圆的对称性(第一课时)教案
§4.2.1 圆的对称性
设计理念
数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人.
教学内容
《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时.
教材分析
圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.
教学目标
1.知识与技能
理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明．
2.过程与方法
经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力．
3.情感、态度与价值观
通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系.
教学重点
垂径定理及其推论的探索．
教学难点
垂径定理及其推论的证明．
教学方法
自主探究和合作探究相结合．
教学过程
一、创设情境，感知数学
【问题1】通过上节课《圆》的学习，进一步认识了圆的意义.这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？
［学情预设］学生凭借经验易想到用折叠的方法，如图，交点O就是圆心.
【问题2】你怎么验证点O就是圆心呢？
［学情预设］学生根据圆的概念能想到在圆上找一些点，测量它们与点O的距离.但需要找几个点，一个、两个、三个？还是更多？会有不同的见解.
【问题3】在折叠的过程中，你从中知道圆具有什么性质?
【问题4】圆的对称轴有几条？与学过的轴对称图形有什么不同？
［学情预设］学生可能只会找到1条、2条、3条……让学生自己得出结论：无数条，对称轴是任意一条过圆心的直线.师出示课题.
【问题5】这是一个硬币，你又有办法找出这个圆形硬币的圆心吗？
［学情预设］有的学生会想到利用刚才的方法；有的学生会纳闷：不能折叠怎么办？为了有更多的方法确定圆心，我们来深入探究圆的有关概念与性质.
［知识链接］圆上有两点到点O的距离相等，只能说明点O在该线段的垂直平分线上，不足以说明圆心.三个点还是更多，则是后面“确定圆的条件”探究问题.应用圆的不同性质来确定圆心的方法有许多.
［设计意图］问题是数学的心脏，兴趣是最好的老师.设计一连串的问题情境引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又体验了圆的对称性及应用.
二、师生互动，体验探究
1.自主探究：学生阅读课本，学习圆的相关概念：弦、弧.
（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？
（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？
（3）什么是半圆？它与弧如何区别？
（4）请你写出图中的优弧和劣弧，并思考如何才能不重复不遗漏？［学情预设］
学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：
弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧，如同大于零的数是正数，小于零的数是负数，但零既不是正数，也不是负数一样.问题4，学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律.
［设计意图］让学生带着问题读书，有效地提高他们自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题.
2.合作探究：弦与弧之间的联系-----学习垂径定理及推论. 活动一：探究垂径定理
①刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？（相交） 垂直是相交的特殊情况，从垂直的图中能得出哪些等量关系？
(AB=CD 、OA=OB=OC=OD 、 AC = BC = AD = BD
) ②若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？
③思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？
④把上述发现归纳成文字语言和几何语言.
垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤ ① CD 是直径 ③AM =BM ，
④⌒AD=
BD
，
② CD ⊥AB 于M ⑤ AC = BC
. ［学情预设］问题2，多数学生会用画图、折叠、测量的方法猜想出结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明.
［设计意图］用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在平移中体会知识的发生与发展过程，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的概括、总结的语言表达能力.
活动二：探究垂径定理的推论 议一议：
【问题1】把垂径定理中条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论
是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例.
【问题2】你还能找出其它类似的结论吗？并判断是真命题还是假命题？ 【引例】已知：如图⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为点M ，
① 若半径R =5，OM =3，求AB 、CM 的长； ② 若半径R =5，AB =8，求OM 、CM 的长；
③ 由①②两题的启发，你还能编出其它什么问题？
［学情预设］ 问题1，大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定
垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立.问题2，有②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③……学生写不完整或重复，要引导找规律：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论，才能不重复不遗漏.
［设计意图］对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性. 师生共同归纳：垂径定理的推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线会经过圆心，并且平分弦所对的弧.…… 【问题3】现在你有办法找出圆形硬币的圆心吗？ ［学情预设］作圆中两条弦的垂直平分线，交点就是圆心. ［设计意图］首尾呼应，学以致用.
三、应用新知，探寻规律
【例1】：（7页例题）如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且
OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．(书本例题，可归为
引例中哪种类型？)
［设计意图］让学生在实践中悟出垂径定理应用：在四个量半径R 、弦
AB 的长、弦心距OM 长、弓形高CM 的长中，任已知两个量可以求出另
两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 练习
1:
在半径为50㎜的圆O 中，有长50㎜的弦AB ，计算：⑴点O 与AB 的距离；⑵∠AOB 的度数。 【例2】 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米， 圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径。 若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB 的长。
若圆心到弦的距离用d 表示，半径用r 表示，弦长用a 表示， 这三者之间有怎样的关系？ 即右上图中的OE 叫弦心距. 习题：
1、如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。
2、如图，圆O 的弦AB ＝8 ㎝ ，DC ＝2㎝，直径CE ⊥AB 于D ，求半径OC 的长。
3、在圆O 中，直径CE ⊥AB 于 D ，OD=4 ㎝，弦
㎝ ，求圆O 的半径。
例3 已知：如图，在以O 为圆心 的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小 圆于C ，D 两点。 求证：AC
＝BD 。
证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ， 则AE ＝BE ，CE ＝DE 。 AE －CE ＝BE －DE 。 所以，AC ＝BD
2
2
2
2?
?
?
??+=a d r C
C
E
A
D
B
O
已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥
求证：EC＝DF
四、课堂小结，分享收获
这节课在内容方面你学习了哪些知识？在方法方面你学会了什么？你还有什么疑惑、发现、
体会与感悟与我们交流？想进一步探究的问题是什么？
［设计意图］用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，提炼其中蕴含的数学思
想方法，学会自我评价、自我反思，取长补短、资源共享.
五、课后作业，加深理解
完成课后的随堂练习和习题4.2，其中试一试为选做题；类比迁移今天的学习方法尝试探究
圆的中心对称性.
设计说明
1.分析学情，拟定思路
圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，学生在学习对称性时已有所
有解.但“圆”的学习，学生由学习直线型到曲线型，对圆的性质进行全面深入的探究，要求进
一步巩固和提高推理论证方法，熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法的推理过程，在认识和
思维上是一大飞跃.充分利用以前学习中积累的折叠、对称、平移、旋转、推理证明等经验展开
探究，是突破本章学习的重要途径.
2.整合教法，体现主体
课堂设计符合学科特点和学生实际，创设“找圆心”情境新颖、有趣、自然，注重垂径定
理及推论的发生、发展和应用过程的教学，关注学生自主学习、合作学习和探究学习方式的指
导，体现学生的主体地位，突出数学的运动变化、分类等思维与方法，开放教学过程，创设了
和谐融洽学习氛围.
3.创新教材，突显特色
本节课大胆地对教材进行创新、变式，以连贯顺畅的问题情境和问题串形式步步深入，层
层推进学生思考，有效激活学生思维.课堂设计体现了创——创设情境激兴趣，探——探索新知
有合作，导——引导探究重方法，思——归纳反思促提高，学生在动口、动手、动脑活动中真
正理解知识，获得了数学活动的经验，提升了能力.
4.优化情境，贯穿教学
找“圆心”这个问题情境具有可操作性、开放性、探究性，它的方法多种多样，依据的定理（垂径、圆周角、切线…）不同，方法也不同，它不仅可以是本节课的问题情境，而且可以作为贯穿圆一章学习或复习的问题情境.
《圆的对称性》教学设计
3．2圆的对称性学案 学习目标： 1．理解圆的轴对称性； 2．理解垂径定理及逆定理的的推导过程，并能初步应用。 一、课前预习 自学课本P96，回答下列问题： 1.平面上，到的距离等于的所有点组成的图形叫做。 2.点与圆的位置关系有三种：点在、点在、点在。 3.连接圆上任意两点间的线段叫做__________,经过圆心的弦叫做_________。 4.圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 .如图，以A、B为端点的弧记作，读作“”或“”。 5.弧包括和，大于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为。半圆既不是，也不是。优弧一般用个大写字母来表示，劣弧一般用个大写字母来表示，如图，以A、D为端点的弧有两条，优弧ACD(记作 )劣弧ABD(记作 )。 二、合作探究 【自主学习】 1．圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2．你是用什么方法解决上述问题的? 3．右图还是轴对称图形吗？如果是你能找出它的对称轴吗？ 【小组讨论】 4．如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD, CD⊥AB,垂足为M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系吗？说一说你的理由。 垂径定理：。 用几何语言表达：∵∴ 在下列图形中，哪些符合垂径定理的条件？ 三、典型例题
E O B A E O B A E O B A E O B A D O B A 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，（即图中 CD，点O是CD的圆心），其中CD =600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m。求这段弯路的半径。 四．练习： 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。 （1）题（2）题（3）题（4）题（5）题 4.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E， 且AB=8cm,AC=6cm,那么的⊙O的半径OA长为。 5.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为 _____ 6．已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 五．小结感悟 学了本节课你有哪些收获？ 六．作业《分层作业B本》第21-22面，17题选做
人教版六年级上册数学《圆的对称性》教案
人教版六年级上册数学《圆 的对称性》教案 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
人教版六年级上册数学《圆的对称性》教案 杨晓莉 教学内容：教科书59页例题3 做一做 教学目标： 1、知识与技能：（1）初步认识轴对称图形，知道轴对称的含义；（2）会判断哪些图形是轴对称图形并能找出轴对称图形的对称轴。 2、过程与方法：（1）培养学生动手操作能力、分析推理能力；（2）培养学生对信息进行采集、整理和利用的基本能力，以及合理利用现代信息技术手段提高学习效率的能力。 3、情感、态度与价值观：（1）通过观察、讨论、创作，使学生充分感知数学美，激发学生喜爱数学的情感；（2）通过小组合作的研究性学习，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。 教学重点：（1）认识轴对称图形的特点，建立轴对称图形的概念； （2）准确判断生活中哪些事物是轴对称图形。 教学难点：找轴对称图形的对称轴。 教具：多媒体课件，所学过的平面图形。 教学过程： 一、教学引入 1.复习 1）、连接（）和（）任意一点的线段叫做圆的半径。 2）、在同一个圆中，所有的半径都（）。 3）、在同一个圆中，直径有（）条。 4）、在同一个圆里，半径的长度是直径的（），直径的长度是半径的 （）。 2、观察以前认识对称图形。
1）、举例说出轴对称的物体。如：蝴蝶、枫叶、门窗、剪刀、五角星等。想一想这些图形有什么特点？ 2）、观察、概括。 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 二、教学我们所学过的平面图形的对称轴 1.师：我们以前已经认识了许多平面图形（长方形、正方形、梯形、三角形、平行四边形），长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等都是由线段围成的平面图形，叫做直线图形。圆是由曲线围成的平面图形，叫做曲线图形。大家一起来找找这些图形中哪些是轴对称图形（ 电脑出示） 2．提出要求：四人小组为单位先猜一猜，再拿出图形动手折一折，验证一下哪些图形是轴对称图形，有几条对称轴，并画出对称轴。 3．学生操作交流。（师巡视辅导） 4．汇报交流 （1）判断哪些图形是轴对称图形？ （2）找轴对称图形的对称轴。（指名上台折，展示） （3）画出对称轴。 5．小结：从上面的图形中可以看出，正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条的对称轴。 三、教学认识圆的对称轴 1、出示例3：你能分别画出下面两个圆的对称轴吗？你能画出几条呢
青岛版数学九年级上册教案3.1圆的对称性
3.1圆的对称性 教学目标 【知识与能力】 (1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； (2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 【过程与方法】 (1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； (2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 【情感态度价值观】 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点 【教学重点】 对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 【教学难点】 能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题． 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ (如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)． 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠． 今天我们继续来探究圆的对称性． 问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径． 问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？ 忆一忆： 1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________． 2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧． 3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性-教案
圆的对称性 （南充市建华中学 张懿） 教学目标： 使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 重点难点： 1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 教学过程： 一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 二、新课 1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 实验1、将图形23.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图23.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB AOB ∠=∠，AB AB =，AB AB =。 实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。 问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是 否相等呢？ 实验2、如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵ ，你能发现什么结论？ 显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么AP BP =，AC BC =，AD BD =。请同学们用一句话加以 概括。 （ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。（2）如图23.1.5，在⊙O 中，AC BC =，145∠=?，求2∠的度数。 图 23.1.3 图 23.1.4 图23.1.7
圆的对称性(教案)
5.2 圆的对称性（二） 班级姓名学号 学习目标 1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设 （1）圆是轴对称图形吗？ （2）你是如何验证的？ 设计意图1、体验折叠是验证轴对称图形的非常好的方法。 2、确信圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径所在的直线，这样的对称轴有无数条。 圆是轴对称图形，我们这节课就来研究与圆的轴对称有关的性质。 二、探索与发现 如图，AB是⊙O的直径，画弦CD⊥AB，垂足为P，探索图形中的相等关系。 你是如何发现的？ 教学设计： 经历从感性到理性的认知过程 通过观察操作说理等方法获取结论。 垂径定理 文字语言：_________________________________________________________。 符号语言： 。 三、例题讲解 2cm，你能求出圆心O到CD的距离吗？例1. 已知：如图，直径AB⊥CD，⊙O的半径为2cm，若弦CD=3 例2. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？
四、及时巩固： 1．如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？ 2.填空 （1）如图，已知⊙O 的半径为13cm ，AB 为⊙O 的一条弦,点O 到AB 的距离为5cm ，则AB=____. （2）如图，已知⊙O 的直径为10cm 中，弦AB=8cm ，P 是AB 上的一个动点。ＯＰ长度的范围是 。 （3）如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为（4，2），点A 的坐标为（2，0）则点B 的坐标为_________． 第（1）题 第（2）题 第（3）题 五、应用与拓展： 1．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图所示，已知污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备半径多大的管道？ 思考: 如果水面宽度由60cm 变为80cm ，那么污水面下降了多少厘米? 2. (思维拓展)已知⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 内一点,OP=4cm ，则过点P 的所有弦中，最短弦的长为多少cm? 过点P 的所有弦中，长度为整数的弦有几条? O B A P O B A
《圆的对称性》教案
《圆的对称性》教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法 （1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ （如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）． 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠． 今天我们继续来探究圆的对称性． 问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径． 问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？ 忆一忆： 1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．
2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧． 3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？ 学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条． 知识点二：圆的中心对称性． 问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 做一做： 在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．
2.2圆的对称性2教案
学上教育 数学 学科个性化导学案 学生 教师 左老师 班主任 日期 2018/7/ 时间段 8:00-10:00 年级 八年级 课时 2小时 课题 2.2 圆的对称性（2） 课堂类型 学情分析 重点 (学习目标) 圆的对称性 难点 圆的对称性 教学辅助设备 教案 教学过程 教学内容 第2章 对称图形——圆 2.2 圆的对称性（2） 【基础提优】 1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ．CB ⌒=BD ⌒ C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD 第1题 第2题 2．如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ） A ．42 B ．82 C ．25 D ．45 3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ） A ．4m B ．5m C ．6m D ．8m
第3题第4题 4．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为（） A．25 6 cm B．5cm C．4 cm D． 19 6 cm 5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM 的长不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5 第5题第6题 6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB=23，OC=1，则∠B= ． 7．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为 ． 第7题第8题 8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm． 9．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M． （1）求OM的长； （2）求弦CD的长．
【北师大版教材适用】九年级数学下册《圆的对称性》教案
北师大版九年级数学下册精编教学设计系列
圆的对称性 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学任务分析 知识与技能 通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣． （2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业. 数学活动一：认识圆的对称性 提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？ 提问二：圆是对称图形吗？ （1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠 （2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? 现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将
《圆的对称》教学设计
2.2圆的对称性（1） 一.教学内容分析： 《2.2圆的对称性（1）》是“苏科版九年级数学（上）第2章第二节”的内容。本课时内容是在小学学过的一些圆的知识以及本册第2章第一节圆的有关概念的基础上，进一步探索和研究圆有关的性质（圆心角、弧、弦之间的关系定理）。圆心角、弧、弦之间的关系定理是同圆中证明弧相等、角相等、线段相等的主要依据，同时也为进行圆的计算和应用提供了方法和依据。因此，本课时内容是本章的重点也是全章的基础，更是学好本章的关键。 二.学情分析： 学生在初二已经学习过中心对称与中心对称图形，对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解，了解中心对称的概念以及相关的性质。所以对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性很容易理解。但对弦、弧以及圆心角之间的关系，并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面，学生缺乏亲身体验和总结。 三．教学目标： 1.知识与能力： （1）知道圆是中心对称图形，理解圆的旋转不变性。 （2）知道弧的度数概念。 （2）知道圆心角、弧、弦之间的关系和圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，并能应用它们解决一些问题。 2.过程与方法： （1）通过探究圆心角、弧、弦之间的关系，培养学生的推理总结能力，发展学生逻辑思维能力。 （2）通过相关的证明或计算题目的训练，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。 3.情感态度与价值观： 通过圆的旋转变换的实验、操作、观察、归纳、逻辑思维推理等过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力。 四．教学重点、难点 教学重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理。 教学难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解以及定理的应用。 五.设计思路 本节课通过“复习中心对称的概念创设情境，并指出旋转变换是研究中心对称图形的常用方法”引出圆是中心对称图形，同时具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度后都能与原来的图形重合。圆的这个特征是研究圆心角、弧、弦之间的相等关系的基础。本节课通过操作、观察、思考、交流、探索得出圆心角、
27.1.2圆的对称性(教学设计)
第27章圆 27.1.2．圆的对称性 一、学情分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。 学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。 二、教学任务分析 知识与技能： 1．理解圆的旋转不变性； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生积极探索数学问题的态度与方法。 教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件． 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。
第一环节 课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。 第二环节 创设情境，引入新课 活动内容： 问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它们的定义是什么？ 活动目的：为了引出圆的轴对称和旋转不变性。 第三环节 合作探究 感受新知 活动内容： （一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性； 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答： 它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ? 归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。 （二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 做一做 按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。
圆的对称性(第一课时)教案
§4.2.1 圆的对称性 设计理念 数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人. 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时. 教材分析 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 教学目标 1.知识与技能 理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明． 2.过程与方法 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力． 3.情感、态度与价值观 通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 教学重点 垂径定理及其推论的探索． 教学难点
圆的对称性教学设计
课时教学设计首页 课题圆的对称性课型新授第几 课时 2课时 知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题。 过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 情感态度价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重点与难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题． 教学 方法 与 手段 自主探究和合作探究相结合． 使 用 教 材 的 构 想 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.
育才中学课时教学流程 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 今天我们继续来探究圆的对称性． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 生：如果一个图形沿着 某一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那 么这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴 生：折叠． ． 动手操作：同学们通过 折叠自己准备好的圆形纸 片的方法可以得到以下结 论： 1、圆是轴对称图形 2、它的对称轴是经过圆心 的一条折痕，这样的折痕有 无数条，所以圆的对称轴也 有无数条． 学生可能只会找 到1条、2条、3 条……让学生自 己得出结论：无 数条，对称轴是 任意一条过圆心 的直线.师出示 课题.
圆的对称性教学设计 圆的对称性
圆的对称性教学设计 圆的对称性 （第二课时） 一、教学背景分析 教学内容分析：本节圆的对称性（第二课时）主要内容是圆心角、弧、弦之间的关系，它由圆的旋转不变性引出，是圆的轴对称性学习之后圆的又一重要性质，圆心角、弧、弦之间的相等关系在以后的证明和计算中有着重要的作用。 学生情况分析：学生在第二学段已经学习过中心对称与中心对称图形，对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解，了解中心对称的概念以及相关的性质。前一节已经学习过弦、弧等圆的有关概念和垂径定理的内容，利用垂径定理及推论解决了与直径、弦、弧等有关的问题，对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性容易理解。但对弦、弧以及要学到的圆心角、弦心距等之间的关系，并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面，学生缺乏亲身体验和总结。 教学方式及教学准备： 教学方式：任务驱动问题教学小组合作探究 教学准备：学生课前准备圆形纸片（两个等圆）；教师制作几何画板课件；辅助教学的CAI软件 二、教学目标 知识目标：理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论，会用这三者之间的关系进行简单的证明。 能力目标：通过本节课的学习培养学生观察、实验、探究、归纳和概括能力。 情感态度与价值观：结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育；渗透圆的内在美。并使得学生在小组合作中尝试交流，在“做数学”中体会数学的严谨性。 三、教学重点、难点 重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论 难点：对定理中“在同圆或等圆中”前提条件的理解，以及从感性到理性的认识，发现归纳能力的培养。 四、教学过程设计 教学 进程 教学内容学生活动设计意图 创设情境直观感知知识链接： 问题1：什么是中心对称图形？中心对 称图形有什么性质？ 问题2：说出你所了解的中心对称图 形。 情境引入：课件展示（我来转一转） 如图是一个转盘，转盘分成六个相同 的扇形，颜色分为红、绿两种颜色， 指针的位置固定。 口答交流问题提出后，有些同学在列举 时会举出圆是中心对称图形， 但是对于圆具有旋转不变性缺 乏感性认识。中心对称图形的 复习目的是引起学生对图形对 称性的关注，那就是“重 合”——“相等”，为圆旋转以后 与原来图形重合从而得到弧、 弦等相等关系作好认知上的准 备
《圆的对称性》教学设计-优秀教案
（通过举反例强化对定理的理解。例：在同心圆中两个圆心角相等但所对的弦、弧并不相等）问题2、为什么要加上“在同圆或等圆中”中这个条件？ 活动意图说明 活动二的设计与安排是突破本课教学难点的重要环节，通过再次让学生动手操作及小组合作交流，让学生有足够的时间探究及讨论，整个过程给了学生一个操作实践的机会，发挥学生的主观能动性，使新知识成为他们自己探索研究后所得的成果，感受成功的体验。 环节三： 教的活动3 将顶点在圆心的圆心角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，于是，整个圆也被等分成360份。我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 问题：能不能说成圆心角与它所对的弧相等？为什么？学的活动3 在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么我们如何来刻画弧的大小呢？（学生在自学课本的基础上交流心得） 活动意图说明 九年级学生已经具备了一定的理解能力，1°的弧的意义及圆心角的度数与它所对弧的度数之间的 对应转化关系对于学生不会很困难，可让学生自己探索归纳。 6.板书设计（板书完整呈现教与学活动的过程，最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点。使用PPT应注意呈现学生学习过程的完整性） 例1、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
变式训练1：如图3，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠ABC=∠BAC，那么OC与AB的位置关系如何，说说你的理由？ 变式训练2：如图，点C是AB的中点，且AC的度数是60°，判断四边形ACBO的形状，并说明理由. 作业与拓展学习设计 1.如图，AB是⊙O的直径，BC =CD =DE，∠BOC=40°，∠AOE的度数是。 2. 一条弦把圆分成1︰3两部分，则劣弧所对的圆心角为________. 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB 于点D，交BC于点E。求AD、DE的度数。 4.如图，AD、BE、CF是⊙O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE.求证：AB=CD=EF. 5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB = CD. 求证：AC=BD. ★6.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AD与BC相等吗？为什么？ ★7.如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OB，CE⊥OB，CD=CE.求证：点C为AB的中点. 第3题 第1题 第4题 第5题 第6题 第7题
九年级数学 圆的对称性(3)教案
圆的对称性（3） 教学目标： 1．知道1°弧的意义 2．理解圆心角的度数与它所对弧的度数的关系，能综合运用这一关系解决相关问题． 教学重点：圆心角的度数与它所对弧的度数的关系 教学难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及证明．预习任务： 一、回顾圆的对称性的有关知识： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分____，并且平分____________________. 2、顶点在_______的角叫做圆心角. 3、在 _____中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有___量相等，那么它们所对应其余各组量都分别分别相等. 二、自学课本P72---73完成下列问题： 1、什么叫做1°的弧？什么叫做n°的弧？ n°的圆心角与它所对的弧的度数有什么关系？ 3、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系是： 4、独立完成例4，并与课本相对照，思考一般解题思路。 例4、（书写过程） 5、独立完成例5，并与课本相对照，思考一般解题思路。 例5
二、预习检测： 1. 如图，已知O 中， ⌒AB=⌒BC ，且⌒AB ：AMC ⌒ =3:4，则AOC ∠=______. 2.如图，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE ，∠C=035，则⌒BE 的度数为 教学过程： 一、创设问题情境，引入新课 圆心角与它所对的弧的度数有什么关系？ 二、精讲点拨： 1、1°的弧n°的弧的意义 2、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：相等（注意：只是度数相等） 3、例 4、5解题思路及辅助线的添加方法 三、拓展延伸： 如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC.AD 于E.F ，若∠D=50°，求⌒BE 的度数和⌒EF 的度数． 四、系统总结: 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？ _ B _A _C _E _D _F
九年级数学圆的对称性教案
九年级数学圆的对称性 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
B / 九年级数学圆的对称性（1）教案 学习目标：1、经历利用旋转变换探索圆的中心对称性的过程，理解圆的中心对 称性及其相关性质； 2、利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定 理及其简单应用； 3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生的空间观 念、推理能力等等。 学习重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其简单应用； 学习难点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其简单应用。 学习过程： 一、 创设情境： (1) 什么是中心对称图形 (2) (3) 我们采用什么方法研究中心对称图形 二、探索活动： 活动一、旋转圆及平行四边形 结论：圆是 ， 是它的对称轴 圆具有 不变性。 弦心距 ， 活动二、按照下列步骤进行小组活动： 1、在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O ' 2、在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接ＡＢ、''B A ,作AB, ''B A 的弦心距分别为OE 、OF
E F A O ' O B C 3、将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）. 4、固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合. 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流. _______________________________________________ 活动三、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距的关系，对于这四个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流. 你能够用文字语言把你的发现表达出来吗 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： 在同圆或等圆中,如果两个 、 、 、 、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.。 试一试： 如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦.填空： （1）若AB=CD ，则 ， ， ， （2）若AB= CD ，则 ， ， ， （3）若∠AOB=∠CO 'D ，则 ， .， ， （4）若OE=OF,则， ， .， ， 活动四、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？ 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 三、例题分析：
九年级数学下册 27_1 圆的认识教案1 (新版)华东师大版
圆的对称性 教学目标： 使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 重点难点： 1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 教学过程： 一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 二、新课 1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 实验1、将图形23.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图23.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB AOB ∠=∠，AB AB =，AB AB =。 图 23.1.3 图 23.1.4
实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。 问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否 相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？ 实验2、如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵ 与 CB ︵ ，你能发现什么结论？ 显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么AP BP =，AC BC =， AD BD =。请同学们用一句话加以概括。 （ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助 设计种植方案。（2）如图23.1.5，在⊙O 中， AC BC =， 145∠=?，求2∠的度数。 3、课堂练习 图23.1.7 O C B A 图 23.1.5
圆的对称性教案
课 题 §2.2 圆的对称性（2） 主 备 人 邱学军 审核人 周 庞 课型 新授课 教学目标 探索、理解垂径定理，并能用它解决问题。 教学重点 圆的轴对称性和垂径定理。 教学难点 运用圆的轴对称性解决问题。 教 学 过 程 教 学 内 容 二次备课 一、预习检测 如图1，⊙O 中，AB 是直径且AB ⊥CD ，则CP ＝_____， ?BC =_____，?AC =_____。 二、探究学习 情境引入 圆是轴对称图形吗？怎么验证你的说法？ 思考与探索 如图1，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ， 垂足为P ，将图形纸片沿AB 对折，通过折叠 活动，你发现了什么？ 文字结论： 证明你的发现： 用符号语言表示垂径定理： 三、典型例题 例1、如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、 D 。AC 与BD 相等吗？为什么？ A O B · P C (D) · C A B O D · O C D B A P 图1
课 后 作 业 1、下列命题中是真命题的是（ ） A 、平分弦的直径垂直于弦 B 、如果圆的一条弦恰好等于该圆的半径，那么这条弦所对的弧为60° C 、到圆心的距离大于半径的点在圆内 D 、在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 2、若⊙O 中优弧?AB 为240°，⊙O 的半径为8cm ，那么优弧?AB 所对的弦长为（ ） A 、8cm B 、8cm 或10cm C 、43cm D 、83cm 3、已知⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成立的是（ ） A 、A B ＝12cm B 、O C ＝6cm C 、MN ＝8cm D 、AC ＝2.5cm 4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A 、∠COE ＝∠DOE B 、CE ＝DE C 、OE ＝BE D 、??BD BC = 5、AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若BE ＝6，AE ＝4，则CD 的长为_________。 6、已知的直径为10，弦AB ＝8，P 为弦AB 上一个动点，那么OP 长的取值范围是_____________。 7、如图，过⊙O 内一点P ，作⊙O 的弦AB ，使它以点P 为中点。 8、如图，OA ＝OB ，AB 交⊙O 于点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？ · O P · · O C D A B
圆的对称性教学设计(1)
n 0的弧 5.2（1）圆的对称性教学设计 教学目标： 1．经历利用旋转变换探索圆的中心对称性的过程，理解圆的中心对称性及其相关性质； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间的关系定理及其简单应用； 3．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生的空间观念、推理能力等等。 教学重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其简单应用。 教学难点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其简单应用。 教学过程: 一、自学质疑：自学课本P 111-112的内容。 思考：1．什么是中心对称图形？2．我们采用什么方法研究中心对称图形？ 3．课本中如何探索出圆心角、弧、弦之间的关系？结论是什么？ 二、交流展示: 1．按照书上步骤进行小组活动： 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流，你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 符号语言：（在同圆或等圆中） （1）∠AOB=∠''' AO B ? ''AB A B =，''AB A B = （2）'' AB A B = ?' ' AB A B =，∠AOB=∠' '' AO B （3）'' AB A B = ?'' AB A B = ，∠AOB=∠' '' AO B 试一试： 2．如图,已知⊙O 、⊙O ' 半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦.填空： （1）若AB=CD ，则 ， （2）若 AB= CD ，则 ， （3）若∠AOB=∠CO ' D ，则 ， . 3．在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？ 结论：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. C ’ ’