最新人教版整式的乘除和因式分解、分式教案(不用改直接打印)
14.1.1同底数幂的乘法
教学目标
1．知识与技能
在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用．
2．过程与方法
经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．
3．情感、态度与价值观
在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．
重、难点与关键
1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．
2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．
3．关键：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点，?必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2与（－a）2的区别．
教学方法
采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同底数幂的运算法则．
教学过程
一、创设情境，故事引入
【情境导入】
“盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．
【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？
光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，?你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？
【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：
3×105×5×102=15?×105×102
=15×？（引入课题）
【教师提问】到底105
×102
=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论．
【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示． 计算过程：105
×102
=（10×10×10×10×10）×（10×10） =10×10×10×10×10×10×10 =107
【教师活动】下面引例． 1．请同学们计算并探索规律．
（1）23
×24
=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2
( )
；
（2）53
×54
=_____________=5( )
；
（3）（－3）7×（－3）6=___________________=（－3）( )
； （4）（
110）3×（110）=___________=（110
）( )
； （5）a 3
·a 4
=________________a
( )
．
提出问题：①这几道题目有什么共同特点？
②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？ 【学生活动】独立完成，并在黑板上演算． 【教师拓展】计算a ·a=？请同学们想一想．
【学生总结】a ·a=()()()()m a
a
m n a
a a a a a a a a a a +=
个n个个=a
m+n
这样就探究出了同底数幂的乘法法则． 二、范例学习，应用所学
【例】计算：
（1）103
×104
； （2）a ·a 3
； （3）a ·a 3
·a 5
； （4）x ·x 2
+x 2
·x
【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103
×104
=103+4
=107
，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意a 是a 的一次方，?提醒学生不要漏掉这个指数1，x 3
+x 3
得2x 3
，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，?目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则． 【教师活动】投影显示例题，指导学生学习． 【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题． 三、随堂练习，巩固深化
课本练习题．
【探研时空】
据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？
四、课堂总结，发展潜能
1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，?使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．
2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，?底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式．
3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．
五、布置作业，专题突破
1．课本后习题．
2．选用课时作业设计．
教学反思
本节课的教学过程是探索发现性学习过程，注意同底数幂的乘法法则的推导过程，而不单单是要求记住结论，在导出的过程中，从具体到抽象，有层次地进行概括，归纳推理，学生不是被动地接受，而是在已有经验的基础上创新，从而培养学生的动手能力和创新意识．
14.1.2 幂的乘方
教学目标
1．知识与技能
理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．
2．过程与方法
经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：幂的乘方法则．
2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．
3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，?要求对性质深入地理解．
教学方法
采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．教学过程
一、创设情境，导入新知
【情境导入】
大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，?木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，?请
同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=4
3
πr3）
【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为
V木星=4
3
π·（102）3=？（引入课题）．
【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导．
【学生活动】有些同学这时无从下手．
【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？（102）3呢？
【学生回答】a3=a×a×a，指3个a相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，?因此（102）3=106．
【教师活动】下面有问题：
利用刚才的推导方法推导下面几个题目：
（1）（a2）3；（2）（24）3；（3）（b n）3；（4）－（x2）2．
【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．
【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a ）的结果是多少？ 【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论： （a m
）n
=()n m
m
m m m m m m
a a a a a
+++=
个n 个= a mn
．
评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 二、范例学习，应用所学 【例】计算：
（1）（103
）5
；（2）（b 3
）4
；（3）（x n
）3
；（4）－（x 7
）7
．
【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算． 【教师活动】启发学生共同完成例题．
【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则： 解：（1）（103
）5
=103×5
=1015； （3）（x n ）3=x
n ×3
=x 3n
；
（2）（b 3
）4=b
3×4
=b 12
； （4）－（x 7
）7
=－x
7×7
=－x 49
．
三、随堂练习，巩固练习 课本练习． 【探研时空】
计算：－x 2
·x 2
·（x 2
）3
+x 10
．
【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生，媒体显示练习题． 【学生活动】书面练习、板演． 四、课堂总结，发展潜能
1．幂的乘方（a m
）n
=a mn
（m ，n 都是正整数）使用范围：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．
2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，?也可以是单项式或多项式． 3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，?一个是“指数相加”．
五、布置作业，专题突破 课后习题 板书设计
教学反思
由于幂的乘方较抽象，引入课题时也可以从国情教育引入，搜集关于希望工程的图片展示给学生，如：有一个棱长为102cm的正方体，我们计算一下，可以装长为20cm，宽为15cm，厚为2cm的书多少本？
14.1.3 积的乘方
教学目标
1．知识与技能
通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质．
2．过程与方法
经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力．
3．情感、态度与价值观
通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难，挑战生活的勇气和信心．
重、难点与关键
1．重点：积的乘方的运算．
2．难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．
3．关键：要突破这个难点，教师应该在引导这个推导过程时，步步深入，?层层引导，而不该强硬地死记公式，只有在理解的情况下，才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用．教学方法
采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知识．
教学过程
一、回顾交流，导入新知
【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容
以及区别．
【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问． 【课堂演练】
计算：（1）（x 4
）3
（2）a ·a 5
（3）x 7
·x 9
（x 2
）3
【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则．
【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示，?然后再提出下面的问题．
同学们思考怎样计算（2a 3
）4
，每一步的根据是什么？ 【学生活动】先独立完成上面的问题，再小组讨论． （2a 3
）4
=（2a 3
）·（2a 3
）·（2a 3
）·（2a 3
）（乘方的含义） =（2·2·2·2）·（a 3
·a 3
·a 3
·a 3
）（乘法交换律、结合律） =24
·a 12
（乘方的意义与同底数幂的乘法运算） =15a 12
【教师活动】提出应用以上分析问题的过程，再计算（ab ）4
，说出每一步的根据是什么？
【学生活动】独立思考之后，再与同学交流． （ab ）4
=（ab ）·（ab ）·（ab ）·（ab ）（乘方的含义） =（aaaa ）·（bbbb ）（交换律、结合律） =a 4
·b 4（乘方的含义）
【教师提问】（1）请同学们通过计算，观察乘方结果之后，?你能得出什么规律？（2）如果设n 为正整数，将上式的指数改成n ，即：（ab ）n
，其结果是什么？ 【学生活动】回答出（ab ）n
=a n b n
．
【师生共识】我们得到了积的乘方法则：（ab ）n
=a n b n
（n 为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab ）n
=()()()()()n n n ab ab ab aaa a b b b b
个
个
个
=a n b n
【教师活动】拓展训练：三个或三个以上的积的乘方，如（abc ）n
， 【学生活动】回答出结果是（abc ）n
=a n
b n
c n
． 二、范例学习，应用所学 【例】计算：
（1）（2b ）3
；（2）（2×a 3
）2
；（3）（－a ）3
；（4）（－3x ）4
．
【教师活动】组织、讲例、提问．【学生活动】踊跃抢答．
三、随堂练习，巩固深化
课本练习．
【探研时空】
计算下列各式：
（1）（－3
5
）2·（－
3
5
）3；（2）（a－b）3·（a－b）4；
（3）（－a5）5；（4）（－2xy）4；
（5）（3a2）n；（6）（xy3n）2－[（2x）2] 3；
（7）（x4）6－（x3）8；（8）－p·（－p）4；
（9）（t m）2·t；（10）（a2）3·（a3）2．
四、课堂总结，发展潜能
本节课注重课堂引入，激发学生兴趣，“良好开端等于成功一半”．
1．积的乘方（ab）n=a n b n（n是正整数），使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，?也可以是整式，对三个以上因式的积也适用．
3．要注意运算过程，注意每一步依据，还应防止符号上的错误．
4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系．
五、布置作业，专题突破
1．课本习题
教学反思
计算（－2x）3学生易错误得出－2x3，本题错误在于：括号内应看成－2·x两个因式，
而上述结论显然结积的乘方意义缺乏理解，－2漏乘方，正确的应是（－2）3·x3=－8x3．
14.1.4 单项式乘以单项式
教学目标
1．知识与技能
理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．
2．过程与方法
经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．
重、难点与关键
1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．
2．难点：单项式乘法运算法则的推导与应用．
3．关键：通过创设一定的问题情境，?推导出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点．
教学方法
采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟知识．
教学过程
一、创设情境，操作导入
【手工比赛】
让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老师就送他个好礼物．
【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．
【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．
【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？
【学生回答】加一个美丽的像框．
【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽为x，你能计算出图片的面积吗？
【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？
【教师提问】对于mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果．
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．
实际上mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2．
【拓展延伸】请同学们继续计算mx·5
4
x=？
【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．
mx·5
4
x=m·
5
4
x·x=m·
5
4
x2=
5
4
mx2．
【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．
【继续探究】计算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c．
【学生活动】独立完成，再与同学交流．
【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．
二、范例学习，应用所学
【例1】计算．
（1）3x2y·（－2xy3）（2）（－5a2b3）·（－4b2c）
【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、?结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．
【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，?则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？
【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．
【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．
三、问题讨论，加深理解
【问题牵引】
1．a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎样理解呢？
2．想一想，你会说明a·b，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？
【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生．
【学生活动】分四人小组，合作学习．
四、随堂练习，巩固深化
课后练习．
五、课堂总结，发展潜能
本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上．
提问：（1）请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则．
（2）在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？
六、布置作业，专题突破
1．顶尖练习
板书设计
教学反思
【思路点拨】对于单项式与单项式相乘的应用问题，首先要依据题意，列出算式，含
10的幂相乘同样用单项式与乘法法则进行计算，还应将所得的结果用科学记数法表示．
14.1.5 单项式与多项式相乘
教学目标
1．知识与技能
让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算．
2．过程与方法
经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力．
3．情感、态度与价值观
培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：单项式与多项式相乘的法则．
2．难点：整式乘法法则的推导与应用．
3．?关键：应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来，注意知识迁移．
教学方法
采用“情境──探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则．教学过程
一、回顾交流，课堂演练
1．口述单项式乘以单项式法则．
2．口述乘法分配律．
3．课堂演练，计算：
（1）（－5x）·（3x）2（2）（－3x）·（－x）（3）1
3
xy·
2
3
xy2
（4）－5m2·（－1
3
mn）（5）－
1
5
x4y6－2x2y·（－
1
2
x2y5）
【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生．
【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示．二、创设情境，引入新课
小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1，她在纸的左右两边各留了1
6
a米的空白，
请同学们列出这幅画的画面面积是多少？
【学生活动】小组合作，讨论．
【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生．
【情境问题2】夏天将要来临，有3家超市以相同价格n?（单位：元／台）销售A牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是x，y，z，?请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入．
【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法．
方法一：首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量（单位：台），?再计算出总的收入（单位：元）．
即：n（x+y+z）．
方法二：采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入，?然后再计算出他们的总收入（单位：元）．
即：nx+ny+nz．由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz．
【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．
三、范例学习，应用所学
【例1】计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）．
解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3）
=－6a3b2+10a3b3
【例2】化简：－3x2·（1
3
xy－y2）－10x·（x2y－xy2）
解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2
=－11x3y+13x2y2
【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3）
40x－8x2=19－8x2+6x 40x－6x=19
34x=19
x=19
34
四、随堂练习，巩固深化
课本练习．
【探研时空】
计算：（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－15x（x2－3y）
（3）－2a2（1
2
ab2+b4）（4）（
2
3
x2y3－15xy）·
1
2
xy2
【教师活动】巡视，关注中差生．
五、课堂总结，发展潜能
1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，?就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．
六、布置作业，专题突破
顶尖练习
教学反思
教学中，应紧扣法则，注意多项式的各项是带着前面的符号的．在实施“情境──探究”教学过程中，注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化，培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神．
14.1.6 多项式与多项式相乘
教学目标
1．知识与技能
让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．
2．过程与方法
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．
3．情感、态度与价值观
通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．重、难点与关键
1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．
2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用．
3．?关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．
教学方法
采用“情境──探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵．
教学过程
一、创设情境，操作感知
【动手操作】
首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1?所示的四部分，标上字母．
【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．
【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．
【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．
【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如图2．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．
【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．
【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，?然后再求这四块长方形的面积．
【学生活动】分四人小组合作学习，求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，?它们的和为S=mn+nb+am+ab．
【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？
【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法．
（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．
【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．
字母呈现：=ma+mb+na+nb．
二、范例学习，应用所学
【例1】计算：
（1）（x+2）（x－3）（2）（3x－1）（2x+1）
【例2】计算：
（1）（x－3y）（x+7y）（2）（2x+5y）（3x－2y）
【例3】先化简，再求值：
（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．
【教师活动】例1～例3，启发学生参与到例题所设置的计算问题中去．
【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．
三、随堂练习，巩固新知
课本练习第1、2题．
【探究时空】
一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a?米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？
四、课堂总结，发展潜能
1．多项式与多项式相乘，?应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．
2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，?在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号．
五、布置作业，专题突破
顶尖练习．
教学反思
在实施情境探究教学过程中，应注意让学生感知问题的生成、发展与变化，培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识．
14.1.7 同底数幂的除法
教学目标
1．知识与技能
了解同底数幂的除法的运算性质，并会用其解决实际问题．
2．过程与方法
经历探究同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和
有条件的表达能力．
3．情感、态度与价值观
感受数学法则、公式的简洁美、和谐美．
重、难点与关关键
1．重点：同底数幂的除法法则．
2．难点：同底数幂的除法法则的推导．
3．关键：采用数学类比的方法，引入幂的除法法则．
教学方法
采用“问题解决”教学方法．
教学过程
一、创设情境，导入新知
【情境引入】
一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？你是如何计算的？
【教师活动】组织学生独立思考完成，然后先组内交流（4人小组），?接着再全班交流，鼓励学生积极探索，应用数学转化的思想化陌生为熟悉，鼓励学生算法多样化，同样强调算理的叙述．
【学生活动】完成课本P159“问题”，踊跃发言，利用除法与乘法的互逆关系，求出215÷28=28=256．
【继续探究】根据除法的意义填空，并观察计算结果，寻找规律：
（1）77÷72=7( )；
（2）1012÷107=10( )；
（3）x7÷x3=x( )．
【归纳法则】一般地，我们有a m÷a n=a m－n
（a≠0，m，n都是正整数，m>n）．
文字叙述：同底数的幂相除，底数不变，指数相减．
【教师活动】组织学生讨论为什么规定a≠0？
二、范例学习，应用所学
【例1】计算：
（1）x9÷x3；（2）m7÷m；
（3）（xy）7÷（xy）2；（4）（m－n）8÷（m－n）4．
【特殊性质】探究课本P150“探究”题．
根据除法的意义填空，并观察结果的规律：
（1）72÷72=（）；（2）1005÷1005=（）
（3）a n÷a n=（）（a≠0）
【课堂活动】在学生完成上面的填空题之后，教师引导学生观察结论：（1）72÷72=72－2=70；（2）1005÷1005=1005－5=1000；
（3）a n÷a n=a n－n=a0（a≠0）
规定a0=1（a≠0），文字叙述如下：
任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【法则拓展】一般，我们有a m÷a n=a m－n
（a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n），?即文字叙述为：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
三、随堂练习，巩固深化
课本练习
【探研时空】
下列计算是否正确？如果不正确，应如何改正？
（1）（－xy）6÷（－xy）2=－x4y4；
（2）62m+1÷6m=63=215；
（3）x10÷x2÷x=x10÷x=1010．
四、课堂总结，发展潜能
教师提问式总结：
1．同底数幂的除法法则？
2．a0=1（a≠0）意义？
3．到目前为止，我们学习了哪些幂的运算法则？谈谈它们的异同点．
五、布置作业，专题突破
顶尖练习
板书设计
教学反思
应用乘除互逆、类比分数的思想，引导学生独立思考、小组合作，完成对同底数幂相除法则的自主建构，密切同底数幂除法与现实生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，突出解决实际问题的能力．
注意分层演练，可以调动各个层次学生的学习热情，使他们乐思好学．
14.1.7单项式除以单项式
教学目标
1．知识与技能
会进行单项式除以单项式运算，理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力．
2．过程与方法
经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式的运算法则的过程，掌握整式除法运算．
3．情感、态度与价值观
培养学生探索的勇气和信念，增强挑战困难的勇气和信心．
重、难点与关键
1．重点：单项式除以单项式的运算法则．
2．难点：理解单项式除以单项式的法则并应用其法则计算．
3．?关键：运用类比数的运算方法切入到整式乘法的单项式乘以单项式运算法则的理解之中．
教学方法
采用“引导──发现”法进行教学．
教学过程
一、创设情境，导入新知
因式分解、分式月考题(绝对经典)
1 蒲江中学实验学校2017年3月月考数学试题 A 卷（100） 一．选择题（每题3分，共30分） 1．在式子a a 25，1 x y x y --，πy x 25 ，y x y x +-2，4332c b a ，x a +5，y x 103+ ，y x +1中，分式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2.下列各式从左到右，是因式分解的是（ ） A.232344a b a b =? B.)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y C.)1)(1(1--=+--b a b a ab D.)32(322m m m m m --=-- 3.下列式子中，无论x 取何值，一定有意义的是（ ） B 221x x - C.2 (1)x + D 21x x + 4.下列运算正确的是（ ） A ．a b a b 11+-=+- B ．b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ C ．12316+=+a a D ．x y x y y x y x +-=+- 5.下列因式分解正确的是（ ） A ． 22242234)(2xy x y x y x x -=+- B ．)42)(42(4)2(22c b a c b a c b a -+++=-+ C ．)2)(5(10322+-=--m m n mn m D ．)1()()()(222m b a a b m b a --=--- 7.若解方程 x x x x x 2 2242 =---出现增根，则增根为（ ） A ．0或2 B ．0 C ．2 D ．1 8.使分式3 2 32---m m m 的值是整数的整数m 的值是( ) A. 0=x B.最多2个 C. 正数 D.共有4个 9.已知c b a ,,分别是ABC △的三边长，且满足,22222222444c b c a c b a +=++则ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10．从3,1,21,1,3--这五个数中，随机抽取一个数记为,a 若数a 使关于x 的不等式组?????-≥+0 37231 ＜） （a x x 无解， 且使关于x 的分式方程1323-=----x a x x 有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A.3- B.2- C.23- D.2 1 二．选择题(每题4分，共20分)： 11.若20)2017( )2016(--+-x x x 有意义，则x 的取值范围是__________. 12.若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 的值为 . 13. 5(1)(3)13 x A B x x x x +=- +-+-，则=+B A . 14．32454222-+-++y x y xy x 可取得的最小值为 。 15.若,06022=-+ab b a b a ，＞＞则 =-+a b b a 。 三．解答题： 16.分解因式：(每题4分，共20分) （1）3231827a a a -+ （2）2244243x xy y x y ++--- （3）化简 2352362a a a a a -? ?÷+- ? --?? （4） 解不等式组：?????+-≤+--) 1(315121 5312x x x x （5）4 1 615171---=---x x x x 17.先化简，再求值：x x x x x x x x x 416 )44122(2222+-÷+----+，其中x 是不等式组???-≥-≥-1032312x x 的整数解（8分）．
整式乘法与因式分解和分式测试题
八年级上册数学测验题 一、选择题（请把答案写到下面的框内，每题4分，共48分） 1. 下列各式 m 1、21、y x +15、π 2、y x b a --25、432 2 b a -、65xy 其中 5. 7. 若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A 、 xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 8.若x+m 与x+3的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）。
A 、-3 B 、3 C 、0 D 、1 9.若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值为（ ）。 A 、3 B 、-5 C 、7 D 、7或-1 10. A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千 米/时，则可列 11.把多项式n n x x 632-- 分解因式，结果为（ ）。 A 、)2(3+-n n x x B 、)2(32n n x x +- C 、)2(32+-x x n D 、)2(32n n x x -- 12. 已知b a b a b a ab b a -+>>=+则 且,0622的值为（ ） A 、2 B 、2± C 、2 D 、 2± 二、填空题（每题4分，共20分） 13. =?-201520145.1)3 2 ( 。 14. 用科学记数法表示：－0.0000002005＝ ． 15.边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积 是 。 16.若分式 y y --55 ||的值为0，则y= 。 17.若a>0，3,2==y x a a ，则=-y x a 。三、解答题（共32分） 18.计算（每题5分，共10分） （1） ））（（b a b a b )2(322-+-÷--b ab b a （2） 33223)()(----?ab b a 19.（8分）先化简再求值： )111 (3121 322+---++?--x x x x x x ，其中x=- 65。
因式分解说课稿教案
《因式分解》(说课稿) 尊敬的各位领导、各位评委： 大家好！ 我今天说课的课题是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十五章第五节《因式分解》第一课时“因式分解的意义”。下面我从：教材的分析、教法与学法及教学手段、教学过程、板书设计四部分来说这一节课，其中，教学过程分为：导入新课、新课讲解、小结作业三部分；整个过程是先由实际问题引入新课，然后再回到实际问题中，解决实际问题。 一、教材分析 1、教材地位与作用。 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。.它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的互逆关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下作用。 2、教学目标。 根据因式分解这一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，我制定了以下教学目标： （一）知识目标： ①理解因式分解的概念； ②掌握从整式乘法得出因式分解的方法。 （二）能力目标： ①培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。 ②培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。（三）情感目标： ①培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 ②体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。 3、教学重点与难点。 本节课理解因式分解的概念及意义是学习本节因式分解的关键，而学生由乘法到因分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。因此我将本课的学习重点、难点确定为： 重点：因式分解的概念 难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能灵活运用因式分解的各种问题。 4、教法与学法及教学手段。
分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习
整式的乘除法。因式分解和分式复习 基本概念 一．整式的除乘法 1.同底数幂的乘法：m n m n a a a +=g ，（m,n 都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数 相加。 2.幂的乘方：()m n mn a a =，（m,n 都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：()n n n ab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 4.整式的乘法： （1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 可用下式表示：m (a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式) （3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 5.乘法公式： （1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个 数的平方差”，即用字母表示为：(a +b )(a －b )=a 2－b 2 ；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差. （2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母 表示为：(a +b )2=a 2+2ab +b 2；(a －b )2=a 2－2ab +b 2 ；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。 乘法公式的几种常见的恒等变形有： （1）．a 2 +b 2 ＝(a +b )2 －2ab ＝(a －b )2 +2ab . （2）．ab ＝ 2 1［(a +b )2－（a 2+b 2 ）］
因式分解与分式
因式分解与分式 （因式分解与分式） 班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每题2分，共20分） 1、如果)3)(3)(9()81(2x x x x n -++=-，那么n= 。 2、已知0=+-c b a ，则=--+--+--+))(())((c a b c a b c b a c b a 。 3、化简：200220032)2(+-所得的结果为 。 4、下列多项式：①22n m -；②22b a +；③224y x +-；④ 22916b a --能用平方差公式因式分解的是 （填序 号）。 5、若2 241121161?? ? ??+=+-n x m xy x ，则m= ，n= 。 6、当x 时，分式 x x +710有意义。 7、若0352=--y x ，则=÷y x 324 。 8、0.0046用科学记数法表示为 。 9、如果1)1(0=-a ，则a 的取值范畴为 。 10、分式223c a b 、ab c 2-、3 5cb a 的最简公分母是 。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、下列各数分解后素数种类最多的是（ ） A 、121 B 、256 C 、64 D 、100 2、下列关于因式分解讲法正确的是（ ）
A 、单项式也能够进行因式分解 B 、因式分解会改变式子的大小 C 、因式分解确实是进行多项式的乘法运算 D 、因式分解的结果只是将多项式化成几个整式的乘积形式 3、已知a 、b 差不多上素数，且a ＜b ，若ab 为偶数，则（ ） A 、a=2 B 、b=2 C 、a+b=2 D 、无法确定 4、代数式)(1553a b b a -，)(52a b b a -，))((2533b a b a b a +--的公因式是（ ） A 、)(5b a ab - B 、)5(22a b b a - C 、)(52a b b a - D 、 )(1202233b a b a - 5、下列各式为完全平方式的是（ ） A 、22n mn m +- B 、122--x x C 、4 1 22++x x D 、 ab b a 4)(2+- 6、在3a 、1+x x 、y x +5 1 、b a b a -+22中分式的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、若分式9 69 22++-x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 、3 B 、—3 C 、3± D 、4 8、下列分式化简后等于 1 21 +x 的是（ ） A 、144122+--x x x B 、144122---x x x C 、141 22-+x x D 、 1 441 22+++x x x 9、运算：3927÷÷m m 的结果为（ ）
人教版初中八年级数学上因式分解教案
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
八年级数学因式分解与分式
八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 1 1 （ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b --+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.2 22()a b a b +-
最新人教版因式分解教案
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班 45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （ 2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
因式分解 分式 计算题
一、整式的计算 (1)(? 5a 3b 2)·(?3ab 2c)·(? 7a 2b)； (2)? 2a 2b 3·(m ?n)5·13ab 2·(n ?m)2+13 a 2(m ?n)·6a b 2； (3) 3a 2(1 3 ab 2?b)?( 2a 2b 2?3ab)(? 3a)； (4)(3x 2?5y)(x 2+2x ?3)． 2．当x = ?3时，求8x 2?(x ?2)(x+1)?3(x ?1)(x ?2)的值． 二、因式分解 (1)3x 2y －6xy ＋3y ； (2)(a 2＋1) 2－4a 2 3x 3－27x (x ＋y) 2＋2(x ＋y)＋1. 6xy 2﹣9x 2y ﹣y 3 1522 --x x
三、分式的计算 1、(1－1x －1)(x x ＋1＋1)÷(1＋3 1－x 2 ) 2、先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3 x ＋1)，其中x ＝0. 3、 先化简 在求值 () 其中x 满足x 2﹣4x+3=0 4、先化简，再求值：324 a a --÷(a +2－ 52 a -)，其中a =－1 2 ． 5、先化简，再选择一个你喜欢的数字代入求值：（﹣ ）÷
6、(a ＋2a 2－2a ＋1－a a 2－4a ＋4)÷a －4a ，其中a 满足a 2－4a －1＝0. 四、分式方程 21x x -=2－3 12x - 52x ＋4－12－x ＝x 2 x 2－4－1； + =2 2 1 23524245--+=--x x x x 021211=-++-x x x x ； 871 78=----x x x 五、二次根式的计算 （1）﹣+ ． （2） ． （3）（2﹣ ）2+ ．
02 利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()() 4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】 试题分析：
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：
因式分解与分式
第二部分 代数式与恒等变形部分 ★五、多项式的因式分解： 1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》 2、因式分解的方法、步骤和要求： （1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ?-m （ ）。 （2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。 （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法. *十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。 *分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。 （4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。 《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》 【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++. 2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？ 【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ） A.327b a B.227b a C.b a 27 D.3328b a 2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ） A.-13 B.13 C.42 D.-42 3.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----442 3；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2 -+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x x B.)(2n m m m mn m +=++ C.)2)(4(822+-=--a a a a D.22)21(21-=+ -x x x 5.若A n m n m mn n m ?+=+-+)()()(3，则A 是（ ） A.22n m + B.22n mn m +- C.223n mn m +- D.22n mn m ++ 6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。 7.简算：①2299.001.1-；②9.235.22571.104.01.4?-?-÷；③77.046.277.023.122?++. 8.两个同学将一个二次三项式因式分解，甲看错了一次项而分解为()()912--x x ；乙看错了常数项而分解为()()422--x x 。请将原多项式因式分解。 9.如果ab a b a 22+=*，则y x *2所表示的代数式分解因式的结果是什么？ 10.给出三个整式ab b a 2,22和。（1）当17b 3,1==a 时，求222b ab a ++的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。 11.观察下列等式：（1）531422?=-；（2）732522?=-；（3）933622?=-；（4）1134722?=-；……则第n （n 是正整数）个等式为 。 12.⑴已知的值求2233,1,2b a ab b a +=-=+； ⑵已知()()的值求xy y x y x ,5,922=-=+；⑶已知2,72==+ab b a ，求()2 2b a -的值.
初二数学人教版因式分解_讲义
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
因式分解和分式方程章节测试卷
数学周考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1．下列因式分解中，正确的是（） A C ． D． 2） A．2个 B．3．4个 D．5个 3．若关于m的取值范围是（） A、 B、 C、且 D、且 4） A、0 C、1 D 5x的取值范围是（） A、 B、且 C、 D、且. 6．已知x+，那么的值是（） A．1 B．﹣1 C．±1 D．4 7．下列各式变形正确的是（） A C 8．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共人，则所列方程为（） A 9．A、B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（） A．﹣=40 B．﹣=2.4 C．﹣2=+ D．+2=﹣ 10 x 2 x≠ 且 1 x≥ 1 x＞ 2 x≠ 1 x≤ 1 x≥ 1 m≠ 1 m≥- 1 m≠ 1 m>- 1 m≥ 1 m>- x )3 )( 2 ( 6 5 2- - = - -x x x x 2 2 2) (y x y x- = -
11．当______ 0； 12 _______个； 13有增根，则它的增根是 ，m= ； 14．已知m=2n≠0，则 +﹣= ． 15．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时。现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做。完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x 小时，则所列的方程为 。 三、解答题（55分） 16．解方程(8分) （1） （2） 17．先化简，其中x 的整数解．（6分） x =
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案 一、教学内容及授课目的 §教学内容：（1）整式的加减（2）整式的乘法（3）乘法公式与整式的除法 （4）因式分解 ◆教学目标：（1）掌握单项式与多项式的加减，并能够熟练对整式进行化简； （2）熟练运用整式的乘除法公式，掌握整式乘除法的运算步骤 （3）正确理解因式分解的意义，熟练十字相乘法的应用，能够将其应用在因式分解中。 ◆重难点：1.整式的乘除法与公式的应用 2．用十字相乘等方法将题目进行因式分解 二、授课提纲 整式的乘除： 1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a 2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：________3=?a a ；________32=??a a a 3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a = 4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：10=a 例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 7、单项式除法法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 8、单项式与多项式相乘的乘法法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加. 10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项除以这个单项式，再把所得的商相加. ()x x xy ÷+56；()()a ab a 4482-÷- 11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 例如：（4a －1）（4a+1）=___________；（3a －2b ）（2b+3a ） =___________； ()()11-+mn mn =；=--+-)3)(3(x x ；
因式分解分式数的开方
二、因式分解、分式、数的开方 陈文华吴中区浦庄中学 【课标要求】 （1）会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）、十字相乘法进行因式分解（指数是正整数）．（2）了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算． （3）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根． （4）了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根． （5）了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，要求掌握分母为一项或两项的无理式的分母有理化，会用它们进行有关实数的简单四则运算． 【课时分布】 因式分解、分式、数的开方本单元在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试．下表为 【
2、基础知识（教材相应章节重要内容整理） （1）因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式． （2）因式分解的方法： ①提公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++； ②公式法：22222)(2),)((b a b ab a b a b a b a ±=+±-+=-；))((2233b ab a b a b a +±=± ； ③十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++； ))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++， （21a a ≠０）． ④分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解． （3）分式的概念：形如B A （A 、 B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的代数式叫做分式．分式有意义的条件是分母不等于零；分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． （4）分式的基本性质： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不为零的整式）． （5）分式的运算与分数的运算相仿． （6）平方根与算术平方根的概念：如果)0(2≥=a a x ，那么a x 叫做的平方根，记作 )0(≥±=a a x ，其中a )0(≥a 叫做a 的算术平方根． （7）立方根的概念：如果，a x =3那么x 叫做a 的立方根，记为3a x = （8）二次根式概念：形如a )0(≥a 的式子叫二次根式． （9）最简二次根式：满足下列两个条件，被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． （10）同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （11）相关性质：)0,0(|;|);0()();0(022≥≥==≥=≥≥b a b a ab a a a a a a a ；)0,0(>≥=b a b a b a ． （12）二次根式的运算：①加、减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式．②乘、除运算：是积、商性质的逆向应用．运算结果中每一个二次根式都应是最简二次根式． 3、能力要求 例1 在二次根式①12，②32，③ 3 2，④327中与是同类二次根式的是 （ ）．
(分式因式分解)
1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+- C 、()24545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ? ?--=-- ?? ? 2、下面各分式： 44 16121222 222+-+---++-x x x x x y x y x x x x ，，，，其中最简分式有（ ）个。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3、 如果m 为整数，那么使分式 1 3 ++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 4、已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的边长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm - 5、下面各式，正确的是（ ） A. 32 6 x x x = B. b a c b c a =++ C. 1=++b a b a D. 0=--b a b a 6、已知1=ab ，则? ?? ??+??? ? ? -b b a a 11的值为（ ） A. 2 2a B. 2 2b C. 2 2a b - D. 2 2b a - 7、下列各式的分解因式：①()()2210025105105p q q q -=+- ②()()22422m n m n m n --=-+-③()()2632x x x -=+-④2 21142x x x ? ?--+=-- ???其中正 确的个数有( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A 、()()4x y y x xy +-- B 、2224a ab b -+ C 、2144 m m -+ D 、()2 221a b a b ---+ 9、若多项式()281n x -能分解成()()()2 49 2323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 10、如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个 边长为b 的小正方形(a >b )，把余下的部分 剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图 形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则 这个等式是( ) A 、()()2222a b a b a ab b +-=+- B 、()2 222a b a ab b +=++ C 、()2 222a b a ab b -=-+ D 、()()22a b a b a b -=+- 11、对于分式39 2+-x x ，当x__________时，分式无意义；当x_________时，分式的值为0； 12、若 5 9 22=-+b a b a ，则a ：b =__________； 13、已知13a a -= ，那么221 a a +=_________ ； 14、若分式732 -x x 的值为负数，则x 的取值范围为_______________； 15、221.229 1.334?-?=__________； 16、若26x x k -+是x 的完全平方式，则k =__________。 17、若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________。 18、若5,6x y xy -==则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。 19、若()2 22,8x y z x y z ++=-+=时，x y z --=__________。 ① ②