振动力学 第2a章

第2章单自由度系统的振动§2-1 无阻尼自由振动

§2-2 计算系统固有频率的方法

§2-3 等效质量与等效刚度

§2-4 有阻尼的自由振动

§2-5 系统对简谐激励的响应

§2-6 振动的隔离

§2-7 简谐强迫振动理论的应用

§2-8 等效粘性阻尼

§2-9 系统对周期激励的响应

§2-10 系统对任意激励的响应

2

§2-1 无阻尼自由振动

§21无阻尼自由振动

竖直方向振动，水平方向振动，扭转振动。简化！竖直方向振动水平方向振动扭转振动

令x 为位移，以质量块的静平衡位置

为坐标原点，λ为静变形。

弹簧原长位置

λ

m

m

m

零初始条件下的自由振动：

零初始条件下的自由振动：

初始条件：

0,200==x

x &固有频率从左到右：

位置

003,2,ωωω时间

固有频率计算的另一种方式：

m

例

例：

W

解：

W

W

动力乎静力的半W

)

(1021.2 5N ×=动张力几乎是静张力的一半

v 由于

km

v k

kA ==0

ω为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度

17

例：

m

解：

m

m

《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结

《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω

1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =??? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++= k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω

振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 系统的动能为： ()22 2 121x I l x m T &&+= 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2 212212236 16121x l m m x l m x ml T &&&+=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω=&和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω

质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222224321212 1θθθ&&&mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθ n =&和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 图 解： 系统的动能为： 22 1θ& J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθ n =&和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω

振动力学作业

振动力学 ——高转速振动 电机起动过程研究 姓名：史龙繁 班级：机制091班 学号：2009200116 院系：新科学院机电系

前言（发展背景） 高转速振动电机是一种新型的工程建设中使用的特殊电机。这种电机采用频率为200Hz，电压为42V的电源供电，电机转速达11500r／mm，所以，这种电机是一种低压、中频、高转速的安全型电机。同时，这种电机作为振动器的动力源全封闭于振动体内，其噪声影响得到较好的控制，是符合环保要求的低噪声振动器的关键部件。 高转速振动电机结构类似于笼型感应电机，电机由定转子组成，但其定子不是固定的。定子上对称布置三相绕阻，绕阻多采用2A接法，转子采用铜条笼型转子，槽型为闭口槽。受工况限制，该种电机长径比大于2：1，电机铁耗大、定转子漏抗系数大，电机在启动之初，定转子铁心中交变磁通频率分别为200Hz或接近200Hz，电机温升变化很快，而且相对于380V、50Hz同功率的普通笼型电机而言，这种电机的起动电流大很多。在实际应用中，这种电机常常单电源供电多台并联运行，多台并联运行将加剧对电源的不利影响。因此，该种电机起动过程应尽可能短，从而达到控制电机温升，延长电机寿命，并减小电机起动对电源影响的目的。很明显，研究振动电机的起动过程有利于该种电机的优化设计和应用。 1.高转速振动电机起动过程的数学模型 为简化问题的研究，假设所建数学模型遵循下述原则：(1)高转速振动电机定转子侧均按电动机惯例分析；(2)定子三相绕阻对称；(3)气隙均匀；(4)基于上述假设，给出高转速振动电机的双轴系统(dq0系统)数学模型。 l-1 数学模型 高转速振动电机三相对称情况下运行时，可将定转子侧绕组用双轴系统下的定转子绕组代替，从而将三相坐标系统下的各相存在的自感、互感时变系数转换为常系数，使所建数学系模型得到简化。 在双轴系统下，定转子绕阻各参数矩阵形式如下：

振动习题答案分解

《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置

2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。

(整理)《振动力学》课程作业.

《振动力学》2015春节学期作业 一、无阻尼自由振动 1、如图所示，T型结构可绕水平轴O作微小摆动，已知摆动部分的质量为w，机构绕O轴的 ?时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无转动惯量为J，两弹簧的弹簧系数均为k，且当=0 伸缩，试求该机构的摆动频率。 （答案：ω） 2、如图所示，长度为L的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m的小球。在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。求该系统的固有频率。（忽略刚性杆件和弹簧的质量） （答案：ω）

3、如图所示，悬臂梁长为L ，截面抗弯刚度为EI ，梁的自由端有质量为m 的质量块，弹簧刚度为k ，求系统的固有频率。 （答案：ω= ） 4、如图所示，半径为R 的均质半圆柱体，在水平面内只作滚动而不滑动的微摆动，求其固有角频率。 （答案：ω= ） 5、如图所示，抗弯刚度为623010(N m )EI =?? 的梁AB ，借弹簧支撑于A,B 两点处，弹簧系数均为300(/)k N m = 。忽略梁的质量，试求位于B 点左边3m 处，重量为1000()W N = 的物块自由振动的周期。 （答案：T=0.533s ） 6、一个重W 的水箱，借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。每根柱子的长为L,抗弯刚度为EI 。试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。（管柱的质量忽略不计） （答案：2T = ）

7、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第1题、第2题、第8题 二、有阻尼自由振动 1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数' c ：在弹簧上悬挂一薄板A ，先测出薄板在空气中的振动周期1T ,然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期2T 。设液体对薄板的阻力等于2A 'c v ，其中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。如薄板重W ，试有测得的数据1T 和2T ，求出粘性系数'c 。空气对薄板的阻力不计。 （答案：' c = ） 2、物体质量为2kg ，挂在弹簧下端。弹簧常数k=48.02N/cm,求临界阻尼系数。 （答案：196Ns/m ） 3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。设在t=0时刻将物体从平衡位置向下拉5cm ，然后无初速度地释放，求此后的运动。

振动理论课后答案

1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制? 解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为 ， x=A sin10πt； 由物体的受力分析，N = 0（极限状态） 物体不跳离平台的条件为：； 既有， , 由题意可知Hz，得到，mm。 1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及cm 时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。解： 设该简谐振动的方程为；二式平方和为 将数据代入上式： ； 联立求解得 A=10.69cm；1/s；T=s 当时，取最大，即： 得：

答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。 1-3 一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm，1/s 。这个振 动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解： 振幅A=0.583 最大速度 最大加速度 1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。 解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。 1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。 解：两简谐振动分别为，， 则：=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5t+) 或； 其合成振幅为：=

振动力学参考答案

请打双面 习题与综合训练第一章 2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子 高h，视为无质量的弹性杆， 其抗弯刚度为EJ。求该房屋 作水平方向振动时的固有 频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知 = 则= 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 所以固有频率 2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ θ＝hα 2F＝mg 由动量矩定理： 其中 2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分 别为k1和k3的弹簧，因此，k1 与k2串联，设总刚度为k1ˊ。 k 1 ˊ与k3并联，设总刚度为k2 ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度 为k。即为 ，， mg kδ =δ δ 3 24 mgh EJ = k3 24EJ h " m x kx =- 3 n 24 mh EJ p= 2 a a h a mg a mg Fa M ml I M I 8 2 2 cos sin 12 1 2 2 - = - ≈ ? - = == = α θ α θ&& 1 2 cos sin≈ ≈ θ α α h l ga p h a mg ml n2 2 2 2 2 3 4 12 1 = = ? +θ θ&& g h a l ga h l p T n 3 π2 3 π2 π2 2 2 = = = 1 k3k 2 1 2 1 1k k k k k + = ' 2 1 2 1 3 2k k k k k k + + = ' 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 4 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + + = θ F sinα 2 θ α F h mg θ F

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《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物 1W 2 W 从高度为h 处自由下落到上且无弹跳。试求下降的最大距离和两物体碰撞1W 2W 后 的运动规律。 图2-1 图2-22-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。已知杆的质量为 m ，A 、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

振动力学吸震器发展 应用

吸 振 器 发 展 、 原 理 及 应 用 机电学院 机械设计制造及其自动化 机电121 朱强 20120334121

绪论 自从人类诞生以来，就不断地在改造着世界。尤其是进入20世纪以来，世界发生了 翻天覆地的变化：科学技术突飞猛进，社会生产力极大提高，经济规模空前扩大，物质 极大丰富。然而，与此同时，人类与自然的关系也在急剧的变化，资源面临枯竭，污染 日益严重，震惊世界的公害事件频频发生……环境问题已经成为了政府、社会关注的焦点，它将通过法律法规、国际公约、公众环保意识以及经济规律影响企业行为，影响社 会经济的变革与发展。因此正确处理环境、经济和技术之间的关系，已经成为决定未来 企业竞争能力的关键因素。 机电产品绿色设计包括振动工程，而振动控制是振动工程的一个重要科学分支。广义 来说，振动控制包含诱发振动和控制振动两个范畴。 振动控制的措施大致分为五种：1.消振或减弱振源 2.隔震 3.动力吸振 4.阻尼减振 5.结构修改。在结构振动控制中，动力吸振器的研究和应用已得到了不断的发展。动力 吸振器是建立在反共振原理基础上的，提摩盛科早在1928年就解决了正弦激励下动力 吸振器的设计问题。80年代，国内曾利用动力吸振器成功排除了某改型飞机尾舵的扰 流振故障。研究动力吸振器模拟问题，归根到底是一个数学优化问题和机械仿真问题。一、发展背景 动力吸振器自1911年问世以来,在实践中得到了广泛的应用。它通过在需要减振的结构(称为主系统)上附加子结构,改变系统的振动能量的分布和传递特性,使振动能量转移到附加的子结构上,从而达到控制主系统振动的目的。传统的动力吸振器多属被动控制,它对于主系统的窄带响应有着良好的吸振效果,但由于其吸振带宽不可调节,对于宽频激励引起的主系统的振动,吸振效果不是很理想。 近年来,对于主动吸振器的大量研究表明,主动吸振器可以根据主系统的振动状态,自动调节自身的结构参数或振动状态,实现宽频吸振,提高了吸振器减振效果,大大拓宽了吸振器的应用范围。根据吸振器自动调节机理的不同,主动吸振器可分为全主动式吸振器和半主动式吸振器。全主动式吸振器是根据主系统的振动状态反馈调节吸振器的振动状态,使其对主

(完整word版)振动力学作业题解23

第02章 单自由度系统的振动 2.1 一根抗弯刚度72=3610Ncm EI ?的简支架，两支承间跨度l 1=2m ，一端伸臂l 2=1m ，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的自由振动频率。 【提示：22123()EJ k l l l =+，2212()3st Ql l l EI δ+= ，11.77n ω= 1/s 】 2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ?，A 端与B 端由弹簧支承，弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ，如图所示。略去梁的分布质量，试求位于B 端点左边1米处，重为Q =4900 N 的物块自由振动的周期。 【解法1：通过计算静变形求解。 A ，B 弹簧受力为 3Q 和23Q ，压缩量为3Q k 和23Q k ，则由弹簧引起的静变形为159Q k δ=；利用材料 力学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q Q EI EI δ??--== ?。 周期为：22 1.08n T π ω= ==s 。 解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。 A ， B 弹簧相对Q 处的等效刚度为（产生单位变形需要的力，利用解法1中计算的静变形结果） 195k k = ；利用材料力学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294 EI k =；总等效刚度为：12111 eq k k k =+。 周期为22 1.08n T π ω= ==s 。】 2.4 一均质刚杆重为P ，长度为L 。A 处为光滑铰接，在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在水平位置时平衡。弹簧质量不计，求杆在竖直面内旋转振动时的周期。 【解：利用定轴转动微分方程： 21()32st P l l P k a a g ??δ=--，2 st l k a P δ=， 得： 2 2103P l k a g ??+ =， 22n T π ω=== 题 2-1 图 B A Q 题 2-2 图 Q k k A B 题 2-4 图

《振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω 1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θ θθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 22 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω 1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有频率。 图E1.4 答案图E1.4 解： mg b a +2 x x 2

振动力学习题集

2 振动力学》习题集（含答案） 质量为 m 的质点由长度为 l 、质量为 m 1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如 图所 示。求系统的固有频率。 解： 系统的动能为： 1 2 1 2 T m xl I x 22 其中 I 为杆关于铰点的转动惯量： 利用x n x 和T U 可得： 3 2m m 1 g 2 3m m 1 l m l 1dx x 2 l m 1 x 2dx l m 1l 31 则有： 系统的势能为： 1 2 2 1 2 2 ml x m 1l x 2 6 1 1 2 2 3m m 1 l x 6 U mgl 1 cosx m 1g cosx 1 2 mglx 1 4 m 1glx 1 2m 4 m 1 glx 2 图

质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 CA=a的A 点系有 解： 如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 利用 1212 1 2 23 T I B mR2mR2 2mR 2B 224 1222 U2k Ra2 k R a 2 4k R a 2 3mR2R 3m 图 U 可 得：

n J k 2 k 3 转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k 1 ， k 2 和 k 3 的轴约束，如图所示。求系 统的固有频率。 k 2 解： 系统的动能为： 12 J 2 k 2和 k 3相当于串联，则有： 以上两式联立可得： 系统的势能为： k 2k 3 k 1 k 2 k 3 k 1 3 , k 2 k 2 k 3 k 3 k 2 k 2 k 3 利用 U 12 k 1 k 2 22 12 k 3 k 1 k 2 k 3 k 2k 3 2 k 2 k 3 n 和 T U 可得：

振动力学习题集

例：一等截面简支梁质量不计，长度3l m =，258800EI N m =?。有一质量90m kg =的物块从梁的中点上方10h mm =处落下，且物块与梁接触后不分开，试计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅。 解：（1）梁中点受竖直向下单位力作用的挠度即为柔度系数3 48l EI δ=，因此固有 频率为 ：134.1n s ω-= == （2）重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为 33 30909.838.44108.44484858800 st mgl y m mm EI -??=-?=-=-=-?=-? 02y gh = 2 0222st n n y gh h ωω??==? ??? 振幅为 08.4415.5A mm ===? 梁中点的最大位移为15.58.4423.9st s A mm =+?=+= 瑞利法（Rayleigh ）:等效质量的计算方法。应用这种方法时，必须做有关振动过程中系统形态的某些假设，称之为形状函数或振型。相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，固有频率略高于精确值。以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。如果对结构的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选的形状精确，就会得到精确的周期。 插P10 例1.4.1 如图示，悬臂梁（棱柱形）自由端处带有重量mg ，设梁的密度为 ρ，求考虑梁的质量时，系统的固有频率。

x y m 解：无重悬臂梁端有荷载mg时的静力挠曲线方程为： 23 (3)(0) 6 mg y lx x x l EI =-≤≤ 由此可得B端挠度 EI mgl y m3 3 = 令?? ? ? ? ?- = 3 3 2 2 3 )( l x lx t y y m 则 23 2 3 3 () 22 l m lx x T y dx l ρ- '=? 22 11 3333 , 14022140 m m y y l m m l ρρ =?==为梁作用在B点的等效质量 对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列质量的无质量悬臂梁相同1 33 140 M m m m lρ =+=+ ∴ B端总重为: 1 33 ()() 140 Mg m m g m l g ρ =+=+ 即使在 lρ不太小的情况下，等效质量 33 140 l ρ也可以应用 将结果用于0 = m的极端情况（悬臂段的集中质量为零）， 可有： 3 33 () 1403 st l l g EI δρ = 所得的振动周期则为：22 τπ ===

振动力学课后习题答案

2.11 图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚 度为2 k 。 （1）求倒摆作微幅振动时的固有频率； （2）摆球质量m 为0.9 kg 时，测得频率()n f 为1.5 Hz ，m 为1.8 kg 时，测得频率为0.75 Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？ 图 T 2-1 答案图 T 2-11(1) 答案图 T 2-11(2) 解：（1） 2 222 121 θθ ml I T == ()() () 2 2 2 2 2 2 2 12 12 1 cos 121212θ θ θθθmgl ka mgl ka mgl a k U -= - =--?? ? ??? = 利用max max U T =，max max θωθn = ??? ? ??-= - = -= 12 2 22 2 mgl ka l g l g ml ka ml mgl ka n ω ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （2） 若取下面为平衡位置，求解如下： 2 222 121 θθ ml I T == ()() mgl mgl ka mgl mgl ka mgl ka mgl a k U +-= - +=?? ? ? ? -+= +??? ??? =2 2 2 2 2 2 2 2 22 12 12 1 2sin 212 1cos 21212θ θ θθθθθ ()0= +U T dt d ，() 0222 2=-+θθθ θ mgl ka ml θ 零平衡位置

振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)

2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案 1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其 固有频率。（10分） 解：令t A x t A x ωωωcos ,sin == t A x r J m x r J m r x J x m J x m T o o o o ωωθ22 2222 2222 2cos )(21)(21)(21212 121 +=+=+=+= t kA kx U ω2 22sin 2121== 2 2 2222max max /2 1)(21r J m k kA A x r J m U T o o += =+∴=ωω 2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。（10分） )(t 2 x x m 11x k (t P 22x k

解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形 对m 列运动微分方程： 022=+x k x m (2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3) 由(3)式可以得出： 12 21)(k x k t P x += 将上式代入(1)式可得出： 2 112)(k k x k t P x ++-= 将上式代入(2)式可得出：0)(2 12 2121=+-++t P k k k x k k k k x m 令m k k k k k k e e e =+= ω,2 12 1，有 t k k k P t P k k k x k x m e ωsin )(2 120212 +=+=+ t k P t k k k k P x e e e ωωωωωωsin )(11 sin )(11 12 102 2120-?=-??+= ∴ 3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分） 解：对物体m 列运动微分方程，有： 0)(1=--+x x k x c x m 即： t kA kx x c x m ωsin =++ t A ωsin 1= x m )x -