2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(26)三角形中的综合问题
课时作业(二十六)[第26讲三角形中的综合问题]
[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，则x的值是________．
2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
3．在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________ m.
图K26－1
4．如图K26－1，已知A，B两点的距离为100 n mile，B在A的北偏东30°方向，甲船自A以50 n mile/h的速度向B航行，同时乙船自B以30 n mile/h的速度沿方位角150°方向航行，航行________ h，两船之间的距离最小．
能力提升
5．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为________．6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h.
图K26－2
7．如图K26－2所示，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C、D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A、B间的距离是________ m.
图K26－3
8．如图K26－3，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 2 n mile 的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处．则两艘轮船之间的距离为________ n mile.
9．飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400 km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400 km到达丙地，那么丙地距甲地距离为________ km.
10．某海岛周围38 n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30 n mile后测得此岛在东北方向．若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
11．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按图K26－4(1)、(2)作扇形
的内接矩形，若按图K26－4(1)作出的矩形面积的最大值为1
2
2tanα，则按图K26－4(2)作出
的矩形面积的最大值为________．
图K26－4
图K26－5
12．如图K26－5，已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，则塔M到直路ABC的最短距离为________．
13．(8分)[2011·惠州三模] 如图K26－6，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河的一边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m.
(1)求sin75°；
(2)求该河段的宽度．
14．(8分)如图K26－7，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.设A到P 的距离为x km，用x表示B，C到
图K26－7
15．(12分)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图K26－8)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
图K26－8
16．(12分)如图K26－9，开发商欲对边长为1 km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF(点E、F分别在BC、CD上)，根据规划要求△ECF的周长为2 km.
(1)试求∠EAF的大小；
(2)欲使△EAF
课时作业(二十六)
【基础热身】
1．23或3 [解析] 先根据已知条件画出草图，再用余弦定理列方程，解方程即可． 2．70 [解析] d 2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4 900，所以d ＝70，即两船相距70 n mile.
3．15 [解析] 如图，依题意有PB ＝BA ＝30，PC ＝BC ＝103，在△BPC 中由余弦定
理可得cos2θ＝(103)2＋302－(103)2
2×103×30＝3
2，所以2θ＝30°，4θ＝60°，在△PCD 中，可得
PD ＝PC sin60°＝103×
3
2
＝15(m)．
4.
65
49 [解析] 设经过x h ，两船之间的距离最小，由余弦定理得 S 2＝(100－50x )2＋(30x )2
－2·30x (100－50x )·cos60°
＝4 900x 2
－13 000x ＋10 000
＝4 900???
?
x 2－13049x ＋10 000
＝4 900????x －65492＋67 500
49
所以当x ＝6549
时，S 2
最小，从而两船之间的距离最小．
【能力提升】
5. α＝β [解析] 如图所示，从A 处望B 处和从B 处望A 处视线均为AB ，而α，β同为AB 与水平线所成的角，因此α＝β.
6.
1762 [解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MN
sin120°
， ∴MN ＝68×3
2＝346，
∴v ＝MN 4＝1726(n mile/h)．
7．206 [解析] 由已知可知△BDC 为等腰直角三角形， ∴DB ＝40 m. 由∠ACB ＝60°和∠ADB ＝60°知A 、B 、C 、D 四点共圆， 所以∠BAD ＝∠BCD ＝45°. 在△BDA 中，
由正弦定理可得AB ＝BD ·sin60°
sin45°
＝20 6.
8.13 [解析] 连接AC ，结合题意可得△ABC 为正三角形，故在△ACD 中，由余弦定
理，得CD 2＝(32)2＋52
－2×32×5×cos π4
＝13，故两艘船之间的距离为13 n mile.
9．1 400 [解析] 如图所示，△ABC 中，∠ABC ＝75°－15°＝60°，∵AB ＝BC ＝1 400，∴AC ＝1 400，即丙地距甲地距离为1 400 km.
10．无 [解析] 由题意，在△ABC ＝30°，∠ABC ＝135°， ∴∠ACB ＝15°，由正弦定理
BC ＝AB sin ∠ACB ·sin ∠BAC ＝30sin15°·sin30°＝6－2
4
＝15(6＋2)．
在Rt △BDC 中，∠CBD ＝45°，CD ＝
BC sin ∠CBD ＝15(3＋1)>38，故无触礁危险． 11.
R 2
tan α2
[解析] 将图(2)中的扇形旋转后如图所示，则由图(1)的结论可知矩形ABCD ，
CDEF 最大面积均为12R 2tan α2，故矩形ABFE 的最大面积为R 2
tan α2
.
12.7＋5313 km [解析] 法一：由题意得MC ＝2MA ，在△MAC 中，由余弦定理，得
MA 2＝4
3－22cos75°
.
由面积关系得12AC ·h ＝2
2
MA 2·sin75°.
求得h ＝22·4sin75°
3－22cos75°＝7＋5313(km)．
法二：以点B 为坐标原点，BM 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设M (a,0)，A (b ，
c )，则C (－b ，－c )．
可得???
b 2＋
c 2＝1，
c b －a
＝1，c b ＋a ＝－33.
解得c 2＝8＋23
13
.
又k AB ＝c
b
＝－(1＋3)．
故直线AB 的方程为(1＋3)x ＋y ＝0. 设点M 到直线AB 的距离为|MD |，
则|MD |2
＝124＋703169，所以|MD |＝7＋5313
(km)．
13．[解答] (1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°
＝12×22＋32×2
2＝6＋24
.
(2)∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°， ∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝60°，
由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝BC
sin ∠CAB
.
∴BC ＝AB sin75°
sin60°
.
如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度．
在Rt △BDC 中，∵∠BCD ＝∠CBA ＝45°，sin ∠BCD ＝BD
BC
，
∴BD ＝BC sin45°＝AB sin75°sin60°·sin45°＝100×
6＋2
43
2
×2
2，
＝
25(6＋23)3＝50(3＋3)3
(m)． 14．[解答] 依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△PAB 中，AB ＝20，
cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)2
2x ·20＝3x ＋32
5x
.
在△PAC 中，AC ＝50，
cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25
x
，
∴3x ＋325x ＝25x
，解之得x ＝31.
故PC ＝x ，PB ＝x －12.x ＝31.
15．[思路] 要求出M ，N 间距离，可以以MN 为边构造三角形，把问题转化为解三角形问题．首先要寻找已知条件，这里可借助于可测的A 点到M ，N 点的俯角及B 点到M ，N 点的俯角以及A ，B 间的距离．
[解答] 方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1，B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d (如下图所示)．
②第一步：计算AM .由正弦定理得AM ＝d sin α2
sin (α1＋α2)；
第二步：计算AN .由正弦定理得AN ＝d sin β2
sin (β2－β1)
第三步：计算MN .由余弦定理得MN ＝
AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos (α1－β1).
方案二：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；
B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d (如上图所示)．
②第一步：计算BM .由正弦定理得BM ＝d sin α1
sin (α1＋α2)
；
第二步：计算BN .由正弦定理得BN ＝d sin β1
sin (β2－β1)
第三步：计算MN .由余弦定理得MN ＝ BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos (β2＋α2).
[点评] 测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．本题中把测量目标纳入到△AMN 或者△BMN 均可，这两个三角形只能测量出求解目标的对角，要解这样的三角形就必须求出其中的两条边长，而这两条边长可以借助于△MAB ，△NAB 求出．根据求解目标确定三角形，借助于其他的三角形求这个三角形的元素，就是测量问题的基本思想．
16．[解答] (1)设∠BAE ＝α，∠DAF ＝β，CE ＝x ，CF ＝y (0 由已知得：x ＋y ＋x 2＋y 2＝2，即2(x ＋y )－xy ＝2， ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－x ＋1－y 1－(1－x )(1－y )＝2－(x ＋y )x ＋y －xy ＝2－(x ＋y ) x ＋y ＋[2－2(x ＋y )]＝1. ∵0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4EAF ＝π 4 . (2)由(1)知， S △AEF ＝12AE ·AF sin ∠EAF ＝2 4AE ·AF ＝24·1cos α·1cos β＝24·1cos αcos β ＝24·1cos αcos ????π4－α＝12cos α(sin α＋cos α) ＝1sin2α＋2cos 2α＝ 1 sin2α＋cos2α＋1 ＝1 2sin ????2α＋π4＋1. ∵0<α<π4，∴2α＋π4＝π2，即α＝π 8 时△AEF 的面积最小，最小面积为2－1. ∵tan π4＝2tan π81－tan 2 π8 ，∴tan π8 ＝2－1， 此时BE ＝DF ＝2－1， 所以，当BE ＝DF ＝2－1时，△AEF 的面积最小． 全国卷五年考情图解高考命题规律把握 说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题. 1.考查形式 本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现. 2.考查内容 从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算．常用逻辑用语主要从两个方面考查：充分必要条件的判断及全称量词与存在量词；不等式的解法常与集合运算交汇，不等式的性质常以比较大小的方式命题．基本不等式一般不单独考查. 3.备考策略 (1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ①集合的交、并、补集运算问题； ②充分条件、必要条件的判断问题； ③含有一个量词的命题的否定问题； ④一元二次不等式的解法及 基本不等式的应用. (2)重视数形结合、分类讨论、 转化与化归思想的应用. 第一节集合 [最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N ＋ )Z Q R 2.集合的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A的任意一个元素都是集合B 的元素(即若x∈A，则x∈B). A?B或(B?A) 真子集如果A?B且A≠B A B或B A 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 2014年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． . 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ． 【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】21 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5 4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13 5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是 ． 【答案】 6 π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】4 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且 1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】32 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 255 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20?? ??? 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在 点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3- 12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，， 32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的 值是 ． 【答案】22 13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21 ()22 f x x x =-+．若函 数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】() 102 ， 14．若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．． 作答, 解答时应写出文字 高三数学三角函数、解三角形章末复习测试_题型归纳 高三数学三角函数、解三角形章末复习测试（有答案） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是第一象限角，tan ＝34，则sin 等于() A.45 B.35 C．－45 D．－35 解析B由2k＜＜2＋2kkZ，sin cos ＝34，sin2＋cos2＝1，得sin ＝35. 2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B1，则△ABC是() A．直角三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形 解析A sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A1， 又sin A1，sin A＝1，A＝90，故△ABC为直角三角形． 3．在△ABC中，A＝60，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为() A．25 B．51 C．493 D．49 解析D由S△ABC＝12ABACsin 60＝43AB＝2203，得AB＝55，再由余弦定理， 有BC2＝162＋552－21655cos 60＝2 401，得BC＝49. 4．设，都是锐角，那么下列各式中成立的是() A．sin(＋sin ＋sin B．cos(＋cos cos C．sin(＋sin(－) D．cos(＋cos(－) 解析C△sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ，sin(－)＝sin cos －cos sin ， 又△、都是锐角，cos sin 0，故sin(＋sin(－)． 5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是() A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km 解析B如图，由条件知AB＝241560＝6 .在△ABS中，BAS＝30， AB＝6，ABS＝180－75＝105，所以ASB＝45. 由正弦定理知BSsin 30＝ABsin 45， 所以BS＝ABsin 30sin 45＝32.故选B. (2011威海一模)若函数y＝Asin(x＋)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2， 直线x＝3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是() A．y＝4sin4x＋B．y＝2sin2x＋3＋2 C．y＝2sin4x＋3 ＋2 D．y＝2sin4x＋6＋2 解析D△A＋m＝4，－A＋m＝0，A＝2，m＝2. △T＝2，＝2T＝4.y＝2sin(4x＋)＋2. △x＝3是其对称轴，sin43＋＝1. 43＋2＋kZ)．＝k6(kZ)． 当k＝1时，6，故选D. 7．函数y＝sin(2x＋)是R上的偶函数，则的值是() A．0 B. C. D． 解析C当2时，y＝sin2x＋2＝c os 2x，而y＝cos 2x是偶函数． 8．在△ABC中“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的() 专题四不等式 江苏省苏州实验中学徐贻林 【课标要求】 1课程目标 (1) 不等关系：了解现实世界和日常生活中的一些不等关系. For pers onal use only in study and research; not for commercial use (2) —元二次不等式：能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法. (3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题： 能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；并能加以解决(一般的最优整数解问题不作要求). a F (a> 0, b> 0):掌握基本不等式Ta b < a (a> 0, (4) 基本不等式Tab < 2 2 b > 0)；能用基本不等式证明简单不等式(指只用一次基本不等式即可解决的问题) ；能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题) . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 2.复习要求 (1)不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，复习中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨. (2)求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解.复习中，应注意融入算法的思想，让学生更加清晰地认识不等式求解过程. For pers onal use only in study and research; not for commercial use (3)不等式有丰富的实际背景，二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具. 刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，复习中应注意从实际背景中抽象出二元一 次不等式组. (4)线性规划是优化模型之一?教师应引导学生体会线性规划的基本思想，用图解法解决一些简单的线性规划问题，不必引入过多名词.简单的线性规划问题指约束条件不超过四个(x> 0也看作一个约束条件)的线性目标函数的最大(小)值问题?实际问题中经常会涉及最优整数解问题，复习中可向学生作一些介绍，但在训练和考查中不作要求. 高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 专题1.1 集合的概念及其基本运算【考纲解读】 内容 要求 5年统计 A B C 集合 集合及其表示√2017．1 2016．1 2015．1 2014．1 2013·4 子集√ 交集、并集、补集√ 【直击考点】 题组一常识题 1．【教材改编】设全集U＝{小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则?U(A∪B)＝________． 【答案】{7，8} 2．【教材改编】已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，则这样的集合B有________个．【答案】4 【解析】因为A∪B?B，A＝{a，b}，所以满足条件的B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以集合B有4个．学# 3．【教材改编】设全集U＝{1，2，3，4，5， 6，7，8，9}，?U(A∪B)＝{1，3}，A∩(?U B)＝{2，4}，则集合B＝________． 【答案】{5，6，7，8，9} 【解析】由?U(A∪B)＝{1，3}，得1，3?B；由A∩(?U B)＝{2，4}，得2，4?B，所以B＝{5，6，7，8，9}． 题组二常错题 4．设集合M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{(x，y)|y＝2x}，则集合M∩N的子集的个数为________．【答案】8 【解析】由函数y＝x2与y＝2x的图像可知，两函数的图像在第二象限有1个交点，在第一象限有2个交点(2，4)，(4，16)，故M∩N有3个元素，其子集个数为23＝8. 5．已知集合M＝{x︱x－a＝0}，N＝{x︱ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．【答案】0或1或－1 【解析】M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N?M，∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1. 6．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________． 高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的 计算和证明问题． 二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题． 三、教学过程： （一）主要知识： 掌握三角形有关的定理： 正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析： 例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b 圆锥曲线 一、填空题 1、(201５年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线2 2 1x y -=右支上的一个动点,若P 到 直线10x y -+=的距离大于ｃ恒成立,则ｃ的最大值为＿ __ 2 _____＿____。 ２、（2013年江苏高考)双曲线19162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2０１3年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x , 右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ,若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系ｘoy 中,已知抛物线C ：y x 42 =的焦点为F,定 点)0, 22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M,与抛物线Ｃ的准线相交于点N,则ＦM ：ＭN ＝ 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二））已知双曲线22 221(,0)x y a b a b -=>的离心率等于2， 它的焦点到渐近线的距离等于１，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线 22 14x y m -= 的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线2 8y x =的焦点F 与双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线＼F(x ２ ,a 2 )-＼F(ｙ2 ,b 2 )＝１(a ＞0,b >0)的渐近线方程 为y =±＼R(，3）x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线 2 2 15 x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 1０、（南京市、盐城市 高三)若双曲线2 2 2 (0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2 4y x =的焦点重合,则a = ▲ ． Y 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 2014江苏高考数学试题及参考答案 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1．已知集合{2,1,3,4}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =______． 【解析】{1,3}- 2．已知复数2(52i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的实部为______． 【解析】21 2 254i 20i 2120i z =+-=- 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是______． 【解析】5 4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______． 【解析】1 3 当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种情况， 从这4个数中任取两个数有24C 6=种，故概率为 1 3 5．已知函数cos y x =与sin(2)y x ?=+(0π)?≤<，它们的图象有一个横坐标为π 3 的交点，则? 的值是________． 【解析】π 6 由题意，ππ1sin(2)cos 332?? +==，∵0π?≤<，∴2π2π5π 333?≤+< 当且仅当2π5π36?+= ，π 6 ?=时等式成立 6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的 底部周长小于100cm ． (第6题) /cm (第3题) 【解析】24 ∵60(0.150.25)24?+= 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】4 设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得26 6622a a q a q =+，解得22q =，故4624a a q == 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且 1294 S S =， 则 1 2 V V 的值是________． 【解析】 32 设两圆柱底面半径为12,r r ，两圆柱的高为12,h h 则1232r r =，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πr h r h =，1223h h =，则11122232 V S h V S h == 9．在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为_______． ∵圆心(2,1)-到直线230x y +-= 的距离d = = ∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++= 截得的弦长为 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范 围是_______． 【解析】?? ? ??? 若0m ≥，对称轴02m x =-≤，2(1)230f m m m +=+<，解得3 02 m -<<，舍去； 当0m <时，2 m m <- ，()f x 在[,1]x m m ∈+上的最大值只可能在x m =和1x m =+处取到 因此2 2 ()210 (1)230 f m m f m m m ?=- 2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破 考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ＝＝＝2R，其中R 是三角形外接圆的半径． sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形：(1) a∶b ∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2 Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2 ．余弦定理：a2＝b 2＋c2－2 bccos A，b 2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． b 2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b 2－c2 变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S＝a·h a(h a表示a边上的高)．(2) S＝absinC ＝acsinB ＝bcsinA ＝ 2 2 2 2 4R 1 （3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求； （2 ）求的周长的取值范围． 【答案】（1 ）；（2 ）. 所以： 中，利用正弦定理得： 由于： 则： ，， 由于：，则：， 得到：， 所以的周长的范围是：. 【点睛】 本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。 【例2】已知在中，所对的边分别为，. （1 ）求的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1 ）或（2）1 专题9.5 椭圆 【考纲解读】 【直击考点】 题组一 常识题 1． 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2 12＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________． 【解析】由椭圆定义知△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，所以△ABC 的周长是43×2＝8 3. 2． 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________________． 3． 椭圆x 216＋y 2 8＝1的离心率为________． 【解析】由x 216＋y 2 8＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22. 题组二 常错题 4．已知条件甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和为|PA |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；条件乙：P 点的轨迹是以A ，B 为焦点，且长轴长为2a 的椭圆．则甲是乙的________________(填“充分不必要、必要不充分或充要”)条件． 【解析】∵乙推出甲且甲推不出乙，∴甲是乙的必要不充分条件． 5．已知椭圆的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，若直线x －2y ＋2＝0经过该椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为__________________________． 【解析】易知直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25 ＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24 ＝1. 题组三 常考题 6． 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (4，0)，短轴长为6，则a ＝________． 【解析】依题意2b ＝6，所以b ＝3，又 c ＝4，所以a ＝b 2＋c 2 ＝5. 7． 直线l 经过椭圆的两个相邻顶点，若椭圆中心到l 的距离为其长轴长的13 ，则该椭圆的离心率为 __________． 8． 已知圆Q ：(x －1)＋y 2＝16，动圆M 过定点P (－1，0)且与圆Q 相切，则圆心M 的轨迹方程是________________． 【解析】点P (－1，0)在圆Q 内，故圆M 与圆Q 内切．设M (x ，y )，圆M 的半径为r ，则|MQ |＝4－r .又圆M 过定点P (－1，0)，所以|MP |＝r ，所以|MQ |＝4－|MP |，即|MQ |＋|MP |＝4.由椭圆定义知，圆心M 的轨迹是椭圆，且c ＝1，a ＝2，所以b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23 ＝1. 【知识清单】 考点1 椭圆的定义及其应用 1.椭圆的概念 (1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212 P={M||MF|+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集． 2.椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，22 22=1(a>b>0)y x a b + 考点2 椭圆的标准方程 1.椭圆的标准方程： 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长） 高三数学第二轮专题复习 三角函数 题型一 三角函数与三角恒等变换 例1．已知函数f (x )＝sin ωx －sin ? ???ωx ＋π 3(ω＞0). (1)若f (x )在[0，π]上的值域为? ?? ? － 32，1，求ω的取值范围； (2)若f (x )在????0，π3上单调，且f (0)＋f ????π 3＝0，求ω的值． 例2．已知a ＝(sin x ，3cos x)，b ＝(cos x ，－cos x)，函数f(x)＝a·b ＋ 3 2 . (1)求函数y ＝f(x)图象的对称轴方程； (2)若方程f(x)＝1 3在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值． 例3.已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ? ?=-+- ?? ? ⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑴设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域． 【过关练习】 1．已知函数ππ()sin cos 63f x x x ????=- +- ? ?? ?? ?，2()2sin 2x g x =. （1）若α 是第一象限角，且()5 f α= .求()g α的值； （2）求使()()f x g x …成立的x 的取值集合. 2.已知函数()πsin ,4f x A x x ? ?=+∈ ?? ?R ，且 5π3 122 f ??= ???. （1）求 A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，π0,2θ??∈ ???，求3π4f θ??- ??? . 3.已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++，其中a ∈R ，ππ,22 θ??∈- ??? . （1）当a = ，4 θπ = 时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值与最小值； （2）若02f π?? = ??? ，()1f π=，求,a θ的值. 专题9.7 抛物线 【考纲解读】 【直击考点】 题组一 常识题 1． 已知抛物线y ＝34x 2 ，则它的焦点坐标是____________． [解析] 由y ＝34x 2得x 2 ＝43y ，∴p ＝23，∴焦点坐标为? ?? ??0，13. 2． 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的标准方程是____________． [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且抛物线的开口向右，所以抛物线的标准方程为y 2 ＝8x . 3． 斜率为1的直线经过抛物线y 2 ＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________． ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8. 题组二 常错题 4．若抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程为________________． [解析] 令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4.故抛物线的焦点是F (4，0)或F (0，－2)，所以所求抛物线的标准方程为y 2 ＝16x 或x 2 ＝－8y . 5．抛物线x 2 ＋2py ＝0的焦点到准线的距离为4，则p ＝________． [解析] 将方程x 2＋2py ＝0变形为x 2 ＝－2py ，则有|p |＝4，所以p ＝±4. 题组三 常考题 6． 抛物线x 2 ＝－2y 的焦点坐标是______________． [解析] 由已知得2p ＝－2，所以p ＝－1，故该抛物线的焦点坐标为? ????0，p 2，即? ????0，－12. 7． 已知焦点在x 轴上的抛物线的准线经过点(－1，1)，则抛物线方程为______________． [解析] 由题意，设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)，所以准线方程为x ＝－p 2.因为准线经过点(－1，1)， 所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2 ＝4x . 8． 设F 为抛物线C ：y 2 ＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【知识清单】 考点1 抛物线的标准方程及几何性质2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第1章 第1节 集合 Word版含答案
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