1 重积分
一、重积分 1．计算{}
2222
,max 0
a
b
b x a y
dx e
dy ??，
（0,0a b >>） 解：原积分22
22
b a
x a b
b x a y a b x
a I dx e
dy dx e dy =+????
22
220
00a
a
b y b x a y b
b xe dx dy e dx a
=+?
??
=
222211(1)(1)22a b a b e e ab ab -+-221(1)a b e ab
=- 2. 计算????+=y
y
x
y y
x
y
x e y x y I d d d e d 12
12
121
4
1.
解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到
1121112
2
4
d d d d y y x
x
y
I y x y x =+???
2112
d e d y x
x
x
x y =??1
12
(e e )d x x x =-?
3e 8=-3.
求积分π20
I x =?
.
解：交换积分次序，得20
y I y =?
?
y =?
π0
2
u u y
=
?
π20
u =?
π0
u =?
π201πd 24
u ==?.
4. 计算 ?
?
?
?-------+=2
22
2
222
22
2
t a n
s i n s i n s i n 0
e e
e e
y b y x b a y y b y
a x a y dx dy dx dy I ??
?
?
，
其中2
0,0π
?<
<<
解：积分区域D 为2222b y x a ≤+≤与?tan 0x y ≤≤的公共部分， 取极坐标计算，有
2
2
2
2
sin sin 0
sin tan e
e
a b y x y x a y I dy dx dy dx ?
?
?
?
----=+?
?
222
2
()
e
e
e b
x y r r a
D
D
dxdy rdrd d r dr ?
??-+--===??????
2
2
22
01e e e ()22
a b b
r a d d r d ?
?θθ----=--=?
??
2
2
e e 2
a b
?---=.
5. 设(){}(){}1010Max ≤≤≤≤==y ,x x,y ,D x,y x,y f D
，求()2||D
f x,y y x d σ-??．
解：将区域D 分成三块： (){}1D 011x,y x ,x y =≤≤≤≤
(){}
2
2D 01x,y x ,x
y x =≤≤≤≤
(){}2
3D 010x,y x ,y x =
≤≤≤≤
则
()()()()1
2
3
2
222D ||D
D D
f x,y y x
d y y x d x y x d x x y d σσσσ-=-+-+-????????
()()()2
21111
2
2
2
2
x x x
x
dx y yx dy xdx y x dy xdx x
y dy =-+-+-??????
234355
1
114
0001d d d 3232222x x x x x x x x x x ????=--++-++ ? ???????? 1140=
． 6. 计算二重积分].2
,
0[]2
,
0[,)cos(π
π
?=+??D dxdy y x D
分析：被积函数带有绝对值的定积分的计算关键在于去掉绝对值，要去掉绝对值就要将积分区域分块.
解：由于cos(),2
cos()cos(),2x y x y x y x y x y ππ?
++≤??+=??-++>??
设1(,)2D x y x y π??=+≤????，2(,)2D x y x y π??
=+>???
?，则
=+??dxdy y x D
)cos(.)cos()cos(2
1
dxdy y x dxdy y x D D ????+-+
而cos()cos cos sin sin x y x y x y +=-，故
????--=+x
D dy y x y x dx dxdy y x 20
20
]sin sin cos [cos )cos(1
π
π
?-+=20
2
0]cos sin sin [cos π
π
dx y x y x x
.12
]cos []sin 1[2
020
-=
+=-=?π
ππ
x x dx x
??
??--=+2220
]sin sin cos [cos )cos(2
π
ππ
x
D dy y x y x dx dxdy y x
.2
1][sin ]1[cos 2
020
π
ππ
-
=-=-=?x x dx x
于是.2)2
1()12
(
)cos(-=-
--=+??ππ
π
dxdy y x D
7.
计算积分：D
，其中D 是矩形区域 ||1x ≤，20≤≤y .
解： 记21{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤-≤
22{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤≤-，
于是
1
2
D
D D =+
112
2
2
21
12
221
1
()()x x
dx x y dy dx y x dy --=-+-????
3
322
1
1
22
1122()(2)33
x dx x dx --=
+-?? 3
3
22
112200
44()(2)33x dx x dx =+-?? π
134400
416cos 33x dx tdt =+??
（令x t =）
2
π401161cos2332t dt +??=+ ???
? π40141cos412cos2332t t dt +?
?=+++ ???
? π
4
0143sin 4sin 23328t t t ??=+++???? 143ππ5
133823
??=
++=+ ???. 7. 设{}(,)||||1D x y x y =+≤，计算积分(||)D
x y dxdy +??
解：积分区域D 关于x 轴、y 轴及原点对称，而||y 在D 上是关于y 的偶函数，x 在D 上是关于x 的奇函数，设1D 为积分区域第一象限部分，则
(||)||D
D
D
x y dxdy xdxdy y dxdy +=+??????
1
4D ydxdy =??
2111
0(1)2
4423
x
x dx ydy dx --===??
?.
8.设2
21
()t x
f x e dt -=-?，求1
()xf x dx ?.
解：由题意可得：2
2111
()t x
xf x dx x e dt -=-???，令2
(,)t f x t xe -=，
积分区域2101:t x D x ≤≤≤≤???
交换积分次序，得：001
':x t D ≤≤≤≤?????
于是
2
21
11
()t x
xf x dx x e dt -=-?
??
2
1
t e dt -=-?
()211
011124
t e tdt e --=-
=-?. 9. 设()22arctan 100y ,x y x f x,y x
,?
+≥>?
=???且其他，求()??D y x x,y f d d ， 其中(){}
y y x x,y D 222≤+=．
解：记区域(){}
0,21221≥≤+≤=x y y x x,y D ，则
()1
,arctan D
D y
f x y dxdy dxdy x =??
??2sin 216d d π
πr r θθθ=?? ()2
2
266114sin 1cos 222
d d π
π
ππθθθθθθθ??=?-=- ?????
22
6
1112sin2sin24226
π
πd π
θθθθθπ??=-+?????
2
318
8
π=
+． 10. 计算(
)22ln(d d D
I x y x x y =+??，其中D 是221x y +≤在一、三象限
部分.
解：记221x y +≤在一、二、三、四象限部分分别为1234,,,D D D D ，则由于被积函数关于y 是偶函数，关于x 是奇函数，故
(
)(
)1
2
2
222ln(d d ln(d d D D x
y x x y x y x x y +=++
????
(
)(
)3
2
2
222ln(d d ln(d d D D x
y x x y x y x x y ++
=-++
????
于是 (
)22l n ()d d D
I x y x x y
=+?? (
)(
)1
3
2222ln(d ln(d D D x y x x y x y x x y =++++????
(
)(
)2
2
2222ln(d ln(d D D x y x x y x y x x y =+-+????
0=.
11. 计算2
2()
lim
min{,}x
y a D
x y e dxdy -+→+∞
??，其中D 为正方形区域[,][,]a a a a -?-.
解: 用直线y x =将D 划分为左上部分1D 和右下部分2D ，在1D 上y x ≥，在
2D 上y x ≤，且1D 和2D 关于y x =对称，于是
2222221
2
()
()
()
min{,}x y x y x y D
D D x y e
dxdy xe
dxdy ye
dxdy -+-+-+=+??????
221
()
2x y D xe
dxdy -+=??2
2
2a
y
y x a
a
e
dy xe
dx ----=??
2
2
2
()a
y a y a
e
e
e
dy ----=-?2
2
2
20
22a
a
a y y e
e
dy e
dy ---=-?
?
又
2
2
lim
a
x x a e dx e dx +∞
--→+∞==
?
?
于是 2
2
lim 20a
a
y a e e dy --→+∞=?
，2
20
lim 2a
y a e dy -→+∞
-=? 所以
22()
lim min{,}x y a D
x y e
dxdy -+→+∞
=??. 12. 计算?
?
+10
10
]22[dxdy y x , 其中[]x 为不超过x 的最大整数.
解：
111
1
220
00
[22]0x x y dxdy dx dy -+=???
?
11112110
22
x x
x
dx dy dx dy ---++????
131
1
2210
112
22x x
x
dx dy dx dy ---++????
1
1
1
32
23x
dx dy -+
?
?
32
=
13.
设二元函数2,1,(,)2,x x y f x y x y ?+
=≤+≤{(,)|2}D x y x y =+≤， 求(,)d D
f x y σ??.
解：记1D 为D 位于第一象限内的部分，由对称性可知
1
(,)d 4(,)d D
D f x y f x y σσ=????，
记2{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，3{(,)|12,0,0}D x y x y x y =≤+≤≥≥， 则有
1
2
3
(,)d (,)d (,)d D D D f x y f x y f x y σσσ=+??????，
2
1
12
1(,)d d d 12
x
D f x y x x y σ-==
??
??
， 3
22cos sin 10
cos sin (,)d d d D f x y r π
θθ
θθ
σθ++=??
?
?
20
1d cos()
4
π
θπ
θ=
-
20)tan()]1)44π
ππθθ=-+-=，
于是
1
(,)d 221)3
D
f x y σ=
++??
. 14. 函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)(,1)0f y f x ==,(,)D
f x y dxdy a =??，
其中，{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤,计算二重积分''
(,)xy D
I xyf x y dxdy =??.
解：因为(1,)(,1)0f y f x ==，所以'(1,)'(,1)0y x f y f x ==,从而
1
1
''
(,)xy I xdx yf x y dy =??
1
1
'
1'0
[(,)|
(,)]y x y x x yf x y f x y dy dx ===-??
11
'00
(,)x dy
xf x y dx =-??
11
1
00
[(,)|(,)]x x xf x y f x y dx dy ===--
??
1
1
(,)dy f x y dx a =
=??
15. 若连续函数(,)f x y
满足22200912(,)(,)1x y x
f x y y f x y d σ≤+≤=-??
，
求
2212(,)x y x
f x y d σ≤+≤??
．
解：令
2212(,)x y x
f x y d A σ≤+≤=??
，则
2222121092201)x y x
x y x
A d A
d y σσ≤+≤≤+≤=
+??
??
2cos 30
1
2(1)d r rdr π
θ
θ=-??
3
2330016cos 4cos 39
d d ππ
πθθθθ=-+??
2
330016(1sin )sin 2(1cos 2)39
d d ππ
πθθθθ=--++??
3
π
． 16. 若(,)f x y 在12:2,01;:01,2D y x y y D x x y x ≤≤-≤≤≤≤≤≤-内连续，
⑴证明：1
2
(,)(,)D D f x y d f y x d σσ=????；
2
1
(,)(,)D D f x y d f y x d σσ=????.
⑵利用上式，求12
D D I σ+=
??
.
证明：⑴ 将积分区域1D 中变量x 与y 互换得区域2D
1
120
(,)(,)y y
D f x y d dy f y d x x σ-=??
??
120
(,)y y d f d y y t t -=??
120
(,)x x
d f d x x t t -=??
1
20
(,)x x
d f d x x y y -=??
2
(,)D f y x d σ=??；
同理，
2
1
(,)(,)D D f x y dxdy f y x dxdy =????.（积分轮换对称性）
一般地，若区域1D 与区域2D 关于直线y x =对称，则
2
1
(,)(,)D D f x y dxdy f y x dxdy =????.（积分轮换对称性）
⑵由⑴知
1
2
D D I σσ
=+
2
1
D D σσ=+
12
D D σ+=
??
故
121
2D D I d σ+=
+??
12
1
()2D D a b dxdy +=
+??()a b =+. 17. 证明),(2
1
)()()()(2b a R dxdy y f x f y bf x af D
+=++??
π其中D 为圆域222R y x ≤+，)(x f 为
正值连续函数。
证明：由于积分区域D 为圆域,关于x y =对称,故由积分轮换对称性，有
,)()()
()()()(??
??+=+D
D
dxdy y f x f y f dxdy y f x f x f
于是
??
??+=+D
D
dxdy y f x f y f dxdy y f x f x f )()()()()()(
.2121)()()()(212
R dxdy dxdy y f x f y f x f D
D π????==++=
所以
??????+++=++D D D
dxdy y f x f y f b dxdy y f x f x f a dxdy y f x f y bf x af )()()
()()()()()()()( .)(2
1
22222R b a R b R a πππ+=+=
18. 设()f x
连续可导，证明：[]1
(1)(0)x dx f f π=-??
.
证明：交换积分次序，得
1
110
0x dx dy =?
?
??
110
()y
f y dy '=??
，
而
10
=?
t =）
2=
π==，
所以
110
()x dx f y dy π''=??
?
[](1)(0)f f π=-.
19. 设区域D 为122≤+y x ，证明
π52d d )(sin π16561322≤+≤??y x y x D
. 证明：令cos x r θ=，sin y r θ=，则
s i d d D
I x y =??
1
30
2sin r r dr π=?
由于，当0r >时，有 31
sin 6
r r r r -<<，于是
410341
sin 6r r r r r -<<
114104006112
2()216565
r r dr I r dr ππππ=-≤≤=??
即证明了
π52d d )(s i n π16561322≤+≤??y x y x D
. 20．设正值函数()f x 在闭区间上连续，()1b a
f x dx =?，证明：
()1
()()(1)()
b
b
f x a
a
f x e dx dx b a b a f x ≥--+?
?
. 证明：记{}(,)|,D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则：
()
()
1()()()()b
b
f x f x a
a
D
f x f x e
dx dx e dxdy f x f y =?
?
?? ()()
1()()()2()()f x f y D D
f x f y e dxdy e dxdy f y f x =+????（对称性） ()()
2
f x f y D
e
dxdy +≥??
（利用1
()2
u v +≥
()()
(1)2
D
f x f y dxdy +≥+
?? （利用1u e u >+） ()(1)b a b a =--+.
21. 求曲线 ln ln 1x y +=所围成的平面图形的面积.
解：(方法一)去掉绝对值，曲线方程为：
,1,1,1,1,01,01,11
,01,01
xy e x y y x x y e
y ex x y xy x y e =≥≥??
?=≥<
=<<≥??=<<<
故所围成的平面图形的面积1
1111
()()e e e x A ex dx dx e ex x e e
=-
+-=-??.
解：(方法一)令ln ,ln x u y v ==,则,u v x e y e ==，:||||1D u v '+≤
00
u u v u v v
u
v
x x e J e e y y e =
=
=?
于是所围成的平面图形的面积||D D A dxdy J dudv '
==????u v D e e dudv '
=???
11
11
1
11
u u
u v u v u u e du e dv e du e dv e e
+-----=+=-??
??
. 22. 求抛物面221z x y =++上任意一点000(,)P x y 处切平面与抛物面22
z x y =+所
围成立体的体积.
解：抛物面221z x y =++在点000(,)P x y 处的切平面方程为
220000221z x x y y x y =+-++，
由 22
22
0000221
z x y z x x y y x y ?=+?=+-++? 求得围成立体的投影区域2200()()1D x x y y -+-≤：，于是，所围成立体的体积
22220000(221)d d D
V x x y y x y x y x y =+-++--??
2200π
[1()()]2
D
x x y y =----=
??. 23. 过点(1,0,2) 作曲面221z x y =++的切平面，求该切平面与221z x y =++及
22(1)1x y -+=所围成立体的体积
.
解：⑴221z x y =++在（1,0,2）的法向量
(1,0,2)(221)(201)x y =--=-n ，
得切平面方程2z x =.
⑵所围立体以221z x y =++为顶，2z x =为底，以22(1)1x y -+=为侧面，
所以 22
12D
V x y x d σ??=++-??
??，其中D 是22(1)1x y -+=围区域.利用极坐标计算
2c o s
2
2
2
12c o s V d r r r d
r π
θπθθ-
??=
+-????
2
432
12(2cos )(2cos )cos 43d π
ππθθθθ-
??=+
-?????? 2
4
42()c o s 3d π
πθθ=+-?83134222πππ=-???=.
24. 设函数(,),(,)u x y v x y 在闭区域22:1D x y +≤上有一阶连续偏导数，又
(,)(,)(,)x y v x y u x y =+f i j ，()()(,)x y x y x y u u v v ''''=-+-g i j ，
且在D 的边界上有(,)1,(,)u x y v x y y ≡≡，求d D
σ???f g .
解：因为 u u v v v u x y x y ?????
????=-+- ? ?????????
f g
u v u v
v
u v u x x y y ??????=+-+ ???????
()()u v u v x y ??=-?? 所以
()()
d d D
D uv uv x y σσ?????=- ????
???
??f g
d d d d L
L
uv x uv y y x y y =
+=
+?
?
2π
20
(sin sin cos )d π,θθθθ=-+=-?（22:1L x y +=正向）
. 25. 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线)1(2x a y -=)0(>a 及x 轴所围成的, 现
要求当此薄片以)0,1(为支点向右方倾斜时, 只要θ角不超过 45, 则该薄片便不会向右翻倒,问参数a 最大不能超过多少?
解 0=x ，5
22)
1(0
10
)1(0
1
022a dy
dx ydy dx dxdy
ydxdy
y x a x a D
D
=
=
=
?
??
?????--倾斜前薄片的质心在5
2,
0(a
P , 点P 与点)0,1(1)5
2(
2
+a , 薄片不翻倒的临界位置的质心在点 )1)5
2(
,1(2+a M , 此时薄片底边中心在点)22
,221(-
N 处, 有 =
MN k 145tan )
2
2
1(12
2
1)52(
2==---+ a , 解得25=
α, 故a 最大不能超过2
5. 2
6. 设),(y x f 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：
220lim 2(0,0)D
f f
x y x y
dxdy f x y επ→??+??=-+??, 其中D 为圆环域：1222≤+≤y x ε.
证明：(方法一)令cos x r θ=，sin y r θ=，
cos sin f f x f y f f
r x r y r x y
θθ???????=+=+???????，f f f r x y r x y ???=+???； 由题意，当1r =时，(cos ,sin )0f θθ=，
222x y
D D
f
r xf yf r I dxdy rdrd x y r θ?+?==+????
21
210
(cos ,sin )|f
d dr f r r d r π
πεεθθθθ?==??
?? 220
(cos ,sin )(cos ,sin )f d f d π
π
θθθεθεθθ=-?
?
**02(cos ,sin )f πεθεθ=-，*[0,2]θπ∈，
故 0
l i m 2(0,0)
I f επ→=-. 证明：(方法二)：令22(,)yf x y P x y =-
+，22
(,)
xf x y Q x y =
+， 因为
22
f f x
y Q P x y
x y
x y
??+????-=??+， 所以，令1L :221x y +=（逆时针），2L :222;cos ,sin x y x y εεθεθ+===（顺时针），有
22
D
f f
x
y x y
dxdy x y ??+??+??
1
2
L L Pdx Qdy Pdx Qdy =
+++?
?
12
2222
(,)(,)(,)(,)L L yf x y dx xf x y dy yf x y dx xf x y dy
x y x y -+-+=
+++?? 1
2
2
1
(,)(,)(,)(,)L L yf x y dx xf x y dy yf x y dx xf x y dy ε
=
-++
-+?
?
[]0
2
2
1
0(sin )(sin )cos cos (cos ,sin )f d πεθεθεθεθεθεθθε
=+
--+??
20
(cos ,sin )f d π
εθεθθ=-?
**0
2lim (cos ,sin )f επεθεθ→=-,*[0,2]θπ∈
故 **2200lim
2lim (cos ,sin )2(0,0)D
f f x
y x y
dxdy f f x y
εεπεθεθπ→→??+??=-=-+??
27. 计算三重积分2()d x y z V Ω
++???，其中2224:x y z z ?++≤?
Ω?≥??
解：2222()d ()d (222)d x y z V x y z V xy yz zx V Ω
Ω
Ω
++=+++++?????????
222()d 0x y z V Ω
=+++???
22
34
d d d r sin r π
π
θ??=
???32
5
π=. 28.计算三重积分
???
++=
V
dxdydz c
z b y a x I )(22
2222. 其中V 是椭球体122
2222≤++c
z b y a x .
分析：计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容，这种题目都是将重积分化成累次积分，而累次积分的关键是要确定出每个积分的限，确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域，因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。
解： 由于 d x d y d z c z d x d y d z b y d x d y d z a x I V
V
V
???
???
???
++=2
2
2
2
2
2
，
其中
??
?
???
-=D
a
a V
dydz dx a x dxdydz a x 2
2
2
2
， 这里D 表示椭球面
22
22221a
x c z b y -≤+
或
1)1()1(22
2222
22≤-
+
-
a
x c z a
x
b y ，
它的面积为
)1()1)(1(22
2222a
x bc a x c a x b -=--ππ，
于是
a b c dx a
x x a bc
dxdydz a
x a
a
V
ππ154
)1(2
22
222
=-=?
???
-； 同理可得
a b c d x d y d z b y V
π154
2
2=???
，
a b c d x d y d z c
z V
π154
2
2=???
. 所以 abc abc I ππ5
4
)154(
3==. 29．设2
2
2
:1x y z Ω++≤，计算222
222()d x y z v a b c Ω
++???.
解：由对称性可得
2222
22221d ()d 3x x y z v v a a a a Ω
Ω=++?????? 21
420
1d sin d d 3r r a
π
πθ??=?
??2
415a π
=
, 同理,有 222222
44d ,d 1515y z v v b b c c ππ
ΩΩ==??????， 所以 222222222
4111
()d ()15x y z v a b c a b c πΩ
++=++???. 30. 设Ω为曲线220
x z
y ?=?=?绕z 轴旋转一周生成的曲面与平面4z =所围成的区域，
求积分 2()d d d I x y z x y z
Ω
=++???. 解：由于旋转曲面方程为：222x y z +=，所以Ω为：221
()42
x y z +≤≤，
2222
()222x y z x y z x y y z z x
++=+++++ 利用对称性可知
d d d d d d d d d 0
x y x y z y z x y z
z x x y z Ω
Ω
Ω
=
==????????? 于是 222
2
()d d d ()d d d I x y z x y z x
y
z x y z
Ω
Ω
=++=++??????
而Ω在xoy 平面上投影为228x y +≤，利用柱面坐标
224
2210
2d d ()d r
I r r z z π
θ=+??
24
330
12
1
2)d 3r
r z rz r π=+
3570
64115122)d 32243
r r r r r ππ=+
--=. 31. 设球22221:x y z R Ω++≤和球2222:2(0)x y z Rz R Ω++≤>的公共部分体积为
512
π
时，求1Ω的表面位于2Ω内的部分1S 的面积. 解：记两球的公共部分为Ω：
{}
1
2(,,),)xy x y z R z x y D Ω=ΩΩ=≤≤∈,
其中()2223,4xy D x y x y R ?
?=+≤???
?是Ω在xoY 平面上的投影,则Ω的体积为
xy
D V dv d R σΩ
==??????
()
xy D R dxdy =??
(
)
23
512
d R rdr R π
πσ==
?， 由题设，得1R =.由此得1S 的面积为
xy
xy
D D A σ==
20
d dr π
θπ==?.
32. 设函数()f x 连续且恒大于零，
222()
2
2
()
()()()t D t f x y z dv F t f x y d σ
Ω++=
+?????
，22()
2
()()()D t t t
f x y d G t f x dx
σ
-+=
??
?
其中{}
2222()(,,)t x y z x y z t Ω=++≤，{}
222()(,)D t x y x y t =+≤;
⑴讨论()F t 在区间(0,)+∞内的单调性；
⑵证明：当0t >时，2
()()F t G t π
>
.
分析：要判定一个函数的单调性，往往要求它的导数,这是一个变限的积分，可以利用变限积分的求导法则.由于是一个重积分，因此先要计算重积分.
解：⑴因为 22222
000
22
2
00
()sin 2()()()()t
t
t
t
d d f r r dr
f r r dr F t d f r rdr
f r rdr
π
ππ
θ??θ=
=
?
????
??
,
22
2
2
()()'()2()
[()]
t
t
f r r t r dr
F t tf t f r rdr -=??,
所以在(0,)+∞内'()0F t >，故()F t 在(0,)+∞内单调增加.
⑵因为 20
2
()()()t
t
f r rdr
G t f r dr
π=
??
，要证明0t >时2
()()F t G t π
>
，只需证明0t >时
2
()()0F t G t π
-
>，即2
2
2
220
()()[()]0t t
t
f r r dr f r dr f r rdr ->???；
令：2
2
2
220
()()()[()]t
t
t
g t f r r dr f r dr f r rdr =-???，则：
2220
'()()()()0t
g t f t f r t r dr =->?，
故()g t 在(0,)+∞内单调增加，所以当0t >时，有()(0)g t g >；而(0)0g =，故当0t >时，()0g t >.
因此，当0t >时，2
()()0F t G t π
-
>.
33. 设抛物面221:1z x y ∑=++及圆柱面()2
22:11x y ∑-+=
⑴ 求1∑的一个切面0π，使得由它及1∑与2∑围成的立体Ω体积达到最小； ⑵ 当由⑴确定的最小体积的立体0Ω上有质量分布，其密度1ρ=，求0Ω的质心坐标.
解：⑴ 设(,,)P αβγ=是1∑上的任一点，则1∑在点P 处的法向量为
()22(2,2,1)2,2,1,1P x y αβγαβ-=-=++
所以，1∑在点P 处的切平面π的方程为：()()()220x y z ααββγ-+---= 即： 222z x y αβγ=+-+ 于是，由π，1∑和2∑围成的立体Ω的体积
(,,)V dv αβγΩ=???，其中()()2222
2221,,11x y z x y x y z x y αβγ??+-+≤≤++??
Ω=??-+≤????
22
1222
xy
x y x y D d dz αβγσ+++-+=???
()22221xy
D x y x y d αβγσ=+--+-??，（转化为极坐标）
()2cos 2
20
2
2cos sin 1d rdr π
θ
πθγαθβθγγ-??=-++-????
122αγπ??
=-+ ???
记 ()()22,,,(,,)1F V αβγλαβγλαβγ=+++-
()221212αγπλαβγ??
=-++++- ???
令2222020010F
F F
πλααλββπλγ
αβγ??=-+=???
??=-=?
????=-=?
???++-=?，得唯一解0,0,2αβγ===，所以(,,)V αβγ在约束条件221γαβ=++下只有唯一可能极值点，由问题本身知(,,)V αβγ有最小值，因此最小值必在1,0,2αβγ===处达到，所以切平面方程为2z x =.
⑵设由0π，1∑和2∑围成的立体0Ω的质心为()
,,x y z 则 0
x d v
x dv
ΩΩ=
??????，0
ydv
y dv
ΩΩ=
??????，0
zdv
z dv
ΩΩ=
??????，
其中
1
(1,0,2)2d v V πΩ==??? 22
1222(12)xy
xy
x y x
D D xdv d xdz x x y x d σσ++Ω==++-??????
??
()2c o s
220
2
c o s 12c o s 2
d r r r d r π
θππθγθθ-=+-=??
0ydv Ω=??? （由于0
Ω关于平面0y =对称）
()22
1222221142xy
xy
x y x
D D
zdv d zdz x y x d σσ++Ω??==
++-??????????
?? ()2c o s 2222202
114c o s 2d r r r d r πθπθθ-??=+-?????? 2462211672cos 8cos cos 236d ππθθθθπ-??
=+-= ???
? 即得0Ω的质心坐标1x =,0y =,7
3
z π=.
34. 设函数)(x f 在),0[∞上连续，求20
()
lim
t F t t
→.其中： 222()[()]t
D F x z f x y dxdydz =++???，t D ：,2220z h x y t ≤≤+≤
解：由柱面坐标，dz r f z rdr d t F h
t )]([)(20
20
20
+=???πθ，
.)(23
])(31[22023203rdr r f h t h rdr h r f h t t ??+=+=ππ
π
所以 22
0320)(2l i m 3)(l i m t
r d r r f h h t t F t
t t ?→→+=ππ 23
0()
2lim 32t tf t h h t
π
π→=+?
).0(3
3hf h ππ
+=
35.设f (r )在[0，1]上连续，则(
)2
2
221
lim
0n
n x y x y f
dxdy →∞
+≤+=??
．
重积分的计算方法
重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子
对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：
在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）
三重积分n重积分简介
§５ 三重积分 一、 三重积分的概念 1 三重积分的物理解释 设非均匀物体A 内分布着一种物质，其密度为(,,)x y z ρ，并假定ρ在A 上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个 步骤得到A 的质量是 (,,)A m x y z dxdydz ρ=??? 2 三重积分的定义 P243-244 3 三重积分的性质、可积条件 与二重积分类似 线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等. 二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1 长方体],[],[],[h k d c b a ??上的积分 定理21.15设[,][,][,]A a b c d e f =??，f 是A 上的连续函数，那么f 在A 上的三重积分 可以化为先对z ，后对y,x 的积分：(,,)A f x y z dxdydz ???=(,,)b d f a c e dx dy f x y z dz ???， 或先y x z →→： (,,)A f x y z dxdydz ??? = (,,)f b d e a c dz dx f x y z dy ??? 等等（共6种），并且此时（f 连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。 ??? ???=V b a d c h k dz z y x f dy dx dxdydz z y x f ),,(),,(. 2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分 一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分 简单区域（典型区域）的定义 }),( , ),(),(|),,( {21D y x y x z z y x z z y x V ∈≤≤=, 其中D 为V 在XY 平面上的投影， {})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤= 或者 {})()(,),(21y x x y x d y c y x D ≤≤≤≤=
中国一年的重节日汇总
中国一年的重要节日汇总 整体上可以将中国现在重视的一年中的时节可以分成三个大的种类：法定假日；中国人所过的外国节日；其他类。法定节假日包括中国的传统节日和新中国成立后设定的节假日，具体包括： 春节 即夏历（农历）新年 时间：狭义农历正月初一，广义农历正月初一至正月十五 英文：The S pring Festival 古称：元日、元旦、元正、元辰、元朔、岁旦、岁首、岁朝、新正、首祚、三元（“正”即正月之“正”） 俗称“过大年” 春节简介 春节，是农历正月初一，又叫阴历年，俗称“过年”。这是我国民间最隆重、最热闹的一个传统节日。春节的历史很悠久，它起源于殷商时期年头岁尾的祭神祭祖活动。按照我国农历，正月初一古称元日、元辰、元正、元朔、元旦等，俗称年初一，到了民国时期，改用公历，公历的一月一日称为元旦，把农历的一月一日叫春节。 适用地区 春节是汉族最重要的节日，但是满、蒙古，瑶、壮、白、高山、赫哲、哈尼、达斡尔、侗、黎等十几个少数民族也有过春节的习俗，只是过节的形式更有自己的民族特色，更加蕴味无穷。 习俗 守岁放鞭炮贴春联拜年吃饺子 元宵节 时间：农历正月十五
英文：Lantern Festival 是中国一个重要的传统节日。正月十五日是一年中第一个月圆之夜，也是一元复始，大地回春的夜晚，人们对此加以庆祝，也是庆贺新春的延续，因此又称“上元节”，即农历正月十五日。在古书中，这一天称为“上元”，其夜称“元夜”、“元夕”或“元宵”。而元宵这一名称一直沿用至今。 习俗 由于元宵有张灯、看灯的习俗，民间又习称为“灯节”。此外还有吃元宵、踩高跷、猜灯谜、舞龙、赏花灯、舞狮子等风俗 演变 中国古代历法和月相有密切的关系，正月十五，人们迎来了一年之中第一个月满之夜，这一天理所当然地被看作是吉日。早在汉代，正月十五已被用作祭祀天帝、祈 求福佑的日子。后来古人把正月十五称“上元”，七月十五称“中元”，十月十五称“下元”。最迟在南北朝早期，三元已是要举行大典的日子。三元中，上元最受重视。到后来， 中元、下元的庆典逐渐废除，而上元经久不衰。 社日节 （南方为“社日”，北方为“龙抬头”节） 社日分为春社和秋社，春社按立春后第五个戊日推算，一般在二月初二前后，秋社按立秋后第五个戊日，约新谷登场的八月。 春社：我国历史上的相当长一段时期，其社会形态是典型的传统农业社会。在这样的社会形态下，人们对土地有着极其深厚的感情。爱重之，必然神化之，因此土地 很早就是人们的祭祀对象，称作"社"；而重点祭祀的那个日子，就是"社日"。 社字从示从土，"土"是土地，"示"表示祭祀，那么，社就是祭土地。早先的土地神只是神灵，后来逐渐人格化，叫社会，俗称土地爷，而且有配偶神（社母，俗称土地 奶奶）。有时，土地神与谷神合祀，这就是古代所谓的社稷了。 春、秋二社相比来看，春社的活动更多一些。春社按立春后第五个戊日推算，一般在二月初二前后，而二月二相传又是土地神的诞辰，所以这一天的享祀也就格外隆重。袁景澜《吴郡岁华纪胜》记苏州此俗说：二月二日为土神诞日，城中庙宇各有专
多重积分的方法总结
多重积分的方法总结 引言： 高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。（其中计算方法将通过例题来解释） 二重积分 定义： 设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D 上,将区域D 任意分成n 个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi 表示第i 个子域的面积.在Δδi 上任取一点(ξi,ηi),作和lim n →+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D 上的二重积分,记为∫∫f(x,y)d δ,即 ∫∫f(x,y)d δ=lim n →+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi ） 这时,称f(x,y)在D 上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)d δ称为被积表达式,d δ称为面积元素, D 称为积分域,∫∫称为二重积分号. 同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。 二重积分的计算方法 1直角坐标系中累次积分法 对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。平面点集D={}(,)|1()2(),x y y x y y x a x b ≤≤≤≤为x 型区域；平面点集D= {}(,)|1()2(),x y x y x x y c y d ≤≤≤≤为y 型区域。 x 型区域:若(,)f x y 在x 型区域D 上连续，其中[]1(),2(),y x y x a b 在上连续，则 ??D d y x f σ),(=2()(,)1()b y x dx f x y dy a y x ?? 试计算：I= 2 2y D x e d σ-??的值。 解：画出区域图1只能用先对x 后先对积y 分，则 I=21200y y dy x e dx -??=21 30 13y y e dy -? 由分部积分法，即可算得：
中国第一重型机械集团介绍
中国第一重型机械集团公司简介 中国第一重型机械集团公司（简称中国一重），前身为第一重型机器厂，是我国“一五”期间建设的重型装备制造企业，始建于1954年，1960年6月经国家正式验收全面投产，1993年国务院批准组建中国第一重型机械集团，第一重型机器厂作为核心企业更名为中国第一重型机械集团公司。1999年被确定为由中央管理的涉及国家安全和国民经济命脉的国有重要骨干企业之一。2008年12月，中国一重联合华融资产管理公司、宝钢集团有限公司和中国长城资产管理公司发起设立中国第一重型机械股份公司。2010年2月9日，中国第一重型机械股份公司在上海证券交易所成功挂牌上市,是中央企业中第一家整体上市公司。 中国一重始终以振兴和发展我国民族工业为己任，主要为钢铁、有色、电力、能源、汽车、矿山、石油、化工、交通运输等行业及国防军工提供重大成套技术装备、高新技术产品和服务，并开展相关的国际贸易，主要产品有核岛设备、冶金设备、重型容器、大型发电设备铸锻件、工矿配件、重型锻压设备、矿山设备和专项产品等八大类，并将逐步形成能源装备、工业装备、环保装备、装备基础材料等四大产业，打造集成套化、工程化为一体的综合竞争优势。50多年来，中国一重创造了中国装备制造史上的多项第一，提供机器产品200多万吨，共填补国内工业产品技术空白400多项，开发研制新产品300多项，为国民经济的
发展和国防建设做出了重要贡献。 为适应企业发展需要，中国一重积极实施了组织结构和产品结构的战略调整，在加快富拉尔基铸锻钢基地建设的同时，相继将设计开发和市场营销部门迁到了美丽的海滨城市大连，并建有核电、石化容器设备制造基地和出海口；在天津组建了重型技术装备国家工程研究中心，并正在建设全球最大的成套重型装备制造基地；同时，在鞍山、上海、江苏等地建有生产基地或分支机构。其中，富拉尔基铸锻钢基地具备年产钢水50万吨、锻件24万吨、铸钢件6万吨的国际一流制造能力，同时具备一次提供钢水700吨、最大钢锭700吨、最大铸钢件500吨、最大锻件450吨的世界极端制造能力，技术水平达到世界第一，可以从根本上摆脱我国重大技术装备的发展因大型铸锻件而受制于人的局面。 在新的历史时期，中国一重将坚持成长持续化、管理集团化、市场国际化、技术集成化的发展战略，以富拉尔基、大连、天津、长三角四大核心制造基地为基础，以能源装备、工业装备、环保装备、装备基础材料四大产业板块为支撑，不断追求高起点、高标准和高品质，开拓奋进，大胆创新，立足中国，放眼世界，努力成为具有国际知名品牌、拥有核心制造能力的大型重大技术装备供应商。 2011年8月
三重积分n重积分简介
§5 二重积分 一、三重积分的概念 1三重积分的物理解释 设非均匀物体A内分布着一种物质，其密度为，(x,y,z)，并假定T在A上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到A的质量是 m= ?(x, y, z)dxdydz A 2三重积分的定义 P243-244 3三重积分的性质、可积条件 与二重积分类似 线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等? 二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1长方体[a,b] [c,d] [k,h]上的积分 定理21.15设A二[a,b] [c,d] [e, f]，f是A上的连续函数，那么f在A上的三重积分 b d f 可以化为先对z，后对y,x的积分：丨丨丨f (x, y, z)dxdydz= dx dy f (x, y,z)dz， -a c e A 或先y > x > z: f b d II .1 f (x, y, z)dxdydz= dz dx f(x,y,z)dy e a c A 等等(共6种)，并且此时(f连续时)，各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。 b d h III f (x, y,z)dxdyd^ dx dv f (x, y,z)dz. ack V 2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分 一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分简单区域(典型区域)的定义V 二{(x,y,z)|Z i(x,y)乞z ^Z2(x,y), (x,y) D},其中D 为V 在XY 平面上的投影， D =《x, y)|a 兰b, y i(x)兰y 兰y2(x)> 或者D ={(x,y) ^d,x1 (y)兰x2(y)}
[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202
三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
中国一重：关于修订《公司章程》的公告
证券代码：601106 证券简称：中国一重公告编号：2020--011 中国第一重型机械股份公司关于 修订《公司章程》的公告 本公司董事会及全体董事保证本公告内容不存在任何虚假记载、误导性陈述或者重大遗漏，并对其内容的真实性、准确性和完整性承担个别及连带责任。 为了满足公司高质量发展要求，推动公司实现转型升级，根据《国家能源局综合司关于齐齐哈尔市、大庆市、包头市可再生能源综合应用示范区建设有关事项的复函》，中国一重拟开展电力生产、销售，风力、发电项目开发，输变电业务，电力成套设备产品的销售，电力能源工程设计、施工、咨询服务，新能源的技术开发及技术咨询服务，输送电等业务。 为了保障新业务合法正常开展，拟修订《公司章程》中的营业范围。 《中国第一重型机械股份公司章程》修正案： 经公司第四届董事会第十次会议审议通过，拟对《公司章程》中如下条款进行修订，修订内容包括： 修改前：第二章第14条：公司的经营宗旨：恪守法律法规，遵循社会公德，稳健经营、诚信为本、秉承责任、科学发展，打造世界一流企业。 经依法登记，公司的经营范围包括：压力容器（仅限单层），第三类低、中压容器、重型机械及成套设备、金属制品的设计、制造、安装、修理；金属冶炼及加工；金属材料
的销售；矿产品销售；工业气体制造及销售；冶金工程设计；技术咨询服务；承包境外成套工程及境内国际招标工程；进出口业务。 修改后：第二章第14条：公司的经营宗旨：恪守法律法规，遵循社会公德，稳健经营、诚信为本、秉承责任、科学发展，打造世界一流企业。 经依法登记，公司的经营范围包括：压力容器（仅限单层），第三类低、中压容器、重型机械及成套设备、金属制品、风能原动设备、发电机及发电机组设计、制造、安装、修理；金属冶炼及加工；金属材料、矿产品的销售；工业气体制造及销售；冶金工程设计；技术咨询服务；承包境外成套工程及境内国际招标工程；进出口业务；风力发电。（国家禁止或限制经营的除外）（依法须经批准的项目，经相关部门批准后方可开展经营活动） 以上章程修正案需提交公司股东大会审议通过。 特此公告。 中国第一重型机械股份公司董事会 2020年5月7日
二重积分及三重积分的计算
第一部分 定积分的计算 一、定积分的计算 例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n n a a a a n . 解 原式=?∑=??? ? ??=∞→1011lim a a n i n x n n i dx = a a x a += ++11 11 1. 例2 求极限 ? +∞→10 2 1lim x x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n n x x x ≤+≤ 2 10，于是? +≤1 2 10x x n ?≤1 n x dx dx . 而?1 0n x ()∞→→+=+= +n n n x dx n 01111 01，由夹逼准则得?+∞→1021lim x x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理 ()()x g x f b a ? ()()?=b a x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号） ， ().101111 2 1 02 ≤≤+= +? ? n n n n dx x dx x x ξξ 由于11102≤+≤ n ξ ，即 211n ξ +有界， ()∞→→+=?n n dx x n 0111 0，故?+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为( )22,x a x R +或() 22,a x x R -型可作相应变换. 如对积分() ?++3 1 2 2 112x x dx ，可设t x tan =； 对积分 ()0220 2>-? a dx x ax x a ，由于 () 2 222a x a x ax --=-，可设 t a a x s i n =-. 对积分dx e x ? --2 ln 0 21，可设.sin t e x =- （2）()0,cos sin cos sin 2 ≠++=?d c dt t d t c t b t a I π 的积分一般方法如下：
(精选)三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
中国第一重型机械集团公司
北京新北水水泥有限责任公司示范线生料磨、煤磨改造项目 环境影响报告书 （简本） 中环联（北京）环境保护有限公司 2011年9月
北京新北水水泥有限责任公司示范线生料磨、煤磨改造项目环境影响报告书（简本） 目录 1.项目概况 (1) 1.1. 工程名称及性质 (1) 1.2. 建设单位 (1) 1.3. 建设地点 (1) 1.4. 工程内容 (1) 2.污染源状况 (1) 2.1. 现有工程污染源状况 (1) 2.1.1.大气污染源状况 (1) 2.1.2.水污染源状况 (2) 2.1.3.噪声污染源状况 (2) 2.1.4.固体废物污染源状况 (2) 2.2. 技改工程的污染源情况 (2) 2.2.1.大气污染源状况 (2) 2.2.2.水污染源状况 (3) 2.2.3.噪声污染源状况 (3) 2.2.4.固体废物污染源状况 (3) 3.区域环境质量现状 (3) 3.1. 环境概况 (3) 3.2. 环境空气质量现状 (4) 3.3. 土壤环境质量现状 (4) 3.4. 声环境质量现状 (4) 4.污染防治措施 (4) 4.1. 大气污染防治措施 (4) 4.2. 水污染防治措施 (5) 4.3. 噪声污染防治措施 (5) 4.4. 固体废物污染防治措施 (5)
北京新北水水泥有限责任公司示范线生料磨、煤磨改造项目环境影响报告书（简本） 5.环境影响预测结果 (5) 6.环境影响评价结论 (6)
北京新北水水泥有限责任公司示范线生料磨、煤磨改造项目环境影响报告书（简本） 1.项目概况 1.1. 工程名称及性质 1、工程名称：北京新北水水泥有限责任公司示范线生料磨、煤磨改造项目。 2、工程性质：技术改造。 1.2. 建设单位 北京新北水水泥有限责任公司。 1.3. 建设地点 北京市昌平区马池口镇北小营村东，北京新北水水泥有限责任公司厂区内。 1.4. 工程内容 技改工程的建设内容为将现有的生料磨系统—中卸烘干磨改造为立磨终粉磨系统，能力260t/h，并联一套150000m3/h的废气处理系统；另，将现有的煤磨系统—风扫磨改造为立磨终粉磨系统，能力55t/h。 2.污染源状况 2.1. 现有工程污染源状况 2.1.1.大气污染源状况 现有工程全厂共有主要废气排放点40个，其中大部分污染源排放的是颗粒物，一线和示范线窑尾排放的废气中还含有SO2和NO x，各废气污染源均满足相应的标准要求，做到达标排放。现有工程颗粒物、SO2、NO x的排放量分别为106.064t/a、16.992t/a、780.800t/a。 1
高等数学重积分总结
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。
二重积分的计算方法
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
重积分及其计算和多重积分
重积分及其计算和多重 积分 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
三重积分和多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例 设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W WQ d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设},...,,m ax {21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ()i i i i n i V z y x f M ?≈∑=,,1． 当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ()i i i i n i V z y x f M ?=∑=→,,lim 10 λ． 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．
重积分论文
重积分论文 摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。 关键词：重积分 在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。
重积分及其计算和多重积分
三重积分和多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例 设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W W Q d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设 },...,,max{21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小 区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ()i i i i n i V z y x f M ?≈∑=,,1 ． 当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ()i i i i n i V z y x f M ?=∑=→,,lim 1 λ． 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 二、 三重积分的定义 设()z y x f ,,是空间3 R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割 为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21. Φ=?o o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设 },...,,max{21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和 ()i i i i n i V z y x f ?∑=,,1 (称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极
二重积分与三重积分区别
都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。 一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x) 当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大) ∫(a→b) dx = L(直线长度) 被积函数不为1时，就是图形的面积(规则) ∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积) 另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是 盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f2(x) dx 圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx 计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了 ∫(α→β) (1/2)[A(θ)]2 dθ = A(极坐标下的平面面积) 二重积分：有两个自变量z = f(x，y) 当被积函数为1时，就是面积(自由度较大) ∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积) 当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积 ∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积) 计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等 极坐标变换：{ x = rcosθ { y = rsinθ { α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π ∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ 三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z) 被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大) ∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积) 当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等 计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { h ≤ r ≤ k { α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π ∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z?→z?) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ 极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ { y = rsinφsinθ { z = rcosφ
归纳二重积分的计算方法
归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有
中国一重实习报告
专业实习报告----中国第一重型机械股份有限公司
中国第一重型机械集团公司实习报告 前言 中国第一重型机械集团公司（China first heavy industries，英文缩写“CFHI”，中文简称“中国一重”）前身为第一重型机器厂，始建于1954年，是目前中央管理的涉及国家安全和国民经济命脉的53户国有重要骨干企业之一。2008年12月发起设立中国第一重型机械股份公司，2010年2月成功实现了整体上市。截至2010年底，拥有在岗职工11679人，其中工程技术人员2270人，资产总额达291亿元。2009年以来，中国第一重型机械集团公司，化金融危机为企业调整产品结构的良机，将发展以核电为代表的能源装备作为重点领域，通过建设世界最大铸锻钢生产基地，满足国家对能源装备重大基础部件的需求。目前，投资达50多亿元的铸锻件生产基地建设已接近尾声，并已开始承担国家一些重点工程的大型铸锻件任务。 中国一重是我国“一五”计划期间，建 设的一家以重大技术装备为主的重型机械 制造企业，是涉及国家安全和国民经济命脉 的国有重要骨干企业之一。重型机械行业是 装备制造业中从事大型、重型和成套、成线 的重大技术装备的产业，属典型的重大技术 装备产业。随着国民经济的快速发展，西气 东输、西电东送、南水北调等重大工程的实 施，以及钢铁、电力、石化、煤炭等国民经 济主导产业的发展，重型机械行业获得了较 快的发展。据中国重型机械工业协会统计， 2008年我国重型机械行业工业总产值达 4895.61亿元，同比增长31.89%。近年来，我国重型机械年度工业总产值增速一直保持在30%以上，并且稳步提高，重型机械在国民经济中的地位逐步提高。 中国一重主要为钢铁、电力、能源、汽车、矿山、石化、交通运输等行业及国防军工提供重大成套技术装备、高新技术产品和服务，并开展相关的国际贸易。现已形成以核电、水电、风电成套设备及煤化工设备、石油开采与加工设备为代表的能源装备，以冶金成套设备、汽车成套设备、热锻设备、海水淡化设备、重型机床为代表的工业装备，以钢渣处理成套设备、水泥制砖机,免烧砖机,粉煤灰制砖机,压砖机,加气混凝土砌块设备；城市垃圾焚烧成套设备为代表的环保装备，以核电铸锻件、火电铸锻件、水电铸锻件、重型容器铸锻件、船用铸锻件、冶金备件为代表的装备基础材料等四大产业板块。 专业相关产品介绍 大型铸锻件制造：火电方面，具有生产亚临界300-600MW火电机组大型铸锻件（汽轮机转子锻件、汽轮发电机转子锻件、大型无中心孔汽轮机、发电机转子锻件，高低压联合转子锻件）、超临界汽轮机缸体铸钢件、超超临界火电转子制造技术。水电方面，具备了生产70万