双曲线的渐近线和离心率,数学(理科)
双 曲 线
题型一 双曲线的渐近线问题
例1 ( ·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±1
4
x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±1
2
x
D ．y ＝±x
题型二 双曲线的离心率问题
例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线
交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →
＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3
题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题
例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →
.若双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹
没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 练习：
1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1
的离心率为( ) A ．2或23
3
B.6或
23
3
C ．2或 3
D.3或 6
2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂
线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3
C ．2
D ．3
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为
圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
4
＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 23－y 2
6
＝1
D.x 26－y 2
3
＝1 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使
a
sin ∠PF 1F 2＝
c
sin ∠PF 2F 1
，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．(1，2＋1)
B ．(1，3)
C ．(3，＋∞)
D ．(2＋1，＋∞)
5．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
3，则椭圆和
双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433
B.233
C ．3
D ．2
6．(2014·山东)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，C 1与C 2的离心率
之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0
B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．
8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2
＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支
于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．
9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若
点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
10．( ·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，
且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．
11．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直
线PM ，PN 的斜率之积为1
5
.
(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →
，求λ的值．
12．(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x
轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3
2相交于点N .证明：
当点P 在C 上移动时，|MF |
|NF |
恒为定值，并求此定值．
连接高考： 一、选择题 1.（
2湖北高考文科2Ｔ2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22
221sin cos x y θθ
-=与2C ：
22
2
21cos sin y x θθ
-=的( )
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
2.（ 2福建高考理科2Ｔ3）双曲线14
22
=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（
）
A. 52
B.54
C.
5
52 D.5
54
3.( 2福建高考文科2T4)双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) A ．12
B ．
2
2
C ．1
D ．2
4. （ 2新课标Ⅰ高考文科2Ｔ4）与（ 2新课标Ⅰ高考理科2Ｔ4）相同
已知双曲线C ：122
22=-b
y a x 错误！未找到引用源。 = 1（a>0,b>0）的离心率为错误！
未找到引用源。，则C 的渐近线方程为( )
A.y=±错误！未找到引用源。x
B.y=±错误！未找到引用源。x
C.y=
±错误！未找到引用源。x D.y=±x
5.( 2天津高考理科2T5)已知双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线y 2=2p x(p >0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 的面积为错误！未找到引用源。,则p = ( ) A.1 B. 3
2
C.2
D.3
6. （ 2湖北高考理科2Ｔ5）已知0＜θ＜4π，则双曲线C 1:1sin cos 22
22
=-θ
θy x 与C 2:
1tan sin sin 222
22
=-θ
θθx y 的（ ） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
7.（ 2北京高考理科2Ｔ6）若双曲线22
221x y a b
-=的离心率为3，则其渐近线方程
为（ ）
A.y =±2x
B.y =2x ±
C.12
y x =± D.22
y x =±
8.（ 2北京高考文科2Ｔ7）双曲线2
2
1y x m
-=的离心率大于2的充分必要条件（ ）
A.m ＞12
B.m ≥1
C.m>1
D.m ＞2
9.（ 2广东高考理科2Ｔ7）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于3
2
，则C 的方程是（ ）
A ．22145x y -=
B ．22145x y -=
C ．22125x y -=
D ．22
125
x y -=
10.( 2浙江高考文科2T9) 与( 2浙江高考理科2T9)相同
如图,F 1,F 2是椭圆C 1: x 24+y 2
=1与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2是矩形,则C 2的离心率是 ( )
A 、
2 B 、
3 C 、32 D 、
6
2
二、填空题
11. ( 2江苏高考数学科2T3)双曲线19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为 .
12. （ 2天津高考文科2Ｔ11）已知抛物线
28y x
=的准线过双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 . 13. （ 2陕西高考理科2Ｔ11）双曲线22
116x y m
-=的离心率为5
4, 则m 等于 .
14. （ 2陕西高考文科2Ｔ11）双曲线22
1169x y -=的离心率为
.
15. （ 2湖南高考文科2Ｔ14）设F 1，F 2是双曲线C ：22
221a x y b
-= (a>0,b>0)的两
个焦点。若在C 上存在一点P 。使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_____
16. （ 2湖南高考理科2Ｔ14）设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦
点，P 是C 上一点，若,621a PF PF =+且12PF F ?的最小内角为30 ，则C 的离心率为
17. （ 2辽宁高考文科2Ｔ15）已知F 为双曲线:C 22
1916
x y -=的左焦点，,P Q 为C
上的点．若PQ 的长等于虚轴长的２倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长
双曲线离心率常见求法整理归纳
1 双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a => ，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43 y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -= (a >)的两条渐近线的夹角为3 π,则双曲线的离心率为 . 3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 4．设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ?是直角三角形，则双曲线的离心率=e . 5．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 . 6．设1a >，则双曲线22 221(1) x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 . 8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 . 10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．
方法二、构造,a c 的齐次式，解出e 1．过双曲线22 221x y a b -=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________． 2．设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________． 3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________． 方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 1．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 2．双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________． 3．设12,F F 分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________． 4．双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________． 5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ?是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
双曲线离心率求解的基本方法
双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 四、利用均值不等式 例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，| PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围 例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4 332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。 九、利用双曲线性质 例9.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是
离心率及范围计算
1．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ， 2F ，过2F 的直线 与椭圆交于A ，B 两点，若1F AB ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. 63- B. 23- C. 52- D. 2 2 【答案】A 2．椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分 别为12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________． 【答案】 14 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上的一 点，若， ，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 4．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，以线 段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若 122MF MF b -=，该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ） A. 2 B. 212 C. 322+51 + 【答案】D
5．已知F 1,F 2是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且 ，线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的 面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】由题意设 与四边形 的面积之比为 与 的面 积 之 比 为 又 ，即 将 和 代入椭圆方程得 即 解得 故选 C 6．若12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点， O 为坐标原点， 点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足1 FO PM =， 11OF OM OP OF OM λ?? ?=+ ??? (0)λ>，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
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今天我们研究共轭双曲线的性质。以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫 做原双曲线的共轭双曲线。将双曲线22 221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22 221-=y x b a ,这两个双曲线就是互相共轭的双曲线。互为共轭的一对双曲线方程合起来可写为22 22 1-=±x y a b 。共轭双曲线的主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。 先看例题： 例：双曲线22 1364 -=x y 的共轭双曲线的方程是( )，它们的四个焦点都在圆( )上。 解：将双曲线221364=x y 的实、虚轴互易，所得共轭双曲线方程为：22 1436 -=y x ； 双曲线22 1364 =x y 的焦点4040（,0）,（-,0）; 双曲线22 1436 -=y x 的焦点4040（0,）,（0,-）; 四个焦点都在圆22 40+=x y 上。 归纳整理： 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，称为其共轭双曲线。 性质： 互为共轭的一对双曲线22221x y a b =与双曲线22 221-=y x b a ，
它们有共同的渐近线， 它们的四个焦点共圆， 它们的离心率的倒数的平方和等于1。 再看一个例题，加深印象 例：两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：2212 11e e +=1. 证明：双曲线22221x y a b -=的离心率222 21122c c a b e e a a a +=?==； 双曲线22 221-=y x b a 的离心率22222222c c a b e e b b b +=?==. ∴22 22222212111a b e e a b a b +=+=++. 总结： 1.双曲线22221x y a b -=与双曲线22 221-=y x b a 互为共轭。 2.互为共轭的双曲线主要性质有： 它们有共同的渐近线， 它们的四个焦点共圆， 它们的离心率的倒数的平方和等于1。 练习： 1. 双曲线的离心率为2，则共轭双曲线的离心率为（）， 2.双曲线22 11625 -=x y 的共轭双曲线的渐近线方程是( )。 3．双曲线122 22=-b y a x 的共轭双曲线的准线方程是（）
椭圆、双曲线离心率难题专题
椭圆、双曲线离心率难题专题 1. （2018学年杭高高三开学考15）已知1F ，2F 分别是椭圆()22 22133 x y a a +=>的左右焦点，A 是椭圆上 一动点，圆C 与1F A 的延长线以及线段2AF 相切，若()2,0M 为一切点，则椭圆的离心率为 ． 2. （2018学年杭十四中4月月考2）已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y ，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 3. （2018学年浙江名校协作体高三上开学考2）双曲线2 213 x y -=的焦距为（ ） A ．2 B ． C ． D ．4 4. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考12）已知直线l 为双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的一条 渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 ，离心率e 的值为 ． 5. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考3）已知双曲线2 221y x a -=的一条渐近线方程为y =， 则该双曲线的离心率是（ ） A ． 3 B C ．2 D 6. （2019届超级全能生2月模拟16）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆
上点P 满足122PF PF =，射线PM 平分12F PF ∠，过坐标原点O 作PM 的平行线交1PF 于点Q ，且 121 4PQ F F =，则椭圆的离心率是 ． 7. （2019届慈溪中学5月模拟6）若椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点 的 曲线，且都过点B ，它们的离心率分别是1e ，2e ，则2212 11 e e +=（ ） A ． 32 B ．2 C ．3 D ． 52 8. （2019届杭二仿真考16）存在第一象限的点()00,M x y 在椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点,02c ?? ??? （c 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取 值范围是 ． 9. （2019届杭州4月模拟10）已知椭圆()22 22:10x y a b a b Γ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点， 以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ ，则a 的取值范围为（ ） A ．( B ．? C ．? ?? D ．? ?? 10. （2019届湖州三校4月模拟17）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个顶点()(),0,0,A a B b ，过,A B 分别作AB 的垂线交该椭圆于不同的顶点C ，D 两点，若23BD AC =，则椭圆的离心率是 ． 11. （2019届稽阳联谊4月模拟16）已知,C F 分别是椭圆22 22:1x y a b Γ+=的左顶点和左焦点，,A B 是椭圆 的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若2CD DB =u u u r u u u r ，则椭圆Γ的离心率为 ．
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率 离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。 1、求离心率的值 （1）利用离心率公式a c e =，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a b ，再求出e 值。 例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3 4=，则双曲线的离心率为__________. 分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3 4=a b 解答：由已知可得3 4=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e . （3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+?=-+e e a ac c 例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。 解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--?-=?=?-=-?e e a c c a b c b a b 所以2 15+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围 求离心率的取值范围关键是建立不等关系。 （1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。 例3 若双曲线22 221x y a b -=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________. 分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=?>>?>>a b e a b b a
双曲线方程知识点总结_公式总结
双曲线方程知识点总结_公式总结 双曲线方程 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程： . ⑴①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或. ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为 如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑴直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
求离心率的取值范围方法总结
求离心率的取值范围 求离心率的取值范围 椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离 心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P， 使，求离心率e的取值范围。 例2．已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA， 求椭圆的离心率e的取值范围。二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例1．已知 12 、 F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（） Ａ．(0,1)Ｂ． 1 (0,] 2 Ｃ． Ｄ． 例2．直线L 过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。 例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。 例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )． A ． 2 ? ? ?? B ． 2 ? ?? ?? C ． ? +∞?? ?? D ． ? +∞?? ?? 例5.过双曲线的左焦点 1 F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得0 90 ACB ∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________
2012年数学一轮复习试题 双曲线
第四十一讲 双曲线 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 62 C.63 D.33 解析：由图易知：c b ＝tan60°＝3， 不妨设c ＝3，b ＝1，则a ＝ 2. ∴e ＝c a ＝32 ＝ 6 2 .故选B. 答案：B 2．已知双曲线9y 2－m 2x 2 ＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15 ，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：9y 2－m 2x 2 ＝1(m >0)?a ＝13，b ＝1m ，取顶点? ????0，13，一条渐近线为mx －3y ＝0， ∵15＝|－3×1 3| m 2 ＋9?m 2 ＋9＝25，∴m ＝4，故选D. 答案：D 3．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且 满足12120,||||2,MF MF MF MF == 则该双曲线的方程是( ) A.x 2 9－y 2＝1 B ．x 2 －y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 2 3 ＝1 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1，且M 为右支上一点， 由已知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴221212||||2||||MF MF MF MF +- ＝4a 2 .
又∵12120,.MF MF MF MF =∴⊥ ∴4c 2－4＝4a 2，即b 2＝1. 又∵c ＝10，∴a 2 ＝9.∴双曲线方程为x 2 9－y 2 ＝1，故选A. 答案：A 4．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几 个说法： ①双曲线x 2 － 2y 2 5＋1 ＝1是黄金双曲线； ②若b 2 ＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( ) A ．①② B．①③ C ．①③④ D．①②③④ 解析：①e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋ 5＋1 2 ＝5＋32＝5＋1 2 ，双曲线是黄金双曲线． ②由b 2 ＝ac ，可得c 2 －a 2 ＝ac ，两边同除以a 2 ，即e 2 －e －1＝0，从而e ＝5＋1 2 ，双曲线是黄金双曲线． ③|F 1B 1|2＝b 2＋c 2，|A 2B 1|2＝b 2＋a 2，|F 1A 2|2＝(a ＋c )2，注意到∠F 1B 1A 2＝90°，所以b 2 ＋c 2 ＋b 2 ＋a 2 ＝(a ＋c )2 ，即b 2 ＝ac ，由②可知双曲线为黄金双曲线． ④∵|MN |＝2b 2a ，由射影定理知|OF 2|2＝|MF 2|·|F 2N |，即c 2＝b 4 a 2，从而b 2 ＝ac ，由②可 知双曲线为黄金双曲线． 答案：D 5．过双曲线x 2 －y 2 ＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( ) A ．28 B ．14－8 2 C ．14＋8 2 D ．8 2
椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法[2]
椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法 一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立） 例1：双曲线()2 222y x 1a 0,b 0a b -=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 【解析】12PF 2PF =，12PF PF 2a -=，1212PF PF FF +≥（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立） c 6a 2c e 3,e 1a ∴≥?= ≤>又(]e 1,3∴∈,选B 例2、如果椭圆()2 222y x 1a b 0a b +=>>上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦 点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A ．(0,21]- B ． [21,1) - C ．(0,31]- D ．[31,1)- [解析]设2PF m =，由题意及椭圆第二定义可知1PF me =122a PF PF m(e 1)2a m e 1 ∴+=+=?= + 2112PF PF F F -≤Q （当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）m me 2c ∴-≤，把2a m e 1 = +代入化简可得 ()2a 1e 2c e 1 -≤+2e 2e 10e 21?+-≥?≥-又e 1<) e 21,1?∴∈-?,选B 二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系 例1：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =， 则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞ 【解析】设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 点在右顶点处θπ=， 222(2)4cos 254cos 2m m m c e a θθ+-===-．11,(1,3]e θ-≤<∴∈Q ． 三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系 例1：双曲线()2 222y x 1a 0,b 0a b -=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 解：12PF PF 2a -=Q ,2PF 2a ∴=,即在双曲线右支上恒存在点P 使得2PF 2a =可知 222AF PF ,OF OA c a 2a ≤∴-=-≤，c c 3a e 3a ∴≤?= ≤又e 1>(]e 1,3∴∈,选B 例2．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线右支上一 点，P 到右准线的距离为d ，若d 、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。 解：由题意得因为，所以，从而 ，
一题多解求双曲线的离心率
一、典例分析，融合贯通 典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线 )>,>(=:00122 22b a b y －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为 【解法1】直接法 由题意c 2=BC ，所以3c =AB ， 于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得14922 22=b c －a c ， 在由2 c b a =+22得E 的离心率为 2== a c e . 【点睛之笔】直接代入，少走弯路！ 【解法2】通径法 易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以2 2b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222 c a b =+得离心率e 2=或 1 e 2=- （舍去），所以离心率为 2.e = 【点睛之笔】通径法，此径通幽！ 【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！ 【解后反思】 解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！ 解法2：利用通径，减少计算量！ 解法3：利用数形结合法，以形助数！
典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线12222=-b y a x (a ＞0, b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该 双曲线的离心率等于（ ） A.3 C.5 D.6 【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！ 【解法2】导数法 设切点00(,)P x y '2,y x = ∴切线斜率02b k x a == ∴02b x a =
∴ 2 002 2 , 2 1, 2 b b y x a a b y a ? == ? ? ? ?? ?=+ ? ??? ? 22 4 b a ∴= . ∴又2222222 ,45 c a b c a a a =+∴=+= 5 c e a ∴==，故选C. 【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！ 【解后反思】 解法1:设而不求法，再也不求人！ 解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！ 3.典例3双曲线1 2 2 2 2 = - b y a x 的离心率为e1,双曲线1 2 2 2 2 = - a x b y 的离心率为e2, 则= + 2 2 2 1 1 1 e e _________, e1+e2的最小值为______. e1·e2的最小值为______ . 由双曲线离心率定义知： b b a e a b a e 2 2 2 2 2 1 , + = + = , 故有 22 12 11 1 e e +=. 【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！ 【解法2】换元法
(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨 迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系
（二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线 过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线 围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】 1.e＝c a ＝1－ b2 a2 (0
22 22 1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ） 1 3 （B ） 12 （C ） 23 （D ） 34 例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直 线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5， 则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ???0， 32 B.????0，34 C.??? ?3 2，1 D.???? 34，1 例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与 C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点 D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】 1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆 上，则椭圆的离心率是________． 2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2 n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A. 33 B.22 C.14 D.1 2 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使 a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 ，则椭圆的离心率的取值范围为______． 4.过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条 渐近线交于点B ，若FB →＝2F A → ，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．
高中数学破题致胜方法构造齐次方程求双曲线的离心率
今天我们研究构造齐次方程求双曲线的离心率。双曲线的几何性质中，离心率问题是重点。根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 先看例题： 例：已知1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2 c -，由焦半径公式a ex PF p --=1， 即a c a c c -??? ??-?-=2，得0222=-?? ? ??-??? ??a c a c ，解得 31+==a c e （31-舍去），故选D 整理：
用齐次方程的方法求双曲线的离心率： 列出关于a ，b ，c 的方程， 222b c a -＝消去b 转化成关于e 的齐次方程求解. 再看一个例题，加深印象： 例：设双曲线122 22=-b y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 4 3，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得 c b a ab 432 2=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得() 4222316c a c a =-，整理得 01616324=+-e e ， 得42=e 或342 =e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A 总结： 1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系.
82 双曲线
§8.2 双曲线 班级 姓名 学号 例1：求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： （1）经过两点（3,72），（26,7--） （2）双曲线过点（3，92），离心率3 10=e 例2：求与双曲线116 92 2=-y x 有共同渐近线，并且经过点 （－3，32）的双曲线方程。 例3：已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点A （1，0）和B （－1，0），P 是双曲线上民于A 、B 的任一点，如果△APB 的垂心H 总在双曲线上，求双曲线的标准方程。 例4：设P 是双曲线112 42 2=-y x 右分支上任意一点，F 1，F 2分 别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β（如图）， 求证2tan 2tan 3βα= 【备用题】 如图，已知梯形ABCD ，|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所 成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当 4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 【基础训练】 1、实轴长是2a 的双曲线，其焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，若|AB|=m ，则△ABF 2的周长是： （ ） A 、4a B 、4a －m C 、4a+2m D 、4a －2m 2、如果双曲线136 642 2=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是： A 、10 B 、7732 C 、72 D 、5 32 （ ） 3、“ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的： A 、必要条件但不是充分条件 B 、充分条件但不是必要条件 C 、充分必要条件 D 、既不是充分条件，又不是必要条件 4、设双曲线122 22=-b y a x ，（0 椭圆和双曲线的离心率的求值及围求解问题【重点知识温馨提示】 1.e＝c a ＝1－ b2 a2 (0 22 22 1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ） 1 3 （B ） 12 （C ） 23 （D ） 34 例3 (2015·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ： 3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆 E 的离心率的取值围是( ) A.? ???0， 32 B.????0，34 C.??? ?3 2，1 D.???? 34，1 例4.(2014·)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】 1. (2015·)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上， 则椭圆的离心率是________． 2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2 n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A. 33 B.22 C.14 D.1 2 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使 a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 ，则椭圆的离心率的取值围为______． 4.过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条 渐近线交于点B ，若FB →＝2F A → ，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5.(2015·)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于 点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 【例1】若椭圆 ()012 2 n m n y m x =+ 与双曲线 2 2 1x y a b - =)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点， 则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ） A. a m - B. ()a m -2 1 C. 2 2 a m - D. a m - ()121PF PF ∴+= 双曲线的实半轴为 ()122PF PF ∴-=± () ()()2 2 12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线 127 9 2 2 =- y x 与点M （5，3） ，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF 2 1+ 最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的 12 是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32 l x = ：.作M N l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122 P F e P N P N P N P F ==?= .此时 PM 13752 25 P F P M P N M N + =+==- =为最小. 在127 9 2 2 =- y x 中，令3y =，得2 12x x x =?=±∴ 0，取x =所求P 点的坐标为（）. （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 2 1± =的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为 ()2 2 14 x y k -= 点（1，3）代入：13594 4 k = -=- .代入（1）： 2 2 2 2 35414 4 35 35 x y x y -=- ? - =即为所求. 【评注】在双曲线 222 2 1x y a b - =中，令 222 2 00x y x y a b a b - =? ± =即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为 222 2 x y k a b - =，而无须考虑其实、虚轴的位置. X Y O F (6,0)M (5,3)P N P ′ N ′X = 3 2椭圆和双曲线的离心率的求值与范围问题
双曲线典型例题