当前位置：文档库 › 最优化方法考试试题

最优化方法考试试题

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2010--2011学年第 1 学期考试科目：运筹学与最优化方法考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业

一、用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）

12121212max 105349

..528,0z x x x x s t x x x x =++≤??

+≤??≥?

二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）

12121212max 62

..33,0z x x x x s t x x x x =++≥??

+≤??≥?

三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）

12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤??

-+-≥??=?或

四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分）

22121122

121212

max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥?

五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）

1212min ()6923..3

f X x x x x s t x =-++≥??

≥?

六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。（共 15 分）

121122()46222f X x x x x x x =+---

七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新

的车至第j 年末的各项费用的累计(含更新所需费用、运行费用及维修费用等)，试据此确定该人最佳的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共 15 分）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2010--2011学年第 1 学期考试科目：运筹学与最优化方法参考答案一、用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）

121212

max 105349

..528,0z x x x x s t x x x x =++≤??

+≤??≥? 解：最优解为*3(,1)2T X =，最优值为*35

max 2

z z ==。

二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）

121212

max 62

..33,0z x x x x s t x x x x =++≥??

+≤??≥? 解：最优解为*31(,)22T X =，最优值为*9

max 2

z z ==。

三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）

12345

123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01

z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤??

-+-≥??=?或

解：最优解为*(1,1,0,0,0)T X =，最优值为*max 5z z ==。四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分）

22121122

121212

max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥?

解：最优解为*(4,2)T X =，最优值为*max 48z z ==。五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）

21121

2min ()6923..3

f X x x x x s t x =-++≥??≥?

解：最优解为*(3,3)T X =，最优值为*min 6z z ==。

六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。

（共 15 分）

121122()46222f X x x x x x x =+---

解：迭代方向(2,0)T d =，迭代步长14λ=-，(1)1

(,1)2

T X =。

七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖

掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新的车至第j 年末的各项费用的累计(含更新所需费用、运行费用及维修费用等)，试据此确定该人最佳

的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共 15

最小费用为1.21。

华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2010--2011学年第 1 学期考试科目：运筹学与最优化方法考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟

学号姓名年级专业

八、用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）

12121212max 105349

..528,0z x x x x s t x x x x =++≤??

+≤??≥?

二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）

12121212max 62

..33,0z x x x x s t x x x x =++≥??

+≤??≥?

三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）

12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤??

-+-≥??=?或

四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分）

22121122

121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥?

五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）

121

2min ()6923..3

f X x x x x s t x =-++≥??≥?

六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。（共 15 分）

121122()46222f X x x x x x x =+---

七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新

华南农业大学期末考试试卷（A

卷）

2010--2011学年第 1 学期考试科目：运筹学与最优化方法参考答案一、用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）

12121212

max 105349

..528,0z x x x x s t x x x x =++≤??

+≤??≥?

解：最优解为*3(,1)2T X =，最优值为*35

max 2

z z ==。

九、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）

121212

max 62

..33,0z x x x x s t x x x x =++≥??

+≤??≥? 解：最优解为*31(,)22T X =，最优值为*9

max 2

z z ==。

十、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）

12345

123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01

z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤??

-+-≥??=?或

解：最优解为*(1,1,0,0,0)T X =，最优值为*max 5z z ==。十一、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分）

22121122

121212

max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥?

解：最优解为*(4,2)T X =，最优值为*max 48z z ==。十二、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分）

211212min ()6923..3

f X x x x x s t x =-++≥??

≥?

解：最优解为*(3,3)T X =，最优值为*min 6z z ==。

十三、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大

值。（共 15 分）

22121122()46222f X x x x x x x =+---

解：迭代方向(2,0)T d =，迭代步长14λ=-，(1)1

(,1)2

T X =。

十四、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车

卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新的车至第j 年末的各项

佳的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共

最小费用为1.21。

最优化方法复习题66882.docx

《最优化方法》复习题第一章概述(包括凸规划) 一、判断与填空题 ar§ max /W =玄生min【―/(兀)】?7 1 xeR n xeR n 2max |/(x): x e D o }= - min [f(x): x e D Q R H\ x 3设f : D u RJ R?若T wR”,对于一切xeR n恒有/(Z)上的凸函数当且仅当—/为D上的凹函数.V 1()设f : D u R” T R为凸集D上的可微凸函数，Z G Z).则对V XG D,有/(x)-/(x*) 0}是凸集。V 12设{*}为由求解min的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法， XG D

则对\^^{0,1,2,???},恒有____ /(x A.+1)< f(x k) ____________ :

13算法迭代时的终止准则（写出三种）： ____________________________ o 14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。V 15函数f : D u R“ T R在点（'沿着迭代方向d* eR n \ ｛（）｝进行精确一维线搜索的步长匕.，则其搜索公式为_____________________________ . 16函数f ?. D匚R“ T R在点*?沿着迭代方向d k e/?z, \｛0｝进行梢确一?维线搜索的步长匕，则V/（x A+a k d k Yd k = ___________ 0 . 17设d k eR n\｛0｝为点/ w D匸R“处关于区域D的一个下降方向，则对于Va >0, 3?G（0,a）使得x 二、简述题 1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。 2怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如:判断函数/（x） = xf +2兀|兀2 +2兀;一10兀1 +5兀2是否为凸函数）三、证明题 1证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 1Z* T —X Gx + c x + b 2 判断s.t. Ax = b（其小G是正定矩阵）是凸规划. x>0 2熟练掌握凸规划的性质及英证明.

《最优化方法》复习题

《最优化方法》复习题一、简述题 1、怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数212 2 212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件. 3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本61页(利用单纯形表求解); 69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想. 写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。 5、叙述常用优化算法的迭代公式．（1）0.618法的迭代公式：(1)(), ().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-? （2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)() n k k k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+? =+-?? =-? ?=+-?? L ．（3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1 1k k k k x x G g -+=-．（4）推导最速下降法用于问题1min ()2 T T f x x Gx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k k g g x x f x g G gx +=-? （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-??．（6）共轭方向法用于问题1min ()2 T T f x x Qx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k f x d x x d d Qd +?=-．二、计算题双折线法练习题课本135页例3.9.1 FR 共轭梯度法例题：课本150页例4.3.5 二次规划有效集：课本213页例6.3.2,

好手段促高效

好手段促高效银川灵武市第五小学许怀德课堂教学是个有机的整体，他是以教材为中介，师生双边活动的过程。优化课堂教学的关键在于正确处理教与学的关系，发挥师生双方的积极性，在教师启发引导下，学生主动探索，以最科学、最准确、最经济的途径获得新知，形成能力，取得较好的效果。然而由于数学知识的抽象性，与学生的认识正处于以直观形象思维为主要形式，逐步到抽象的逻辑思维过渡阶段，形成了学科性质与学生认识特点之间的矛盾。解决这一矛盾的外部条件，除了教师精心组织教材，优化教学目标，优化课堂结构，优化教学方法等等之外，还必须重视教学手段的优化，使教学手段能较好的发挥教学的辅助作用，帮助学生较快的理解和掌握数学知识，实现教学目标，提高课堂教学效率。一、优化操作、演示过程，提高教学效率儿童思维发展的过程是一个从具体形象到抽象思维的发展过程，布鲁纳提出概念的发展要经过三种模式，即动作性模式，影响性模式，符号性模式。他认为教学必须按照儿童智力发展的层次来进行。皮亚杰也提出：“要知道一个客体就必须动之以手。”这说明操作、演示在儿童获取知识中的重要作用。因此在教学中要重视从直观入手，充分运用操作、演示的教学手段，使学生动手、动口、动脑，调动多种感官，使其获得丰富的感性认识，借助形象思维来发展抽象的逻辑思维。运用操作、演示的教学手段，首先教师要明确操作的要求，然

后根据教学内容和写生的认识特点，精心设计操作严实的程序、操作演示的方式方法和操作的指导语。考虑怎样操作，怎样演示才能展现知识的形成过程；什么时候操作，什么时候演示才能恰到好处地突出重点，突破难点。也就是要注意把握好用的恰当时机，掌握好火候，在教学的关键处揭示事物的数量关系和变化过程算理、解法和盘托出。如教学两位数加一位数：27+5，重点是使学生掌握口算方法，理解进位加法的算理。我们可以围绕教学重点分层次一步一步地操作演示。首先让学生摆小棒，在左边摆27根右边摆5根，启发学生想：先算什么？7根加5根是多少根？再算什么？学生根据老师的启示边操作边思考。接着叫一名学生在幻灯机上再次操作，要求学生边操作边口述操作过程，使学生悟出7根小棒加5根小棒是12根小棒，然后把10根小棒捆成1捆，再与原来的2捆加在一起。最后教师又在黑板上画图演示。使学生进一步理解进位加法的口算方法，掌握口算步骤。二、优化插图的使用，提高教学效率课本的插图能帮助学生理解教材内容，但是课本的插图是静止的，只能反映事物的结果，不能反映事物发展变化的过程。为了使插图真正祈祷直观形象地帮助学生理解抽象的数学知识的作用，可以分步插图，使画面由静变动，展示事物发展变化的过程，有效地帮助学生不但知道“结论”，还能知道获得“结论”的过程，从而真正地理解概念，掌握法则。如教学：同学们浇树，每人浇4棵，3个人共浇多少棵？此题书上配有插图，这幅图有三种出图的方法。

最优化方法及其应用 - 更多gbj149 相关pdf电子书下载

最优化方法及其应用作者：郭科出版社：高等教育出版社类别：不限出版日期：20070701 最优化方法及其应用的图书简介系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用的pdf电子书下载最优化方法及其应用的电子版预览第一章最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献更多最优化方法及其应用相关pdf电子书下载

《最优化方法》复习题(含答案)

附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''．解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???，其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向．证明由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<，所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ．证明充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑，其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈，结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，

机器学习中常见的几种优化方法

机器学习中常见的几种优化方法阅读目录 1. 梯度下降法（Gradient Descent） 2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods） 3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient） 4. 启发式优化方法 5. 解决约束优化问题——拉格朗日乘数法我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。最优化方法是一种数学方法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。随着学习的深入，博主越来越发现最优化方法的重要性，学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯

度法等等。回到顶部 1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示：牛顿法的缺点：（1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示；（2）直线搜索时可能会产生一些问题；（3）可能会“之字形”地下降。从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。

最优化方法试题

《最优化方法》试题一、填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（），当n=2时，该充要条件的几何意义是（）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是（）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（），下降方向集为（）。二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题

()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日）下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

常用最优化方法评价准则

常用无约束最优化方法评价准则方法算法特点适用条件最速下降法属于间接法之一。方法简便，但要计算一阶偏导数，可靠性较好，能稳定地使函数下降，但收敛速度较慢，尤其在极点值附近更为严重适用于精度要求不高或用于对复杂函数寻找一个好的初始点。 Newton法属于间接法之一。需计算一、二阶偏导数和Hesse 矩阵的逆矩阵，准备工作量大，算法复杂，占用内存量大。此法具有二次收敛性，在一定条件下其收敛速度快，要求迭代点的Hesse矩阵必须非奇异且定型（正定或负定）。对初始点要求较高，可靠性较差。目标函数存在一阶\二阶偏导数，且维数不宜太高。共轭方向法属于间接法之一。具有可靠性好，占用内存少，收敛速度快的特点。适用于维数较高的目标函数。变尺度法属于间接法之一。具有二次收敛性，收敛速度快。可靠性较好，只需计算一阶偏导数。对初始点要求不高，优于Newton法。因此，目前认为此法是最有效的方法之一，但需内存量大。对维数太高的问题不太适宜。适用维数较高的目标函数（n=10～50）且具有一阶偏导数。坐标轮换法最简单的直接法之一。只需计算函数值，无需求导，使用时准备工作量少。占用内存少。但计算效率低，可靠性差。用于维数较低（n<5）或目标函数不易求导的情况。单纯形法此法简单，直观，属直接法之一。上机计算过程中占用内存少，规则单纯形法终止条件简单，而不规则单纯形法终止条件复杂，应注意选择，才可能保证计算的可靠性。可用于维数较高的目标函数。

常用约束最优化方法评价标准方法算法特点适用条件外点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。初始点可以任选，罚因子应取为单调递增数列。初始罚因子及递增系数应取适当较大值。可用于求解含有等式约束或不等式约束的中等维数的约束最优化问题。内点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。初始点应取为严格满足各个不等式约束的内点，障碍因子应取为单调递减的正数序列。初始障碍因子选择恰当与否对收敛速度和求解成败有较大影响。可用于求解只含有不等式约束的中等维数约束优化问题。混合罚函数法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题，用内点形式的混合罚函数时，初始点及障碍因子的取法同上；用外点形式的混合罚函数时，初始点可任选，罚因子取法同外点法相同。可用于求解既有等式约束又有不等式约束的中等维数的约束化问题。约束坐标轮换法由可行点出发，分别沿各坐标轴方向以加步探索法进行搜索，使每个搜索点在可行域内，且使目标函数值下降。可用于求解只含有不等式约束，且维数较低（n<5），目标函数的二次性较强的优化问题。复合形法在可行域内构造一个具有n个顶点的复合形，然后对复合形进行映射变化，逐次去掉目标函数值最大的顶点。可用于求解含不等式约束和边界约束的低维优化问题。

常用无约束最优化方法(一)

项目三常用无约束最优化方法（一） [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法（修正Newton 法）的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1．掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2．掌握Newton 法的思想及迭代步骤； 3．掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题：【选作一个】 1．用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，． 2．用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-，初始点 0[00]0.01T X ε==，，．最速下降法 Matlab 程序： clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长

ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果：\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include #include #include #include float goldena(float x[2],float p[2]) {float a; a=-1*(x[0]*p[0]+4*x[1]*p[1])/(p[0]*p[0]+4*p[1]*p[1]); return a; } void main() {float a=0,x[2],p[2],g[2]={0,0},e=0.001,t; int i=0; x[0]=1.0; x[1]=1.0;

北京理工大学级数学专业最优化方法期末试卷试题A卷MT.doc

课程编号 : 0 7 0 0 0 2 0 3 北京理工大学 2 0 0 7 - 2 0 0 8 学年第二学期 2005 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (20 分 )某化工厂有三种资源 A 、 B 、 C ，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为 x 1,x 2,x 3 ,其数学模型为： max z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 1 2 x 2 3 430 ( A 资源限制 ) x x 3 x 1 2 x 3 460 ( B 资源限制 ) s.t 4 x 2 420 (C 资源限制 ) x x 1 , x 2 , x 3 0 请回答如下问题：（ 1）给出最优生产方案；（ 2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？（3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为： x 1 2 x 2 3x 3 800 问最优解有何变化？ 2． (12 分 )用 Newton 法求解 min f ( x ) 4 x 12 x 22 2 x 12 x 2 ，初始点取为 x 0 (1, 1)T ，迭代一步。 3．(10 分 )用 FR 共轭梯度法求解三个变量的函数 f ( x ) 的极小值，第一次迭代的搜索方向为 p 0 (1, 1,2)T ，沿 p 0 做精确线搜索，得 x 1 ( x 11 , x 21 , x 31 )T ，设 f ( x 1 ) 2, f ( x 1 ) 2 ，求从 x 1 出发的搜索方向 p 1 。 x 11 x 21 4． (15 分 ) 给定下面的 BFGS 拟 Newton 矩阵修正公式： H k 1 ( I s k y k T )H k ( I s k y k T )T s k s k T ， y k T s k y k T s k y k T s k 其中 s k x k 1 x k , y k g k 1 g k 用对应的拟 Newton 法求解： min f ( x ) x 1 2 2x 1 x 2 2 x 22 4 x 1 ，初始点取为 x 0 (0,0) T ， H 0 I 。 5． (15 分 )写出问题取得最优解的 Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。 6(12 分 )．求约束问题在 x (0,0) T 及 x 2 (1,0) T 处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来 1 7（ 8 分）考察优化问题 min f ( x ) s.t. x ， D 设 D 为凸集， f ( x ) 为 D 上凸函数，证明： f ( x) 在 D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。 8（ 8 分）设 min f ( x ) 1 x T Ax b T x c ，其中 A 为对称正定矩阵， x * 为 f ( x ) 的极小值点，又设 x 0 ( x*) 可表示为 2 x 0 x * p ，其中 R 1， p 是 A 对应于特征值的特征向量，证明：若从 x 0 出发，沿最速下降方向做精确一维搜索，则一步达到极小值点。课程编号 :07000203 北京理工大学 2008-2009 学年第一学期 2006 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (15 分 ) 用单纯形法求解线性规划问题 2． (10 分 )写出线性规划问题的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。 3． (15 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min f ( x) x 12 2x 22 ，初始点取为 x 0 ( 1, 1)T 。（ 1）采用精确一维搜索；（ 2）采用 Wolfe 条件进行不精确一维搜索，其中 0.1, 0.9 。 4． (15 分 )用 DFP 拟牛顿法求解 min f ( x) x 12 2x 22 初始点取为 x 0 1 ，初始矩阵 H 0 2 1 。 1 1 1 5． (15 分 )证明集合 S { x | x 1 2x 2 4, 2x 1 x 2 6} 是凸集，并计算原点 (0,0) 到集合 S 的最短距离。 6． (15 分 ?) 考虑问题（1）用数学表达式写出在点 ( 1 , 5)T 处的下降可行方向集。 3 3 （ 2）假设当前点在 (0,0) T 处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。 7（ 7 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。

最优化方法及其Matlab程序设计

最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人，每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，降低成本，以实现企业的最大利润。由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型。即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解。数学模型建好以后，选择合理的最优化算法进行求解。最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法（算法）浅析最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里，对最优化算法做一个简单的分类，并对一些比较常用的典型算法进行解析，旨在加深对一些最优化算法的理解。最优化算法的分类方法很多，根据不同的分类依据可以得到不同的结果，这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如，在资源有限的情况下，如何合理使用人力、物力和资金等资源，以获取最大效益；如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等，使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原始材料等）为最少等。线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期，随着计算机技术的发展，出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。

13-14(1)最优化方法期末试卷

2013-2014学年第一学期数学计算经数专业《最优化方法》（课程）期末试卷试卷来源：自拟送卷人:赵俊英打印：赵俊英乔凤云校对：赵俊英一．填空题（20分） 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，可行域D 可以表为_____________________________，若____________________，称* x 为问题的全局最优解. 2.()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则=?)(x f ， =?)(2 x f . 3.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足，则它是f 在x 处的一个下降方向. 4. 无约束最优化问题：min (),n f x x R ∈，若k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =______________ 5. 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式为 . 6 .举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 7.函数222 21 12313()226f x x x x x x x x =+++- （填是或不是）严格凸函数. 二．（18分）简答题： 1. 设计求解无约束优化问题的一个下降算法，并叙述其优缺点. 2. 叙述单折线法的算法思想. 3. 写出以下线性规化问题的对偶： 1234123412341234134min ()2536..873411,762323,324712,0,0,0.f x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+-??-+++=?? +++≥??+++≤? ≤≥≥??

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为：习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1）无约束最优点，并求出最优值。（2）约束最优点，并求出其最优值。（3）如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4）时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

SEO搜索引擎优化常用方法

SEO搜索引擎优化常用方法作者：葬爱来源：https://www.wendangku.net/doc/6414166343.html, 时间：2012-8-12 最近听很多人说，seo也就是那么一会儿事，每天发发外链，写写文章也就够了。但是今天我想说的是，seo技术并不是简单。大局观的优化方略才是最重要的。网站结构、关键词布局、代码精简、日志分析等等，当然外链和原创内容页绝对必不可少的。下面具体分享一下一些做优化的一些常见的二部曲。一、分析竞争对手 1.分析你的竞争对手为什么排在你前面或者后面。如果在你前面，分析他比你多做了哪些东西，如果你没有就赶紧补上。同时分析竞争对手网站的缺憾，你同时进行弥补。这是常见的做法。 2.采用有特色的推广方法。比如适当的做一做jingjia也是有利于优化的。同时一些心思维，如利用起网站用户对网站的推广。这样才是最有效的。用户上去了，优化液自然会上去。二、弥补自身的优化不足自己的网站必须要最好，才是根本，如果竞争对手的网站排在你后面，那更要注意了。一旦放松，就是别人的机会。下面笔者分享一下自身优化的一些东西。 1.分析关键词。我相信，很多人都是先选关键词，再做站。整个站都围绕这个关键词，那么排名自然会好一点。同时关键词

应该与网站的内容相关，不要选择不相关的。关键词使用的时候也要注意英文逗号或者下划线的隔开。 2.生成静态。学了一段四件后，看到很多人说生成静态和动态都差不多。理由是搜索引擎不断进步，已经可以抓取动态内容。同时不论是对于百度还是对于google来说，我相信不会弱智到是动态的就不收录。很多厉害的网站都是动态的，但也很不错。但是百度给出的优化指南明确说明了最好网站静态化，可见百度其实也希望站长们将自己的网站静态化。或许百度这个问题没有彻底解决。同时，一个纯HTML页面绝对比动态页面打开速度快。用户体验上来说，也是好的。 3.div+css。同样，table书写的网站百度收录照样也快。但我个人趋向于div，为什么?因为这样更快，理由就同二了。但是div不要太多层的嵌套，目前百度的技术还不足以抓取嵌套次数太多的内容。 4.注意Meat标签。这个几乎是我现在看一个网站优化最先看的东西，虽说搜索引擎已经开始降低meta标签的影响，但是我觉得还是很重要。 5.打造好你的友链。这个主要就靠一些站长群了。你如果没有这些群，最起码要有一群拥有比较高权重的站长朋友。老站带新站，新站成长速度会快很多。建议大家要建立一些网站群，利用互相带动的方法，去推动你的网站发展。友链的重要性，不言而喻。同时友链也要注意甑别对自己网站的好坏。

最优化方法考试试题

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2010--2011学年第 1 学期考试科目：运筹学与最优化方法考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12121212max 105349 ..528,0z x x x x s t x x x x =++≤?? +≤??≥?

二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62 ..33,0z x x x x s t x x x x =++≥?? +≤??≥? 三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分） 12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01 z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤?? -+-≥??=?或

四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分） 22121122 121212 max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥? 五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分） 21 121 2min ()6923..3 f X x x x x s t x =-++≥??≥?

六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。（共 15 分） 22 121122()46222f X x x x x x x =+--- 七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新的车至第j 年末的各项费用的累计(含更新所需费用、运行费用及维修费用等)，试据此确定该人最佳的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共 15 分）

《最优化方法》复习题(含答案)

x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ；设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16