一.单项选择题 (每题3分,共18分)
1.设总体),1(~p B X ,12(,,,)n X X X 为来自总体X 的样本,X 为样本的均值。 则()k
P X n
=
等于 ( ) (A )p ; (B )(1)k n k p p --;
(C )(1)k k n k n C p p --; (D )(1)k
k n k n C p p --。
2.设X ,Y 为随机变量,则()()D X Y D X Y -=+是X 与Y 的 ( ) (A )不相关的充分条件,但不是必要条件; (B )不相关的必要条件,但不是充分条件; (C )独立的必要条件,但不是充分条件; (D )独立的充分必要条件。
3.设存在常数a ,b (0a ≠),使得概率()1P Y aX b =+=,则必有 ( ) (A )||
XY a
a ρ=
; (B )1XY ρ=-; (C )1XY ρ=; (D )11XY ρ-<<。
4.设随机变量X 的概率密度函数为()x f ,且)()(x f x f -=,又设)(x F 为X 的分布函数。 则对任意实数a ,有 ( ) (A ) ()0
()1a
F a f x dx -=-
?
; (B ) ()()1a
F a f x dx -∞
-=-?
;
(C ) )()(a F a F =-; (D ) ()1)(2-=-a F a F 。
5.设X 为随机变量,已知1)(=X E ,1.0)(=X D 。由切比雪夫不等式,可得 ( ) (A )9.0)11(≥<<-X P ; (B )9.0)20(≥< 则)(2X E 的距估计量为 ( ) (A )∑=--=n i i X X n S 122 1 )(11; (B )∑=-=n i i X X n S 1 22 2)(1; (C )221X S +; (D )22 2X S +。 二.填空题 (每题3分,共18分) 7.袋中有40个球,其中10个是红球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回, 则第二个人取得红球的概率是 。 8.设随机变量X 的概率密度函数为 2,01,()0,0. X x x f x x <=?≤?, 以随机变量Y 表示对X 的三次独立重 复观察中,事件1 ()2 X ≤ 出现的次数。 则(2)P Y ==______________。 9.设总体),0(~2 σN X ,129(,,,)X X X 是取自总体X 的样本,已知 2 9 1)( ∑==i i X k Y 服从2χ 分布。 则常数=k 。 10.设二维随机变量(,)X Y 在区域}1||,10|),{(D <<<=y x y x 内服从均匀分布。 则随机变量21Z X =+的方差()D Z =_______________。 11. 设12(,,,)n X X X 为来自总体),(~2 σμN X 的样本, 其中2 ,μσ均未知,设X 为样本均值, 2S 为样本方差,则μ的置信度为1α-(01)α<<的单侧置信区间的上限是?U μ = 。 12.设总体),(~2 σμN X ,待检的原假设2 020:σσ=H ,对于给定的显著性水平α(01)α<<, 如果拒绝域为2 1[0,(1)]W n αχ-=-,则相应的备择假设1H 是 。 三.解答题 (每题8分,共64分) 13. 有甲,乙,丙三个箱子,其中甲箱中有4个白球,3个黑球;乙箱中有2个白球,3个黑 球;丙箱中没有球。现从甲,乙箱中分别任取出2球和1球放入丙箱中。 (1)求丙箱中有2个白球的概率; (2)若从丙箱中任取出1球,发现是白球,求丙箱中有2个白球的概率。 14.对一批镉的熔点(单位:C o )做5次测定,结果为 1269,1267,1271,1263,1265 若镉的熔点服从正态分布),(2σμN ,其中μ和2σ为未知常数。对给定的检验水平 05.0=α,做如下假设检验: (1)总体均值μ与标准均值01266μ=是否有显著差异; (2)总体方差2σ是否比标准方差2 04σ=偏大。 15.设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为 ? ??<<<=其他,01 0,||,1),(x x y y x f 试求:(1)边缘密度函数)(x f X ; (2)条件密度函数)|(|x y f X Y 。 16.设二维随机变量(,)X Y 在单位园22{(,)|1}D x y x y =+≤上服从均匀分布, (1)求相关系数XY ρ;(2)问X 与Y 是否独立? 17.设某车间有同型号的机床200部,每台机床的开工的概率为0.7p =。假设各机床是否 开工是相互独立的,每台机床开工时每小时耗电15度。 问:要保证车间以95.99%的概率正常生产,需要变电站每小时供应该车间多少度电? 18.设总体),0(~θU X ,其中0θ>未知。12(,,,)n X X X 为来自总体X 的一个样本, (1)求未知参数θ的矩估计量1?θ和最大似然估计量2?θ;(2)分别评价1?θ与2?θ的无偏性。 19.设随机变量)1,0(~N X ,试求:(1)2 Y X =的密度()Y f y ;(2)数学期望)2(4X E 。 20.设n μ是n 重伯努利试验中成功的次数,p 为每次成功的概率, (1)求出n μ的分布律; (2)证明:当n 充分大时,有 ||2(1n P p n μ ε??-<≈Φ- ??? , 其中,1p q +=, ()x Φ是标准正态分布的分布函数。 附:数表 (1.645)0.9 Φ=,(1.96)0.975Φ=,(1.75)0.9599Φ= 0.025(4) 2.7764t =,0.05(4) 2.1318t =,0.025(5) 2.5706t =,0.05(5) 2.0150t = 20.025(4)11.143χ=,20.05(4)9.488χ=,20.025(5)12.832χ=,2 0.05(5)11.070χ= 概 率 統 計 参 考 答 案 一 单项选择题 1.(C ); 2.(A ); 3.(C ); 4.(B ); 5.(B ); 6(D )。 二 填空题 7.1/4;8.9/64;9.2 91σ(9)t ;10.1/3; 11 .?(U X t n αμ =+-;12.220σσ<。 三 解答题 13.(1)设i A ={丙箱中有i 个白球},0,1,2,3.i = 2302733()535C P A C =?=, 112 434122 773214 ()5535C C C P A C C =+=, 21144322277324214()5510535C C C P A C C =+==, 2432 724 ()535 C P A C ==。 (2分) (2)设B ={从丙箱中取出一球为白球},则 3 ()()(|) 314114241801353533533535 i i i P B P A P B A === ?+?+?+?=∑ (4分) 222142 ()(|)14 353(|)18()2735 P A P B A P A B P B ? === (2分) 14.由已知条件算得,12675151 ==∑=i i x x ,10)(412512 =-=∑=x x s i i ,10=s . (1) 提出假设1266:0=μH ,1266:1≠μH ; (2分) 当0H 为真时,检验统计量 (1)X T t n = - 拒绝域(, 2.7764][2.7764,)W =-∞-?+∞ 计算00.7071x T W = ≈?. 故接受1266:0=μH (2分) (2). 提出 20:4H σ=, 20:4H σ>. (2分) 当0H 为真时,检验统计量 2 2 22 0(1)(1)n S n χχσ-= - 拒绝域[9.488,)W =+∞,计算2 20 2 0(1)10n s W χσ-= =∈. 故拒绝20:4H σ= (2分) 15.(1) ? ? ?<≤=其他,01 0,2)(x x x f X 。 (4分) (2)?? ???<== 其他 , 0||, 21)(),()|(|x y x x f y x f x y f X X Y ,其中10< 16.(1)(,)X Y 的联合分布密度函数为: 22 1,1, (,)0,x y f x y π?+≤?=???其他. 其边缘密度函数分别为: 11,()0,X x f x -≤≤=??其他. 1 1,()0,Y y f y -≤≤=??其他. (2分) ()()0E X E Y ==,且221 1 ()(,)0.x y E XY xyf x y dxdy xy dxdy π +∞ +∞ -∞ -∞ +≤== =? ? ?? 从而 cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-= 故相关系数0XY ρ=。 (4分) (2)显然,(,)()()X Y f x y f x f y ≠,故X 与Y 不独立。 (2分) 17.设X 为同时开工的机床数,则 )7.0,200(~B X ,140)(=X E ,42)(=X D 。 (4分) X 台机床同时开工每小时消耗电能15X 度。设发电站每小时供应车间a 度电, 要求该车间正常生产的概率(015)P X a ≤≤,而 )42140 )15/(( )15/0(9599.0-Φ≈≤≤≤a a X P 查表,可得(1.75)0.9599Φ=,故75.142 140 )15/(≥-a ,从而2271≥a 。 (4分) 18.(1)()2 E X θ μ== ,2θμ=,未知参数θ的矩估计量1 ?2X θ=。 (2分) 似然函数为:1 ,0, ()1,2,,.0,. i n x L i n θθθ?≤≤?==??? 其他 未知参数θ的最大似然估计量2() ?n X θ=。 (2分) (2)由于 11122?()(2)()2 n n i i i E E X E X n n θθθ======∑∑, 所以1 ?θ 是θ的无偏估计。 (2分) 因为2()?n X θ= 的密度函数为: 1 ,[0,],()0,[0,].n n nz z f z z θθ θ-?∈?=???? 所以 1 2 ?()()1 n n znz n E zf z dz dz n θ θθθθ+∞--∞ === ≠+?? 即2 ?θ不是.θ的无偏估计。 (2分) 19.(1)由2,y x x =-∞<<+∞得0y ≥。当0y ≥时,有 222 ()()(x P Y y P X y P X dx - ≤=≤=≤=, (2分) 所以, Y 的密度函数为: 2,0, ()0,0.y Y y f y y -?≥= (4分) (2))1(~222χχ=X , 6)12(2))()((2)(2)2(222224=+=+==χχχE D E X E 。 (2分) 20.(1)),(~p n B n μ: (4分) (2)提示: 用德莫佛-拉普拉斯定理 ()22n lim .n t k x x np P x dt x -→∞??-? ?<==Φ???? ∑? (4分) 第1章随机事件及其概率 (1)排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 (2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 (3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。 Ω为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。 (6)事件的关系与运算①关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):B A? 如果同时有B A?,A B?,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者B A,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生:A B,或者AB。A B=?,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率: ∞ = ∞ = = 1 1i i i i A A B A B A =,B A B A = 诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷 《 概率统计A 》 开课单位: 计算分院 ;考试形式: 闭卷; 考试时间:2010年 1 月24日; 所需时间: 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人 一. 选择题 (本大题共__10__题,每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,,则下列结论正确的是(B ) )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数,在下列各组数值中应取( A ) )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大,概率() σμ<-X P 满足 ( C ) )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π,则X 和Y 为 ( C )的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布 得分 年级:_____________ 专业:_____________________ 班级:_________________ 学号:_______________ 姓名:__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级:_____________ 专业:_____________________ 班级:_________________ 学号:_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线……………………………………………………… * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题(每空2分,共20分) 1、设X 为连续型随机变量,则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N (1,4)分布,Y 服从P(1)分布,且X 与Y 独立,则 E (XY+1-Y )=( 1 ) ,D (2Y-X+1)=( 17 ). 5、已知随机变量X ~N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。 则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本,其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值,则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题(每题12分,共48分) 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解:(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上,以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=?=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为 其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1<X <1/λ)}; (3)F(1). ?? ?? ?<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ 一、随机事件与概率 二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率: 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()( 一般正态分布的概率计算公式 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系: 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型:()(),1,2, j i i j g x y P Y y p i === =∑ , 连续型: ①分布函数法, ②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=?=单调 h(y)是g(x)的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律:(,),,1,2, i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p ≤≤= ∑∑ 边缘分布律:()i i ij j p P X x p ?===∑ ()j j ij i p P Y y p ?===∑ 条件分布律:(),1,2, ij i j j p P X x Y y i p ?====,(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ? === = 联合密度函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数:?? ∞-∞ -= x y dudv v u f y x F ),(),( 性质:2(,) (,)1, (,),F x y F f x y x y ?+∞+∞==??((,))(,)G P x y G f x y dxdy ∈=?? ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数:?? ∞-+∞ ∞ -= x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数:? +∞ ∞ -= dv v x f x f X ),()( ? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()() ()(' x f x F =? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=) ,(y x f 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ( )()(σ μ -Φ=<=≤a a X P a X P ) ( 1)()(σ μ -Φ-=>=≥a a X P a X P ) ( )( )(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=,P (B)=,P (B A)=,则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)? ()?(21θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件,且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=,则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α= 。 6. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。 * 8. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=,P (A -B)=,则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ=,Φ=,则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ,则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ,则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ,其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ,则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX EX X Y /)(-=,则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51,则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ~N (2,2σ),且P {2 < X <4}=,则P {X < 0}= 。 ! 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望 一 填空 1.设随机变量X 服从)1,1(-R ,则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 2. 设B A 、是两相互独立事件,4.0)(,8.0)(==A P B A P ,则._____)(=B P 3. .__________)3(,3)(,2)(=-==Y X D Y X Y D X D 独立,则、且 4. 已知._________)20(,533.0)20(4.06.0=-=t t 则 5. n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本,S 是样本标准差,则 ________)( 2 2 =σ nS D 6. 设._______}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式 7. 假设一批产品中一、二、三等品各占%10%20%70、、 ,从中随意取一种,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率是____________. 8、m X X X ,,,21 是取自),(211σμN 的样本,n Y Y Y ,,,21 是来自),(2 22σμN 的样本,且这两种样本独立,则___ ___ Y X -服从____________________. 9. 设____}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式得. 10、已知.__________)12(2)(=-=X D X D ,则 11、已知分布服从则变量)1(___________),1(~),,(~22--n t n Y N X χσμ 12设随机变量X 服从)1,1(-R ,则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 。 13.已知1 1 1(),() ,()432 P A P B A P A B ===,则()P AB = , ()P A B = 。 14.若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B = 。 15.若随机变量X 服从(1,3)R -,则(11)P X -<<= 。 16.已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E (XY )= 。 17.设随机变量,X Y 相互独立,且X 服从(2)P ,Y 服从(1,4)N ,则(23)D X Y -= 。 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:对立不是独立。两个集合互补。第2题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A发生,必然导致和事件发生。第3题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:密度函数在【-1,1】区间积分。第5题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A答案,包括了BC两种情况。 第6题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中,且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第8题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数,加绝对值。第9题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用概率密度的性质,概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用分布函数的性质,包括分布函数的值域[0,1]当自变量趋向无穷时,分布函数取值应该是1.排除答案。 第11题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用上分位点的定义。 第12题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P(AB)小于等于P(C)。第13题 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验: (1)在相同条件下可以重复进行; (2)每次试验的结果不止一个,并且能事先明确所有的可能结果; (3)进行试验之前,不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点,也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间,也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中,试验的目的不同时,样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件,简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 (1)包含关系 B A ?,即事件A 发生,导致事件B 发生; (2)相等关系 B A =,即B A ?且A B ?; (3)和事件(也叫并事件) B A C ?=,即事件A 与事件B 至少有一个发生; (4)积事件(也叫交事件) B A AB C ?==,即事件A 与事件B 同时发生; (5)差事件 AB A B A C -=-=,即事件A 发生,同时,事件B 不发生; (6)互斥事件(也叫互不相容事件) A 、 B 满足φ=AB ,即事件A 与事件B 不同时发生; (7)对立事件(也叫逆事件) A A -Ω=,即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 (1)交换律 BA AB A B B A =?=?,; (2)结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,; (3)分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,; (4)幂等律 A AA A A A ==?, ; (5)差化积 B A AB A B A =-=-; (6)反演律(也叫德·摩根律)B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验,Ω为样本空间,对于Ω中的每一个事件A ,赋予一个实数P (A ),称之为A 的概率,P (A )满足: (1)1)(0≤≤A P ; (2)1)(=ΩP ; (3)若事件 ,,, ,n A A A 21两两互不相容,则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 (1)0)(=φP ; (2)若事件n A A A ,, , 21两两不互相容,则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ; (3))(1)(A P A P -=; (4))()()(AB P B P A B P -=-。 特别地,若B A ?,则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-; (5))()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷(A 卷) } 分 分 108 求:(1)常数k ,(2)P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解:(1)由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 (2)P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 (4)P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ,)4,0(~2N Y ,且X 与Y 相互独立,设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ,)(Z D ; (2) 求XZ ρ 解:(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f (1) 求X 的数学期望EX 和方差DX (2) 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解:(1)dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π,求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解:10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=- 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标; (3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数; (4)测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 (1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x2+y2<1} (3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件: (1)A发生,B和C不发生; (2)A与B都发生,而C不发生; (3)A、B、C都发生; (4)A、B、C都不发生; (5)A、B、C不都发生; (6)A、B、C至少有一个发生; (7)A、B、C不多于一个发生; (8)A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3.在某小学的学生中任选一名,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是三年级学生,事件C表示该学生是运动员,则 (1)事件AB表示什么? (2)在什么条件下ABC=C成立? ?是正确的? (3)在什么条件下关系式C B (4)在什么条件下A B =成立? 解所求的事件表示如下 (1)事件AB表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC=C成立. ?是正确的. (3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B (4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=,P (A -B )=,试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=1 4 ,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A ={两球颜色相同}, B ={两球颜色不同}. 解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为2 2a b A A +,有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 习题五 1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件,则i =1,2,…,n ,且 X 1,X 2,…,X n 独立同分布,p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案 一、填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 2、设事件A 与B 独立,A 与B 都不发生的概率为 1 9 ,A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等,则A 发生的概率为: ; 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为: ,0 ()1/4,020,2 x Ae x x x x ??=≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立,则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数 ()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1) 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关?计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ? 二、应用题(20分) 1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是1/4,1/3,1/2。现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大? 答 案 概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 (逆概率公式) ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =;)()(B P A B P =;)()(A B P A B P =;1)()(=+A B P A B P ; 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A -B)=(0.3 )。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求 敌机被击中的概率为(0.94 )。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为(0.496 )。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立 射击4次,则击中二次的概率为 ( 0.3456 )。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都 不发生可表示为(ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不多于一个发生可表示为(AB AC BC I I); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=(0.5 ); 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机 的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为(0.8 ); 10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=(0.5 ) 11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864 )。 12.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=(0.3 ); 13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=(0.5 ) 14.A、B为两互斥事件,则A B= U(S )15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰 有一个发生可表示为 (ABC ABC ABC ++) 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=,() P A=,()0.2 ( 0.2 ) 17.A、B为两互斥事件,则AB=(S ) 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次 )。 就能打开保险箱的概率为(1 10000 模拟试题 填空题(每空3分,共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立,A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等,则A发生的概率为:_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为:W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2,则常数A= 0, x>2 分布函数F(x)= ,概率P{—0.5概率论与数理统计公式表
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