2017八年级数学因式分解13.doc

15．5因式分解的复习

新课指南

1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力.

2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.

3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.

4.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解.

教材解读精华要义

数学与生活

630能被哪些数整除？说说你是怎么想的.

思考讨论在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=2×32×5×7.

类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.那么如何进行因式分解呢？

知识详解

知识点1 因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.

例如：

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

知识点2 提公因式法

多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).

探究交流

下列变形是否是因式分解？为什么，

(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；

(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；

(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；

(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.

点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.

(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义

(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.

(4)不是因式分解，是整式乘法.

知识点3 公式法

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.

例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).

(2)完全平方公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.

其中，a2±2a b+b2叫做完全平方式.

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.

探究交流

下列变形是否正确？为什么？

(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；

(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；

(3)x2-2x-1=(x-1)2.

点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.

(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.

(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.

知识点4 分组分解法

(1)形如：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)

=(m+n)(a+b)

(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2

=(x+1)2-y2

=(x+y+1)(x-y+1).

把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.

知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.

例如：将a m+a n+bm+bn因式分解，方法有两种：

方法1：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).

方法2：a m+a n+bm+bn=(a m+bm)+(a n+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).

(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.

例如：a m+a n+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.

分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：

(1)按字母分组；

(2)按次数分组；

(3)按系数分组.

例如：把下列各式因式分解.

(1) a m+bm+a n+bn；

(2)x2-y2+x+y；

(3)2a x-5by+2a y-5bx.

知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

事实上：x2+(p+q)x+pq

=x2+px+qx+pq

=(x2+px)+(qx+pq)

=x(x+p)+q(x+p)

=(x+p)(x+q).

∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.

例如：把x2+3x+2分解因式.

(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.

解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)

典例剖析师生互动

基础知识应用题

本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；

(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.

例1 用提公因式法将下列各式因式分解.

(1)a x-a y； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；

(4)36a by-12a bx+6a b； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).

(分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.

解：(1)a x-a y=a(x-y)

(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).

(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).

(4)36a by-12a bx+6a b=6a b(6y-2x+1).

(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)

=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)

=(m-x)(m-y)(x-m)

=-(m-x)2(m-y).

小结运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.

如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)

=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]

=(x+y)(4m-6n).

=2(x+y)(2m-3n).

(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).

例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.

本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.

a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2

=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2

=(y-x)2[a+b(y-x)+c]

=(y-x)2(a+by-bx+c).

(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.

例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)

=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]

=(a-2b)(8a-16b)

=8(a-2b)(a-2b)

=8(a-2b)2.

学生做一做把下列各式分解因式.

(1)a m+a n；(2)(xy+a y-by)；

(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(4)3x(a-b)-2y(b-a)；

(5)4p(1-q)3+2(q-1)2；(6)a b2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.

老师评一评 (1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+a-b)；

(3)原式=2(2a+b)2；(4)原式=(a-b)(3x+2y)；

(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2)；(6)原式=a b(x-y)m(b+a x-a y).

例2 把下列各式分解因式.

(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；

(3)1-10x+25x2；(4)(m+n)2-6(m+n)+9.

(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式.

解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.

(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.

(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.

(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.

学生做一做把下列各式分解因式.

(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).

老师评一评 (1)原式=(x2+3)2；(2)原式=(x+y-2)2.

例3 把下列各式分解因式.

(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；

(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.

(分析) 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解.

解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).

(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).

(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).

(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).

小结对于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则p,q同号，若p+q＞0，则p＞0，q＞0；若q+p＜0，则p＜0，q＜0；②若pq＜0，则p,q异号，若p+q＞0，则绝对值大的为正数，若p+q＜0,则绝对值大的为负数.

学生做一做把下列各式分解因式.

(1)m2-7m+12；(2)x2y2-3xy-10；

(3)(m-n)2-(m-n)-12；(4)x2-xy-2y2.

老师评一评 (1)原式=(m-3)(m-4)；(2)原式=(xy-5)(xy+2)；

(3)原式=(m-n-4)(m-n+3)；(4)原式=(x-2y)(x+y).

综合应用题

本节知识的综合应用主要包括：(1)用分组分解法分解因式；(2)与方程组的综合应用；

(3)与几何知识的综合应用；(4)几种因式分解方法的综合应用.

例4 分解因式.

(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；

(4)x2(x-y)+y2(y-x)； (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.

(分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.

解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.

(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).

(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).

(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)

=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)

=(x+y)(x-y)2.

(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2

=[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]

=2a·(2b+2c)

=4a(b+c).

例5 利用分组分解法把下列各式分解因式.

(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1；

(3)(a x+by)2+(a y-bx)2；(4)a2-2a b+b2-c2-2c-1.

(分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和(4)题分组后能运用公式.

解：(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)

=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).

(2)a2+b2-2ab-1=(a2-2ab+b2)-1

=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).

(3)(a x+by)2+(a y-bx)2

=a2x2+2a bxy+b2y2+a2y2-2a bxy+b2x2

=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2

=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)

=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)

=(a2+b2)(x2+y2).

(4)a2-2a b+b2-c2-2c-1

=(a2-2a b+b2)-(c2+2c+1)

=(a-b)2-(c+1)2

=[(a-b)+(c+1)][(a-b)-(c+1)]

=(a-b+c+1)(a-b-c-1).

小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：

(1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；

(2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x2+(p+q)x+pq型式子或完全平方公式分解因式；

(3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.

最后，直到每一个因式都不能再分解为止.

例6 解方程组???=-=-②

①

.12,5422y x y x

(分析)本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元

法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x 2-4y 2

=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.

解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③ 把②代入③中得x+2y=5，④ ∴原方程组化为

?

?

?=-=+②④

,12,52y x y x ②+④得2x=6，∴x=3. ②-④得4y=4，∴y=1. ∴原方程组的解为??

?==.

1,

3y x

学生做一做 解方程组?

??-=-=+.359,

732

2y x y x 老师评一评 ??

?==.

2,1y x

例7 若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2

+b 2

+c-a b-a c-bc=0，试判断这个三角形的形状.

解：∵a 2+b 2+c 2

-a b-a c-bc=0，

∴2a 2+2b 2+2c 2

-2a b-2a c-2bc=0.

即(a 2-2a b+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+(c 2-2a c+a 2

)=0，

(a -b)2+(b-c)2+(c-a )2

=0. 由平方的非负性可知，

∴a =b=c.

∴这个三角形是等边三角形.

例8 利用因式分解计算下列各题.

(1)234×265-234×65； (2)992

+198+1.

(分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算. 解：(1)234×265-234×65=234×(265-65) =234×200=46800.

(2)992+198+1=992

+2×99×1+1

=(99+1)2=1002

=10000.

学生做一做 利用因式分解计算下列各题. (1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；

(2)20022-4006×2002+20032

；

(3)5652×11-4352

×11； (4)(5

43)2-(24

1)2

. 老师评一评 (1)原式=1999； (2)原式=1； (3)原式=143000O ； (4)原式=28.

例9 若9x 2+kxy+36y 2

是完全平方式，则k= .

(分析) 完全平方式是形如：a 2±2a b+b 2

即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).

∵9x 2+kxy+36y 2=(3x)2+kxy+(6y)2

， ∴±kxy=2·3x ·6y=36xy. ∴k=±36.

学生做一做 若x 2

+(k+3)x+9是完全平方式，则k= . 老师评一评 k=3或k=-9. 探索与创新题

例10 计算2004

2003200420036565434321212

2

222222+-+++-++-++- . (分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即b

a b a b a b a b a +-+=

+-)

)((22=a -b(a +b ≠0). 解:原式=

65)

65)(65(43)43)(43(21)21)(21(+-+++-+++-++…

+2004

2003)20042003)(20042003(+-+

=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004) =(-1)×(2004÷2) =-1002.

例11 若x 2

+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.6个

(分析) 若把x 2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x 2

+(p+q)x+qq 考虑把20分解因数，20可分解为：20×1，(-20)×(-1)，10×2，(-10)×(-2)，5×4，(-5)×(-4)，所以k 可能取的值有：20+1，(-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故k 可能取的值有6个，所以正确答案为D 项.

例12 分解因式(x 4+x 2-4)(x 4+x 2

+3)+10.

(分析)把x 4+x 2

作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构.

解：令x 4+x 2

=m ，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m 2

-m-12+10 =m 2

-m-2

=(m-2)(m+1) =(x 4+x 2-2)(x 4+x 2

+1)

=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)

=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).

学生做一做求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.

老师评一评设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则

n(n+1)(n+2)(n+3)+1

=(n2+3n)(n2+3n+2)+1

=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1

=(n2+3n+1)2

∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.

例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.

(分析)用待定系数法，令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m. 解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.

对比多项式的系数得

由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.

(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥

(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦

∴m=-18.

学生做一做已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.

老师评一评由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+a x+b),则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+ (a+2b)x+b.

对比多项式系数可得

中考展望点击中考

中考命题总结与展望

本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视.

中考试题预测

例1 (1)分解因式：a2-25= ；

(2)分解因式：xy2-x2y= ；

(3)分解因式：x2-1= ；

(4)分解因式：3x2-3= ；

(5)分解因式：x2+2xy+y2-4= ；

(6)分解因式：x 3y 2

-4x= ；

(7)分解因式：2x 2

-2= ；

(8)分解因式：a 3+2a 2

+a = ；

(9)分解因式：x 3

y-4xy+4y= ；

(10)分解因式：a 2-2a b+b 2-c 2

= .

(分析) (1)直接运用平方差公式分解即可.(2)直接运用提取公因式法分解即

可.(4)3x 2-3=3(x 2

-1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法，x 2+2xy+y 2-4=(x 2+2xy+y 2

)-4

=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式，再运用公式法分解因式.x 3y 2-4x=x(x 2y 2

-4)= x(xy+2)(xy-2).

答案：(1)(a +5)(a -5) (2)xy(y-x) (3)(x+1)(x-1) (4)3(x+1)(x-1) (5)(x+y+2)(x+y-2)

(6)x(xy+2)(xy-2) (7)2(x+1)(x-1) (8)a (a +1)2 (9)y(x-2)2

(10)(a -b+c)(a -b-c)

例2 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x 2-y B.x 2+2y C.x 2+y 2 D.x 2-xy+y 2 答案:B

例3 将多项式a 2

-a b+a c-bc 分解因式，分组的方法共有 种.

(分析) 一种是：a 2-a b+a c-bc=(a 2

-a b)+(a c-bc)；

另一种是：a 2-a b-a c-bc=(a 2

+a c)-(a b+bc)， ∴分组方法共有2种.

例4 x 2-y 2

-x-y 分解因式的结果是 . 答案：(x+y)(x-y-1)

例5 将下列式子因式分解：x-x 2-y+y 2

= . 答案：(x-y)(1-x-y)

例6 解方程组???=+=--②

①

.2,0222y x y xy x

(分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组. 解：由①得(x-2y)(x+y)=0，③ 把②代入③中，得x-2y=0，④ 原方程组化为??

?=-=+④

②,02,2y x y x

②-④得3y=2，∴y=3

2. 把y=

32代入④中，得x=3

4. ∴原方程组的解为???

????

==.32,3

4y x

例7 为使x 2

-7x+b 在整数范围内可以分解因式，则b 可能取的值为 .(任写一个)

(分析) 这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子x 2

+(p+q)x+pq. 答案：-8

例8 把多项式1-x 2+2xy-y 2

分解因式的结果是( ) A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y) (分析)解决本题采用分组分解法. 1-x 2+2xy-y 2=1-(x 2-2xy+y 2)

=1-(x-y)2

=(1+x-y)(1-x+y). 故此，正确答案为B 项.

课堂小结 本节归纳

1.本节主要学习了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分组分解法分解因

式；形如x 2

+(p+q)x+pq 的二次三项式的因式分解.

2.会运用因式分解解决计算问题.

自我评价 知识巩固

1.若x 2

+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )

A.3

B.-5

C.7.

D.7或-1

2.若(2x)n -81=(4x 2

+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8

3.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2

分解因式的结果是( )

A.(3a -b)2

B.(3b+a )2

C.(3b-a )2

D.(3a +b)2

4.把(5x-2y)2+(2x+5y)2

分解因式为( )

A.2(5x-2y)2

B.-2(5x-2y)2

C.29(x 2+y 2

) D.以上都不对

5.若多项式x 2+pxy+qy 2

=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( ) A.-12,-9 B.-6,9 C.-9,-9 D.0,-9

6.分解因式：4x 2-9y 2

= .

7.利用因式分解计算：

2

224825210000

= .

8.若x=3.2，y=6.8，则x 2

+2xy+y 2

= .

9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2

分解因式的结果是 .

10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102

= . 11.分解因式.

(1)(x+y)2-9y 2

；

(2)a 2-b 2

+a +b ；

(3)10b(x-y)2-5a (y-x)2

；

(4)(a b+b)2-(a +1)2

；

(5)(a 2-x 2)2-4a x(x-a )2

；

(6)(x+y+z)2-(x-y+z)2

.

12.已知x-y=1,xy=2，求x 3y-2x 2y 2+xy 3

的值.

13.已知x-y=2，x 2-y 2

=6，求x 与y 的值.

14.利用因式分解计算19992+1999-20002

.

15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2

=260.

16.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2

，试说明△ABC 是等边三角形.

17.当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2

-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.

参考答案

1.D

2.B

3.C

4.C

5.D

6.(2x+3y)(2x-3y)

7.5

8.100

9.(2-a +b)2

10.-55[提示：运用平方差公式分解因式.

原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10)

=-(1+2)-(3+4)-(5+6)-(7+8)-(9+10)=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)

=

2

)

110(10+?=-55.]

11.(1)原式=(x+4y)(x-2y)； (2)原式=(a +b)(a -b+1)；

(3)原式=5(x-y)2

(2b-a )；

(4)原式=(a +1)2

(b+1)(b-1)；

(5)原式=(a -x)2

； (6)原式=4y(x+z).

12.提示：x 3y-2x 2y 2+xy 3=xy(x 2-2xy+y 2)=xy(x-y)2

.

当x-y=1，xy=2时，原式=2×12

=2.

13.解：∵x 2-y 2

=6,∴(x+y)(x-y)=6. 又∵x-y=2，① ∴x+y=3.②. 由①②组成方程组??

?=+=-,

3,

2y x y x

解得???????==.2

1,25y x

14.解：19992

+1999-20002

=19992-20002

+1999

=(1999+2000)(1999-2000)+1999 =-(1999+2000)+1999 =-1999-2000+1999 =-2000.

15.解：(65x+63)2-(65x-63)2

=260，

(65x+63+65x-63)(65x+63-65x+63)=260， 130x ×126=260， 126x=2. ∴x=

63

1

.(运用平方差公式) 16.解：∵a 2

+c 2

=2a b+2bc-2b 2

，

∴a 2+c 2+2b 2

-2ab-2bc=0.

∴(a 2+b 2-2ab)+(c 2+b 2

-2bc)=0.

∴(a -b)2+(b-c)2

=0. 由平方的非负性可知，

???=-=-,0,0c b b a ∴?

?

?==.,

c b b a ∴a =b=c.

∴△ABC 是等边三角形.

17.提示：∵a 2+b 2

-4a +6b+18 =(a 2-4a +4)+(b 2

+6b+9)+5

=(a -2)2+(b+3)2

+5，

又∵(a -2)2≥0，(b+3)2

≥0，

∴当a =2,b=-3时, a 2+b 2

-4a +6b+18有最小值5.