解三角形教学设计

数学分析】

解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，提高学生解决实际问题的能力。

【教育分析】

解三角形一章的教育价值主要体现在：

1.正弦、余弦定理的证明，体现了知识间的相互联系，使学生体会联系发展等辩证观点，培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2.通过两个定理的实际应用，引导学生通过自己的数学实践活动，从时间问题提取数学模型，经历发展和创造过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。

【教材分析】

在本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

一、内容与课程学习目标

本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有

关的实际问题。

二、内容安排

1、课时安排

本章教学约需6课时，具体分配如下（仅供参考）：

2.1正弦定理与余弦定理约2课时

2.2三角形中的几何计算约1课时

2.3 解三角形的实际应用举例约2课时

本章复习约1课时

2、知识结构

3、主要内容

1)、正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。对于正弦定理，教科书首先研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于斜三角形，并通过向量法几何法加以证明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用,通过具体例题，使学生体会正弦定理可以用于两类解三角形的问题：

(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.

2)．教科书具体例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现两解的情形，通过例题分析和讨论使学生明白根据“三角形中大边对大角”来判断多解的情形。

3)．对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。

4)．应用余弦定理，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：

（1）已知两边和它们的夹角解三角形；

（2）已知三角形的三边解三角形。

5)．正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，教科书在第2.3节“应用举例”介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。

对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。通过具体例题分析是学生明白解决实际问题的一般步骤为“实际问题——解三角形问题——三角形问题的解——实际问题的解”

6)．关于三角形的有关几何计算，是巩固提高用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。

7)．本章内容有很强的实践性，教科书安排了一个利用本章知识的有关测量的实习作业。

8)．本章的教学重点是通过对于三角形的边角的探究，证明正弦定理和余弦定理，并运用两个定理解决一些有关的实际问题。

本章的教学难点是通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理和余弦定理。

3、教材特色

1）突出了基础性、选择性与时代性

三角形边角之间的数量关系有很多，除正弦定理、余弦定理外，还有正切定理、射影定理等，正弦定理、余弦定理是这些定理、公式的基础，更深刻地反映了三角形的度量本质，成为解三角形的主要工具。

解三角形是测量的基础，对学生来说，学习三角形的应用对完善知识结构，特别是培养抽象数学模型能力还是很有帮助的。

教科书中的例题、习题等内容，基本是正弦定理、余弦定理的运用，努力为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活的联系，发展数学应用意识、提高实践能力创造条件。

2）重视数学思想方法的教学

数学思想方法是数学的精髓。数学思想是对于数学知识（数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。

本章中，将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。这里恰当运用向量的数量积证明了正弦定理与余弦定理。以此将向量引入三角形，并作为推证正、余弦定理的主要工具。

具体解三角形时教科书突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系。

另外，教科书在处理正弦定理时，从分析特殊三角形的边角关系入手，猜想这种关系也适用于一般三角形，从而发现了正弦定理。这种从特殊到一般的归纳思想，是发现数学规律的重要思路。

3）注意加强前后知识的联系

加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在必修五的第二章，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

4)重视发展问题意识、应用意识和探究意识

用数学是学数学的出发点和归宿。我国的中学数学教学与国际上其他一些国家的中学数学教学比较，具有重视基础知识教学和基本技能训练，重视

数学计算、推理和空间想像能力的培养等显著特点，因而我国中学生的数学基本功比较扎实。然而，改革开放也使我国数学教育界看到了我国中学数学教学的一

些不足。其中比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，对于数学在人类文明发展史上的重要作用认识不足；学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，我们的数学教科书为此作了一些努力。数学教科书重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

解三角形的知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，本章的教学内容有显著的实践性，本章教材重视发展学生应用数学的意识和数学实践能力。

解三角形的内容具有丰富的现实背景，来源于测量等实践活动。教材选择了大量鲜活的现实情境，将知识返璞归真，体现了强烈的数学意识。本章安排了解三角形的“应用举例”的内容，介绍正弦定理和余弦定理在测量距离、高度、角度、几何计算等方面的应用。历史上，解三角形的知识产生主要受到天文测量、航海测量、地理测量等实践活动的推动，在例题和习题的选择中，配备了这些方面的问题。

在正弦定理这一节中，围绕正弦定理设计了几个问题供学生自主探究、学习，还设计了一节“三角测量”的探究活动，这给教科书引入了一种新的学习方式，让学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，也有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。

4、教学要求

正弦定理

本节教材分析：正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，世界三角形的重要工具，他们的发现与证明是以前三角函数知识与平面向量只是在三角形中的综合交汇，是培养学生数学思维品质的重要素材。

三维目标

1．知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2. 过程与方法: 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作

3.情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

余弦定理

本节教材分析

本节的在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”

三维目标

1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

三角形中的几何计算

本节教材分析

本节课主要是继学习了正弦定理和余弦定理之后安排的一节课，可以说是两个定理的小结或习题课，可为后面的实际应用举例奠定基础，本节课学习具有承上启下的桥梁作用.

三维目标

1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

教学重点：利用正、余弦定理解三角形；

教学难点：：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

解三角形的实际应用举例

本节教材分析

为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作

用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.

三维目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题

过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的

教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。

【课标解读】

一、课标内容

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

二、新课标教材与大纲版教材差异对比分析

（一）课程内容安排上的变化

“解三角形”在原课程中为“解斜三角形”安排在“平面向量”一章，作为该章的一个单元。而在《普通高中数学课程标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章。“平面向量”则安排在必修模块数学4中。

（二）教学要求的变化

内

容

大纲版教材要求新课标教材要求

解三角形（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能

运用它们解斜三角形，能利用计算器

解决解斜三角形的计算问题。

（2）通过解三角形的应用的教学，提

高运用所学知识解决实际问题的能

力。

（3）实习作业以测量为内容，培养学

生应用数学知识解决实际问题的能力

和实际操作的能力。

（1）通过对任意三角形边

长和角度关系的探索，掌握

正弦定理、余弦定理，并能

解决一些简单的三角形度

量问题。

（2）能运用正弦定理、余

弦定理等知识和方法解决

一些与测量和几何计算有

关的实际问题。

由此可以看出，《普通高中数学课程标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

（三）课程关注点的变化

原《全日制普通高级中学数学教学大纲》中的“解斜三角形”，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而《普通高中数学课程标准》则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。

（四）教材编写理念上的变化

原《全日制普通高级中学数学教学大纲》中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性。而《普通高中数学课程标准》将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、为进一步学习数学奠定基础。解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积和度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有了用武之地。

【教学建议】

1)．要重视学生的创造能力和创新意识的培养

在国际竞争日益激烈的当今世界，人们越来越清楚认识到，国家的富强乃至企业的兴衰，无不取决于对科技知识的学习、掌握及其创造性的开拓和应用。但创造能力并非与生俱有，必须通过有意识的学习和训练才能形成。数学教育必须重视培养学生应用所学知识进行创造性工作的能力。要培养学生的创造能力，就要让学生具有积极探索的态度，猜想、发现的欲望。数学教学要设法鼓励学生去探索、猜想和发现，培养学生的问题意识，经常地启发学生去思考，提出问题。

课程标准要求在本章的教学中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。所以，在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。

2)．重视认真完成实习作业

本章安排了一个实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。在学习测量这样的内容时安排实习作业，对于学生真正理解和掌握所学的知识是非常必要的。

在做实习作业之前，应该要求学生准备好测量工具，如经纬仪和钢卷尺或皮尺等。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正

实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。对于实习作业，要求写出实习报告。

【设计反思】

单元教学设计是指教师在对课程标准、教材等教学指导性资源进行深入地解读和剖析后，根据自己对教学内容的理解，以及学生的情况和特点，对教学内容进行分析、整合、重组，形成相对完整的教学主题，并以一个完整的教学主题作为一个教学单元的教学。一个教学单元可以由多个课时组成，不同的课时从不同的角度、深度，用不同的教学／学习方式，对同一主题进行多元化解析。单元教学设计弥补了单课时教学设计时过分强调各节课的独立教学目标，关注具体知识技能的培养，忽视学生知识体系的形成的弊端。单课时教学设计下，学生对知识的学习是割裂的、细节化的，往往缺乏对所学知识功能价值的关注和思考。单元教学设计使多节课的教学设计整合统一，浑然一体。

在整个单元教学设计过程中，使我对《解三角形》一章新课标的要求更加清楚，知道了教学目标分析与编写应注意的问题：就教学目标的整体性而言，在制定教学目标时，应将课程目标，单元目标和课时目标有机的结合起来．通过逐层具体化来完成最终的教学目的。在处理教材时要依据教学内容，设计教学目标，注意探求发展学生认知能力，提高学生探究能力的教学方法，制定出灵活而富有弹性的、适合学生特点，符合学情的教学过程，对激发学生学习兴趣会很有帮助。此外，由于对本单元的知识进行了系统分析，在进行不同课时的教学时，使学生既学到了新知识，又不断重复应用前面课时的学习内容，随时查遗补漏，而这种学习上的重复是知识的应用而不是对前一课时教学内容原地踏步式的简单回顾，因而大大提高了教学效率，节省了课时。而且，单元教学中各课时多样化的教学方式也给了学生更多的学习机会，有利于学生对学习内容的全面把握。在教学设计的过程中，使我对“解三角形”的教学价值，以及对单元教学的体会也有了更深的认识。单元教学设计促使教师对教学有了更高层次的思考，单元教学设计引导教师和学生共同成长。

解三角形全章教案(整理)

数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1．1．1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

第十一章三角形全章教学设计

三角形的边

检测练习一、如图，在三角形ABC中， （1）AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC （2）假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C， 有路线。路线最近，根据是：， 于是有：（得出的结 论）。 （3）下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？ ①3、4、8 ②5、6、11 ③5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟） 要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。 （2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？ （3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习二 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！） 解： （三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结 （一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 （1）等边三角形是等腰三角形 （2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （3）三角形的两边之差大于第三边 （4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、一个不等边三角形有两边分别是 3、5另一边可能是（） A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列长度的各边能组成三角形的是（） A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组 4、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少？ 【C】组（共小1-2题） 6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。 小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形. （1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数） （2）想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？

三角形教学设计

第一课时：三角形的特征 银河中心学校：彦翎 教学容： 义务教育新课程标准实验教科书数学四年级下册第59、60页，练习十四第1、2、3题。 教学目标： 1.理解三角形的概念，认识三角形各部分的名称。 2.通过实际操作和交流讨论思考，掌握画三角形的高的方法。 3. 欣赏三角形，感受三角形的美。 教学重点：理解三角形的特性，在三角形画高。 教学难点：理解三角形高和底的含义，会在三角形画高。 教具准备：多媒体课件、投影。 学具准备：ppt 三角板 教学过程： 一、联系生活，情景导入 1. 师:同学们，老师这里有一些图片，请你仔细观察一下，这些物体有什么相同的地方？（课件出示流动红旗、自行车、金字塔、斜拉桥） （学生回答指出都有三角形） 2. 导入课题：同学们都非常善于观察，对，这些物体中都有三角形（同时点击课件，抽出三角形）可见三角形在生活中运用非常广泛，那它究竟有什么特点？这节课就让我们一起走进三角形，来研究三角形的特性。（板书课题） 在作业纸上画一个三角形。看看谁画的又快又好， 画完之后小组交流，欣赏一下各自的三角形是由哪些部分组成的？ 展示学生画的三角形，组织小组交流：和小组的同学交流一下，你们画的三角形有什么共同的特点？ 二、完成自学问题 1.任意画一个三角形。 2.找一找三角形有（）条边，有（）个角，有（）个

顶点。 3.（）条叫做三角形。 4.写出你所画三角形各部分的名称。 学生通过自学完成三个题目。 小组里面讨论交流进行汇报。 1.发现三角形的特征。 师：大家仔细观察你们画三角形，他们有什么特点呢？（分小组讨论）完成导学稿一3-4题。 集体讨论评价，得出：三角形有三条边、三个角、三个顶点。 师：大家同意吗？（同意）是的。刚才同学们所发现的三角形有三条边、三个角、三个顶点这就是三角形的特征。（板书：三条边、三个角、三个顶点） 学生自己的练习纸上画一个三角形，并尝试标出边、角、顶点。 利用实物投影仪交流三角形各部分的名称。 2.概括三角形的定义。 引导：大家对三角形的特征形成了一致的看法。那你能不能用自己的话概括一下，什么样的图形叫三角形？ 学生的回答可能有下面几种情况： （1）有三条边的图形叫三角形或有三个角的图形叫三角形； （2）有三条边、三个角的图形叫三角形； （3）有三条边、三个角、三个顶点的图形叫三角形； （4）由三条边组成的图形叫三角形； （5）由三条线段围成的图形叫三角形。 师：现在你觉得哪种说法更准确？课件出示完整定义。（齐读三角形的定义） 师：你认为三角形的定义中哪些词最重要？为什么？ 组织学生在讨论中理解“三条线段”“围成”。（此处可点一点“围成”就是首尾相接，两个条件缺一不可） 请同学们对照刚才几个同学的说法，判断一下：下面的图形是不是三角形？ 学生判断并说明理由。

高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理

课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。

解三角形教学设计.docx

数学分析】 解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。在实际工作中经常遇到很多测量问题，女口：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度;测量海上航行的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，提高学生解决实际问题的能力。 【教育分析】 解三角形一章的教育价值主要体现在： 1.正弦、余弦定理的证明，体现了知识间的相互联系，使学生体会联系发展等辩证观点，培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2.通过两个定理的实际应用，引导学生通过自己的数学实践活动，从时间问题提取数学模型，经历发展和创造过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。 【教材分析】 在本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 一、内容与课程学习目标 本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实 在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 关的实际问题。 二、内容安排 1、课时安排 本章教学约需6课时，具体分配如下（仅供参考）： 2.1正弦定理与余弦定理约2课时 2.2三角形中的几何计算约1课时 2.3解三角形的实际应用举例约2课时 本章复习约1课时 2、知识结构

解三角形(复习课)教学设计

解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本

(完整版)解三角形教案(精简版)

高一数学必修5第一章解三角形教学设计 ●教学过程 [理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b = 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例题 .在ABC ?中,已知3=a , 2=b , B=450.求A 、C 和c. 解:004590B =++； 或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k > （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

高中数学必修解三角形教案

高中数学必修解三角形 教案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

第2章 解三角形 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c b sin C =1 即c = sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B =. 同理，sin sin a c A C = （思考如何作高？），从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==.

必修5第一章《解三角形》全章教案

数学5 第一章 解三角形 课题: §1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得 sin sin c b C B = ， b a

解三角形的教学设计高三公开课

《解三角形》教学设计 高三数学组 一、教材分析： 解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。 二、学情分析： 本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。 三、教学目标： 知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。 过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。 四、教学方法： 探究式教学、讲练结合 五、教学重难点 教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题； 教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。 五、教学过程

明确方向【最新考纲】 （1）掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度 量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问 题. 【重难点】三角形中的两解问题、边 角互化、恒等变换问题．握高考方向， 强调复习重 难点。 纲，让学生熟 悉本节课高 考考点，以便 更好的备考 高考。 教学环节教学内容师生活动设计意图 公式定理 基础运用 边角互化多向思维【典例精讲】 考点1正、余弦定理的简单运用 1.【2015高考北京，文11】在 C ?AB中，3 a=，6 b=，2 3 π ∠A=， 则∠B=． 2.【2016高考全国I卷】△ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、 b、c.已知5 a=，2 c=，2 cos 3 A=， 则b=（） （A）2（B）3（C）2 （D） 3 3.【2013全国II卷】ABC ?的内 考点1是正 余弦定理的 简单运用，学 生课前完成， 教师课堂上 和学生核对 答案，并要求 学生思考每 道题考察的 知识点是什 么？变式1 教师引导学 生思考角B 的值到底有 几个？从而 总结如何解 答三角形的 两解问题. 例2要求两 学生课前完 成例1，目的 是让学生提 前梳理公式， 而课堂上要 求学生回答 每道题考察 的知识点是 什么？是为 了更深化学 生对公式的 理解，而变式 1的训练，是 引导学生对 三角形两解 的问题进行 总结，强调大 边对大角情 况。 通过让学生

第11章三角形全章教案资料

第十一章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时

《解三角形》的教学设计

共4页，第1页 高三（15）班《解三角形》的教学设计 高三数学备课组 姜友粮 【教学目标】： 知识与技能目标： 掌握正弦定理、余弦定理，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题． 过程与方法目标： 通过例题的分析和学生的自主探究，使学生掌握解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口。 情感、态度与价值观目标： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一，通过三角形中的边长与角度之间的数量关系，来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题，从而加深学生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展学生的数学应用意识。 〖教学重点〗边角的转化，正确运用数学语言。 〖教学难点〗应用解三角形知识解决实际问题，灵活运用正弦定理、余弦定理。 【教学设计】： 一、 复习建构本课题知识结构： 1、知识框架与知识点 帮助学生回顾公式，为具体运用公式做好必要的知识铺垫，对知识网络进行梳理，从整体上把握本课题的知识结构。 正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用： 解三角形主要有两种类型：一是解三角形中的边角互化；二是会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。 “熟记”两个定理的变形及推论 (1) 正弦定理变形： a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ； sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝c 2R ； (2)余弦定理 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， a 2＋c 2－ b 2＝2a c cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .

解三角形教学设计

数学分析】 解三角形一章既就就是初中解直角三角形内容得直接延伸，也就就是三角函数一般知识与平面向量知识在三角形中得具体运用，就就是解可转化为三角形计算问题得其她数学问题及生产、生活实际问题得重要工具，具有广泛得应用价值。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间得距离;测量底部不可到达得建筑物得高度；在水平飞行中得飞机上测量飞机下方山顶得海拔高度；测量海上航行得轮船航速与航向等。本章知识得介绍将很好得解决这些问题，提高学生解决实际问题得能力。 【教育分析】 解三角形一章得教育价值主要体现在： 1、正弦、余弦定理得证明，体现了知识间得相互联系，使学生体会联系发展等辩证观点，培养学生得应用意识与实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习得能力。 2、通过两个定理得实际应用，引导学生通过自己得数学实践活动,从时间问题提取数学模型,经历发展与创造过程，进一步拓展学生得数学活动空间，发展学生 “做数学”“用数学”得意识，激发学生得学习兴趣。 【教材分析】 在本章中，学生应该在已有知识得基础上,通过对任意三角形边角关系得探究，发现并掌握三角形中得边长与角度之间得数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量与几何计算有关得实际问题。 一、内容与课程学习目标 本章得中心内容就就是解三角形，正弦定理与余弦定理就就是解三角形得丄具, 最后落实在解三角形得应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习U标: （1 ）通过对任意三角形边长与角度关系得探索，寧握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单得三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识与方法解决一些与测量与儿何计算有关 得实际问题。 内容安排 本章教学约需6课时,具体分配如下（仅供参考）: 2、1正弦定理与余弦定理约2课时 2、2三角形中得儿何计?算约1课时 2、3解三角形得实际应用举例约2课时 本章复习约I课时

高中数学必修5：第一章《解三角形应用举例》教案1

课题: §2.2解三角形应用举例 第一课时 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 Ⅱ.讲授新课[来源 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 [例题讲解] (2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=?51，∠ACB=?75。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)

解三角形教案

解三角形 （一）教学目标 1.知识与技能： (1) 掌握正、余弦定理、重要不等式、基本不等式、函数值域等相关的知识。 (2) 掌握解决三角形问题中最值问题的常规方法：不等式法和函数法。 2.过程与方法： 进一步体会函数，不等式，平面几何等知识的交汇融合；通过周长、面积最值得求解培养学生分析、归纳能力及知识迁移的能力。 3.情感、态度与价值观： (1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。 (2) 培养学生数学素养和逻辑思维能力。 （二）教学重点与难点 重点：理解并掌握正弦定理、余弦定理、重要不等式、基本不等式及平面几何知 识等的应用。 难点：三角形最值问题中通法通解的形成及贯彻；数形结合思想，函数思想的培 养。 （三）教学过程设计 一、知识回顾、归纳总结： 三角形性质： 1.角的关系：A B C π++=，外角等于不相邻两个内角和。 2.边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 3.角与边的关系： ①大角对大边，等角对等边 ②正弦定理及变形： 变形： ③余项定理及变形： 2()sin sin sin a b c R R ABC A B C ===?为外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C === sin sin sin 222a b c A B C R R R = == ::sin :sin :sin a b c A B C =222 2cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=ABC C a b c ?=++

4.周长与面积： 重要不等式、均值不等式： 重要不等式： 均值不等式： 变形： 二、例题讲解、规范解答： 注意：分析周长或面积取到最大值的条件。 12ABC S ?=?底高111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ?===时取等） 当且仅当b a R b a ab b a =∈≥+,,(222时取等） 当且仅当b a b a ab b a =>>≥+,0,0(22 ()2a b ab +≤cos _______ ABC A B C a b c a b c B ?的内角、、所对的边分别为、例1:(2014陕西、；若、、成等比数列求的最小值 ) 2cos(),cos a b A C ABC A B C a b c c C C c ABC c ABC ++?==?=?的内角、、所对的边分别为、、；若(1)求的大小(2)若求面积的最大值(例2:(2016吉林白山一模改编)3)若求 周长的最大值 12 c b =+变式：(1)求若求的最大值a b c 解：、、称等比数列 2b ac ∴=222cos 2a c b B ac +-=222a c ac ac +-=22ac ac ac -≥12=a c ==当且仅当,""成立

公开课三角形的特性教学设计

《三角形的特性》 （优化教案） 教学内容：人教版小学四年级下册教材第60,61页 教学目标： 1.通过动手操作和观察比较，使学生理解三角形的意义，知道三 角形的特性及三角形各部分的名称，掌握三角形高的画法。 2. 通过实验，使学生了解三角形的稳定性及其在生活中的应用。 3. 经历观察、分析、猜想、实践的学习过程，培养学生的空间想象力和动手操作能力。 4. 体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。 教学重难点： 重点：1.建立三角形的概念，认识三角形的各部分名称，知道三角的底和高。 2.在观察、实验中发现三角形具有稳定性。 难点：理解三角形高和底的含义，会在三角形内画高。 教学方法：小组合作式学习 教具准备：多媒体课件，小木棒做的三角形与四边形

教学过程： 一、联系生活，情景导入 1.师:同学们，老师这里有一些图片，请你仔细观察一下，这些物体有什么相同的地方？（课件出示图片） 2.导入课题：同学们的眼力可真好，对，这些物体中都有三角形，可见三角形在生活中运用非常广泛，那它究竟有什么特点？这节课就让我们一起走进三角形，来研究三角形的特性。（板书课题: 三角形的特性） 二、操作感知，理解概念 1.发现三角形的特征。 师：大家看，在这几个形状不同的三角形中，你能找出他们的共同点吗？（分小组讨论）并在自己的练习纸上画一个三角形吗？并尝试标出各部分名称。 集体讨论评价，得出：三角形有三条边、三个角、三个顶点。 师：大家同意吗？（同意）是的。刚才同学们所发现的三角形有三条边、三个角、三个顶点这就是三角形的特征。（板书：三条边、三个角、三个顶点） 2.判断下面这些图形是三角形吗？ 3.概括三角形的定义。

正余弦定理解三角形教案

个性化教案 【知识梳理】 1．正弦定理： a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变 形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C； (3)sin A＝a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C．余弦 定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a2 2bc，cos B＝ a2＋c2－b2 2ac，cos C＝ a2＋b2－c2 2ab. 3．S△ABC＝1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ac sin B＝ abc 4R＝ 1 2(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 4.三角形内角和为π，故有sin A >0 sin A＝sin(B+ C)，cos A＝－cos(B+ C) 5.三角形大边对大角，或者说大角对大边。即：若a>b, A> B,sin A> sin B 知一推二 6.正弦值(不是1)的情况下，对应角度有两个，而余弦值与角度一一对应。 【常考考点】 1．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．

3.正余弦定理的实际应用（灵活运用） 【解题关键】 1．三角函数及三角恒等变换的基础． 2．正弦定理、余弦定理实现边角互化。（通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的正确选择）． 3.能利用三角形的判定方法准确判断解三角形的情况。 4.三角形的边角关系（大边对大角）、三角形内角和180度。 5．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角A为钝角或 直角 图形 关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜ b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解一解两解一解一解无解 【一条规律】 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 【两类问题】 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．【两种途径】

全等三角形全章教案

13．1全等三角形 教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学 生的几何直觉， 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形 的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程： $ 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考： 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 ;

“全等”用?表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC ??和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ??? 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角 思考：如上图，13。1-1DEF ABC ???，对应边有什么关系对应角呢 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 / 思考： （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 D D B D （2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ? ，说出你得到的结论，说明理由 B E （3）如图，,ACD ABE ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。

高中数学必修第章解三角形全章教案

高中数学必修第章解三 角形全章教案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有 CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。

高中数学必修五第一章解三角形教案

课题: §1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A c =， sin b B c =，又sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （证法二）：过点A 作j AC ⊥u r u u u r ， 由向量的加法可得 AB AC CB =+u u r u u u r u u r 则 ()j AB j AC CB ?=?+u r u u r u r u u u r u u r ∴j AB j AC j CB ?=?+?u r u u r u r u u u r u r u u r