双曲线离心率求解的基本方法
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双曲线离心率的求法
一、利用双曲线定义
例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于
二、利用平面几何性质
例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
三、利用数形结合
例3 （同例2）
四、利用均值不等式
例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，|
PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围
例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4
332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。
六、利用直线与双曲线的位置关系
例6 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、利用点与双曲线的位置关系
例7 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、利用非负数性质
例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。
九、利用双曲线性质
例9.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是
双曲线离心率求解的基本方法
双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 四、利用均值不等式 例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，| PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围 例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4 332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。 九、利用双曲线性质 例9.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是
离心率的五种求法专题
离心率的求法 椭圆的离心率10<
双曲线离心率常见求法整理归纳
1 双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a => ，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43 y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -= (a >)的两条渐近线的夹角为3 π,则双曲线的离心率为 . 3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 4．设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ?是直角三角形，则双曲线的离心率=e . 5．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 . 6．设1a >，则双曲线22 221(1) x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 . 8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 . 10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．
方法二、构造,a c 的齐次式，解出e 1．过双曲线22 221x y a b -=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________． 2．设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________． 3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________． 方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 1．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 2．双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________． 3．设12,F F 分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________． 4．双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________． 5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ?是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率 离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。 1、求离心率的值 （1）利用离心率公式a c e =，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a b ，再求出e 值。 例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3 4=，则双曲线的离心率为__________. 分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3 4=a b 解答：由已知可得3 4=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e . （3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+?=-+e e a ac c 例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。 解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--?-=?=?-=-?e e a c c a b c b a b 所以2 15+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围 求离心率的取值范围关键是建立不等关系。 （1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。 例3 若双曲线22 221x y a b -=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________. 分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=?>>?>>a b e a b b a
一题多解求双曲线的离心率
一、典例分析，融合贯通 典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线 )>,>(=:00122 22b a b y －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为 【解法1】直接法 由题意c 2=BC ，所以3c =AB ， 于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得14922 22=b c －a c ， 在由2 c b a =+22得E 的离心率为 2== a c e . 【点睛之笔】直接代入，少走弯路！ 【解法2】通径法 易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以2 2b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222 c a b =+得离心率e 2=或 1 e 2=- （舍去），所以离心率为 2.e = 【点睛之笔】通径法，此径通幽！ 【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！ 【解后反思】 解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！ 解法2：利用通径，减少计算量！ 解法3：利用数形结合法，以形助数！
典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线12222=-b y a x (a ＞0, b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该 双曲线的离心率等于（ ） A.3 C.5 D.6 【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！ 【解法2】导数法 设切点00(,)P x y '2,y x = ∴切线斜率02b k x a == ∴02b x a =
∴ 2 002 2 , 2 1, 2 b b y x a a b y a ? == ? ? ? ?? ?=+ ? ??? ? 22 4 b a ∴= . ∴又2222222 ,45 c a b c a a a =+∴=+= 5 c e a ∴==，故选C. 【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！ 【解后反思】 解法1:设而不求法，再也不求人！ 解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！ 3.典例3双曲线1 2 2 2 2 = - b y a x 的离心率为e1,双曲线1 2 2 2 2 = - a x b y 的离心率为e2, 则= + 2 2 2 1 1 1 e e _________, e1+e2的最小值为______. e1·e2的最小值为______ . 由双曲线离心率定义知： b b a e a b a e 2 2 2 2 2 1 , + = + = , 故有 22 12 11 1 e e +=. 【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！ 【解法2】换元法
高中数学破题致胜方法构造齐次方程求双曲线的离心率
今天我们研究构造齐次方程求双曲线的离心率。双曲线的几何性质中，离心率问题是重点。根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 先看例题： 例：已知1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2 c -，由焦半径公式a ex PF p --=1， 即a c a c c -??? ??-?-=2，得0222=-?? ? ??-??? ??a c a c ，解得 31+==a c e （31-舍去），故选D 整理：
用齐次方程的方法求双曲线的离心率： 列出关于a ，b ，c 的方程， 222b c a -＝消去b 转化成关于e 的齐次方程求解. 再看一个例题，加深印象： 例：设双曲线122 22=-b y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 4 3，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得 c b a ab 432 2=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得() 4222316c a c a =-，整理得 01616324=+-e e ， 得42=e 或342 =e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A 总结： 1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系.
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题 【重点知识温馨提示】 1.e ＝c a ＝ 1－ b2a2(0
离心率的求法总结[精]
圆锥曲线中的离心率问题 离心率两大考点：求值、求范围 求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 2. 几何法 3. 与其它知识点结合 、不等关系求解. 求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解 2. 运用数形结合建立a c 3. 利用曲线的范围，建立不等关系 4. 运用函数思想求解离心率 5. 运用判别式建立不等关系求解离心率 一、求离心率的值 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．
题2：已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为 6 2 题3：设双曲线()222200x y a b a b －＝1＞，＞的渐近线与抛物线2 1y ＝x ＋ 相切，则该双曲线的离心率等于（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 解：由题双曲线()22 2200x y a b a b －＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程 整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即 5522=?=e a c ，故选择C 。 题4：(2009浙江理) 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）10 2. 几何法 题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是
(新)高中数学双曲线离心率求法专题
双曲线离心率求法 一、双曲线离心率的求解 1、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在双曲线中，a c e =>1，c e a ===== 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为 2．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 3．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为 4．已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为__________ 5．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是__________ 6．设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ?是直角三角形，则双曲线的离心率=e ________. 7．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 8．设1a >，则双曲线22 221(1) x y a a -=+的离心率e 的取值范围是__________. 9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o ，则双曲线C 的离心率为________ 10．已知双曲线的渐近线方程为125 y x =±，则双曲线的离心率为_________ 2、构造a c ，的齐次式，解出e 。 1．已知双曲线22 221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是准线上一点，且P F 1⊥P F 2， ｜P F 1｜?｜P F 2 ｜＝4ab ，则双曲线的离心率是_______ 2．过双曲线22 221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
高中数学双曲线离心率求解的基本方法
努力成就未来，综合文档 双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 四、利用均值不等式 例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，| PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围 例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4 332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。 九、利用双曲线性质 例9.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是
双曲线离心率求解的基本方法
精品文档 双曲线离心率的求法 、利用双曲线定义 例1.已知椭圆E 上存在点P ,在P 与椭圆E 的两个焦点F 、F 2构成的△ FPF 2中, sin. PF 1F 2 : si n. FfF 2:si n. PF 2F 1 ^7 :10 :11.则椭圆 E 的离心率等于 ________ 二、利用平面几何性质 2 2 例2 设点P 在双曲线 冷-爲=1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两 a b 焦点F 、F 2, I PF I=4| PF 2 I ,求双曲线离心率的取值范围。 三、 利用数形结合 例3 (同例2) 四、 利用均值不等式 2 2 务一笃_1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两焦 a b 六、 利用直线与双曲线的位置关系 2 X 2 例6已知双曲线—-y = 1(a . 0)与直线I : x ? y = 1交于P 、Q a 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、 利用点与双曲线的位置关系 2 例7已知双曲线■X 〒一 y 2 = 1(a > 0)上存在p 、Q 两点关于直线 a x - 2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、 利用非负数性质 2 2 例8已知过双曲线 务-花-1(a ■ 0,b . 0)左焦点R ,的直线I 交 a b 双曲线于 P Q 两点，且OP_OQ ( O 为原点)，求双曲线离心率的取值范围。 九、 利用双曲线性质 2 2 例9.已知双曲线务-首-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F i (-c,0), F 2(C ,0) ?若双曲 a b 线上存在点P 使si n PF i F 2朋，则该双曲线的离心率的取值范围是 __________________________ sin /PF 2F 1 c 精品文档 例4已知点P 在双曲线 点为斤、F 2 , |一丄最小值是8a ,求双曲线离心率的取值范围。 |PF 2| 五、利用已知参数的范围 例5已知梯形ABCD 中, |AB | = 2|CD |，点E 分有向线 段AC 所成的比为，，双曲线过 C 、D E 三点，且以 A B 为焦点，当 <3 - 4 <- 求双曲线离心率的取值范围。 D y
双曲线的离心率
双曲线的离心率 1．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为43 y x =，则双曲线的离心率为（ ） 2．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） 3．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆2 224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r ，则双曲线的离心率为（ ） 4．若点(2,0)P 到双曲线22 221x y a b -=(0,0)a b >>，则该双曲线的离心率为（ ） 5．已知12,F F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以点1F 为直角顶点作等腰直角三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 6．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ?为等边三角形，则双曲线的离心率为 7．当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的“伴生 8．已知点P 是双曲线()22 221,0,0x y a b a b -=>> 右支上一点， 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ? 的内心，若121212 IPF IPF IF F S S S ???=+成立，则双曲线的离心率为（ ） 9．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 为双曲线右支上的一点，1PF 与以2F 为圆心，2 OF 为半径的圆相切于点Q ，且Q 恰好是1PF 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） 10．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的渐近线与实轴的夹角为30o ，则双曲线的离心率为（ ） 11．已知A 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12PF F ?的重心，若1GA PF λ=u u u r u u u r ，则双曲线的离心率为
圆锥曲线离心率的求法总结
圆锥曲线离心率的求法总结 求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值. 1.（2016全国丙卷理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦 点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）. A. 13 B. 12 C. 2 3 D. 3 4 2.已知双曲线:E 22 221x y a b -=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______. 【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3, 2c c ?? ??? 在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b -=，再由2 c b a =+22得E 的离心率为 2c e a = =. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值
双曲线离心率求解的基本方法
1 双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 四、利用均值不等式 例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，| PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围 例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4 332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。 九、利用双曲线性质 例9.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜ ｜BO ｜④ e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜ BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正
三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e?
(完整word版)高中数学双曲线离心率求法专题
双曲线离心率求法 一、双曲线离心率的求解 1、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在双曲线中，a c e =>1，c e a ===== 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为 2．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 3．已知双曲线x 2a 2 － y 2 2 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π 3 ,则双曲线的离心率为 4．已知双曲线)0( 12 22>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为__________ 5．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1 的 中点在双曲线上，则双曲线的离心率是__________ 6．设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ?是 直角三角形，则双曲线的离心率=e ________. 7．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且 只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 8．设1a >，则双曲线22 22 1(1) x y a a -=+的离心率e 的取值范围是__________. 9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o ，则双曲线C 的离心率为________ 10．已知双曲线的渐近线方程为12 5 y x =± ，则双曲线的离心率为_________ 2、构造a c ，的齐次式，解出e 。 1．已知双曲线22 221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是准线上一点，且P F 1⊥P F 2， ｜P F 1｜?｜P F 2 ｜＝4ab ，则双曲线的离心率是_______ 2．过双曲线22 221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
双曲线的离心率的求法
双曲线的离心率的求法 1.设1F 、2F 分别是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得?=∠3021F PF ，?=∠12012F PF ，则双曲线的离心率为 （ ▲ ) A ．2 B ．3 C ．123+ D ．21 3+ 2.设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） 3.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ． [ ，+∞） B ． [2，+∞） C ． D ． （1，2] 4.已知 12,F F 是两个定点，点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点， 并且12PF PF ⊥，1e 和2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A ．2212114e e += B ．22124e e += C ．2212112e e += D ． 22122e e += 5.设12,F F 分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使 1290F AF ∠=，且123AF AF =，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．2 C ．2 D 6过双曲线的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ．若 ，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ．
离心率的五种求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
椭圆、双曲线地离心率取值范围求解方法
椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法 一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立） 例1：双曲线()2 222y x 1a 0,b 0a b -=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D .[)3,+∞ 【解析】12PF 2PF =，12PF PF 2a -=，1212PF PF FF +≥（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立） c 6a 2c e 3,e 1a ∴≥?= ≤>又(]e 1,3∴∈,选B 例2、如果椭圆()2 222y x 1a b 0a b +=>>上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆 的离心率的取值范围为 （ ）A ．(0,21]- B ．[21,1)- C ．(0,31]- D ．[31,1)- [解析]设2PF m =，由题意及椭圆第二定义可知1PF me =122a PF PF m(e 1)2a m e 1 ∴+=+=?= + 2112PF PF F F -≤Q （当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）m me 2c ∴-≤，把2a m e 1 = +代入化简可得()2a 1e 2c e 1 -≤+2e 2e 10e 21?+-≥?≥-又e 1<) e 21,1?∴∈-?,选B 二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系 例1：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且12 2PF PF =，则双曲线离 心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞ 【解析】设 2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 点在右顶点处θπ=， 222(2)4cos 254cos 2m m m c e a θθ+-===-．11,(1,3]e θ -≤<∴∈Q ． 三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系 例1：双曲线()2 222y x 1a 0,b 0a b -=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 解：12PF PF 2a -=Q ,2PF 2a ∴=,即在双曲线右支上恒存在点P 使得2PF 2a =可知 222AF PF ,OF OA c a 2a ≤∴-=-≤，c c 3a e 3a ∴≤?= ≤又e 1>(]e 1,3∴∈,选B 例2．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，P 到右准线的距离 为d ，若d 、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。 解：由题意得因为，所以，从而 ，
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