅具有一台计算机，而是由几台计算机和一些智能仪表和智能部件构成一个了控制

夏德钤《自动控制原理》(第4版)章节题库-第9章平稳随机信号作用下线性系统的分析【圣才出品】

第9章　平稳随机信号作用下线性系统的分析 1．设随机过程，其中 a 和ω是常数，是服从[0，2π]上均匀分布的随机变量，求的数字特征。解：由于的概率密度函数为随机过程的均值函数、相关函数、协方差函数、方差函数和均方值函数可分别求得如下：２．设{X n ，n=1，2，…}是互不相关的随机变量序列，且， k=1，2，…，试讨论{X n ，n=1，2，…}的平稳性。

所以，{X n，n=1，2，…}具有平稳性，称{X n，n=1，2，…}为平稳随机序列。３．设s（t）是周期为T的可积函数，令－∞＜t＜＋∞，其中，称{X（t），－∞＜t＜＋∞}为随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。解：由故的概率密度函数为于是所以随机相位周期过程{X（t），－∞＜t＜＋∞}是平稳过程。 4．设{X n，n=1，2，…}是随机变量序列，是两两不相等的实数序列，试研究的平稳性。

所以{Y（t），－∞＜t＜＋∞}具有平稳性。 5．设{X（t），t≥0}是只取±1两个值的过程，其符号的改变次数是一参数为λ的Poisson过程{N（t），t≥0}，且，试讨论{X（t），t≥0}的平稳性。解：所以{X（t），t≥0}是平稳过程。 6．设系统的输入为实平稳过程{X（t），t≥0}，其均值函数m X=0，相关函数为为输出，且输入与输出满足线性微分方程

试求输出{Y（t），t≥0}的均值函数与相关函数。解：由于该系统是线性定常系统，由得 m Y（t）=0，t≥0 如取有因此频率响应为又{X（t），－∞＜t＜＋∞}的相关函数，故其谱密度为由知识点10知，{Y（t），t≥0}的谱密度为于是 7．设X（t）=sinUt，t=1，2，…，其中U服从区间[0，2π]上的均匀分布，试讨论{X（t），t=1，2，…}的平稳性。

自控原理习题参考答案(8)

第八章习题参考答案 8-3 设系统如图8-30所示，其中继电器非线性特性的a ＝1。试用描述函数法分析系统是否会出现自持振荡？如存在，试求出系统自持振荡的振幅和频率的近似值。解：死区继电特性的描述函数为： 2 )( 14= )(A a A πM A N －（A ≥a ）将M =1，a =1代入上式得： 2 2 )1( 14= )( 14= )(A A πA a A πM A N －－当A

其频率特性为：) 2+)(1+(10 = )(j ωj ωωj ωj G 幅频特性和相频特性分别为： ) 4+)(1+(10 = |)(2 2 ωωωωj G |， ω.a r c t a n ωa r c t a n ωφ5090=)(－－－令 180=)(－ωφ，即 180=5090=)(－－－－ω.arctan ωarctan ωφ 90 =50+ω.arctan ωarctan → 90 =.501.512 ω ωarctan －解得2=ω，此时7 .61≈35=18 210 = ) 4+)(1+(10 = |)2(2 2ωωωj G | 因此，当2=ω时，线性部分奈氏曲线ΓG 与负实轴的交点坐标为（－1.67，j 0）。 ΓG 曲线如下图所示。由图可见，ΓG 曲线和－1/N (A )曲线存在两个交点。由1 4 =)(1)2+)(1+(10= )(2 2－－＝－A A πＡＮj ωj ωωj ωj G 解得两组解：2 =1ω，2.21=1A 和2 = 2ω，37.1=2A 根据周期运动稳定性判据，A 1和ω1对应不稳定的周期运动；A 2和ω2对应稳定的周期运动。当初始条件或外扰动使A A 1，则系统运动存在自振荡： t sin .)t (e 2731= () jY ω() X ωω=∞ ω=7.61－7.1５－ ) (1 A N －