线性代数基础知识测试题
09级《线性代数》（A ）阶段练习题（二）
一、填空题
1.矩阵11313134,1598A --?? ?
=-- ? ?--??则()R A =2.
解:113111311131313404670467,()2159804670000A R A ------??????
?
? ?=-----= ? ? ? ? ? ?----??
????
:
:. 2.设12243,311A t
B -??
?
= ? ?-??
为三阶非零矩阵，且AB O =,则3t =-. 解:A 定非可逆阵,因此1
2
2
437210,331
1
A t
t t -==+=?=--.
3.若四阶矩阵A 的秩()2,R A =则*()0R A =.（见证明题5）
4.已知向量组1234,,,αααα线性无关，1123224,k βαααβαα=++=+,
323442342,2k k βαααβααα=++=-+,则当k =2时，1234,,,ββββ线性相关.
解:
()()()123412341234100
012,,,,,,,,,1020
111k k K k ββββαααααααα?? ?
?
== ?- ?
??， 若矩阵K 非奇，则1234,,,ββββ线性无关.而
10002
12022(2)0,2102111
011
1
k k
k
k K k
k k k =
=-=-=?=-. 5.若向量组123,,ααα线性无关，则向量组12323323,2,αααααα+++线性 无关.
解:
123233123100(23,2,)(,,)210323ααααααααα?? ?
+++= ? ???
而100
21010,321K ==≠K 为非奇矩阵，故向量组123233
23,2,αααααα+++线性无关.
6.若向量组1234,,,αααα线性无关，向量组12233441
,,,αααααααα++++线性相关.
解:
()()1223344112341
0011
100,,,,,,01100
011αααααααααααα??
?
?
++++= ?
?
??
,
其中1001100
110
1100
1100111100110
011001
0011
K =
=-=-=,故向量组
12233441,,,αααααααα++++线性相关.
7.向量组123(1,1,0),(2,0,1),(2,5,),T T T t ααα===当3
2
t =-
时3α可由12,αα线性表示.
解:12,αα线性无关，只有当向量组123,,ααα线性相关时3α可由12,αα线性表示.此时
123122
3
,,1052520,2
01
t t t
ααα==--==-
. 8.线性方程组1342
3424603690x x x x x x -+=??+-=?的基础解系为122323,1001ξξ-???? ? ?- ? ?== ? ? ? ?????
. 解：对方程组的系数阵进行初等变换
2046102303690123--???? ? ?--????
: 原方程组与1342342323x x x x x x =-??=-+?同解，令34x x ?? ???取10?? ???和01??
???，可得方程组的基础解
读()()122210,3301T
T
ξξ=-=-.
9.四元方程组Ax b =中()3R A =，123,,ααα是它的三个解.其中
123(2,0,3,2),23(5,8,8,4)T T ααα=+=,则方程组Ax b =的通解为52807362c -????
? ? ? ?+ ? ?- ? ?-????
. 解:()3R A =，0Ax =存在基础解系(只有一个线性无关的解向量).
231231(235)2352350A A A A b b b αααααα+-=+-=+-=
2315105808
23581574106ααα-?????? ? ? ? ? ? ?+-=-= ? ? ?- ? ? ?-??????
是0Ax =的基础解系.
Ax b =的通解为52807362c
-???? ? ? ? ?+ ? ?- ? ?-????
. 10.向量空间22{(0,,,)|,,}T n n V x x x x x R ==∈L L 的维数是1n -. 二、选择题
1.下列矩阵中（C ）是初等矩阵.
101001100110()020;()014;()014;()011001100001001A B C D ???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ? ? ? ?????????
.
2.设0,0,1,2,3,4,i i
a b i ≠≠=矩阵1112
131421222324313233344142
43
44a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b a b a b ??
? ?
= ?
???
，则矩阵A
的秩()R A =（A ）.
()1;
()2;
()3;
()4A B C D .
事实上()12123434,()1a a A b b b b R A a a ?? ? ?== ? ???
.
3.向量组1234,,,αααα线性无关，以下(D )组向量线性无关.
1223344112233441(),,,;(),,,;A B αααααααααααααααα++++---- 1223344112233441(),,,;(),,,C D αααααααααααααααα++--+++-.
1001100110011100110011000,
0,
0,0110011001
1
000110
1
1001
1---===---
100111001120110001
1-=+=.因此应选()D .
4.向量组123,,ααα线性无关，112223331,,t βααβααβλαα=-=-=-也线性无关，则,t λ满足()B .
();();()1;()2A t B t C t D t λλλλ=≠==≠.
事实上12312310(,,)(,,)11001t βββαααλ-??
?
=- ? ?-??
,而10110001t t λλ--=-≠-，
即t λ≠.故应选()B .
5.矩阵12324369Q t ??
?
= ? ???,P 为三阶非零矩阵且PQ O =,则有()C .
()6()1;()6()2A t R P B t R P ====时,时,； ()6()1;
()6()2C t R P D t R P ≠=≠=时,时,.
将矩阵P 按列分块为123123(,,),24,369P p p p Q t P O ?? ?
==≠ ? ???
.当6t =时
()1R Q =，()R P 可以是1，也可以是2.()()A B 、断言()1()2R P R P ==或并无依据.当6t ≠时，()2R Q =.Q 的诸列均为0Px =的解，其一、三列线性无关，即
0Px =有两个线性无关的非零解，当有()1R P ≤；又因P O ≠,又有()1R P ≥,
因此必有()1R P =.选()C .
6.齐次线性方程组0Ax =(A 为m n ?矩阵)仅有零解的充分必要条件是
()B .
();
();A A B A 的列向量组线性相关的列向量组线性无关
();()C A D A 的行向量组线性相关的行向量组线性无关.
事实上()()()A C D 、、可能无解.
7.齐次线性方程组1234123
123412420
2024220330x x x x x x x x x x x x x x -++=??--=??-+--=??-+=?的基础解系中有( )线性无
关的解向量.
();();();()A B C D 一个两个三个四个.
1211121121100332,4,()22422000033010000n R A --????
? ?---- ? ?== ? ?--- ? ?-????
:,因此基础解系中有两个线性无关的解向量，选()B .
8.设有线性方程组(1)Ax b =和对应的齐次线性方程组0(2)Ax =则必有
()B .
()(1);()(1);A B 若有无穷多解则(2)仅有零解若仅有唯一解则(2)仅有零解
()(2);()(2)C D 若有非零解则(1)有无穷多解若仅有零解则(1)有唯一解.
9.已知n 元线性方程组Ax b =,系数阵的秩()2R A n =-,123,,ααα是方程组线性无关的解，则方程组的通解为()D .(12,c c 为任意常数)
11222111132233()()();
()()()A c c B c c αααααααααα-+++-+++；
12323221232213()()();()()()C c c D c c αααααααααα-+++-+-+.
10.由3R 的基123,,ξξξ到基11232123323,2,αξξξαξξξαξξ=-+=++=-的过渡矩阵为()D .
111101111110()011;()113;()112;()111132112011121A B C D --???????? ? ? ? ?--- ? ? ? ? ? ? ? ?-----????????
. 三、计算题
1.矩阵21
8
3
723
0753258010
320A ??
?
--
?
= ?-
?
??
,求矩阵A 的秩，写出A 的一个最高阶非零子式.
解:
218
3
7103
2
0230750121732580036351032002420A ????
?
?
---
?
?
= ? ?----
?
?
--??
??: 103
20103
200121701210(*)000016000010
000140
0000???? ?
?
-- ?
?
? ? ?
?
??
??
:: 由(*)知()3R A =.A 的1,2,4行1,2,5列所在的三阶子式217
235160100
--=≠.
2.给定向量
组:123(1,2,3,1),(3,1,2,4),(1,2,1,3),
T T T ααα==--=-
45(2,3,1,5),(2,1,5,4)T αα=-=.
(1)求向量组12345,,,,ααααα的秩，并判断该向量组的线性相关性； (2)求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量用最大无关组线性表示. 解:
1234513122131222123
107473(,,,,)32115074711435
4074
7
2ααααα----????
?
?---
? ?
= ? ?--
?
?--??
??
: 51
31201
10131227
407473401100110(*)77
000020000100001000050000000000?
?--?? ?--??
?
?
?
?----
?
?
-- ? ? ? ?
?
?
? ? ???
??
???:::
由(*)知12345(,,,,)3R ααααα=,向量组线性相关.125,,ααα是向量组的
一个最大无关组，且有：31241254
;77
αααααα=-=-.
3.已知123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)T T T a ααα===-+，
4(1,2,4,8),(1,1,3,5),T T a b αβ=+=+
(1)当,a b 为何值时,β不能表示为1234,,,αααα的线性组合；
(2)当,a b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一线性表达式，写出该表达式. 解:设1234(,,,),A αααα=
1
111111
1
1
10
112101121()232
4301213
51850
2252A a b a b a a β???? ? ?
--
?
?
= ? ?+++ ? ?
+-+??
??
: 1021001121001
210
1
2a b a -??
?- ?
?
++ ?+??
:(*) (1)当1,0a b =-≠时，()23(,)R A R A β=≠=,方程组Ax β=无解.故β不
能表示为1234,,,αααα的线性组合.
(2)当1a ≠-时，()4(,)R A R A β==,方程组Ax β=有唯一解.由Cramer 法则可得：12341,,,0111
b a b b x x x x a a a ++=-
===+++.此时β有1234,,,αααα的唯一线性表达式：
1231111
b a b b a a a βααα++=-
+++++. 4.设22139528A -??= ?-??
,求一个42?矩阵B ，使AB O =，且()2R B =.
解:设1
12122(2,1,1,3),(9,5,2,8),,,T T T T A αααββα??=-=-= ???
均为方程组
0Ax =的解.
2213221313249528132408511A ----??????= ? ? ?----??????
::
111324108851151101018
888?
?---??
? ? ? ?-- ? ?-- ?
?
?
?
?::(*) 与(*)对应的方程组为134
234118851188x x x x x x
?
=-????=+??
，令34x x ?? ???取10?? ???和01?? ???，得到方程组的基
础解系1215111
(,,1,0),(,,0,1)8888
T T ββ==-,显然12,ββ线性无关,令
1212(,),()(,)2B R B R ββββ===,且有AB O =.
5.向量组12,,,s αααL 线性无关,1122231,,,,s s βααβααβαα=+=+=+L 试讨论向量组12,,,s βββL 的线性相关性.
解:设有数12,,,s k k k L 使得11220s s k k k βββ+++=L ,即有：
111221()()()0s s s s k k k k k k ααα-++++++=L .
由于12,,,s αααL 线性无关,故必有
111000
s s
s k k k k k k +=??+=??
??+=?L L (*) 方程组(*)的系数行列式
11001
1100
2,1(1)01100,0001
s s D s +?==+-=?
?L L L
M M M M L
当为奇数
当为偶数. 当s 为奇数时，20D =≠,方程组(*)只有零解，12,,,s k k k L 必全为零,向量组12,,,s βββL 的线性无关；当s 为偶数时，0D =,方程组(*)有非零解，即存在不全为零的数12,,,s k k k L 使11220s s k k k βββ+++=L ,向量组
12,,,s βββL 线性相关.
6.用基础解系表示方程组123412341
2342320
3542087630
x x x x x x x x x x x x --+=??
++-=??++-=?的通解.
解:对方程组的系数阵施行初等行变换
232123211
8633542186301914787630191470000A -----?????? ? ? ?=---- ? ? ? ? ? ?--??????
::
211018631919147
147
0101(*)1919191900000000?
?-
?-??
? ?
? ?-- ? ?
? ???
? ??
?
:: （*）所对应的方程组为134234211919
1471919x x x x x x ?=-+????=-+??
与原方程组同解.令
341001x x ?????? ? ? ?????
??取和,得到基础解系：12
2417(,,1,0),(,,0,1)19191919T
T ξξ=--=.原方
程组的通解为：112212(,x c c c c ξξ=+为任意实数).
7.用对应的齐次方程组的基础解读表示方程组123412341
234221245224
x x x x x x x x x x x x +-+=??
+++=??---+=-?的
通解.
解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换
152311152311(,)5361102841456242160142728A b ----????
? ?
=---- ? ? ? ?---????
:
911011523117211
11012012(*)72720000000000?
?- ?--??
?
?
? ?---- ? ?
? ???
? ???
:: 由(*)知()(,)2R A R A b ==，方程组有解.
(*)所对应的方程组为134********
112
72x x x x x x ?=-++????=--??
,令340,0x x ????= ? ?????得到方程组的特解
*(1,2,0,0)T
η=-.原方程组所对应的齐次方程组与1342349172
1172x x x x x x ?
=-+????=-??
同解.令
341001x x ??????
? ? ?????
??取和，得到对应齐次方程组的基础解系: 129111(,,1,0),(,,0,1)7722
T T ξξ=-=-
原方程组的通解为：
*112212(,x c c c c ηξξ=++为任意实数).
8.给定线性方程组
12341234
23412343225212633111544
x x x x x x x x x x x x a x x x x +--=??-++=-??
+--=+??--++=-?, 当a 为何值时方程组有解? 在有解的情况下,求其全部解.
解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换
3112
21521
115211016755(,)26331016753111544016755A b a a ----???? ? ?----
? ?= ? ?--+--+ ? ?-----??
??
: 39
91015
21116161601675575501(*)16161600002000020000000000a a ?
?--
?
--??
?
?
-- ?
?
-- ?
?-
?
?
- ???
??
?
:: 当2a =时，()(,)2R A R A b ==,方程组有解.(*)对应的方程组为
134234399161616
755161616x x x x x x ?
=++???
?=++??
令340,0x x ????= ? ???
??得到方程组的特解*95
(,,0,0)1616T η=.与原方程组对应的齐次方
程组与134
234391616751616x x x x x x ?
=+????=+??
同解，令341001x x ?????? ? ? ???????取和，得到对应齐次方程组的基
础解系:
123795
(
,,1,0),(,,0,1)16161616
T T ξξ== 原方程组的通解为：
*112212(,x c c c c ηξξ=++为任意实数).
9.当,a b 取何值时，线性方程组12341234
1234234231363315351012x x x x x x x x x x ax x x x x x b +++=??+++=??--+=??--+=?无解，有唯一解，
有无穷多解? 在方程组有无穷多解时，用对应的齐次方程组的基础解系表示方程组的通解.
解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换
11
23
111
231136
1302
422(,)31153046601510
12061291A b a a b b ????
?
?-
?
?
= ?
?-----
?
?-----????:
11
231100400121101211(*)04660002
2406
12910
3
1a a b b ??
??
? ?--
?
?
? ?----+
? ?----??
??
::当2a ≠时，()(,)R A R A b =，无论b 取何值，方程组有唯一解. 当2,1a b =≠时
1
04
001211(*)000120
0001b ?? ?
- ?
= ?
?
-??
此时()34(,)R A R A b =≠=,方程组无解.
当2,1a b ==时，
10
04
0100080121101203(*)00012000120
00000
0000-????
?
?
-
?
?
= ? ? ?
?
????
: ()(,)34R A R A b ==<,方程组有无穷多解.此时原方程组与12348322x x x x =-??
=-??=?同解,令
30x =,得到方程组的特解：*(8,3,0,2)T η=-.与原方程组对应的齐次方程组与
1234
020x x x x =??=-??=?同解，令31x =，可得基础解系：(0,2,1,0)T
ξ=-. 方程组的通解为：*(x c c ηξ=+为任意实数). 10.已知3R 的两个基为
1231231111231,0,02,3,4111143αααβββ???????????? ? ? ? ? ? ?====== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-????????????
及，
求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵P .
解:设123123(,,),(,,),A B αααβββ==,A B 的列向量组是两个基,因此矩阵
,A B 均为可逆矩阵.设123123(,,)(,,)P βββααα=,过渡矩阵1P A B -=.
11112311112
3(,)10023401
1111111143020020A B ????
?
?
=--- ? ? ? ?--????
: 10023
4100234011111010010002202001101???? ? ?---- ? ? ? ?----????
:: 因此从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵234010101P ??
?
=- ? ?--??
.
四、证明题
1.设A 为列满秩矩阵，AB C =,证明线性方程0Bx =与0Cx =同解. 证:若ξ是0Bx =的解,当有0B ξ=,于是()00C A B A ξξ===.这说明
0Bx =的解必为0Cx =的解；若η是0Cx =的解，()0,A B C ηη==矩阵A 列满
秩，由(77P 定理4的逆否命题)方程组0Ay =只有零解，即0,B y η==说明
0Cx =的解也是0Bx =的解，因此线性方程组0Bx =与0Cx =同解.
2.设A 为m n ?矩阵，证明方程m AX E =有解的充分必要条件是()R A m =.
证:由于(,)m R A E m =,根据77P 定理6方程m AX E =有解
()(,)m R A R A E m ?==.
3.设12,,,n αααL 是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量12,,,n e e e L 能由它们线性表示，证明12,,,n αααL 线性无关.
证:设12(,,,)n A ααα=L ,A 是n 阶方阵,12(,,,)()n R R A n ααα=≤L (*).题设12,,,n e e e L 能由12,,,n αααL 线性表示，由85P 定理6又有
1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R ααα=≤L L (**)
由(*)和(**)知12(,,,)n R n ααα=L ，故12,,,n αααL 线性无关. 4.设n 阶矩阵A 满足2,A A E =为n 阶单位阵，证明()()R A R A E n +-=. 证:由于()A E A E +-=,由矩阵的秩的性质6，()()()n R E R A R E A =≤+-,而()()R E A R A E -=-，故有()()R A R A E n +-≥(*) ；另由2A A =可得
()A A E O -=，根据矩阵的秩的性质8，又有()()R A R A E n +-≤(**).从(*)和
(**)知有()()R A R A E n +-=.
5.设A 为n 阶矩阵(2)n ≥，*A 为A 的伴随矩阵，证明
*,()()1,()10,()2n R A n R A R A n R A n =??
==-??≤-?
当当当.
证:若(),R A n A =满秩必非奇，*1||0,||||0,n A A A -≠=≠*A 非奇必满秩，因此*()R A n =.
若()1,||0R A n A =-=.但A 中至少有一个非零的1n -阶子式，即*A 中至少有一个非零元，因此*()1R A ≥(*).另一方面有
*
||||||A A AA O A ??
?
?== ? ???
O 由矩阵的秩的性质8，*()(),R A R A n +≤即有*()1R A ≤(**).由(*)和(**)便知必有*()1R A =.
若()1,R A n A <-中任意1n -阶子式均为零，即*A 中所有元素均为零，
*A 是个零矩阵.故有*()0R A =.
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =，元素ij a 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则 （二）基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵 （一）要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵A 与B 相乘，有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。 注：矩阵乘积不一定符合交换 （2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ， 规定I A =0 ,其中I 为单位阵 .
(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ，A 为方阵，矩阵A 的 多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。 （4）n 阶矩阵A 和B ，则B A AB =. （5）n 阶矩阵A ，则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ， 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 （二）要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 （1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 （2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如n m A ?，l n B ?，将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =，其中j b （l j 2, ,1=）是矩阵B 的第j 列， 则 又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =，其中j p （n j 2, ,1=）是矩阵P 的第j 列. （3）设对角分块矩阵
线性代数 基础和常考知识点
线性代数基础知识点 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ??????? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+
√ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 （即：所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.记作：() ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A * -= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ?--???? 1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换
同济大学2010-11线性代数B期末考试试卷_A卷_
同济大学课程考核试卷(A 卷) 2010—2011学年第一学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷 年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 （注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空与选择题(均为单选题)(27分) 1、 已知4阶方阵1234 567890 54 a b A c d ????? ? =?????? ，函数()||f x xE A =?,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________. 2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式 1231,,,m αααβ=，又 1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m ?_______________. 3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=?=?=，其伴随矩阵为* A ，则行列式 *A =_____36_________. 4、 已知α是3维实列向量，且111111111T αα?????=????????? ，则α=5、设α是3 R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,T x x x ，则α在基 1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx ?________________. 6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________. 1(). ). (). ().n A A A A B C n cE c D ?若矩阵可逆，则与可交换 (可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换 7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2 AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______. ()2 2 2 (). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E ==?== 8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____ (). 0 (). 0 (). 0 ().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======?=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解 9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________. ()()()()()()()()()()()()()() (). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D ??,, ( 二、(10分) 已知n 阶行列式1 231 200 1 0301 00n n D n ="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和.
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
大一线性代数的知识点
2009年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则 (1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则 (1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则 4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积 (1) 2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶 主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法；
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2
线性代数必考知识点归纳
线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；
线性代数知识点的总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 第一节：二阶与三阶行列式 把表达式11221221a a a a -称为 1112 2122 a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112a a a a ， 即1112 112212212122 .a a D a a a a a a = =-结果为一个数。（课本P1） 同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数 表11 121321 222331 32 33 a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作1112132122 23313233 a a a a a a a a a 。 即11 1213 21 222331 32 33 a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3） 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组和三元方程组： 对二元方程组11112212112222 a x a x b a x a x b +=?? +=? 设1112 2122 0a a D a a = ≠11212 22 b a D b a = 11 1 2212 .a b D a b = 则1 12 2 221 111122122 b a b a D x a a D a a = =， 11 1 2122 211122122 .a b a b D x a a D a a = =（课本P2） 对三元方程组111122133121122223323113223333 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=?? ++=??++=?，
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
数三线性代数必考知识点
线性代数必考知识点 1、行列式 1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、和的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设行列式： 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则； 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则； 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则； 将主副角线翻转后，所得行列式为，则； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 7. 证明的方法：
①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. 是阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组有非零解； ，总有唯一解； 与等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； 的行（列）向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于阶矩阵：无条件恒成立； 3. 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：
若，则： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主对角分块） ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
《线性代数》的主要知识点
《线性代数》的主要知识点 第一部分 行列式 概念： 1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半； ②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为（列） 行）ττ+-() 1( 2． 元素的余子式以及代数余子式 ij j i ij M )1(A +-= 3． 行列式的性质 计算方法： 1． 对角线法则 2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理) 第二部分 矩阵 1． 矩阵的乘积 注意：①不满足交换率（一般情况下B A A B ≠） ②不满足消去率 （由AB=AC 不能得出B=C ） ③由AB=0不能得出A=0或B=0 ④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵 2．矩阵的转置 满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)( 3．矩阵的多项式 设n n x a x a a x +++=Λ10)(?，A 为n 阶方阵，则 n n A a A a E a A +++=Λ10)(?称为A 的n 次多项式。 对与对角矩阵有关的多项式有结论如下： （1）如果 1 -Λ=P P A ，则n n A a A a E a A +++=Λ10)(? 11110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa n n Λ= 1)(-ΛP P ?
（2）若),,(21n a a a diag Λ=Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ????Λ=Λ 4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。 n 阶矩阵A 可逆0A ≠?； n A r =?)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵； ?A 与E 等价； ?A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的列（行）向量组线性无关； ?A 的所有的特征值均不等于零 求法：①伴随矩阵法：*1 1 A A A ?= - ②初等变换法：()() 1,,-???→?A E E A 初等行变换或??? ? ?????→????? ??-1A E E A 初等列变换 ， E 是单位矩阵 性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的 （2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且A A =--1 1)( ②若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )() (11 --= ③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--= A k kA ④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111 )(---=A B AB 5．方阵A 的行列式： 满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数） ①A A T = ②A A n λλ= ③B A AB = 6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵 ???? ?? ? ??=nn n n n n A A A A A A A A A A Λ M M M ΛΛ212221212111* ，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） 伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==* *
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
线性代数知识点总结汇编
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
《线性代数》知识点 归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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