2010届高三一轮复习数学精品资料：第六章 不等式
第六章 不等式
§6.1 不等式的概念及性质
基础自测
1.已知-1＜a ＜0,那么-a,-a3,a2的大小关系是
（ ） A. a2＞-a3＞-a B.-a ＞a2＞-a3 C.–a3＞a2＞-a D.a2＞-a ＞-a3 答案 B
2.若m ＜0,n ＞0且m+n ＜0，则下列不等式中成立的是
( ) A.-n ＜m ＜n ＜-m B.-n ＜m ＜-m ＜n C.m ＜-n ＜-m ＜n D. m ＜-n ＜n ＜-m 答案 D
3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么下列不等式成立的是
（ ） A. a ＞ab ＞ab2 B.ab2＞ab ＞a C.ab ＞a ＞ab2
D.ab ＞ab2＞a
答案 D
4.（2008·厦门模拟）y x
＞1的一个充分不必要条件是
（ ）
A.x ＞y
B.x ＞y ＞0
C.x ＜y
D.y ＜x ＜0 答案B
5.设甲:m,n 满足??
?<<<+<,
30,
42mn n m 乙:m,n 满足??
?<<<<,
32,10n m 那么
（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 答案B
例1 （1）设x ＜y ＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小；
（2）已知a,b,c ∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n ∈N,n ＞2时比较cn 与an+bn 的大小. 解 （1）方法一 （x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y), ∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x-y ＜0,
∴-2xy(x-y)＞0,
∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x-y ＜0,x2＞y2,x+y ＜0. ∴(x2+y2)(x-y)＜0,(x2-y2)(x+y)＜0,
∴0＜))(()
)((2222y x y x y x y x +--+=xy y x y x 22
22
2+++＜1,
∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
(2)∵a,b,c ∈{正实数}，∴an,bn,cn ＞0,
而
n
n n c b a +=n
c a ??? ??+n
c b ??? ??.
∵a2+b2=c2, ∴2
??? ??c a +2
?
?? ??c b =1, ∴0＜c a ＜1,0＜c b
＜1.
∵n ∈N,n ＞2,
∴n
c a ??? ??＜2
??? ??c a ,n
c b ??? ??＜2
??? ??c b ,
∴
n
n
n c b a +=n c a ??? ??+n
c b ?
?? ??＜2
2
2c b a +=1,
∴an+bn ＜cn.
例2 已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b,则下列不等式恒成立的为
（ ） A.(a+c)4＞(b+c)4 B.ac2＞bc2 C.lg|b+c|＜lg|a+c|
D.(a+c)3
1
＞(b+c)
3
1
答案 D
例3（12分）已知-1＜a+b ＜3且2＜a-b ＜4,求2a+3b 的取值范围. 解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),
∴??
?=-=+32n m n m , 2分 ∴m=25,n=-21
. 4分 ∴2a+3b=25(a+b)-21
(a-b). 5分
∵-1＜a+b ＜3,2＜a-b ＜4,
∴-25＜25(a+b)＜215,-2＜-21
(a-b)＜-1, 8分
∴-29＜25(a+b)- 21(a-b)＜213
, 10分 即-29＜2a+3b ＜213
. 12分
1.（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x ∈R;
(2)设a ∈R,且a ≠0,试比较a 与a 1
的大小.
解 （1）（x6+1）-（x4+x2） =x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1).
当x=±1时，x6+1=x4+x2; 当x ≠±1时，x6+1＞x4+x2.
（2）a-a 1=a a 12-=a a a )
1)(1(+- 当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1
； 当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a 1
； 当a=±1时,a=a 1
.
2.适当增加不等式条件使下列命题成立： (1)若a ＞b,则ac ≤bc; (2)若ac2＞bc2,则a2＞b2;
(3)若a ＞b,则lg(a+1)＞lg(b+1);
(4)若a ＞b,c ＞d,则d a ＞c b
; (5)若a ＞b,则a 1＜b 1
.
解 (1)原命题改为：若a ＞b 且c ≤0，则ac ≤bc,即增加条件“c ≤0”.
(2)由ac2＞bc2可得a ＞b,但只有b ≥0时，才有a2＞b2,即增加条件“b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b ＞-1”.
（4）d a ＞c b
成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件“b ＞0,d ＞0”.还可增加
条件为“a ＜0,c ＞0,d ＜0”.
(5) a 1＜b 1
成立的条件是a ＞b,ab ＞0或a ＜0,b ＞0,故增加条件为“ab ＞0”.
3.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,
于是得?
?
?
-
=
-
=
+
2
4
m
n
n
m
,解得?
?
?
=
=
1
3
n
m
,
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10.
方法二由?
?
?
+
=
-
=
-
b
a
f
b
a
f
)1(
)1
(
,
得
[]
[]
?
?
?
??
?
?
-
-
=
+
-
=
)1
(
)1(
2
1
)1(
)1
(
2
1
f
f
b
f
f
a
,
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
方法三由?
?
?
≤
+
≤
≤
-
≤
4
2
2
1
b
a
b
a
确定的平面区域如图.
当f(-2)=4a-2b过点A
?
?
?
?
?
2
1
2
3
,
时,
取得最小值4×2
3
-2×2
1
=5,
当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,
取得最大值4×3-2×1=10,
∴5≤f(-2)≤10.
一、选择题
1.已知a,b,c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是
（）
A.a
b
＞a
c
B.c
a
b-
＞0 C.c
b2
＞c
a2 D.ac
c
a-
＜0
答案 C
2.已知a、b、c满足c＜b＜a,且ac＜0,那么下列选项中一定成立的是
（）
A.ab＞ac
B.c(b-a)＜0
C.cb2＜ab2
D.ac(a-c)＞0
答案A
3.设a＞1＞b＞-1,则下列不等式恒成立的是
（ ）
A.
b a 11<
B.
b a 1
1> C.221
b a >
D.a ＞b2
答案D
4. (2009·杭州模拟)已知三个不等式：ab ＞0，bc-ad ＞0,b d
a c -
＞0(其中a,b,c,d 均为实数),用其
中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D
5.已知函数f(x)=log2(x+1),设a ＞b ＞c ＞0,则
a a f )(,
b b f )(,
c c f )
(的大小关系为
( )
A.a a f )(＜c c f )(＜b b f )(
B. a a f )(＜b b f )(＜c c f )
(
C.c c f )(＜a a f )(＜b b f )(
D.c c f )(＜b b f )(＜a a f )
(
答案 B
6.若x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,则①ax ＜ay;②logax ＞logay;③x-a ＞y-a;④logxa ＜logya. 其中不成立的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 二、填空题
7.已知a+b ＞0，则2
b
a
+2
a b
与a 1+b 1
的大小关系是 .
答案 2
b
a
+2
a b
≥a 1+b 1
8.给出下列四个命题：
①若a ＞b ＞0,则a 1＞b 1
; ②若a ＞b ＞0,则a-a 1＞b-b 1
; ③若a ＞b ＞0,则b a b a 22++＞b a
;
④设a,b 是互不相等的正数，则|a-b|+b a -1
≥2.
其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案 ② 三、解答题
9.比较aabb 与abba （a,b 为不相等的正数）的大小.
解 a b b
a b a b a =aa-bbb-a=b
a b a -?
?
? ??,
当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a-b ＞0,∴b
a b a -??
? ??＞1；
当0＜a ＜b 时，b a
＜1,a-b ＜0,∴b
a b a -?
?
? ??＞1.
综上所述，总有aabb ＞abba.
10.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0,
γ+α＞0.
试说明f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系. 解 由α+β＞0,得α＞-β.
∵f(x)在R 上是单调减函数,∴f(α)＜f(-β). 又∵f(x)为奇函数,∴f(α)＜-f(β),∴f(α)+f(β)＜0, 同理f(β)+f(γ)＜0,f(γ)+f(α)＜0, ∴f(α)+f(β)+f(γ)＜0.
11.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒
装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解 设买软件x 片、磁盘y 盒,
则x 、y 满足关系：?????
????∈
∈≥≥≤+y x y x y x 4300019080.
12.已知a ＞0,a2-2ab+c2=0,bc ＞a2.试比较a,b,c 的大小. 解 ∵bc ＞a2＞0,∴b,c 同号.
又a2+c2
＞0,a ＞0,∴b=a c a 22
2+＞0,∴c ＞0,
由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c ≥0. 当b-c ＞0,即b ＞c 时,
由???
??>+=2
222a
bc a c a b ?a c a 22
2+·c ＞a2 ?
(a-c)(2a2+ac+c2)＜0.
∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a2+ac+c2＞0, ∴a-c ＜0,即a ＜c,则a ＜c ＜b ； 当b-c=0,即b=c 时,
∵bc ＞a2,∴b2＞a2,即b ≠a.
又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0?a=b 与a ≠b 矛盾, ∴b-c ≠0.
综上可知:a ＜c ＜b. §6.2 均值不等式
基础自测
1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b 3
=1，则a+2b 的最小值为
( )
A.7+26
B.23
C.7+23
D.14 答案 A
2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是
( )
A.
b a a b +≥2 B.a2+b2≥2ab
C.b a a b 2
2+
≥a+b
D.b a 11+
≥2+b a +2
答案 D
3.（2009·河南新郑模拟）已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则
()cd
b a 2
+N+ N+
的最小值是（ ）
A.0
B.1
C.2
D. 4 答案 D
4.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为
（ ）A.7
B.33
9
C.1+22
D.5
答案 A
5.（2008·江苏，11）x,y,z ∈R+，x-2y+3z=0,xz y 2
的最小值是 .
答案 3
例1 已知x ＞0,y ＞0,z ＞0.
求证：
??
? ??+x z x y ???? ??+y z y x ?
?? ?
?+z y z x ≥8. 证明 ∵x ＞0,y ＞0,z ＞0,
∴x y +x z
≥x yz 2＞0, y x +y z ≥y xz 2＞0.
z x
+z y ≥z xy 2＞0,
∴??
? ??+x z x y ???? ??+y z y x ??? ??+z y z x
≥xyz xy xz yz ??8=8.
（当且仅当x=y=z 时等号成立）
例2 （1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y
9
=1,求x+y 的最小值；
（2）已知x ＜45,求函数y=4x-2+541
-x 的最大值；
（3）若x,y ∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y 的最小值.
解（1）∵x ＞0,y ＞0,x 1+y
9
=1,
∴x+y=(x+y)?
??? ?
?+y x 91 =x y +y
x
9+10≥6+10=16.
当且仅当x y =y x
9时，上式等号成立， 又x 1+y 9
=1,∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.
（2）∵x ＜45
,∴5-4x ＞0,
∴y=4x-2+541-x =-??? ??-+-x x 45145+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=x 451
-,即x=1时，上式等号成立，
故当x=1时，ymax=1.
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴
y
2+x 8
=1,
∴x+y=(x+y)?
??? ?
?+y x 28=10+x y 8+y x 2 =10+2???? ??+y x x y 4≥10+2×2×y x
x y ?4=18, 当且仅当x y 4=y x
,即x=2y 时取等号，
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
∴当x=12,y=6时，x+y 取最小值18.
例3 （12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形
且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定
（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米， 中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为 80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 解 （1）设污水处理池的宽为x 米，则长为
x
162
米.
1分
则总造价f(x)=400×?
?? ???+x x 16222+248×2x+80×162 =1 296x+x 100
2961?+12 960
=1 296
?
?
?
?
?
+
x
x
100
+12 960 3分
≥1 296×2x
x
100
?
+12 960=38 880（元），
当且仅当x=x
100
(x＞0),
即x=10时取等号. 5分
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 6分
（2）由限制条件知
??
?
?
?
≤
<
≤
<
16
162
16
x
x
,∴108
1
≤x≤16. 8分
设g(x)=x+x
100?
?
?
?
?
≤
≤16
8
1
10x
.
g(x)在
?
?
?
?
?
?
16
8
1
10,
上是增函数，
∴当x=108
1
时(此时x
162
=16),
g(x)有最小值，
即f(x)有最小值.
10分
1 296×
?
?
?
?
?
+
81
800
8
1
10
+12 960=38 882(元).
∴当长为16米，宽为108
1
米时，
总造价最低，为38 882元. 12分
1.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1.
求证：a
1
+b
1
+c
1
≥9.
证明a
1
+b
1
+c
1
= a
c
b
a+
+
+b
c
b
a+
+
+c
c
b
a+
+
=3+
?
?
?
?
?
+
b
a
a
b
+
?
?
?
?
?
+
c
a
a
c
+
?
?
?
?
?
+
c
b
b
c
≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=3
1
时取等号.
2.若-4＜x ＜1,求222
22-+-x x x 的最大值.
解 22222-+-x x x =21
·()1112-+-x x =21()?????
?-+-111x x =-2
1
()()?
?????--+--111x x
∵-4＜x ＜1,∴-(x-1)＞0,()11
--x ＞0.
从而()()?
?
????--+--111x x ≥2 -2
1()()?
?????--+--111x x ≤-1
当且仅当-(x-1)= ()11
--x ，
即x=2（舍）或x=0时取等号.
即max 22222?
??? ?
?-+-x x x =-1. 3.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每
小时的运输成本（以元为
单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元.
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v s
，全程运输成本为y=(a+bv2)
v s =sb ?
?? ??+bv a v ,v ∈（0,c ］.
（2）依题意，有s,b,a,v 都是正数.
因此y=sb ?
?? ??
+bv a v ≥2s ab ;
①若b a ≤c,则当且仅当v=bv a
?v=b a 时,y 取到最小值. ②若b a
≥c,则y 在（0，c ］上单调递减，
所以当v=c 时，y 取到最小值.
综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v=b a
；
当b a
≥c 时，行驶速度应该为v=c.
一、选择题
1.若不等式x2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为
（ ） A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5 D.[]4,4- 答案 C
2.在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是
（ ）
A.y=x+x 4
B.y=
x x lg 1lg +
C.y=11
122++
+x x
D.y=x2-2x+3
答案 D
3.已知0＜x ＜1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为
( ) A.31
B.21
C.43
D.32
答案 B
4.（2008·聊城模拟）若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1
的最
小值是 （ ） A.1
B.5
C.42
D.3+22 答案 D
5.（2008·汕头模拟）函数y=log2x+logx(2x)的值域是
（ ）
A.(]1,--∞
B.[)+∞,3
C.[]3,1-
D.(][)+∞--∞,31,Y 答案 D
6.有一个面积为1 m2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是（ ） A.4.7 m B.4.8 m C.4.9 m D.5 m 答案C 二、填空题
7.（2008·徐州调研）若实数a,b 满足ab-4a-b+1=0 (a ＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 . 答案 27
8.若a,b 是正常数，a ≠b,x,y ∈(0,+∞)，则x a 2+y b
2
≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y
b 时上式取等号.利用
以上结论，可以得
到函数f(x)=x 2+ x
219
-?
??? ?
???? ??∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 . 答案 25 51
三、解答题
9.（1）已知0＜x ＜34
，求x(4-3x)的最大值；
（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y 的最小值.
解 （1）已知0＜x ＜34
,∴0＜3x ＜4.
∴x(4-3x)=31(3x)(4-3x)≤312
2343?
?? ?
?-+x x =34 当且仅当3x=4-3x,即x=32
时“=”成立. ∴当x=32时，x(4-3x ）的最大值为34
.
（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.
∴2x+4y ≥2y x 42=2y x 22+=23
2=42.
当且仅当????
?=+=3
242y x y x ，即x=23,y=43时“=”成立. ∴当x=23,y=43
时，2x+4y 的最小值为42.
10.已知a 、b ∈（0，+∞），且a+b=1,求证：
(1)a2+b2≥21
;
(2)2
1
a +2
1
b ≥8;
(3)2
1??? ??+a a + 2
1?
?? ??+b b ≥225;
(4) ??? ??+a a 1?
?? ??+b b 1≥425.
证明 由?????=+≥+,
b a ,ab b
a 12
a 、
b ∈（0，+∞）， 得ab ≤21?ab ≤41?ab 1
≥4. （当且仅当a=b=21
时取等号）
(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab ≥1-2×41=21
， ∴a2+b2≥21
.
(2)∵2
1
a +2
1
b
≥ab 2
≥8,∴21a +2
1b ≥8.
(3)由(1)、(2)的结论，知
2
1?
?? ??
+a a +
2
1??? ??+b b =a2+b2+4+21a +21b ≥21+4+8=225,∴2
1?
?? ??+a a +
2
1?
?? ??+b b ≥225.
(4) ??? ??+a a 1??? ??+b b 1=a b +b a
+ab+ab 1
=a b +b a +2
1???? ??-ab ab +2≥2+2212??? ??-+2=425.
11.设a ＞0,b ＞0,a+b=1.
（1）证明：ab+ab 1≥441
;
（3）探索猜想，并将结果填在以下括号内：
a2b2+221
b a ≥（ ）；a3b3+3
31
b a ≥（ ）；
（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.
（1）证明 方法一 ab+ab 1≥441
?4a2b2-17ab+4≥0 ?
(4ab-1)(ab-4)≥0.
∵ab=(ab )2≤2
2?
?? ??+b a =41, ∴4ab ≤1，而又知ab ≤41
＜4,
因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，故ab+ab 1≥441
. 方法二 ab+ab 1
=ab+ab ?241+ab ?2
415，
∵ab ≤2
2?
?? ??+b a =41，∴ab 1≥4，∴ab ?2
415≥415. 当且仅当a=b=21
时取等号.
又ab+ab ?2
41
≥2
ab ab ??
2
41
=21
，
当且仅当ab=ab ?2
41
，即ab 1=4,a=b=21
时取等号.
故ab+ab 1≥42+415=441
（当且仅当a=b=21
时，等号成立）. （2）解 猜想：当a=b=21
时，
不等式a2b2+221
b a ≥( )与a3b3+3
31
b a ≥( )取等号，故在括号内分别填16161与64641
.
（3）解 由此得到更一般性的结论：
anbn+n
n b a 1
≥4n+n
41
.
证明如下：
∵ab ≤2
2?
?? ??+b a =41,∴ab 1≥4.
∴anbn+n n b a 1
=anbn+n n n b a ?241
+n
n n n b a ?-2241
4
≥2
n n n n
n b a b a ??
241
+n
n 2241
4-×4n
=n
42
+
n
n 4142-=4n+n
41
，
当且仅当ab=41
,即a=b=21时取等号.
12.某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x(单位：件，x ∈N*，1≤x ≤96)的关系如下：
x 1
2
3
4
Λ 96
p
331
983
973
321
Λ
43
又知每生产一件正品盈利a(a 为正常数)元，每生产一件次品就损失3a
元. （注：次品率p=产品总数次品个数
×100%，正品率=1-p)
（1）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数； （2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解 （1）依题意可知：p=x -1003
(1≤x ≤96,x ∈N*),
日产量x 件中次品有xp 件，正品有x-px 件，
日盈利额T=a(x-px)-3a px=a
??? ??--x x x 1004. (2)∵T=a ??? ??--x x x 1004=a ()???
???-+--x x x 1004001004 =a ??? ??--+x x 1004004=a ()?????
?
----x x 100400100104 ≤a(104-2400)=64a ，
所以当100-x=20，即x=80时，T 最大.
因此日产量为80件时，日盈利额T 取最大值. §6.3 不等式的证明
基础自测
1.设a 、b ∈（0，+∞），且ab-a-b ≥1,则有
（ ） A.a+b ≥2(2+1)
B.a+b ≤2+1
C.a+b ＜2+1
D.a+b ＞2(2+1)
答案
A
2.（2009·宜昌调研）若a,x,y 是正数，且x +y ≤a y x +恒成立，则a 的最小值为
（ ） A.22
B.2
C.2
D.1
答案B
3.下列三个不等式：
①a2+2＞2a;②a2+b2＞2(a-b-1);③(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2. 其中，恒成立的有
（ ） A.3个 B.2个 C.1个
D.0个
答案C
4.设a 、b 、c 、d 、m 、n ∈R+，P=cd ab +，Q=nc ma +·
,
n d
m b +则有
（ ）
A.P ≥Q
B.P ≤Q
C.P ＞Q
D.P ＜Q 答案B
5.（2008·安徽合肥5月）设a ＞0,b ＞0,c ＞0,下列不等关系不恒成立的是
（ ）
A.c2+c+1＞c2+41c-1
B.|a-b|≤|a-c|+|b-c|
C.若a+4b=1,则
b a 11+＞6.8 D.ax2+bx-
c ≥0（x ∈R ）
答案D
例1 已知a 、b 、m 、n ∈R+.
求证：am+n+bm+n ≥ambn+anbm. 证明 am+n+bm+n-ambn-anbm =am(an-bn)+bm(bn-an) =(an-bn)(am-bm) ∵a 、b 、m 、n ∈R+,
∴当a ≥b 时，(an-bn)(am-bm)≥0, ∴am+n+bm+n ≥ambn+anbm, ∴a ≤b 时，(an-bn)(am-bm)≥0, ∴am+n+bm+n ≥ambn+anbm.
综上知：am+n+bm+n ≥ambn+anbm.
例2 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，
求证：c c
b a b b a
c a a c b -++-++-+＞3. 证明 左式=3
-???
??++??? ??++??? ??+a c c a c b b c b a a b .
∵a,b,c 为不全相等的正数，
∴b a a b +≥2, c b b c +≥2, a c c a +≥2,且等号不同时成立.
∴3
-??? ??++??? ??++??? ??+a c c a c b b c b a a b ＞3,
即c c
b a b b a
c a a c b -++-++-+＞3.
例3 已知a ＞b ＞0,求证：
b b a ab b a a b a 8)(28）（2
2-<-+<-. 证明 欲证b b a ab b a a
b a 8)(28）（2
2-<
-+<-,
只需证b b a b a a
b a 8)(2)(8）（2
22-<
-<-
∵a ＞b ＞0,∴只需证,
222
22b
b a b a a
b
a -<-<
-
即.
212b b a a
b
a +<
<+
欲证
.
12<+b
b
a
只需证,2a b a <+即a b <.该式显然成立.
欲证1＜
,
2a
b
a +,
只需证,2b a b +<，即a b <.该式显然成立.
∴b
b a a
b
a 212+<
<+成立，且以上各步都可逆.
∴b b a ab b a a
b a 8)(28)(2
2-<
-+<-成立.
例4 （14分）设Sn 是数列{an}的前n 项和，对n ∈N*总有Sn=qan+1（q ＞0,q ≠1）,m,k ∈
N*,且m ≠k.
（1）求数列{an}的通项公式an;
（2）证明：Sm+k ≥21
(S2m+S2k);
（3）证明：当q ＞1时，
.112
22k
m k
m S S S +>
+
解 （1）当n=1时，a1=S1=qa1+1,
∵q ≠1,∴a1=q -11
.
1分 ∵Sn=qan+1, ①
∴Sn+1=qan+1+1
②
②-①得Sn+1-Sn=qan+1-qan, ∴an+1=qan+1-qan. `
3分 ∴(q-1)an+1=qan,
∵q ≠1,∴an+1=1-q q
an.
∴数列{an}是首项为q -11,公比为1-q q
的等比数列. ∴an=q -11×（1-q q
）n-1.
4分 (2)由（1）得
Sn=qan+1=q q -1×（1-q q ）n-1+1=1-（1-q q
）n. 令1-q q
=t,则Sm+k=1-tm+k,S2m=1-t2m,S2k=1-t2k,
∴Sm+k-21
(S2m+S2k)
=(1-tm+k)-21
[(1-t2m)+(1-t2k)］
7分
=21
［(t2m+t2k)-2tm+k ］
=21
(tm-tk)2≥0.
∴Sm+k ≥21
(S2m+S2k).
9分
(3)当q ＞1时，t=1-q q
＞1,
∵m ≠k,∴t2m ≠t2k,1-t2m ＜0,1-t2k ＜0,1-tm+k ＜0.
∴-???? ??-+???? ??-=???? ??+k m k m S S S S 22221111 ＞)1)(1(1
21122222--=???? ??-???? ??-k m k m t t S S
11分∵0＜(t2m-1)(t2k-1)=t2m+2k-(t2m+t2k)+1
＜t2m+2k-2122+?k
m
t t =(1-tm+k)2. ∴.)1(1))((12
1
21
2k m k m t t t
+--->
13分
∴-.212)1(1211222k
m k m k m k m S t t S S +++-=-=->???? ??+
∴.1
1222k
m k
m S S S +>
+
14分
1.设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=231
--n a ,n=2,3,4,….
(1)求{an}的通项公式； （2）设bn=an
n
a 23-,证明bn ＜bn+1,其中n 为正整数.
（1）解 由an=231
--n a ,n=2,3,4,…,
整理得1-an=-21
(1-an-1).又1-a1≠0,
所以{1-an}是首项为1-a1,公比为-21
的等比数列，
得an=1-(1-a1)?
?? ??-21n-1(n=2,3,4,…).
（2）证明 由（1）可知0＜an ＜23
,故bn ＞0.
所以
21
221++=-n n n a b b (3-2an+1)-
2
n a (3-2an)
=????
?
?-?-???
? ??-23232
32
n n a a -2
n a (3-2an)
=49n
a (an-1)2.
又由(1)知an ＞0且an ≠1,故2
21n n b b -+＞0,
因此bn ＜bn+1(n 为正整数）.
2.（2009·成都模拟）（1）设a 、b 、c 都是正数，求证：
c ab b ca a bc ++≥a+b+c;
(2)已知a 、b 、c ∈(0，+∞），且a+b+c=1,
求证：
c c
b b a a -+-+-111≥6.
证明 （1）∵a 、b 、c ∈（0，+∞），
∴
c ab 、b ca 、a bc 都是正数.
∴b ca a bc +≥2c ，c ab b ca +≥2a ，c ab a bc +≥2b.
三式相加，得2(c ab
b ca a b
c ++)≥2(a+b+c).
∴c ab
b ca a b
c +
+≥a+b+c.
（2）
c b
a b c a a c b c c b b a a +++++=-+-+-111 =???
??++??? ??++??? ??+b c c b c a a c b a a b
≥2+2+2=6.
3.若0＜a ＜c,b ＜c,求证：c-.2
2ab c c a ab c -+<<-
证明 c-ab c -2＜a ＜c+ab c -2
,
ab c c a ab c c a ab c -<-?-<-<--?2
2
2
||
高三数学第一轮复习教案(1)
第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式 【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 知识点一 基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 (a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．
2018年高考数学总复习 基本不等式及其应用
第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误！未找到引用源。 （2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”). 特例：错误！未找到引用源。同号. （3）其他变形： ①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串：错误！未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误！未找到引用源。. （1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
基本不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习
§7.4 基本不等式 2014高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题． 复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用． 1． 基本不等式≤ab a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2． 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)． b a a b (3)ab ≤ 2 (a ，b ∈R )． (a ＋b 2)(4) ≥2 (a ，b ∈R )． a 2＋ b 22 (a ＋b 2)3． 算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4． 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2.(简记：积定和最p 小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)p 2 4[难点正本 疑点清源] 1． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为 正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2． 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用 就是ab ≤ ；≥ (a ，b >0)逆用就是ab ≤ 2 (a ，b >0)等．还要注意“添、 a 2＋ b 2 2 a ＋b 2ab (a ＋b 2)拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 3． 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋(m >0)的单调性． m x 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 答案 81 解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2， xy 所以xy ≤ 2 ＝81， (x ＋y 2)当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 2． 已知t >0，则函数y ＝ 的最小值为________． t 2－4t ＋1 t 答案 －2
高考数学总复习专题讲解60---成对数据的统计分析
高考数学总复习专题讲解60 成对数据的统计 分析 [考点要求] 1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用． 1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^ 是待定参数． ?????b ^＝∑n i ＝1 （x i －x ）（y i －y ） ∑n i ＝1 （x i －x ）2 ＝ ∑n i ＝1 x i y i －n x －y － ∑n i ＝1x 2i －nx 2 a ^＝y －b ^x ． 3．回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x －，y － )称为样本点的中心． (3)相关系数 当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 4．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d 构造一个随机变量K 2 ＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量． [常用结论] 1．回归直线必过样本点的中心(x ，y ). 2．当两个变量的相关系数|r |＝1时，两个变量呈函数关系． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( ) (2)通过回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^ 可以估计预报变量的取值和变化趋势．( ) (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．( ) (4)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的是( )
人教版高三数学一轮复习练习题全套—(含答案)及参考答案
高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．
姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =．
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
高考数学总复习全套讲义(学生)
第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础知识部分】 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表 示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A = A ?= B A ? B B ? ()U A =e 2()U A A U =e 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 【基础练习】 1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示 ． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?= ． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为_______． 【反馈演练】 1．设集合{ }2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ?=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______个． )()()U U B A B =?)()() U U B A B =?
2014届高考数学知识点总复习教案一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0， －x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3．设a >0，不等式－c 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 2021年高考数学总复习全套必考知识点梳理汇 总（通用版） 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元 素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和 ∨∧ ()()? “非”(). ∧ p q p q 若为真，当且仅当、均为真 p q p q ∨ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] >->=+- 0义域 f x a b b a F(x f x f x 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()() 新课标高考数学一轮复习技巧 高考数学一轮复习技巧1 高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。如果你认为高三学习是 第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不 会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。 学习上更要听话，教高三的老师都是经历了几次或十几次高考授课，非常有经验，复习的 进度、复习的内容、复习的顺序，都是长期教学实践中总结出来的。高考的变化及新要求，都会在复习中渗透进去。而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生每年都 有最后会碰的“头破血流”的。 高考数学一轮复习技巧2 高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生 上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完 成对知识、方法、能力的提高。如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。而不应 该因为不适应这个老师的教学方法，就不喜欢这个老师，进而就不喜欢这门课程，这样受 损失的只有学生自己。 高考数学一轮复习技巧3 复习每天都要进行，即使今天没有数学课，也要对知识加以复习，这就要求有一个计划，首先对时间加以计划，每天都要有数学的复习时间，四十分钟一节课左右，周末应有 两节课的时间;其次对学科加以计划，哪个时间段看哪个学科，要做到心中有数，计划有 了贵在坚持。 高考数学一轮复习技巧4 作业应该是检验听讲和复习效果的手段，不应看成一个负担，作业要认真对待，把每 一次作业看成一次考试，不能敷衍了事，不会做的题目可以与同学研讨，但不要直接抄写，每次作业都是一次练习的机会，不要错过。 高考数学一轮复习技巧5 高三复习阶段的考试是非常多的，考试是对知识、方法、能力、经验的检验，每次考 试都是一个积累，大家应该充分运用它。首先，考试要独立完成，不要看别人的，否则会 掩盖你的漏洞，失去老师对你的关注，也会失去对自己的正确估价。一两次考试成绩的好坏，说明不了什么，考好了不证明你就没有问题，考不好也不是说你彻底不行了。考试成 绩不真实，最后会在高考中体现出来，吃亏的还是学生自己。其次，考试要注重基础题的 解答，要明确考试是靠做“对”会做的题得分，而不是去做不会做的题得分你得不到分， 取得好成绩是依靠做“对”多少，而不是做“了”多少，因此大家要学会“放弃”，不要 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 高三数学一轮复习：基础知识归纳 第一部分 集合 1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… 2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 3.(1) 元素及集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. （3） A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ U C A B R ?= 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况. （4）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空 子集有2n –1个； 非空真子集有2n –2个. 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 第二部分 函数及导数 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a、x cos等）；⑨平方 sin、x 法；⑩导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由 不等式a ≤ g(x) ≤ b解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于 x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)] (x y=分解为基本函数：内函数) g u=及外 g f ( [x 函数) f y= (u ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单 调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决， 再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ．．．． ⑵) ( ) (x (x x ?. - f= ?；) f f是偶函数) ) ( - (x (x f是奇函数) f = f- x ⑶奇函数) f在0处有定义，则0 (x )0(= f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函 数有相反的单调性 高考一轮复习（一） ——集合与函数 一、集合 1.集合的含义与表示 （1）集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法：N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系：对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法： ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 2.集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或)A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?，则A C ? (4)若B A ?且B A ?，则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B （或B ≠ ?A ） B A ?，且B 中 至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子集） (2)若A B ≠?且B C ≠?，则A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素 都属于B ，B 中的任一元素都属于 A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 3.集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 2020高考数学不等式知识复习汇总 高考是人生道路上的重要转折点，会对考生的未来发展产生重要的影响作用，甚至改变命运。想要在高考中取得好成绩，自然是要付出努力的，只有努力才能获得回报。这里给大家分享一些2020高考高频考点知识归纳，希望对大家有所帮助。 2020高考数学不等式知识复习汇总 高中数学不等式知识点总结： 1.用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。 2.性质： ①如果xy，那么yy;(对称性) ②如果xy，yz;那么xz;(传递性) ③如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+zy+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性) ④如果xy，z0，那么xzyz;如果xy，z0，那么xz ⑤如果xy，mn，那么x+my+n;(充分不必要条件) ⑥如果xy0，mn0，那么xmyn; ⑦如果xy0，那么x的n次幂y的n次幂(n为正数)，x的n次幂。或者说，不等式的基本性质有： ①对称性; ②传递性; ③加法单调性，即同向不等式可加性; ④乘法单调性; ⑤同向正值不等式可乘性; ⑥正值不等式可乘方; ⑦正值不等式可开方; ⑧倒数法则。 3.分类： ①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 ②一元一次不等式组： a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 4.不等式考点： ①解一元一次不等式(组) ②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题 ③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集 注：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。(移项要变号) 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。(相当系数化1，这是得正数才能使用) 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。(÷或×1个负 学案37合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理 自我检测 1．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·珠海质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a －b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·江苏)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 4．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·苏州月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________． 第1讲集合与简易逻辑（一） 1.1 集合的基本概念 1.2 集合的基本概念考点总结 1.3 命题及充要条件基本概念 1.4 命题及充要条件的考点 第2讲集合与简易逻辑（二） 2.1 逻辑连接词的基本概念 2.2 逻辑连接词的考点 2.3 习题课 第3讲函数基础（一） 3.1 函数的概念及表示法 3.2 函数概念考点总结 3.3 函数的单调性与最值基本概念3.4 函数的单调性与最值考点总结 第4讲函数基础（二） 4.1 函数的奇偶性和单调性 4.2 函数性质的考点总结 4.3 习题课 第5讲初等函数（一） 5.1 二次函数与幂函数基本概念5.2 二次函数与幂函数考点总结5.3 指数与指数函数基本概念 5.4 指数和指数函数考点总结 第6讲初等函数（二） 6.1 对数和对数函数基本概念 6.2 对数和对数函数考点总结 6.3 习题课 第7讲函数的应用（一） 7.1 函数的图像的基本概念 7.2 函数的图像考点总结 7.3 函数的零点与方程的基本概念 7.4 函数的零点与方程考点总结第8讲函数的应用（二） 8.1 函数模型的基本概念 8.2 函数模型考点总结 8.3 习题课 第9讲导数的性质 9.1 导数的基本概念 9.2 导数性质的考点总结 9.3 极值与导数 9.4 极值与导数考点总结 第10讲导数的应用 10.1 导数的应用 10.2 导数应用考点总结 10.3 习题课 第11讲导数的计算 11.1 微积分的基本概念（理）11.2 微积分考点总结（理）11.3 例题精讲（一） 11.4 例题精讲（二） 第12讲导数分析 12.1 例题精讲（一） 12.2 例题精讲（二） 12.3 导数大题精讲（一）12.4 导数大题精讲（二） 第13讲导数大题精讲 13.1 导数大题常见题型（一）13.2 导数大题常见题型（二）13.3 导数与不等式 第14讲三角函数 14.1 三角函数基本概念2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用
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