选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析(含详细答案)

选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析

知识点

一 定义和性质的应用

设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2

4

＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个

直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1|

|PF 2|

的值．

解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝ 5. 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. (1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20.

即?????

|PF 1|－|PF 2|＝103，

|PF 1|＋|PF 2|＝6，

解得|PF 1|＝

143，|PF 2|＝4

3

. 所以|PF 1||PF 2|＝72

.

(2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，

解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去)．

所以|PF 1||PF 2|＝2.

二 圆锥曲线的最值问题

已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 2

9

＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |

的最值．

解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA ′|=10.

如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．

所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.

又如图所示，

|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在

A ′

B 的延长线上时取等号．

所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210.

三 轨迹问题

抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程．

解 设直线AB ：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x ，y )，由题意F (0,1)，由?

???

?

y ＝kx －1x 2＝4y ，

可得x 2

－4kx ＋4＝0，

∴x 1＋x 2＝4k .

又AB 和RF 是平行四边形的对角线， ∴x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y ＋1.

而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝4k 2－2， ∴?

????

x ＝4k y ＝4k 2

－3，消去k 得x 2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2－16>0， ∴k >1或k <－1，∴x >4或x <－4.

∴顶点R 的轨迹方程为x 2＝4(y ＋3)，且|x |>4.

四 直线与圆锥曲线的位置关系

已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x 22

＋y 2

＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．

(1)当k ＝0,0

(2)⊥OB →

，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．

解 (1)把y ＝b 代入x 22

＋y 2

＝1，得x ＝±2－2b 2.

∴

∴S △AOB=

2

1× b

22·22122

b b +-= ，

当且仅当b 2 =2

1

，即b =2 时取等号．

∴△AOB 的面积S 的最大值为2

.

(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，

由 得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0，

∴x 1+x 2=-2

41kb

k

+，x 1·x 2= 222212b k -+. 又∵OA ⊥OB ，

∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)=0， 即x 1x 2+y 1y 2=0.

又x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2 +( k x 1+b)(k x 2+b) =(k 2+1)·x 1x 2+kb(x 1 + x 2) +b 2

=(k 2

+1) 222212b k -+-kb 2

41kb

k ++b 2 =222

322012b k k

--=+， ∴3b 2 = 2k 2+2.

又设原点O 到直线l 的距离为d ，

则

d =

=

=.

∴l

与以原点为圆心，以3

为半径的定圆相切， 该圆的方程为x 2 + y 2 =

3

2 高考分析

1．如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a >b >0)的一个焦点为F (1,0)，且过点(2,0)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ， (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．

解 方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b 2=a 2-c 2=3，

所以椭圆C 的方程为22

143

x y += (2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．

设A(m ，n)，则B(m ，-n)(n ≠0)，22

143

m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：n (x －1)－(m －1)y ＝0，

n (x －4)＋(m －4)y ＝0.

设M (x 0，y 0)，则有?????

n (x 0－1)－(m －1)y 0＝0， ②

n (x 0－4)＋(m －4)y 0＝0， ③

由②③得x 0＝5m －82m －5，y 0＝3n

2m －5.

由于x 20

4＋y 2

03＝(5m －8)24(2m －5)2＋3n 2(2m －5)2

＝(5m －8)2＋12n 24(2m －5)2＝(5m －8)2＋36－9m 24(2m －5)2

＝1.

所以点M 恒在椭圆C 上．

(ⅱ)设AM 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 2

3

＝1，

得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0.

设A (x 1，y 1)、M (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6t

3t 2＋4

，

y 1y 2＝－9

3t 2＋4，

|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2

－4y 1y 2＝43·3t 2＋3

3t 2＋4

.

令3t 2＋4＝λ (λ≥4)，则

|y 1－y 2|＝43·λ－1λ

＝4 3 －????1λ2＋1

λ ＝4 3 －????1λ－122＋1

4，

因为λ≥4,0<1λ≤14，所以当1λ＝1

4

，

即λ＝4，t ＝0时，|y 1－y 2|有最大值3，此时AM 过点F .

△AMN 的面积S △AMN ＝12|NF |·|y 1－y 2|有最大值9

2

.

方法二 同方法一．

(2)(ⅰ)由题意得F (1,0)、N (4,0)，

设A (m ，n )，则B (m ，－n ) (n ≠0)，m 24＋n 2

3

＝1.①

AF 与BN 的方程分别为n (x －1)－(m －1)y ＝0，② n (x －4)＋(m －4)y ＝0.③

由②③得：当x ≠52时，m ＝5x －82x －5，n ＝3y

2x －5.④

把④代入①，得x 24＋y 2

3

＝1 (y ≠0)．

当x ＝5

2时，由②③得?

??

3

2n －(m －1)y ＝0，－3

2

n ＋(m ＋4)y ＝0，

解得?

????

n ＝0，y ＝0，与n ≠0矛盾．所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 2

3＝1 (y ≠0)，即点M 恒在椭圆C

上．

随堂练习

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1

C ．－1020 D.10

2

答案 A

解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m

＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1

m ＝4，即－4m ＝4，

∴m ＝－1.

2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )

A ．4

B ．4或－4

C ．－2

D ．－2或2 答案 B

解析 由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p

2

，由抛

物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p

2

＋2＝4，

所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4.

3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±1

2

x ，则此双曲线的离

心率为( )

A.5

2 B. 5 C.5

2

D ．5 答案 B

解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2

b

2＝1(a >0，b >0)，

∴±a b ＝±1

2，∴b ＝2a ，

∴b 2

＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2， ∴c 2＝5a 2， ∴c 2a 2＝5.∴e ＝c

a

＝ 5. 4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 A

解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.

由x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 2

2＝4相减得

(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，

∴k AB ＝－1

2

.

∴弦所在的方程为y －1＝－1

2

(x －1)即x ＋2y －3＝0.

5．以x 24－y

212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )

A.x 216＋y 212＝1

B.x 212＋y 2

16＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 2

16＝1 答案 D

解析 方程可化为y 212－x 2

4

＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．

由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2

a

2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12

＝16－12＝4.

∴所求方程为x 24＋y 2

16

＝1.

6．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 C

解析 由于没有x 或y 的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.

7．双曲线x 24＋y 2

k

＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，0)

B ．(－12,0)

C ．(－3,0)

D ．(－60，－12) 答案 B

解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2

＝c 2a 2＝4－k 4

.

又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k

4

<4，

解得－12

8．双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，

则双曲线离心率的取值范围为( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．(3，＋∞)

D ．[3，＋∞) 答案 B

解析 由题意知在双曲线上存在一点P ， 使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．

又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，

即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .

∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ， ∴c ≤3a .

又∵c >a ，∴a

∴1

a

≤3，即1

9．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π

3

，则P 点坐标为

( )

A ．(2,3) B.????

455

，±

4155 C.????12

，±3

2 D ．(4，±83)

答案 B

解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 2

12

＝1 (x >0)得解．

10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( )

A.65

B.125

C.3

2 D ．

3 答案 D

解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ????1＋1625x 2

1＝412.

可得x 21＝254，取x 1＝5

2

，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32

.

11．过椭圆x 2a 2＋y

2b

2＝1(0

△ABF 2的最大面积是( )

A ．ab

B ．ac

C ．bc

D ．b 2 答案 C

解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2 ＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12

c ·2b ＝bc . 12．抛物线x 2＝ay (a <0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π

12

弧度的角速度按

逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 C

解析 由已知得准线方程为y ＝－a

4

，

∴P 点坐标为(0，－a

4

)．

设抛物线的切线l 1的方程为y ＝kx －a 4，由?????

y ＝kx －a 4x 2＝ay

，得x 2

－akx ＋a 24＝0，由题意得Δ

＝a 2k 2

－4×a 24

＝0，

解得k 2＝1，∴y ＝x －a

4，

∴∠MPN ＝π

4，∴π4π

12

＝3，∴t ＝3.

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则AB 的长为________．

答案 8

解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．则直线方程为y ＝x －1，由?

????

y 2＝4x ，y ＝x －1.得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1， |AB |＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(36－4)＝8.

14．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．

答案 x 2＋4y 2＝1

解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)由题意知 x 0＝x ，y 0＝2y ，∵P (x 0，y 0)在圆上，

有x 20＋y 2

0＝1，

∴x 2＋4y 2＝1.即为所求的轨迹方程．

15．F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，P 为抛物线上任意一点，以PF 为直径作圆，则该圆与y 轴的位置关系是__________．

答案 相切

解析 设P (x 0，y 0)，PF 中点为M ，

则M 到y 轴距离d ＝x 0＋

p 22＝1

2

|PF |.

16．椭圆x 225＋y

29

＝1上一点P 到两焦点的距离积为m ，则当m 最大时，点P 的坐标是

________．

答案 (0,3)或(0，－3)

解析 设椭圆的两焦点分别为F 1、F 2由椭圆定义知： |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：

m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2

)2

＝25.

当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． 即|PF 1|＝|PF 2|＝5，m 取最大值． 所以P 点为椭圆短轴的端点．

三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)

如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．

解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立坐标系，设P(x ，y)是曲线上的任意一点，

则A(-a,0)，B(a,0)，C(0，- b)，D(0，b)． 由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，

化简得：x 2

-y 2

= 22

2

a b -

即动点P 的轨迹方程为x 2

-y 2

=22

2

a b - .

18．(12分)k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．

解 当k <0时，曲线y 24－x 2

－8

k

＝1为焦点在y 轴的双曲线；

当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2；

当0

＋y 2

4＝1为焦点在x 轴的椭圆；

当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；

当k >2时，曲线y 24＋x 2

8

k

＝1为焦点在y 轴的椭圆．

19．(12分)已知椭圆x 29＋y 2

4

＝1及点D (2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，

求线段AB 中点M 的轨迹方程．

解 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得?

????

4x 21＋9y 21＝36， ①

4x 22＋9y 2

2＝36. ② ①－②，得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为M (x ，y )为AB 中点，所以x 1

＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .所以4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0.当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2

＝－4x

9y .又

y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，所以y －1x －2

＝－4x

9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.因为当x 1＝x 2时，中点M (2,0)

满足上述方程，所以点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.

20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB 的宽恰好为拱高CD 的4倍，若|AB |＝a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数的值．

解

以拱顶为原点，拱高所在的直线为y 轴建立坐标系，如图，点B 的坐标为(,)2

4a a -，

设抛物线方程为x 2=-2py (p>0)，将点B 的坐标代入得2()2a =-2p ·()4

a

-，解得p = 2a ，

所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(-0.8，y)代入抛物线方程得y=-0.64

a

，依题意点E 到拱

底AB 的距离为

4a -|y| =4a -0.64a

≥3，解得a ≥12.21. 所以能使卡车通过的a 的最小整数值为13.

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0

⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线

高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3

椭圆双曲线抛物线经典求法及历年真题

解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程：

122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+-

圆锥曲线(椭圆-双曲线-抛物线)的定义、方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<

3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。

有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^20，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1x2时，直线与圆相离； 当x1 (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且r=根号（圆心坐标的平方和-F） <二>椭圆的标准方程 椭圆的标准方程分两种情况： 当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)； 当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。即

椭圆,双曲线,抛物线性质

椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： 椭圆第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： 标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 第一定义 到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 (01)MF e e d =<< 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 222122()F F c c a b ==- 离心率 2222222 1(01)c c a b b e e a a a a -====-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± 焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =- 下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案

1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ）

高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结

八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 21=+PF PF （答： C ）； （2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”， 其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离 间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点 P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数）， 焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠ 0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,)(,2)22 --- ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最 小值是___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号） 。如（1）双曲线的离心率等于2 5 ，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）；（2）设中心

椭圆 双曲线 抛物线

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及性质(学案) 1. 已知()()0,2,0,2-B A （1）动点P 满足10=+PB PA （2）动点P 满足4=-PB PA （3）动点P 满足2=-PB PA 2. 已知21,F F 椭圆18 162 2=+y x 两点，如图1所示，则2ABF ?3. 已知21,F F 双曲线(,12 22=-a b y a x 线交左支于A ，B 两点，且AB =4. 抛物线x y 22 =上的点M 5. 已知椭圆 1532222=+n y m x 渐近线方程是 .

6. 以双曲线 116 92 2=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 . 7. 已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的标准方程是 . 8. 椭圆C ：x 29＋y 2 2 ＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上 （1）若|PF 1|＝4，求|PF 2|及∠F 1PF 2的大小； （2）若21PF PF ⊥，求21F PF ?的面积. 9. 正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，求正方形ABCD 的面积. 10. 已知动点P 到两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离12,PF PF u u u r u u u u r （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）直线l 过圆2 2 40x y y ++=的圆心Q 与曲线C 交于,M N 两点，且0ON OM ?=u u u r u u u u r (O 为坐标原点)， 求直线l 的方程.

【三】课后练习 1. 若椭圆122 2 =+ky kx 的一个焦点是()4,0-，则=k . 2. 双曲线19 42 2=-y x 的顶点坐标是 ，渐近线方程是 . 3. 抛物线2 4x y =的焦点坐标是 ，准线方程是 . 4. 经过椭圆1592 2=+y x 和19 522=+y x 的所有交点的圆的方程是 . 5. 设双曲线19 252 2=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，且121=PF ，则=2PF . 6. 与双曲线442 2=-y x 有共同的渐近线，且过点() 5,2的双曲线方程是 . 7. F 是抛物线x y 22 =焦点，P 是抛物线上一点，且2 9 =PF ，则P 的坐标是 . 8. 已知两圆2 2 15:(1)4O x y ++= 和22245:(1)4 O x y -+=，动圆P 与⊙O 1外切，且与⊙O 2切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 . 9. 求抛物线2 2x y =上的点到直线02=--y x 的距离最小值. 10. 若直线b x y +=与抛物线y x 22 =交于A ，B 两点，且OB OA ⊥，数b 的值.

高中数学知识点椭圆双曲线抛物线

高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物 线 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||22 1 F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线： ①求双曲线122 22 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 2 2 =-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为222t y x =-2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设双曲线)0,0(12222 >>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 三、抛物线： （1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结 一、 椭圆的标准方程及其几何性质 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨 迹叫做椭圆。符号语言：()12222MF MF a a c +=> 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在 焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2 2 10,0,mx ny m n m n +=>>≠

与椭圆12222=+b y a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()22 2221x y k b a k b k +=>-++ 二、 双曲线的标准方程及其几何性质 双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言：()12 -222MF MF a a c =< 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在 焦点位置不确定的双曲线方程可设为：()2 2 10mx ny mn -=> a b y o a a

与双曲线22 221x y a b -=共焦点的双曲线系方程可设为：() 22 22221x y b k a a k b k -=-<<-+ 与双曲线22 221x y a b -=共渐近线的双曲线系方程可设为：()22220x y a b λλ-=≠ 三、 抛物线的标准方程及其几何性质 抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 直线与抛物线相交于()1122A(x ,y ),B ,x y ，且直线过抛物线的焦点，则过焦点的弦长公式： 122 2(sin p AB x x p AB αα =++= 为弦的倾斜角） 直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于()1122A(x ,y ),B ,x y ，则椭圆（或双曲线、抛物线）的弦长公式：

椭圆双曲线抛物线公式性质表

高中数学循环记忆学案圆锥曲线的标准方程，图像和性质

基本题目过关； 22 12211,F F 1F AB 169 FAB _____,|AB|=5|x y +=?１１ 已知，是椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于两点 则的周长为若，则ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝＿＿＿＿＿＿． ２２２，ｘ＋ｙ＝４，如图ＯＡ中点为Ｎ，Ｍ在圆上，ＭＮ的垂直平分线交 ＯＭ于Ｐ点，当Ｍ点在椭圆上运动时Ｐ点的轨迹方程是什么图形＿＿

３，已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆与坐标轴交点坐标为 Ａ　（－３,０），Ｂ（０,５），则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿ 且常州常时段周长的两倍，则该椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿ ５，已知椭圆的中心在原点，焦点ｘ轴上，椭圆Ｃ上的点到焦点的最大值为 ３，最小值为１，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ２２ｘｙ６，若方程＋＝１，表示焦点在　ｙ轴上的椭圆，则ｍ的｜ｍ｜－１２－ｍ 取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ７，椭圆的短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点 9,设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，则此椭圆的方程为________________ 2210,椭圆5x +ky =5的一个焦点为（0,2）则k=_________ 22 11,M 123 M x y w 是椭圆+=1的焦点为焦点，过直线L;x-y+9=0上一点作椭圆， 要使所作椭圆长轴最短，点应在何处____并求出椭圆的方程_____ PQ OP OQ 12,已知椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴直线y=x+1与椭圆相交于两点，且，

椭圆双曲线抛物线典型例题整理

椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线

高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线 高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查. 真 题 感 悟 1.(·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A .y ＝±2x B .y ＝±3x C .y ＝±22x D .y ＝±3 2x 解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2 ＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± b a x ＝±2x . 法二 由e ＝c a ＝1＋? ?? ?? b a 2 ＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± b a x ＝±2x . 答案 A

2.(·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A .5 B .6 C .7 D .8 解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由?????y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得 x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以 FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D 3.(·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的 左顶点，点P 在过A 且斜率为3 6的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 解析 由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c . ∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴，则∠PF 2E ＝60°，所以 F 2E ＝c ，PE ＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为3 6的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D 4.(·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2 ＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0). (1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.

直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程

直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程 归纳整理：杜响 1.斜率公式 21 21 y y k x x -= -（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ?=≠； ②1212120 l l A A B B ⊥?+=； 4.夹角公式 (1)21 21 tan | |1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120 A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π . 5. 1l 到2l 的角公式 (1)21 21 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120 A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2 π . 6．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

椭圆双曲线抛物线特性总结

椭圆方程图形特征 几何性质 范围 顶点 焦点 准线 对称性 长短轴 离心率 焦半径 弦长公式：|AB|＝[]21 2 2 1 2 2 1 2x x4 ) x x( ) k 1( | x x| k 1- + ? + = - ? + 若用k，y1及y2表示|AB|，则|AB|＝)0 k(| y y| 1 k 1 2 1 2 ≠ - ? + 标准方程2 2 a x － 2 2 b y ＝1（a＞0，b ＞0） 2 2 a y － 2 2 b x ＝1（a＞0，b＞0）简图 中心O（0，0）O（0，0） 顶点A 1 （－a，0），A 2 （a，0）B 1 （0，a），B 2 （0，－a） 范围|x|≥a|y|≥a 焦点F 1 （－c，0），F 2 （c，0）F 1 （0，－c），F 2 （0，c） 准线x＝± c a2 y＝± c a2 渐近线y＝± a b x y＝± b a x 4. （1）当M（x ，y ）为 2 2 a x － 2 2 b y ＝1右支上的点时，则|MF 1 |＝ex ＋a，|MF 2 |＝ex －a。 （2）当M（x ，y ）为 2 2 a x － 2 2 b y ＝1左支上的点时，|MF 1 |＝－（ex ＋a），|MF 2 |＝)a ex ( - -。 （3）当M（x ，y ）为 2 2 a y － 2 2 b x ＝1上支上的点时，|MF 1 |＝ey ＋a，|MF 2 |＝ey －a。 4、常用的公式及结 论： （1）对于给定的 椭圆的标准方程，要 判断焦点在哪个轴 上，只需比较其与2x、 2 y项分母的大小即 可。若2x项分母大， 则焦点在x轴上；若 2 y项分母大，则焦点 在y轴上。 （2）对于椭圆的 两种标准方程，都有 b a> >，焦点都在长 轴上，且a、b、c始 终满足2 2 2b a c- = 5、直线与椭圆的位 置关系 掌握直线与椭圆 的位置关系，通过对 直线方程与椭圆方程