算法大全第28章 灰色系统理论及其应用
第二十八章灰色系统理论及其应用
客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
§1 灰色系统概论
客观世界在不断发展变化的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系统。按事物内涵的不同，人们已建立了工程技术、社会系统、经济系统等。人们试图对各种系统所外露出的一些特征进行分析，从而弄清楚系统内部的运行机理。从信息的完备性与模型的构建上看，工程技术等系统具有较充足的信息量，其发展变化规律明显，定量描述较方便，结构与参数较具体，人们称之为白色系统；对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等，人们无法建立客观的物理原型，其作用原理亦不明确，内部因素难以辨识或之间关系隐蔽，人们很难准确了解这类系统的行为特征，因此对其定量描述难度较大，带来建立模型的困难。这类系统内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。一个系统的内部特性全部未知，则称之为黑色系统。
区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确的定量来阐明，因此，物体的运动便是一个白色系统。
当然，白、灰、黑是相对于一定的认识层次而言的，因而具有相对性。某人有一天去他朋友家做客，发现当外面的汽车开过来时，他朋友家的狗就躲到屋角里瑟瑟发抖。他对此莫名其妙。但对他朋友来讲，狗的这种行为是可以理解的，因为他知道，狗在前不久曾被汽车撞伤过。显然，同样对于“狗的惧怕行为”，客人因不知内情而面临一个黑箱，而主人则面临一个灰箱。
作为实际问题，灰色系统在大千世界中是大量存在的，绝对的白色或黑色系统是很少的。随着人类认识的进步及对掌握现实世界的要求的升级，人们对社会、经济等问题的研究往往已不满足于定性分析。尽管当代科技日新月异，发展迅速，但人们对自然界的认识仍然是肤浅的。粮食作物的生产是一个实际的关系到人们吃饭的大问题，但同时，它又是一个抽象的灰色系统。肥料、种子、农药、气象、土壤、劳力、水利、耕作及政策等皆是影响生产的因素，但又难以确定影响生产的确定因素，更难确定这些因素与粮食产量的定量关系。人们只能在一定的假设条件（往往是一些经验及常识）下按照某种逻辑推理演绎而得到模型。这种模型并非是粮食作物生产问题在理论认识上的“翻版”，而只能看作是人们在认识上对实际问题的一种“反映”或“逼近”。
社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”（即随即干扰）。现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测，对事物的处置进行决策。现有的系统分
-415-
析的量化方法，大都是数理统计法如回归分析、方差分析、主成分分析等，回归分析是应用最广泛的一种办法。但回归分析要求大样本，只有通过大量的数据才能得到量化的规律，这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。回归分析还要求样本有较好的分布规律，而很多实际情形并非如此。例如，我国建国以来经济方面有几次大起大落，难以满足样本有较规律的分布要求。因此，有了大量的数据也不一定能得到统计规律，甚至即使得到了统计规律，也并非任何情况都可以分析。另外，回归分析不能分析因素间动态的关联程度，即使是静态，其精度也不高，且常常出现反常现象。
灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。这种方法已应用到农业经济、水利、宏观经济等各方面，都取得了较好的效果。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
灰色系统理论首先基于对客观系统的新的认识。尽管某些系统的信息不够充分，但作为系统必然是有特定功能和有序的，只是其内在规律并未充分外露。有些随机量、无规则的干扰成分以及杂乱无章的数据列，从灰色系统的观点看，并不认为是不可捉摸的。相反地，灰色系统理论将随机量看作是在一定范围内变化的灰色量，按适当的办法将原始数据进行处理，将灰色数变换为生成数，从生成数进而得到规律性较强的生成函数。例如，某些系统的数据经处理后呈现出指数规律，这是由于大多数系统都是广义的能量系统，而指数规律是能量变化的一种规律。灰色系统理论的量化基础是生成数，从而突破了概率统计的局限性，使其结果不再是过去依据大量数据得到的经验性的统计规律，而是现实性的生成律。这种使灰色系统变得尽量清晰明了的过程被称为白化。
目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。
§2 关联分析
大千世界里的客观事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。
因素分析的基本方法过去主要采取回归分析等办法。正如前一节指出的，回归分-416-
析的办法有很多欠缺，如要求大量数据、计算量大及可能出现反常情况等。为克服以上弊病，本节采用关联度分析的办法来做系统分析。
作为一个发展变化的系统，关联分析实际上是动态过程发展态势的量化比较分析。所谓发展态势比较，也就是系统各时期有关统计数据的几何关系的比较。
例如，某地区1977～1983年总收入与养猪、养兔收入资料见表1。
表1 收入数据
1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
总收入养猪养兔18 20 22 40 44 48 60 10 15 16 24 38 40 50 3 2 12 10 22
18 20
根据表1，做曲线图1。
图1 收入数据图
由上图易看出，曲线A与曲线B发展趋势比较接近，而与曲线C相差较大，因此可以判断，该地区对总收入影响较直接的是养猪业，而不是养兔业。
很显然，几何形状越接近，关联程度也就越大。当然，直观分析对于稍微复杂些的问题则显得难于进行。因此，需要给出一种计算方法来衡量因素间关联程度的大小。
2.1 数据变换技术
为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换和处理，使其消除量纲和具有可比性。
定义1 设有序列
))
(
,
),
2(
),1(
(n
x
x
x
x"
=
则称映射
-417-
-418- n
k k y k x f y
x f ,,2,1 ),())((:"==→
为序列x 到序列y 的数据变换。
1）当
0)1( ),()
1()
())((≠==
x k y x k x k x f 称f 是初值化变换。
2）当
∑====n
k k x n x k y k x k x f 1
)(1 ),()())(( 称f 是均值化变换。
3）当
()
(())()max ()
k
x k f x k y k x k =
=
称f 是百分比变换。
4）当
()
(())(),
min ()0min ()
k
k
x k f x k y k x k x k =
=≠
称f 是倍数变换。
5）当
)()
())((0
k y x k x k x f ==
其中0x 为大于零的某个值，称f 是归一化变换。
6）当
-419-
)()
(max )
(min )())((k y k x k x k x k x f k
k
=?=
称f 是极差最大值化变换。
7）当
)()
(min )(max )
(min )())((k y k x k x k x k x k x f k
k
k
=??=
称f 是区间值化变换。
2.2 关联分析
定义2 选取参考数列
))(,),2(),1((},,2,1|)({00000n x x x n k k x x ""===
其中k 表示时刻。假设有m 个比较数列
))(,),2(),1((},,2,1|)({n x x x n k k x x i i i i i ""===，m i ,,2,1"=
则称
)
()(max max )()()
()(max max )()(min min )(0000t x t x k x k x t x t x t x t x k s t
s
i s t
s
s t
s
i ?+??+?=
ρρξ （1）
为比较数列i x 对参考数列0x 在k 时刻的关联系数，其中]1,0[∈ρ为分辨系数。称（1）式中)()(min min 0t x t x s t
s
?、)()(max max 0t x t x s t
s
?分别为两级最小差及两级最大差。
一般来讲，分辨系数ρ越大，分辨率越大；ρ越小，分辨率越小。
（1）式定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指
标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出
定义3 称
∑==n
k i i k n r 1
)(1ξ （2）
为数列i x 对参考数列0x 的关联度。
由（2）易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，亦即把过于分散的信息集中处理。利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进行因素分析。考虑
-420-
下面的问题。
例1 通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其1982年至1986年每年最好成绩及16项专项素质和身体素质的时间序列资料，见表2，试对此铅球运动员的专项成绩进行因素分析。
表2 各项成绩数据 1982 1983 1984 1985 1986 铅球专项成绩 0x 13.6 14.01 14.54 15.64 15.69 4kg 前抛 1x 11.50 13.00 15.15 15.30 15.02 4kg 后抛 2x 13.76 16.36 16.90 16.56 17.30 4kg 原地 3x 12.41 12.70 13.96 14.04 13.46 立定跳远 4x 2.48 2.49 2.56 2.64 2.59 高 翻 5x 85 85 90 100 105 抓 举 6x 55 65 75 80 80 卧 推 7x 65 70 75 85 90 3kg 前抛 8x 12.80 15.30 16.24 16.40 17.05 3kg 后抛 9x 15.30 18.40 18.75 17.95 19.30 3kg 原地 10x 12.71 14.50 14.66 15.88 15.70 3kg 滑步 11x 14.78 15.54 16.03 16.87 17.82 立定三级跳远 12x 7.64 7.56 7.76 7.54 7.70 全 蹲 13x 120 125 130 140 140 挺 举 14x 80 85 90 90 95 30米起跑 15x 4’’2 4’’25 4’’1 4’’06 3’’99 100米 16x
13’’1 13’’42 12’’85 12’’72 12’’56
在利用（1）式及（2）式计算关联度之前，我们需对表2的各个数列做初始化处
理。一般来讲，实际问题中的不同数列往往具有不同的量纲，而我们在计算关联系数时，要求量纲要相同。因此，需首先对各种数据进行无量纲化。另外，为了易于比较，要求所有数列有公共的交点。为了解决上述两个问题，我们对给定数列进行变换。
定义4 给定数列))(,),2(),1((n x x x x "=，称
-421-
???
?
????=)1()(,,)1()2(,1x n x x x x " 为原始数列X 的初始化数列。
这样，我们可对表2中的17个数列进行初始化处理。注意，对于前15个数列，随着时间的增加，数值的增加意味着运动水平的进步，而对后2个数列来讲，随着时间的增加，数值（秒数）的减少却意味着运动水平的进步。因此，在对数列15x 及16x 进行初始化处理时，采取以下公式
???
?????=)5()1(,)4()1(,)3()1(,)2()1(,1i i i i i i i i i x x x x x x x x x ，16,15=i
依照问题的要求，我们自然选取铅球运动员专项成绩作为参考数列，将表2中的
各个数列的初始化数列代入（1）及（2）式，易算出各数列的关联度如下表（这里
5.0=ρ）。
表3 关联度计算结果
1r 2r 3r
4r 5r 6r
7r 8r 0.588 0.663 0.854 0.776 0.855 0.502 0.659 0.582
9r 10r
11r
12r
13r
14r
15r
16r
0.683 0.696 0.896 0.705 0.933 0.847 0.745 0.726
计算的MATLAB 程序如下： clc,clear load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件x.txt 中 for i=1:15
x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据 end
for i=16:17
x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据 end data=x;
n=size(data,1);
ck=data(1,:);m1=size(ck,1); bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2
t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:);
-422-
end
jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t'))); rho=0.5;
ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi')/size(ksi,2); r(i,:)=rt; end r
[rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度进行排序
由表3易看出，影响铅球专项成绩的前八项主要因素依次为全蹲、3kg 滑步、高翻、4kg 原地、挺举、立定跳远、30米起跳、100米成绩。因此，在训练中应着重考虑安排这八项指标的练习。这样可减少训练的盲目性，提高训练效果。
应该指出的是，公式（1）中的|)()(|0k x k x i ?不能区别因素关联是正关联还是负关联，可采取下述办法解决这个问题。记
∑∑∑===?=n
k n
k i n k i i n
k k x k kx 11
1
)()(σ，n i ,,2,1"=
则：
（1）当)(sign )(sign j i σσ=，则i x 和j x 为正关联；
（2）当)(sign )(sign j i σσ?=，则i x 和j x 为负关联。
§3 优势分析 当参考数列不止一个，被比较的因素也不止一个时，则需进行优势分析。 假设有m 个参考数列（宜称母因素）
，记为m y y y ,,,21"，再假设有l 个比较数列（亦称子因素），记为l x x x ,,,21"。显然，每一个参考数列对l 个比较数列有l 个关联度，设ij r 表示比较数列j x 对参考数列i y 的关联度，可构造关联（度）矩阵l m ij r R ×=)(。根据矩阵R 的各个元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影响，哪些因素起次要影响。起主要影响的因素称之为优势因素。再进一步，当某一列元素大于其它列元素时，称此列所对应的子因素为优势子因素；若某一行元素均大于其它行元素时，称此行所对应的母元素为优势母元素。例如，矩阵R 的第3列元素大于其它各列元素，
ij i r r >3，m i ,,2,1"=；3≠j
-423-
则称3x 为优势子因素。
如果矩阵R 的某个元素达到最大，则该行对应的母因素被认为是所有母因素中影响最大的。
为简单起见，先来讨论一下“对角线”以上元素为零的关联矩阵，例如
???????
?????????=0504
.07.02.08.03
.0009.07.06.04.00003.07.07
.000005.06.000
0008.0R 因为第1列元素是满的，故称第1个子元素为潜在优势子因素。第2列元素中有一个元
素为零，故称第2个子因素为次潜在优势子因素。余下类推。
当关联矩阵的“对角线”以下全都是零元素，则称第1个母因素为潜在优势母因素……，为了分析方便，我们经常把相对较小的元素近似为零，从而使关联矩阵尽量稀疏。
我们参考一个实际问题。
例2 某地区有6个母因素i y （6,,2,1"=i ），5个子因素j x （5,,2,1"=j ）如下：
1x ：固定资产投资 1y ：国民收入 2x ：工业投资
2y ：工业收入
3x ：农业投资
3y ：农业收入
4x ：科技投资
4y ：商业收入
5x ：交通投资
5y ：交通收入
6y ：建筑业收入
其数据列于表4。
表4 投资和收入数据
1979 1980 1981 1982 1983 1x
308.58 310 295 346 367 2x
195.4 189.9 187.2 205 222.7
-424- 3x 24.6 21 12.2 15.1 14.57 4x
20 25.6 23.3 29.2 30 5x 18.98 19 22.3 23.5 27.655 1y 170 174 197 216.4 235.8 2y
57.55 70.74 76.8
80.7 89.85
3y 88.56 70 85.38 99.83 103.4 4y 11.19 13.28 16.82 18.9 22.8 5y 4.03 4.26 4.34 5.06 5.78 6y
13.7 15.6 13.77 11.98 13.95
根据表4的数据，利用如下的MATLAB 程序
clc,clear
load data.txt %把原始数据存放在纯文本文件data.txt 中 n=size(data,1); for i=1:n
data(i,:)=data(i,:)/data(i,1); %标准化数据 end
ck=data(6:n,:);m1=size(ck,1); bj=data(1:5,:);m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2
t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); end
jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t'))); rho=0.5;
ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi')/size(ksi,2); r(i,:)=rt; end r
计算出各个子因素对母因素的关联度（这里取5.0=ρ），从而得到关联矩阵为
-425-
?
??
???
??????
???
??
??
?=632.0607
.0562.0766.0743.0921.0804.0565.0774.0811.0731.0780.0568.0663.0678.0675.0577.0579.0858.0891.0800.0885.0529.0666.0689.0936.0810.0557.0761
.0802.0R 从关联矩阵R 可以看出：
（1）第4行元素几乎最小，表明各种投资对商业收入影响不大，即商业是一个不太需要依赖外资而能自行发展的行业。从消耗投资上看，这是劣势，但从少投资多收入的效益观点看，商业是优势。
（2）936.015=r 最大，表明交通投资的多少对国民收入的影响最大。也可以从此看出交通的影响。
（3）921.055=r 仅次于15r ，表明交通收入主要取决于交通投资，这是很自然的。 （4）在第4列中0.88524=r 最大，表明科技对工业影响最大；而0.57734=r 是该列中最小的，表明从全面来衡量，还没有使科技投资与农业经济挂上钩，即科技投资针对的不是农村需要的科技。
（5）第三行的前3个元素比价大，表明农业是个综合性行业，需其它方面的配合，例如，0.89131=r 表明固定资产投资能够较大地促进农业的发展。另外，858.032=r 表明农业发展与交通发展也是密切相关的。
§4 生成数
4.1 累加生成 在研究社会系统、经济系统等抽象系统时，往往要遇到随机干扰（即所谓“噪声”）。人们对“噪声”污染系统的研究大多基于概率统计方法。但概率统计方法有很多不足之处：要求大量数据、要求有典型的统计规律、计算工作量等。而且在某些问题中，其概率意义下的结论并不直观或信息量少。例如，预报某天下雨的概率是0.5，晴天的概率也是0.5，这种结论对于人们来讲毫无意义。
灰色系统理论把一切随机量都看作灰色数—即在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰色数的处理不是找概率分布或求统计规律，而是利用数据处理的办法去寻找数据间的规律。通过对数列中的数据进行处理，产生新的数列，以此来挖掘和寻找数的规律性的方法，叫做数的生成。数的生成方式有多种：累加生成、累减生成以及加权累加等等。这里主要介绍累加生成。
定义5 把数列x 各时刻数据依次累加的过程叫做累加过程，记作AGO ，累加所得的新数列，叫做累加生成数列。具体地，设原始数列为
-426-
))(,),2(),1(()0()0()0(0n x x x x "=，累加生成数列记为))(,),1(()1()1()1(n x x x "=，且
)0(x 与)1(x 满足
)()()0()
1(i x k x k
i ∑==α
，n k ,,"α= （3）
其中n ≤α为正整数。
上述累加过程当k ≤<α1时称为去首累加生成，当1=α时称为一般累加生成。
这里，我们只讨论1=α时的情形，（3）式中上标（1）表示1次累加生成，记作1—AGO 。在一次累加数列)
1(x
的基础上再做1次累加生成，可得到2次累加生成，记作
2—AGO 。依次下去，对原始数列)
0(x ，我们可做r 次累加生成，记作r —AGO ，从而
得到r 次累加生成数列)
(r x
。)
(r x
与)
1(?r x
满足下面的关系：
)()(1
)1()
(i x k x
k
i r r ∑=?=, n k ,,2,1"= （4）
在实际应用中，最常用的是1次累加生成。本节只讨论1次累加生成。
一般地，经济数列等实际问题的数列皆是非负数列，累加生成可使非负的摆动与非摆动的数列或任意无规律性的数列转化为非减的、递增的数列。 当然，有些实际问题的数列中有负数（例如温度等），累加时略微复杂。有时，由于出现正负抵消这种信息损失的现象，数列经过累加生成后规律性非但没得到加强，甚至可能被削弱。对于这种情形，我们可以先进行移轴，然后再做累加生成。
4.2 累减生成
当然，利用数的生成可得到一系列有规律的数据，甚至可拟合成一些函数。但生成数列并非是直接可用的数列，因此，对于生成数还有个还原的问题。对累加生成，还原的办法采用累减生成。
对原始数列依次做前后两数据相减的运算过程叫累减生成，记作IAGO 。若)
(r x
为
r —AGO 数列，则称
)1()()()()()1(??=?k x k x k x r r r ，n k ,,3,2"=
（5）
为r 次累减生成数列。
4.3 均值生成
设原始数列为))(,),2(),1(()0()0()0()
0(n x x x x
"=，则称)1()0(?k x 与)()0(k x 为数
-427-
列)
0(x
的一对（紧）邻值，)1()
0(?k x
称为前值，)()0(k x 称为后值。
对于常数]1,0[∈α，则称
)1()1()()()0()0()0(??+=k x k x k z αα
为由数列)
0(x 的邻值在生成系数（权）α下的邻值生成数（或生成值）。
特别地，当生成系数5.0=α时，则称
)1(5.0)(5.0)()0()0()0(?+=k x k x k z （6）
为（紧）邻均值生成数，即等权邻值生成数。
类似地，可以定义非邻值生成数：
)1()1()1()()0()0()0(??++=k x k X k z αα
和
)1(5.0)1(5.0)(~)0()0()0(?++=k x k x k z
而数列))(~,),2(~),1(~(~)0()0()0()
0(n z z z z "=称为非紧邻均值（mean ）生成数列。
§5 灰色模型GM 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由于这是本征灰色系统的基本模型，而且模型是近似的、非唯一的，故这种模型为灰色模型，记为GM （Grey Model ），即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。 5.1 GM(1,1)模型 1．GM(1,1)的定义
设)
0(x
为n 个元素的数列))(,),2(),1(()0()0()0()
0(n x x x x
"=，)0(x 的AGO 生成数
列为))(,),2(),1(()
1()
1()
1()
1(n x x x x
"=，其中∑==k
i i x k x 1
)0()
1()()(（n k ,,2,1"=）。则
定义)
1(x 的灰导数为
)1()()()()1()1()0(??==k x k x k x k d ，
-428-
令)
1(z 为数列)
1(x 的紧邻均值数列，即
)1(5.0)(5.0)()1()1()1(?+=k x k x k z ，n k ",3,2=
则))(,),3(),2(()1()1()1()
1(n z z z z "=。于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为
b k az k d =+)()()1(，
即
b k az k x =+)()()1()0( （7）
其中)()
0(k x 称为灰导数，a 称为发展系数，)()1(k z 称为白化背景值，b 称为灰作用量。
将时刻n k ,,3,2"=代入（7）式中有
???
???
?=+=+=+b n az n x b
az x b az x )()()3()3()2()2()1()0()
1()0()1()0("
"" 令T n x x x Y ))(,),3(),2(()0()0()0("=，T b a u ),(=，???
????
??????
????=1)(1)3(1)2()
1()
1()1(n z z z B ##，称Y 为数据向量，
B 为数据矩阵，u 为参数向量，则GM(1,1)模型可以表示为矩阵方程Bu Y =。 由最小二乘法可以求得
Y B B B b a u
T T T 1)()?,?(??== 2．GM(1,1)的白化型
对于GM(1,1)的灰微分方程（7），如果将)()
0(k x 的时刻n k ,,3,2"=视为连续连
续的变量t ，则数列)
1(x
就可以视为时间t 的函数，记为)()1()
1(t x x
=，并让灰导数
)()
0(k x 对应于导数dt
dx )1(，背景值)()1(k z 对应于)()
1(t x 。于是得到GM(1,1)的灰微分
方程对应的白微分方程为
-429-
b ax dt
dx =+)1()
1( （8） 称之为GM(1,1)的白化型。 值得注意的是：GM(1,1)的白化型（8）并不是由GM(1,1)的灰微分方程直接推导出来的，它仅仅是一种“借用”或“白化默认”。
另一方面，GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度高，则表明所用数列建立的模型GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然。
5.2 ),1(GM N 模型 1．),1(GM N 模型定义
GM(1,1)即表示模型是1阶的，且只含1个变量的灰色模型。而),1(GM N 即表示模型是1阶的，包含有N 个变量的灰色模型。
设系统有N 个行为因子，即原始数列为
))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x i i i i "=，N i ,,2,1"=
记)
1(i x 为)
0(i x 的AGO 数列，即
))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x i i i i "=
))()1(,),2()1(),1(()
0()
1()
0()
1()
1(n x n x x x x i i i i i +?+="，N i ,,2,1"= 其中∑==
k
j i i
j x
k x 1
)0()1()()(（n k ,,2,1"=）
。取)
1(1x 的均值数列
)1(5.0)(5.0)()1(1)1(1)1(1?+=k x k x k z ，n k ,,3,2"=
则))(,),3(),2(()
1(1)
1(1)
1(1)
1(1n z z z z "=。于是可得到),1(GM N 的灰微分方程为
)()()(2)1()1(1
)
0(1
k x b k az k x N
i i i ∑==+ （9）
其中)()
0(1k x 为灰导数，)()
1(1k z 为背景值，),,3,2(,N i b a i "=为参数。
如果对于一切时刻n k ,,3,2"=，引入向量矩阵记号
-430-
T n x x x Y )](,),3(),2([)0(1)0(1)0(1"=，T N b b b a u ],,,,[32"=
??????
???????????=)()()()3()3()3()2()2()2()1()1(2)1(1)
1()1(2)1(1)
1()1(2)1(1n x n x n z x x z x x z B N N N "####"" 则),1(GM N 的灰微分方程为
Bu Y =
其中Y 为已知数据向量，B 为),1(GM N 已知数据矩阵，u 为参数向量。用u ?表示u 的估计值，令u
B Y ??=ε表示估计值的残差，根据最小二乘法，求使
)?()?()?(u B Y u B Y u
J T T ??==εε 达到最小值的估计值u
?。 事实上，如果存在1
)(?B B T
，则有
Y B B B b b b a u T T T N
132)(]?,,?,?,?[??==" （10） 如果)(B B T
为奇异矩阵（例如当N n
)(?B B T
不存在，则此时u ?不能用（10）式确定。但注意到u
?的元素实际上是各子因素对主因素影响大小的反映，因此，我们可以引入加权矩阵),,,diag(21N w w w W "=，使对各因素的未来发展趋势进行调整控制。对于未来发展减弱趋势的因素赋予较大的权值，而对于未来增强趋势的因
素赋予较小的权值，使之更好地反映未来的实际情况。此时，计算向量u
?可采用下面的公式
Y B BW B W b b b a u T T T N
11132)(]?,,?,?,?[????==" 2．),1(GM N 的白化型
对于模型),1(GM N 的灰微分方程（9），如果将)()
1(k x i 的时刻N k ,,2,1"=视为连续变量t ，则数列)()
1(k x i 就可以视为时间t 的函数，记为)()1()
1(t x x i i
=。则可得到
),1(GM N 的白化微分方程
-431-
∑==+N
i i i t x b t ax dt dx 2
)1()
1(1)1(1)()(， 即为一阶N 个变量的微分方程。
§6 灰色预测 灰色预测是指利用GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。 灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。 6.1 灰色预测的方法
设已知参考数据列为))(,),2(),1(()0()0()0()
0(n x x x x
"=，做1次累加（AGO ）生
成数列
))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x "=
))()1(,),2()1(),1(()0()1()
0()
1()
1(n x n x x x x +?+="
其中∑==
k
i i x
k x 1
)
0()
1()()(（n k ,,2,1"=）。求均值数列
)1(5.0)(5.0)()1()1()1(?+=k x k x k z ，n k ",3,2= 则))(,),3(),2(()1()1()1()
1(n z z z z "=。于是建立灰微分方程为
b k az k x =+)()()1()0(，n k ,,3,2"=
相应的白化微分方程为
b t ax dt
dx =+)()1()
1(， （11） 记T b a u ),(=，T
n x x x Y ))(,),3(),2(()0()0()0("=，????
??
?????
??????=1)
(1)3(1)
2()1()
1()1(n z z z B ##，则由最小二
-432-
乘法，求得使)?()?()?(u B Y u B Y u
J T ??=达到最小值的Y B B B b a u T
T T 1)(),(??==。于是求解方程（11）得
a
b
e a b x k x ak +?=+?))1(()1()0()1(，1,,2,1?=n k "。
6.2 灰色预测的步骤
1．数据的检验与处理 首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。设参考数据为))(,),2(),1(()0()0()0()
0(n x x x x
"=，计算数列的级比
)
()
1()()0()0(k x k x k ?=λ，n k ,,3,2"=
如果所有的级比)(k λ都落在可容覆盖),(2
21
2++?n n e
e 内，则数列)0(x 可以作为模型
GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列)
0(x 做必要的变换处理，使其落入可
容覆盖内。即取适当的常数c ，作平移变换
c k x k y +=)()()0()0(，n k ,,2,1"=
则使数列))(,),2(),1(()0()0()0()
0(n y y y y
"=的级比
X k y k y k y ∈?=)
()
1()()0()0(λ，n k ,,3,2"=
2．建立模型
按6.1节中的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值
a b e a b x k x
ak +?????
?
?=+?)1()1(?)0()1(，1,,2,1?=n k " 而且)(?)1(?)1(?)1()1()
0(k x k x
k x
?+=+，1,,2,1?=n k "。 3．检验预测值
（1）残差检验：令残差为)(k ε，计算
)
()(?)()()
0()0()0(k x k x
k x k ?=ε，n k ,,2,1"=
-433-
如果2.0)( （2）级比偏差值检验：首先由参考数据)1() 0(?k x ，)()0(k x 计算出级比)(k λ， 再用发展系数a 求出相应的级比偏差 )(5.015.011)(k a a k λρ?? ? ? ??+??= 如果2.0)( 由模型GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，实际问题的需要，给出相应的预测预报。 6.3 灾变预测 给定原始数据列))(,),2(),1(()0()0()0() 0(n x x x x "=。如果指定某个定值ζ，并认 为) 0(x 中那些大于ζ的点为具有异常值的点，然后将这些数据挑出来另组一数列，则 称这一数列为上限灾变数列。例如，给定数列)5,8,7.0,3() 0(=x ，若取1=ζ，则其上 限灾变数列为 )5,8,3(0 =ζx 同理，可定义下限灾变数列这个概念。注意，灾变预测不是预测数据本身的大小， 而是预测异常值出现的时间。我们考虑下面这个问题。 例3 某地区年平均降雨量数据如表5 表5 某地区年平均降雨量数据 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 降雨量 390.6 412 320 559.2 380.8 542.4 553 310 561 年 10 11 12 13 14 15 16 17 降雨量 300 632 540 406.2 313.8 576 587.6 318.5 规定320=ζ，并认为ζ≤)() 0(i x 为旱灾。预测下一次旱灾发生的时间。 写出初始数列 =)0(x (390.6,412,320,559.2, 380.8,542.4,553,310,561,300,632, 540,406.2,313.8,576,587.6,318.5) -434- 由于满足320)() 0(≤i x 的)()0(i x 即为异常值，易得下限灾变数列为 )5.318,8.313,300,310,320(0=ζx 其对应的时刻数列为 )17,14,10,8,3(=t 将数列t 做1次累加，得 )52,35,21,11,3()1(=t 建立GM(1,1)模型，得 )5850.2536,6.2(),(??==T b a u 6774.24.677427)1(?25360)1(?=+k .e k t （12） 通过（12）式，预测到第6个及第7个数据为 22.034)6()0(=t ，28.3946)7()0(=t 由于22.034与17相差5.034，这表明下一次旱灾将发生在五年以后。 计算的MATLAB 程序如下： clc,clear a=[390.6,412,320,559.2, 380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5]'; t0=find(a<=320); t1=cumsum(t0);n=length(t1); B=[-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end)),ones(n-1,1)];Y=t0(2:end); r=B\Y y=dsolve('Dy+a*y=b','y(0)=y0'); y=subs(y,{'a','b','y0'},{r(1),r(2),t1(1)}); yuce1=subs(y,'t',[0:n+1]) digits(6),y=vpa(y) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解 yuce=diff(yuce1); yuce=[t0(1),yuce] 6.4 灰色预测计算实例 例4 北方某城市1986～1992年道路交通噪声平均声级数据见表6 表6 市近年来交通噪声数据[dB(A)] 蚁群算法简述及实现 1 蚁群算法的原理分析 蚁群算法是受自然界中真实蚁群算法的集体觅食行为的启发而发展起来的一种基于群体的模拟进化算法,属于随机搜索算法,所以它更恰当的名字应该叫“人工蚁群算法”,我们一般简称为蚁群算法。M.Dorigo等人充分的利用了蚁群搜索食物的过程与著名的TSP问题的相似性,通过人工模拟蚁群搜索食物的行为来求解TSP问题。 蚂蚁这种社会性动物,虽然个体行为及其简单,但是由这些简单个体所组成的群体却表现出及其复杂的行为特征。这是因为蚂蚁在寻找食物时,能在其经过的路径上释放一种叫做信息素的物质,使得一定范围内的其他蚂蚁能够感觉到这种物质,且倾向于朝着该物质强度高的方向移动。蚁群的集体行为表现为一种正反馈现象,蚁群这种选择路径的行为过程称之为自催化行为。由于其原理是一种正反馈机制,因此也可以把蚁群的行为理解成所谓的增强型学习系统(Reinforcement Learning System)。 引用M.Dorigo所举的例子来说明蚁群发现最短路径的原理和机制,见图1所示。假设D 和H之间、B和H之间以及B和D之间(通过C)的距离为1,C位于D和B的中央(见图1(a))。现在我们考虑在等间隔等离散世界时间点(t=0,1,2……)的蚁群系统情况。假设每单位时间有30只蚂蚁从A到B,另三十只蚂蚁从E到D,其行走速度都为1(一个单位时间所走距离为1),在行走时,一只蚂蚁可在时刻t留下浓度为1的信息素。为简单起见,设信息素在时间区间(t+1，t+2)的中点(t+1.5)时刻瞬时完全挥发。在t=0时刻无任何信息素,但分别有30只蚂蚁在B、30只蚂蚁在D等待出发。它们选择走哪一条路径是完全随机的,因此在两个节点上蚁群可各自一分为二,走两个方向。但在t=1时刻,从A到B的30只蚂蚁在通向H的路径上(见图1(b))发现一条浓度为15的信息素,这是由15只从B走向H的先行蚂蚁留下来的;而在通向C的路径上它们可以发现一条浓度为30的信息素路径,这是由15只走向BC的路径的蚂蚁所留下的气息与15只从D经C到达B留下的气息之和(图1(c))。这时,选择路径的概率就有了偏差,向C走的蚂蚁数将是向H走的蚂蚁数的2倍。对于从E到D来的蚂蚁也是如此。 （a）（b）（c） 图1 蚁群路径搜索实例 这个过程一直会持续到所有的蚂蚁最终都选择了最短的路径为止。 这样,我们就可以理解蚁群算法的基本思想:如果在给定点,一只蚂蚁要在不同的路径中选择,那么,那些被先行蚂蚁大量选择的路径(也就是信息素留存较浓的路径)被选中的概率就更大,较多的信息素意味着较短的路径,也就意味着较好的问题回答。 灰色系統理論簡介 一、什麼是灰色系統 二、什麼是灰色系統理論 三、灰色系統理論建立的歷史背景 四、灰色系統理論的主要內容 五、灰色系統理論的兩條基本原理 六、灰色系統的應用範疇 七、灰色系統的優點 八、灰色系統的應用實例 一、什麼是灰色系統（Grey System） 灰色分析全名為灰色系統理論分析（Grey System Theory），是由中國鄧聚龍教授於1982年在國際經濟學會議上 提出，該理論主要是針對系統模型之不明確性，資訊之不完整 性之下，進行關於系統的關聯分析（Relational Analysis）、模型建構（Constructing A Model）、借由預測（Prediction）及決策（Decision）之方法來探討及瞭解系統。 自然界對人類社會來講不是白色的(全部都知道)，也不是黑色的(一無所知)，而是灰色的(半知半解)。人類的思考、行 為也是灰色的，人類其實是生存在一個高度的灰色信息關係空 間之中，例如：人體系統、糧食生產系統等。部分信息已知，部分信息未知的系統，稱為灰色系統。 控制論中主要以顏色命名，常以顏色之深淺表示研究者對內部信息（information）和對系統本身的了解及認識程度之多 寡，黑色，表示信息缺乏；白色，表示信息充足；而介於白色 （W）系統與黑色（B）系統之間，其信息部份已知，信息部分 未知的這類系統便稱之為灰色（G）系統。 二、什麼是灰色系統理論 灰色系統理論是研究灰色系統分析、建模、預測、決策和控制的理論。它把一般系統論、信息論及控制論的觀點和方法 延伸到社會、經濟和生態等抽象系統，並結合數學方法，發展 出一套解決信息不完全系統（灰色系統）的理論和方法。 灰色系統理論分析具有溝通社會科學及自然科學的作用，可將抽象的系統加以實體化、量化、模型化及做最佳化。 第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院 2.4万字） 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 10.1.2有关名词概念 10.1.3GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题 本章小结 思考题 推荐阅读书目 第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。 灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。 灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。 目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。 10.1.2有关名词概念 灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。 灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。 灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。 什么是过程控制系统？其基本分类方法有哪几种？ 过程控制系统通常是指连续生产过程的自动控制，是自动化技术中最重要的组成部分之一。基本分类方法有：按照设定值的形式不同【定值，随动，程序】；按照系统的结构特点【反馈，前馈，前馈-反馈复合】。 热电偶测量的基本定律是什么？常用的冷端补偿方式有哪些 均质材料定律：由一种均匀介质或半导体介质组成的闭合回路中，不论截面和长度如何以及沿长度方向上的温度分布如何，都不能产生热电动势，因此热电偶必须采用两种不同的导体或半导体组成，其截面和长度大小不影响电动势大小，但须材质均匀； 中间导体定律：在热电偶回路接入中间导体后，只要中间导体两端温度相同，则对热电偶的热电动势没有影响； 中间温度定律：一支热电偶在两接点温度为t 、t0 时的热电势，等于两支同温度特性热电偶在接点温度为t 、ta和ta、t0时的热电势之代数和。只要给出冷端为0℃时的热电势关系，便可求出冷端任意温度时的热电势,即 由于冷端温度受周围环境温度的影响，难以自行保持为某一定值，因此，为减小测量误差，需对热电偶冷端采取补偿措施，使其温度恒定。冷端温度补偿方法有冷端恒温法、冷端补偿器法、冷端温度校正法和补偿导线法。 为什么热电阻常用三线制接法？试画出其接线原理图并加以说明。 电阻测温信号通过电桥转换成电压时，热电阻的接线如用两线接法，接线电阻随温度变化会给电 桥输出带来较大误差，必须用三线接法，以抵消接线电阻随温度变化对电桥的影响。 对于DDZ－Ⅲ型热电偶温度变送器，试回答： 变送器具有哪些主要功能？ 变送器的任务就是将各种不同的检测信号转换成标准信号输出。 什么是变送器零点、零点迁移调整和量程调整？ 热电偶温度变送器的输入电路主要是在热电偶回路中串接一个电桥电路。电桥的功能是实现热电偶的冷端补偿和测量零点的调整。 蚁群算法在车辆路径问题中的应用 摘要 蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）是意大利学者M.Dorigo等人通过模拟蚁群觅食行为提出的一种基于种群的模拟进化算法。通过介绍蚁群觅食过程中基于信息素（pheromone）的最短路径的搜索策略，给出了基于MATLAB的蚁群算法在车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）中的应用。蚁群算法采用分布式并行计算机制，易于其他方法结合，而且具有较强的鲁棒性，但搜索时间长，容易陷入局部最优解。针对蚁群算法存在的过早收敛问题，加入2—opt方法对问题求解进行了局部优化，计算机仿真结果表明，这种混合型蚁群算法对求解车辆路径问题有较好的改进效果。 关键词：蚁群算法、组合优化、车辆路径问题、2-opt方法 1.车辆路径问题 车辆路径问题（VRP）来源于交通运输，1959年由Dantzig提出，它是组合优化问题中一个典型的NP-hard问题。最初用于研究亚特兰大炼油厂向各个加油站投送汽油的运输路径优化问题，并迅速成为运筹学和组合优化领域的前沿和研究热点。 车路优化问题如下： 已知有一批客户，各客户点的位置坐标和货物需求已知， 供应商具有若干可供派送的车辆，运载能力给定，每辆车都是从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点。 现要求以最少的车辆数和最少的车辆总行程来完成货物的派送任务。 2、蚁群系统基本原理 在蚂蚁群找到食物时，它们总能找到一条从食物到蚁穴之间的最短路径。因为蚂蚁在寻找食物时会在路途上释放一种特殊的信息素。当它们碰到一个还没有走过的路口时，会随机地挑选一条路径前行。与此同时释放出与路径长度有关的信息素。路径越长，释放的激素浓度越低。当后面的蚂蚁再次碰到这个路口时，会选择激素浓度较高的路径走。这样形成了一个正反馈，最优路径上的激素浓度越来越高，而其他的路径上激素浓度却会随时间的流逝而消减。最终整个蚁群会找出最优路径。在整个寻找过程中，整个蚁群通过相互留下的信息素作用交换着路径信息，最终找到最优路径。 3、基本蚁群算法求解车辆路径问题 求解VRP问题的蚂蚁算法中，每只蚂蚁是一个独立的用 于构造路线的过程，若干蚂蚁过程之间通过信息素值来交换信息，合作求解，并不断优化。这里的信息素值分布式存储在图中，与各弧相关联。蚂蚁算法求解VRP问题的过程如下: 过程控制系统习题 答案 什么是过程控制系统？其基本分类方法有哪几种？ 过程控制系统一般是指连续生产过程的自动控制，是自动化技术中最重要的组成部分之一。基本分类方法有：按照设定值的形式不同【定值，随动，程序】；按照系统的结构特点【反馈，前馈，前馈-反馈复合】。 热电偶测量的基本定律是什么？常见的冷端补偿方式有哪些 均质材料定律：由一种均匀介质或半导体介质组成的闭合回路中，不论截面和长度如何以及沿长度方向上的温度分布如何，都不能产生热电动势，因此热电偶必须采用两种不同的导体或半导体组成，其截面和长度大小不影响电动势大小，但须材质均匀； 中间导体定律：在热电偶回路接入中间导体后，只要中间导体两端温度相同，则对热电偶的热电动势没有影响； 中间温度定律：一支热电偶在两接点温度为t 、t0 时的热电势，等于两支同温度特性热电偶在接点温度为t 、ta和ta、t0时的热电势之代数和。只要给出冷端为0℃时的热电势关系，便可求出冷端任意温度时的热电势,即 由于冷端温度受周围环境温度的影响，难以自行保持为某一定值，因此，为减小测量误差，需对热电偶冷端采取补偿措施，使其温度恒定。冷端温度补偿方法有冷端恒温法、冷端补偿器法、冷端温度校正法和补偿导线法。 为什么热电阻常见三线制接法？试画出其接线原理图并加以说明。 电阻测温信号经过电桥转换成电压时，热电阻的接线如用两线接法，接线电阻随温度变化会给电桥输出带来较大误差，必须用三线接法，以抵消接线电阻随温度变化对电桥的影响。 对于DDZ－Ⅲ型热电偶温度变送器，试回答： 变送器具有哪些主要功能？ 变送器的任务就是将各种不同的检测信号转换成标准信号输出。 什么是变送器零点、零点迁移调整和量程调整？ 热电偶温度变送器的输入电路主要是在热电偶回路中串接一个电桥电路。电桥的功能是实现热电偶的冷端补偿和测量零点的调整。 大幅度的零点调整叫零点迁移。实用价值是：有些工艺的参数变化范围很小，例如，某设备的温度总在500～1000度之间变化。如果仪表测量范围在0 ～1000度之间，则500℃以下测量区域属于浪费。因为变送器的输出范围是一定的。可经过零点迁移，配合量程调整，使仪表的测量范围在500～1000℃之间，可提高测量精度。 灰色系统理论与应用习题集 编著 刘思峰、方志耕、党耀国、朱建军、陈洪转米传民、李元年、施红星、许相敏、张学伟 第一章 灰色系统的概念与基本原理 一、选择题 1、灰色系统理论着重研究的对象是（ ） A 外延明确，内涵明确 B 外延不明确，内涵明确 C 外延明确，内涵不明确 D 外延不明确，内涵不明确 2、下面那个不是常用的不确定性系统的研究方法（ ） A 概率统计 B 模糊数学 C 灰色系统 D 运筹学 3、灰色系统理论是解决（ ）的科学方法 A 确定性的复杂问题 B 半确定的复杂问题 C 不确定的复杂问题 D 不确定半复杂问题 二、问答题 1、试简要说明概率统计、模糊数学以及灰色系统理论这三种不确定性系统研究 方法的异同点。 2、请说明你对灰色系统中“灰”的理解，并举出实际生活中灰色系统的例子。 3、请简要阐述灰色系统的六个基本原理。 4、举例说明什么是连续灰数、离散灰数；本征灰数、非本征灰数；信息型灰数、概念型灰数、层次型灰数。 5、在什么情况下灰数的自差等于零？ 6、请简述灰数白化的具体含义？并说明等权均值白化、非等权均值白化的分别 在何种情况下使用。 7、什么是典型白化权函数？其特征是怎样的？ 8、对于灰度12112212122b b a b a b max ,b +b b b g ?????= +???? 。，前后两个部分分别代表什么含义？ 9、试指出灰度12 112212122b b a b a b max ,b +b b b g ?????=+????。定义中存在的问题。 10、估计某一实数真值得到灰数?，在估计的可靠程度一定时，?的测度与不 确定性之间的关系？ 11、你对灰度的测度有什么好的建议或想法？ function [y,val]=QACS tic load att48 att48; MAXIT=300; % 最大循环次数 NC=48; % 城市个数 tao=ones(48,48);% 初始时刻各边上的信息最为1 rho=0.2; % 挥发系数 alpha=1; beta=2; Q=100; mant=20; % 蚂蚁数量 iter=0; % 记录迭代次数 for i=1:NC % 计算各城市间的距离 for j=1:NC distance(i,j)=sqrt((att48(i,2)-att48(j,2))^2+(att48(i,3)-att48(j,3))^2); end end bestroute=zeros(1,48); % 用来记录最优路径 routelength=inf; % 用来记录当前找到的最优路径长度 % for i=1:mant % 确定各蚂蚁初始的位置 % end for ite=1:MAXIT for ka=1:mant %考查第K只蚂蚁 deltatao=zeros(48,48); % 第K只蚂蚁移动前各边上的信息增量为零 [routek,lengthk]=travel(distance,tao,alpha,beta); if lengthk 第六章灰色系统理论 客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。 §1 灰色系统概论 客观世界在不断发展变化的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系统。按事物内涵的不同，人们已建立了工程技术、社会系统、经济系统等。人们试图对各种系统所外露出的一些特征进行分析，从而弄清楚系统内部的运行机理。从信息的完备性与模型的构建上看，工程技术等系统具有较充足的信息量，其发展变化规律明显、定量描述较方便、结构与参数较具体、人们称之为白色系统；对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等，人们无法建立客观的物理原型，其作用原理亦不明确，内部因素难以辨识或之间关系隐蔽，人们很难准确了解这类系统的行为特征，因此对其定量描述难度较大，带来建立模型的困难。这类系统内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。一个系统的内部特性全部未知，则称之为黑色系统。 区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确的定量来阐明，因此，物体的运动便是一个白色系统。 作为实际问题，灰色系统在大千世界中是大量存在的，绝对的白色或黑色系统是很少的社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”（即随机干扰）。现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测，对事物的处置进行决策。现有的系统分析的量化方法，大都是数理统计法如回归分析、方差分析、主成分分析等，回归分析是应用最广泛的一种办法。但回归分析要求大样本，只有通过大量的数据才能得到量化的规律，这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。回归分析还要求样本有较好的分布规律，而很多 灰色系统理论及其应用 第一章灰色系统的概念与基本原理 1.1灰色系统理论的产生和发展动态 1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 1.2几种不确定方法的比较 概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。 模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。 概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。 灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。 1.3灰色系统理论的基本概念 定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。 定义1.3.2信息未知的系统称为黑色系统。 定义1.3.3部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。 1.4灰色系统理论的基本原理 公理1(差异信息原理)“差异“是信息，凡信息必有差异。 公理2（解的非唯一性原理）信息不完全，不确定的解是非唯一的。 公理3（最少信息原理）灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息“。 公理4(认知根据原理)信息是认知的根据。 公理5（新信息优先原理）新信息对认知的作用大于老信息。 公理6（灰性不灭原理）：信息不完全是绝对的 灰色系统理论论文 专业班级：计科13级2班学号：1310101042 姓名：冯洋洋 指导老师：郭三党 基于GM（1,1）模型的江苏旅游业研究 摘要：实践表明，发展旅游业是推动服务业发展的重要方面，也是促进经济结构调整的重点领域，是统筹经济社会以及城乡区域协调发展的重要途径，也是解决民生问题，促进社会和谐的重要因素，也是满足人们生活需求、落实以人为本的内在要求，因为旅游直接就是为人服务的，本文通过运用GM(1，1）模型对其未来发展进行预测，提出了促进江苏旅游业可持续发展的对策建议。 关键词：灰色系统GM（1,1）江苏旅游 一、引言：江苏辖江临海，扼淮控湖，经济繁荣，教育发达，文化昌盛。地跨长江、淮河南北，京杭大运河从中穿过，拥有吴、金陵、淮扬、中原四大多元文化。江苏地理上跨越南北，气候、植被也同时具有南方和北方的特征。江苏东临黄海、太平洋，与上海市、浙江省、安徽省、山东省接壤，江苏拥有丰富的旅游资源，自然景观与人文景观交相辉映，有小桥流水人家的古镇水乡，有众口颂传的千年名刹，有精巧雅致的古典园林，有烟波浩渺的湖光山色，有规模宏大的帝王陵寝，有雄伟壮观的都城遗址，纤巧清秀与粗犷雄浑交汇融合，可谓是“吴韵汉风，各擅所长”。因此，通过分析江苏省旅游业发展现状，并对其未来发展进行预测，对进一步促进江苏旅游业可持续发展有着重要的现实意义。 江苏旅游业发展的现状分析 旅游业是21世纪全球发展前景最好的产业之一。据世界旅游组织预测：今后几年，世 界旅游业发展仍将保持5%左右的增长速度；到2010年，国际旅游人数将达到10亿人次：到2020年，全球国际旅游将达15.6亿人次。而中国到2020年将接待1.37亿入境旅游者居世界第一位，成为全球最大旅游目的地国家；中国出境旅游人数将达1亿人次，居世界第4位有望成为世界十大旅游客源国之一。国内旅游消费需求也将不断扩大，并日趋多样化。江苏省是我国七大重点旅游省市之一，也是我国经济、文化、科技和对外开放最发达的省份之一。作为传统旅游大省，“十五”以来，江苏积极实施政府主导的大旅游发展战略，旅游经济继续保持快速、协调的发展，成绩令人瞩目。具体表现在以下几个方面： 1、入境旅游持续增长 1）入境旅游者人数上升 “十五”以来，江苏入境旅游者人数持续上升。2005年全省接待入境旅游者378万人次比2004年增长23.4%，“十五”期间年均递增18.6%；而“十一五”开局之年的2006年全省入境旅游者达445.2万人次，同比增长17.7%。其中：外国人314.89万人次，同比增长20.1%；香港同胞47.41万人次，同比增长14.7%；澳门同胞4.30万人次，同比增长17.90%；台湾同胞78.59万人次，同比增长10.4%。 2）各地客源均有增长，亚洲仍是最主要的客源地 2006年，我省接待入境旅游者中外国人314.89万人次，其中亚洲182.89万人次，同比增长 文章编号：１００９－３４８６（２００６）０３－００３８－０５ 基于蚁群算法的试验流程优化研究 倡栘 陈慕齐１，齐 欢２，陈迎春 ２ （１．华中科技大学管理学院，湖北武汉４３００７４；２．华中科技大学控制科学与工程系，湖北武汉４３００７４）摘 要：水中兵器的海上试验涉及许多人员、兵力、被试产品、测量设备等，试验周期长、消耗大，因此如何缩短试验周期是亟待研究解决的问题．文中首先将试验流程优化问题转化为车间调度问题，建立了相应的数学模型，再应用蚁群算法转移规则得到中间结果并进行排队以对各种资源约束进行处理．最后将结果利用局部搜索算法优化后作为蚁群算法信息素更新的基础．实例计算结果表明，该方法优化效果良好．关键词：蚁群算法；车间调度问题；水中兵器中图分类号：ＴＰ３０ 文献标识码：Ａ Ｔｅｓｔｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇｂａｓｅｄｏｎａｎｔｃｏｌｏｎｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ＣＨＥＮＭｕ－ｑｉ１ ，ＱＩＨｕａｎ２ ，ＣＨＥＮＹｉｎｇ－ｃｈｕｎ ２ （１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ，ＨｕａｚｈｏｎｇＵｎｉｖ．ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐｔ．ｏｆＣｏｎｔｒｏｌＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｕａｚｈｏｎｇＵｎｉｖ．ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｒｅｇａｒｄｔｏｍｕｃｈｍａｎｐｏｗｅｒ，ｆｏｒｃｅｓ，ｕｎｄｅｒ－ｐｒｏｏｆｐｒｏｄｕｃｔｓａｎｄｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｅｑｕｉｐｍｅｎｔ，ｔｈｅｓｅａｔｅｓｔｓｆｏｒｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｗｅａｐｏｎｓｗｉｌｌｔａｋｅａｌｏｎｇｐｅｒｉｏｄａｎｄｇｒｅａｔｅｘｐｅｎｄｉｔｕｒｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｔｅｓｔｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇｉｓｗｈａｔｎｅｅｄｓｔｏｂｅｄｅａｌｔｗｉｔｈ．Ｔｈｅｔｅｓｔｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇｉｓｆｉｒｓｔｃｏｎｖｅｒｔｅｄｉｎｔｏａｊｏｂｓｈｏｐｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｎｔｈｅｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｒｕｌｅｓｏｆａｎｔｃｏｌｏｎｙａｌｇｏｒｉｔｈｍａｒｅａｄｏｐｔｅｄｔｏｏｂｔａｉｎｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｒｅｓｕｌｔｂｅｆｏｒｅｔｈｅｑｕｅｕｉｎｇｔｈｅｏｒｙｉｓｕｓｅｄｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒｅｓｏｕｒｃｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｆｉｎａｌ－ｌｙ，ａｌｏｃａｌｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｆｏｒｆｕｒｔｈｅｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｂｅｆｏｒｅｔｈｅｐｈｅｒｏｍｏｎｅｓｏｆａｎｔｓａｒｅｕｐｄａｔｅｄ．Ｔｈｅｓｉｍｕ－ｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｐｒｏｖｅｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｎｔｃｏｌｏｎｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｊｏｂｓｈｏｐｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍ；ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｗｅａｐｏｎ 水中兵器的海上定型、鉴定等综合试验需要全面考核的性能指标多，试验方式多样，涉及众多的参试单位、人员、兵力、设备等，试验周期长、消耗大，如何缩短试验周期是急需研究解决的问题．水中兵器试验的流程优化属于典型的组合优化问题，目前主要利用网络流和关键路径法来优化．但由于约束条件众多，效果不是很明显．自然界中的某些生物，如蚂蚁、蜜蜂、鸟等，尽管个体的感知、通讯、动作等能力非常有限，但由这些简单的个体组成的社会却能完成复杂的任务，如照顾后代、觅食、选择路径、编队行动等，而且总能以最优或近似最优的方法完成相互间的协作．一些学者根据对昆虫群体行为的研究结果提 出了一些用于组合优化求解的算法或理论，如蚁群算法［１］和粒子群算法［２］ ，并在一些领域中得到了应用．这些算法为试验流程的优化提供了新的思路．本文利用蚁群算法实现试验流程的优化． １ 模型描述 在第１层次，海上试验可分解为试验准备、各项目试验、试验总结３个阶段；在第２层次，每个项目 第１８卷 第３期 ２００６年６月 海军工程大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＡＶＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｖｏｌ．１８ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２００６ 倡 收稿日期：２００５－１０－１８；修订日期：２００６－０３－１０ 作者简介：陈慕齐（１９６２－），男，高级工程师，博士生． 第!"卷第!期#$%&!"’$&!控制与决策 ()*+,)-.*/012343)* 5667年!月 8 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 9:;&5667文章编号56?5667@6!=66A B=6A 蚁群算法在连续空间寻优问题求解中的应用 汪镭C吴启迪 ?同济大学电子与信息工程学院C上海5666>5@ 摘要<将蚁群算法引入连续空间的函数寻优问题求解C通过将传统蚁群算法中的D信息量留存E过程 拓展为连续空间中的D信息量分布函数E C定义了相应的求解算法F对多极值函数和非线性连续函数的寻 优实例仿真取得了良好的结果C显示了蚁群算法在连续空间优化问题中的应用前景F 关键词<蚁群算法G连续空间寻优G信息量分布函数 中图分类号 第二十八章灰色系统理论及其应用 客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。 §1 灰色系统概论 客观世界在不断发展变化的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系统。按事物内涵的不同，人们已建立了工程技术、社会系统、经济系统等。人们试图对各种系统所外露出的一些特征进行分析，从而弄清楚系统内部的运行机理。从信息的完备性与模型的构建上看，工程技术等系统具有较充足的信息量，其发展变化规律明显，定量描述较方便，结构与参数较具体，人们称之为白色系统；对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等，人们无法建立客观的物理原型，其作用原理亦不明确，内部因素难以辨识或之间关系隐蔽，人们很难准确了解这类系统的行为特征，因此对其定量描述难度较大，带来建立模型的困难。这类系统内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。一个系统的内部特性全部未知，则称之为黑色系统。 区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确的定量来阐明，因此，物体的运动便是一个白色系统。 当然，白、灰、黑是相对于一定的认识层次而言的，因而具有相对性。某人有一天去他朋友家做客，发现当外面的汽车开过来时，他朋友家的狗就躲到屋角里瑟瑟发抖。他对此莫名其妙。但对他朋友来讲，狗的这种行为是可以理解的，因为他知道，狗在前不久曾被汽车撞伤过。显然，同样对于“狗的惧怕行为”，客人因不知内情而面临一个黑箱，而主人则面临一个灰箱。 作为实际问题，灰色系统在大千世界中是大量存在的，绝对的白色或黑色系统是很少的。随着人类认识的进步及对掌握现实世界的要求的升级，人们对社会、经济等问题的研究往往已不满足于定性分析。尽管当代科技日新月异，发展迅速，但人们对自然界的认识仍然是肤浅的。粮食作物的生产是一个实际的关系到人们吃饭的大问题，但同时，它又是一个抽象的灰色系统。肥料、种子、农药、气象、土壤、劳力、水利、耕作及政策等皆是影响生产的因素，但又难以确定影响生产的确定因素，更难确定这些因素与粮食产量的定量关系。人们只能在一定的假设条件（往往是一些经验及常识）下按照某种逻辑推理演绎而得到模型。这种模型并非是粮食作物生产问题在理论认识上的“翻版”，而只能看作是人们在认识上对实际问题的一种“反映”或“逼近”。 社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”（即随即干扰）。现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测，对事物的处置进行决策。现有的系统分 -415- 灰色预测模型理论及其应用 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 1.1灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 1.2灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。 上述灰预测方法的共同特点是： （1）允许少数据预测； （2）允许对灰因果律事件进行预测，比如 灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。 ?２０?ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｒａＮｏ．１２２００８ 蚁群算法在装配线平衡问题中的应用 陈建行。张其松 （同济大学电子与信息工程学院，上海２０００９２） 摘要：在双边装配线中，工人在装配线的两边进行作业装配。在一些大型产品（如汽车、卡车等）的装配过程中，一些作业必须在某一特定的边进行。为解决混合型双边装配线的第一类平衡问题，文章提出了一种改进的蚁群算法。在该算法中。针对混合型双边装配线平衡问题的具体特点，给出了蚂蚁分配方案的生成策略，计算出了作业的分配方案。最后，通过实例的计算，验证了算法的有效性。 关键词：装配线平衡；混合型双边装配线；蚁群算法１人工智能 ０引言 流水线装配是当今装备制造业广泛采用的装配方式，它强调生产过程的节奏性、连续性、专业化、平行作业和按比例生产，达到经济、均衡的效果。装配线的平衡过程就是实现一种劳动生产率、设备利用率和满足市场需求三者之间的平衡的过程。装配线平衡问题（ＡｓｓｅｍｂｌｙＬｉｎｅＢａｌａｎｃｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍ即ＡＬＢＰ）是生产线规划过程中—个最重要和最基本的问题。 ＡＬＢＰ属于典型的ＮＰ－ｈａｒｄ问题ｌｌｌ，其复杂度随作业数的增加呈几何级数增长，难以在合理的时间得到完全的解决。因此，该问题在工业和学术上都引起了广泛的关注。目前，—般采用启发式算法来解决ＡＬＢＰ问题１２］，但是大部分研究都是针对单边装配线或者单一型双边装配线，混合型双边装配线的研究很少。对于混合型双边装配线的第一类平衡问题，即给定节拍时间寻求工作站数最少的分配方案，本文提出了一种改进的蚁群算法，取得了令人满意的结果。 １装配线及其平衡问题 装配线是一种很重要的制造系统，是一种技术。装配线将产品的装配过程划分为一个—个的操作单元，这些操作单元之问有一定的先后顺序约束关系，在满足这些约束的前提下，将这些操作单元分配到不同的工作站，每个工作站负责装配的一部分。 装配线平衡问题（ＡｓｓｅｍｂｌｙＬｉｎｅＢａｌａｎｃｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍ即ＡＬＢＰ）ｌａｌ就是在工艺条件约束下，按流水线节拍将所有装配工序进行组合、合理调整，使每个工位（也称工作站）分配的负荷量尽量充足和均衡，各工作站的未工作时间（空闲时间）最少。 装配线平衡问题一般可以分为两类： （１）第一类装配线平衡问题：给定装配线的节拍，求最小工位数； （２）第二类装配线平衡问题：给定装配线的最小工位数，使装配线的节拍最小。 第一类求解装配线平衡问题主要用于装配线的没计与安装阶段，主要考虑生产能力满足市场需求，系统投资少和装配线的效率高这类目标。 ２混合型双边装配线平衡问题的描述［２－－６１ 装配线有单边（只使用一边）和双边（左侧和右侧Ｉ—Ｊ时使 用）之分。双边装配线中，在装配线的两侧并行完成同一产品的 不同工序，一对面对面的工位称为成对工位，其中一个称为另一个的伴随工位。在实际生产中，大型产品（如汽车、卡车等）的装配很多时候往往采用双边装配。双边装配线较单边装配线有许多优点，比如，减少了操作人数、缩短了生产时Ｉ＇ａＪ、降低了工具ｉ殳备成本和物料输送成本。 在混合型双边装配线中，工作站对一批某种产品的几种相 似型号进行混合装配。每种型号有其自己的作业优先关系，但 是由于型号之ｌ＇日Ｊ的相似性，可以把所有作业合并成一个优先 图，称为组合优先图。所渭混合型双边装配线的第一类平衡问 题，就是把所有作业按顺序分配到装配线两边的每个工位上 去，使得工作站数最少。 假设计划生产周期为Ｐ，有Ｍ种型号的产品。型号ｍ的需 Ｍ 求量为Ｄ。，那么装配线的工作节拍Ｃ＝Ｐ／艺Ｄ。，型号ｍ所占比 ｆ归ｌ Ｍ 重Ｅｌｍ＝Ｄｒａ／∑ＤＤ。混合型双边装配线平衡问题的数学模型如下：ｐ＝ｌ ＭＫＲＮ ｑＣ轴） 一＝乞。乞乞（一乞～。轴）（１） ＲＫ ∑∑）（１Ｉ出：１（，Ｋｉ＝１Ｋ，Ｎ） 艺乞）（１Ｉ出＝１（，，）（２）ｂ＝Ｌｋ＝ｌ ∑ＸｅＬ＝１，（ｉ∈ＳＬ） ｋ＝ｌ Ｋ ∑Ｘ醐＝１，（１∈ｓ。） １１ １一 乞乞ｘ轴ｎ＋（ｋ一１）ｃ】＋ｍａ）ｃ‰卜 ｂ＝Ｌｋ＝ｌ”ｏ ＲＫ ∑ｘｅｂＩＴｉ＋（ｋ一１）ｃ】≤ｏ（．－１，Ｋ，Ｎ；ｊＥｓｉ） 万方数据蚁群算法简述及实现
灰色系统理论简介
灰色模型介绍及应用
过程控制系统习题答案
蚁群算法在车辆路径问题中的应用
过程控制系统习题答案
灰色系统理论与应用习题集
(完整版)蚁群算法matlab程序实例整理
灰色系统理论及其应用--讲义汇总
灰色系统理论及其应用
灰色系统理论及其应用论文
蚁群算法
蚁群算法在连续空间寻优问题求解中的应用
算法大全第28章 灰色系统理论及其应用
灰色预测模型理论及其应用
蚁群算法在装配线平衡问题中的应用