泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）
1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.
A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα，
y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.
A. 0等价于0且,0==≥x x x
B.()数复为任意实,αααx x =
C. y x y x +≤+
D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列
4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的
5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1
1p q
+的值为（ ）.
A. 1-
B.
12 C. 1 D. 12
- 二、填空题（每个3分，共15分）
1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）
1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。( )
2、距离空间中的列紧集都是可分的。( )
3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( )
4、任何一个Hilbert空间都有正交基。( )
5、设X是线性赋范空间，T是X X的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。( )
四、计算题（10分）
叙述1l空间的定义，并求1l上连续线性泛函全体所成的空间？。
五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分）
1、若T为Banach 空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。
2、设[0,1]C 表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]x y C ∈，令
1
0(,)|()()|,d x y x t y t dt =-?证明(,)x d 成为度量空间。
3、证明n
R 按范数||||max ||i i
x ξ=组成的赋范线性空间X 与n
R 按范数1
||||||
n
i i x ξ==∑组成的赋范线性空间Y 共轭。
4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有
一个弱*收敛子列。
5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性
子空间。
泛函分析期末考试试卷答案
一、选择题
1、A
2、D
3、B
4、D
5、D
二、填空题
1、柯西点列
2、巴拿赫空间
3、∞
l 4、|
1、对
2、对
3、错
4、错
5、错 四、计算题
答： 1
121(,,),,(1,2)i i i l x R i ξξξξ∞
=??
==<∞∈=∞????
∑L L
对于任意12(,,,)n x ξξξ=L L ，12(,,)n y ηηη=L L ，定义运算
1122(,)n n x y ξηξηξη+=+++L ，12(,)n ax a a a ξξξ=L
1
l 按上述加法与数乘运算成为线性空间11
i i x ξ∞
==∑
1l 按上述定义的范数构为Banach 空间
令(0,01,0),1,2n n
e n ==L L L ，121
(,,0,0,),n
n n n i i i x x e ξξξξ===∑L L
则121(,)n n
x l ξξξ?=∈L L 能被表示为lim n n x x →∞
=，对任意给定()'
1f l ∈，
令(),1,2n n f e n η==L 则1
1
()(lim )lim ()lim ()n n
n n i i i i n n n i i f x f x f x f e ξξη→∞
→∞
→∞
======∑∑.
又因为1i e =对于i ?
有1()i i i f e f e f η=≤=。
由此可得sup i i
f η≤即12(,)n l ηηη∞∈L L
反之，对12(,)n b l ηηη∞?=∈L L ，作1l 上泛函()f x 如下：
1121(),(,)n
i i n i f x x l ξηξξξ==?=∈∑L L ，显然f 是1
l 上线性泛函，又因为
11
1
1
()sup .sup ,i i i i i i i i
i
i i i f x x ξηξηηξη∞∞∞
====≤≤=∑∑∑
因此，1'(),f l ∈并且有sup .i i
f b η∞≤=综上1'().l l ∞=
五、证明题（共50分）
1、 证：反证法。若T 为定义在整个空间X 上的闭算子，
由于X 为闭集，而X 为Banach 空间，由闭图像定理可知，T 为X 到X 的有界闭算子， 这与T 为无界闭算子矛盾，原命题成立。
2、证：由定义，对于,[0,1],x y C ?∈显然(,)0,d x y ≥且如果()(),[0,1],x t y t t =∈显然
(,)0,d x y =反之如果(,)0,d x y =因为|()()|0,x t y t -≥所以()(),..[0,1],x t y t a e =于由于(),()x t y t 为连续函数，若0[0,1],t ?∈使得00()(),x t y t ≠则存在0,δ>使得在00(,)[0,1]t t δδ-+?区间上，均有()(),x t y t ≠这与()(),..x t y t a e =相矛盾，所以
()(),[0,1].x t y t t ≡∈此外，对于,,[0,1],x y z C ?∈
1
1
1
(,)|()()||()()||()()|(,)(,)d x z x t z t dt x t y t dt y t z t dt d x y d y z =-≤-+-≤+???
即三点不等式成立。因此(,)x d 成为度量空间。
3、证：定义X ’到Y 的映射T ，任意'
1,((),,()),n f X Tf f e f e ∈=L 其中
(0,,0,1,0,0),1,2,,i e i n ==L L L 对任意1
n
i i i x e ξ==∑，
1
1
()()()max n n
i
i
i
i
i i f x f e f e ξξ
===
≤∑∑=Tf x ，
于是f Tf ≤。 反之，对任意()1,,,n y Y ηη=∈L 定义'
f X ∈：对任意1
n i i
i x e ξ==
∑，1
(),n
i i
i f x ξη==∑
则Tf y =。因此T 是从X ’
到Y 上的映射。 若(0,,0)y =L ，则显然0f =
，则0Tf f == 若1(,,)(0,,0),n y ηη=≠L L 令1
(sign )n
i
i
i x e η==
∑，则
1x =。
因此()f f x ≥=
1
.n
i
i y Tf η
===∑
从而.Tf f =于是T 是从X ’到Y 的同构映
射，在同构的意义下X ’=Y 。
4、证： 设{},n f M ?存在0,,1,2,.n K f K n >≤=L 设{}n x 是X 的可数稠密子集.考察有界数
列{}11().n n f x ∞
=由Weierstrass 定理，存在收敛子列{}
{}1,11()().n n f x f x ?同理{}
1,21
().n n f x ∞=也有收
敛子列{
}2,2()
n f x .一般地，若已有子列{},1()k n k n f x ∞=收敛，考察{},11().k n k n f x ∞
+=.由于数列的有界
性可找到收敛子列{
}1,11()
k n k n f x ∞
++=K K 我们用对角线法则,取泛函列{}{},11k k n n k f f ∞
∞
==?,{},k k f 在
稠密子集{}n x 上点点收敛.事实上,由定义,对任意i ,{
}
,1
()i n i n f x ∞=是收敛的，而{}
,k k
k i
f ∞=是{}
,1
i n
n f ∞=的子列，因此{}
,1
()
k k i k f x ∞=也是收敛的， {}
,k k f 在{}n x 上点点收敛,即 {}
,k k f 弱*收敛。
5、证：对于,,,,a R x y M z M ⊥?∈?∈?∈
则,,,0,x y z x z y z +=+=,,0,ax z a x z ==
因此M ⊥为H 的线性子空间。
另外，对于任意M ⊥中的聚点x ，即存在由M ⊥中互异的点组成的点列{},n x 使得
lim .n n x x →∞
=
由内积的连续性，可知,lim ,lim ,0,n n n n x z x z x z →∞
→∞
===即x M ⊥
∈,
因此M ⊥
为H 的闭线性子空间。.
试卷评价：题型丰富，难易结合
《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16）
2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间
应用泛函分析相关习题.doc
泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
泛函分析试题B
泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1),
,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（ ）. A. 1- B. 12 C. 1 D. 12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。 2、任何赋线性空间的共轭空间是（ ）。 3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按积空间
应用泛函分析相关习题
泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
泛函分析试题一
泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的
应用泛函分析复习资料小结
-` 第一章实分析概要 本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。 第一节集合及其运算第 二节实数的完备性第三 节可数集与不可数集 第四节直线上的点集与连续函数第 五节点集的勒贝格测度与可测函数
-` 1
-` 第六节勒贝格积分 第一节集合及其运算 1）A∪A=A,A∩A=A; 2）A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ； 3）若A?B，则A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ； 4) 设X为基本集，则 A ∪ A C= X , A ∩ A C=Φ, ( A C)C= A, A \ B = A ∩ B C 又若A?B，则A C?B C。 集合的运算法则： 2
-` 交换律 A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ； 结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C； ( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C； 分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ； ( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ； ( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) . 定理 1.1 设X为基本集，Aα为任意集组，则 1) ( U Aα )C=I ( Aα )C (1.6) α∈I α∈I 2) ( I Aα )C=U ( Aα )C (1.7) α∈I α∈I A \ ( A \ B)= A I B 3
第二节实数的完备性 2.1有理数的稠密性 2.2实数的完备性定理 定义 2.1(闭区间套) 设{[a n,b n]}(n=1,2,L, )是一列闭区间，a n泛函分析试题
1． 对于积分方程 ()()() 1 t s x t e x t ds y t λ--=?为一给定的函数，λ为 常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。 2． 设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为 ()11,21+k k k k k k x y ξηρξη=-=-∑，其中， ()() 11,,,=,,n n x y ξξηη=??????。求证s 为 一完备的距离空间。 3． 在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>， 存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。求证{}n x 收敛。 4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的* B 空间 5． 为了()F C M ?使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的 且等度连续的函数族。 6． 设 () ,A x y ?∈，求证（1）. 1 sup x A AX ≤=，（2 ） 1 sup x A AX <=。 7． 设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数， 并存在0M >，使得( ),a x y M x y ≤，则存在唯一的()A x ?∈， 使得 ()() ,,a x y x Ay =且 ()(),0,0 ,sup x y X X x y a x y A x y ∈?≠≠=。 8． 求证()2f L ?∈Ω，方程() 0u f u ?Ω?-?=Ω?? =??在内若解存在唯一。 9． 设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ?∈≠。求 证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()() ()02.x f x x ρρ≤ 。 10． 叙述开映象定理并给出证明。 11． 叙述共鸣定理并给出证明。
泛函分析试卷(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的
C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间
泛函分析的应用
现代数学基础学习报告 泛函分析应用 院系： 专业： 导师： 姓名： 学号：
摘要 信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍 泛函分特点和内容[1] 泛函分析是20世纪30年代形成的分科，是从变分问题，积分方程和的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和。它可以看作无限维向量空间的解析几何及。泛函分析在，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个的系统的运动，实际上需要有新的来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多力学系统的例子。一般来说，从力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在、概率论、函数论、连续介质力学、、计算数学、、等学科中都有重要的应用，还是建立理论的基本工具，也是研究无限个自由度的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、、、、等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。 泛函的理论[2]
应用泛函分析习题解答
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞
非线性泛函分析试题与答案
一. 名词解释 弱收敛，弱*收敛，,0()k p W Ω，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2C 映射的Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray-Schauder 度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G-微分 212 1222 1212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ?≠?=+??=? 四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p p n T u W u u u L T R ? ∈=∈，有 1,p T W u C u ∞ ≤ 五. 设n R Ω?是有界闭集，(,,)k x y u 是2 R Ω?上的连续函数，证明积分算子 :()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ??Ω Ω→Ω=? 是全连续算子。 六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞?→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解 (,) (0)dx f t x dt x x ?=???=? 七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足 ()()()(), t a w t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤? 则 ()()exp(())exp(()) t t t a a s dv w t v a u s ds u d ds ds ττ≤+??? 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。 九. 设:n n f R R R ?→连续，关于 x 是局部Lipschitz 的，关于t 是T 周期的，若存在球(0)n r B R ?使得 (0),[0, ]r x B t T ∈?∈时，1 (,),(,)0n i i i f t x x f t x x =<>=<∑，证明下列初值问题存在T 周期解 (,) dx f t x dt ?=??
泛函分析考试试卷自制试卷
B、(A*)*=A** D、(aA)*= a A* x?X有 泛函分析考试试卷 、选择题。 1、下列说法不正确的是( ) A、n维欧式空间R n是可分空间 B、全体有理数集为 R n的可数稠密子集 C、 I a是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间 X是可分的 答案：D 2、设T是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d~)的映射，那么T在x°?x连续的充要条件是() A、当xm x o (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m) B、当 X n f x o (n ig)时，必有T X O T Tx n (n^m) C、当 X O T x n (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m) D、当 X n f x o (n^O)时，必有 Tx n f Tx o (n0) 答案：D 3、在度量空间中有() A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列 C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列 D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( ) A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B、L p[a, b] (p》)是巴拿赫空间 C、空间l p是巴拿赫空间 D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案：D 5、下列对共轭算子性质描述错误的是( ) A、(A+B)*=A*+B*; C、当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 、填空题 1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集 M为 __________________ O 答案：原像T-1M是X中的开集 2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间 Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。 答案：连续算子。 3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切 答案：(Tx , x) =0 4、有界线性算子T的共轭算子T x也是有界线性算子，并且 答案：=
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100 分） 、选择题（每个 3 分，共15分） 列哪个式子成立（）. A．收敛点列的极限是唯一的B. 基本点列是收敛点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y 为完备的充要条件是 （ 5、设l p（1 p ）的共轭空间为l q，则有1 p 1 A. 1 B. C. 1 D. 2 二、填空题（每个 3 分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 1、设X 是赋范线性空间，x,y X ，T 是X 到X 中的压缩映射，则下 A．Tx Ty x y ，0 B. Tx Ty ，1 C. Tx Ty x y ，0 D. Tx Ty ，1 2、设X 是线性空间，x,y X，实数x 称为x的范数, 下列哪个条件 不是应满足的条件：）. A. 0, 且x 0等价于x0 B. x x , 为任意实复数 C. x y x D. xy xy 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）. C．基本点列是有界点列 D. 收敛点列是有界点列 ）. A．集X 是开的 B. 集Y是开的 C. 集X 是闭的 D. 集Y 是闭的 1的值为（ q ）. 3、l 1的共轭空间是（）。
4、设X 按内积空间
最新--2学年度-《泛函分析》期末试题1资料
大庆师范学院2011级数学与应用数学专业《泛函分析》期末考试试卷 题号一 -------------------------------------------- 一、填空题（每空1分，共5分） 1．如果度量空间X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间． 2．离散度量空间X可分的充要条件是X是可数集． 3．'l的共轭空间是． 4．当Y是巴拿赫空间时，） （Y X→ B是． 5．完备的度量空间上的有唯一的不动点． 二、单项选择题（每小题1分，共5分） 1．设 111 (,) P x y， 222 (,) P x y是平面2R上任意两点，则下列关系d不是2R上距离的为（） A． 12 ,) (P d P= B．{} 121212 ,)max||,|| (P x x y y d P=-- C．2 12 ,) (P d P= D．12 12 12 || ,) 1|| (x x P x x d P- = +- 2．下列度量空间不是可分空间的有（） A．R n B．[,] C a b C．l∞ D．(0) p L p <<∞ 3．（2R）中，按下列定义不能构成赋范线性空间的有（） A．2 2y x P+ =()2R y x P∈ ? = B．y x P+ = C．} {y x P? =max D． x x P + = 1 三、判断题（每小题1分，共10分） 1．完备度量空间的闭子空间是完备子空间．（） 2．离散度量空间是完备的度量空间．（） 3．有限维赋范线性空间都是巴拿赫空间．（） 4．赋范空间有限维子空间都是完备的．（） 5．(1) Ln i+ 1 ln2(2),0,1,2, 24 i k k π π =++=±±．（） 四、计算题（共70分） 1．设) ( 3 1 1 3 2 R x x T x ∈ ? ? ? ? ? ? ? =为2R上算子，求T．
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷(总分100分) 一、选择题(每个3分,共15分) 1、设X 就是赋范线性空间,X y x ∈,,T 就是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立( )、 A.10<<-≤-αα， y x Ty Tx B 、1≥-≤-αα， y x Ty Tx C 、10<<-≥-αα， y x Ty Tx D 、1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 就是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不就是应满足的条件:( )、 A 、 0等价于0且,0==≥x x x B 、()数复为任意实,αααx x = C 、 y x y x +≤+ D 、 y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个就是错误的( )、 A.收敛点列的极限就是唯一的 B 、 基本点列就是收敛点列 C.基本点列就是有界点列 D 、收敛点列就是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件就是( )、 A.集X 就是开的 B 、集Y 就是开的 C 、集X 就是闭的 D 、集Y 就是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ,则有11p q +的值为( )、 A 、 1- B 、12 C 、 1 D 、 12 - 二、填空题(每个3分,共15分) 1、度量空间中的每一个收敛点列都就是( )。 2、任何赋范线性空间的共轭空间就是( )。
3、1l 的共轭空间就是( )。 4、设X 按内积空间
实变函数与泛函分析初步试题(3)
浙江省2009年10月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设f （x ）在E 上有定义，D 与D ′是E 的两个可测分划，D ′是D 的加细，s （D ′，f ）与s （D ,f ）分别表示f （x ）在E 上的两个Darboux 小和，则有（ ） A.s （D ,f ）≤s （D ′,f ） B.s （D ,f ）=s （D ′,f ） C.s （D ,f ）≥s （D ′,f ） D.不能确定 2.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的闭包Q 是（ ） A.Q B.φ C.R D.R ＼Q 3.设{F n }是一列闭集，F = ∞=1 n F n ,则F 一定是（ ） A.开集 B.闭集 C.开集，也是闭集 D.不能确定 二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.可数个可数集的并集是不可数集.（ ） 2.若点集E 的任一个聚点属于E ，则E 一定是闭集.（ ） 3.设P 是Cantor 三分集，x ∈P ,则x 一定不是内点.（ ） 4.设A ,B 是R n 中的两个可测集,则A ∩B 不一定可测.（ ） 5.Dirichlet 函数是不可测函数.（ ） 6.设f （x ）是［a ,b ］上的单调函数,则f ′（x ）a.e 存在.（ ） 三、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设{}∞ =1n n A =1是一列单调递增的集列,则∞ →n lim A n =______. 2.设E ?R n 是开集,则CE 是R n 中______（开,闭）集. 3.Lebesgue 可测集可以表示为______集与零测度集的和集. 4.设f +（x ）与f -（x ）分别是f （x ）的正部与负部,则|f （x ）|用f +（x ）与f -（x ）表示为|f （x ）|=______. 5.设f （x ）在E 上Lebesgue 可积,则对任意可测子集A ?E ,?→A mA x f dx )(lim 0=______. 6.设F 1?R p ,F 2?R q 为闭集,则F 1×F 2是R p +q 中的______（开,闭）集. 7.设F n =［n 1,1-n 1］,n=3,4,…,则 ∞ =3n n F =______.